精品解析：江苏省梅村高级中学2025-2026学年高三上学期12月阶段检测数学试题

江苏省梅村高级中学2025－2026学年度第一学期12月阶段检测 高三数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数的模长为1，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图1，将其裁剪成如图2的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图3，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，部分图象如图所示，则（ ） A. B. 这个简谐运动的频率为，初相为 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的最小值为 B. 若，则的面积为 C. 若，则直线过定点 D. 若，过的中点作于点，则的最小值为 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的对称中心．已知函数．若有三个零点，且在点处切线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 的极小值为 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中四点，，，共面，则______． 13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 14. 已知函数，（），若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，其中第15题13分，第16、17题每小题15分，第18、19题每小题17分，共77分.在解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 16. 已知数列满足：，，. （1）求数列的通项公式； （2）记表示不超过x的最大整数，，求 17. 甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． （1）若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，． （1）求证：平面平面； （2）平面于点，求二面角的正弦值． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学2025－2026学年度第一学期12月阶段检测 高三数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图及集合的运算求解即可. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分为不在集合且在集合中的元素所构成的， 所以阴影部分所表示的集合为， 故选：C 2. 已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再由向量在上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，所以， 所以向量在上的投影向量为， 又向量在上的投影向量的坐标为， 所以，解得. 故选：A. 3. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 4. 已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆与双曲线的性质结合离心率关系计算关系即可. 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：A 5. 已知复数的模长为1，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 6. 已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过恰当的举例找到两个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”， ， 此时满足，但，故A错误； 又，但，故D错误； 对于选项B，对于随机事件， ， 由，得， 又因为不能确定是否相互独立，所以无法确定，故B错误； 对于选项C，对于随机事件，且， 则由，得， 又，得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以C正确. 故选：C 7. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图1，将其裁剪成如图2的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图3，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线、底面半径和高，再由轴截面内切圆求出内切球半径，分别求出体积，根据体积比与高之比的关系即可得解. 【详解】由题意，，则， 则圆锥母线，底面半径，高， 圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，设其半径为，轴截面如图所示， ，得， 则，而， 设水面高度为，则，得. 故选：D. 8. 设函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，定义域为R，得到为奇函数，即，求导，得到在R上单调递增，变形得到，从而，求出解集. 【详解】令，定义域为R， ， 故为奇函数，即， ， 故在R上单调递增， ， 故， 即， 所以，， 解得或. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，部分图象如图所示，则（ ） A. B. 这个简谐运动的频率为，初相为 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由图知，由图象知，又，所以， 又由五点作图知，第三个点为，所以，得到，所以. 对于选项A，设，由，得到，， 所以，故选项A错误， 对于选项B，因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B正确， 对于选项C，因为，由，即， 所以不是曲线的对称轴，故选项C错误， 对于选项D，因为，由，得到， 令，得到，所以点是曲线的一个对称中心，故选项D正确. 故选：BD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的最小值为 B. 若，则的面积为 C. 若，则直线过定点 D. 若，过的中点作于点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值，可判断A选项；求出点的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B选项；设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及求出的值，求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，易知抛物线的焦点为， 当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 易知，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对； 对于B选项，设点，，可得，所以，， 则，所以，，B对； 对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为， 设点、，由于直线不过原点，所以，， 联立可得，， 由韦达定理可得，所以，， 因为，则，解得， 所以，直线的方程为，故直线过定点，C错； 对于D选项，过点作于点，过点作于点， 设，，所以， 因为 ， 所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的对称中心．已知函数．若有三个零点，且在点处切线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 的极小值为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导得到函数的单调性，结合极值的概念可判断A和B；求出并令可得，证明，结合倒序相加法求和可判断C；求，即可求出，代入并化简可判断D. 【详解】由函数，可得， 令，解得，， 令，解得或，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，的极大值点为，A错误； 当时，取得极小值，极小值为，所以的极小值为，B正确； 由，得，令，可得， 由，点是函数的对称中心，所以， 令，得， 则， 所以，C正确； 对于D，因为有三个零点，则，，， 因为， 所以， ， ， ，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中四点，，，共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面基本定理求解. 【详解】因为， 所以，即不共线， 又四点共面， 所以有唯一一组有序实数对，使得, 即， 所以，解得， 故答案为： 13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 14. 已知函数，（），若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意可得到在上恰有两个不相等的实根，令，利用导数判断函数的单调性，从而可得，则原问题等价于与在上恰有两个不同的交点，令，利用导数求出函数函数的单调区间，从而作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解. 【详解】关于轴对称的函数为， 因为的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点， 所以方程在上恰有两个不相等的实根， 即，即， 即， 即在上恰有两个不相等的实根， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以，即，， 故原问题等价于与在上恰有两个不同的交点， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，， 如图，作出函数在上的大致图象， 要使函数与在上恰有两个不同的交点， 只要， 因为，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四、解答题：本大题共5小题，其中第15题13分，第16、17题每小题15分，第18、19题每小题17分，共77分.在解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，，得， 整理得，即， 而，解得，又，所以或. 【小问2详解】 由（1）及角C为锐角，得， 在中，由正弦定理得，而， 则，， 因此， 所以的面积为. 16. 已知数列满足：，，. （1）求数列的通项公式； （2）记表示不超过x的最大整数，，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再利用等比数列的定义求解； （2）由，利用错位相减法求得，然后由化简求解. 【小问1详解】 解：由题知：， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以，所以； 【小问2详解】 因为，， 两式作差得， 所以， 易求得，，， 因为， 所以是递减数列， 当时，， 所以， 综上，. 17. 甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． （1）若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【小问1详解】 设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得， . 【小问2详解】 设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，． （1）求证：平面平面； （2）平面于点，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明： 在和中， ，即， 也即,因两个角都是锐角，故，则． 又平面平面，． 因平面，且， ∴平面， 又平面，故平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理直接求证即可； （2）利用向量法根据求出点坐标，再结合二面角的定义，即可求出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵两两互相垂直， ∴以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 设，则， 点在平面内， 设 则， 平面 ， 解得， ，即， ∴点到平面的距离， 点到棱的距离， 设二面角大小为，则， 即二面角的正弦值为． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2）①，②可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）对进行求导，分为和两种情况，结合极值的概念分别讨论即可； （2）根据偶函数的定义列式求解，即可得到的值；先构造函数证明，利用放缩将不等式化为在恒成立，再构造函数证明即可. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 ①， 因为为偶函数，则，即， 化简得，此式对均成立，则，即, 所以的值为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $