2.3尺规作图 教学设计2025-2026学年 青岛版八年级数学上册

第二章 全等三角形 2.3尺规作图第1课时   一、教材分析 中学阶段已经学习三角形等几何图形相关知识时深入介绍，八年级会在全等三角形章节，让学生在已有图形初步知识基础上，进一步学习利用尺规作基本图形、三角形等，是对七年级尺规作图知识的深化和拓展.学生通过尺规作图，能更直观地感受图形之间和图形内部的关系，有助于理解几何图形的特征.构思作图过程需考虑关键步骤和具体做法，能锻炼学生逻辑思维，使其在操作中逐步形成有理有据思考的习惯.尺规作图是手脑并用的过程，可增强学生动手操作能力，让学生在实践中感受数学魅力，提高学习兴趣证明是数学的核心内容，是构建学科知识体系的关键手段.这种思维能力的培养对学生终身学习和解决实际问题具有重要意义.   二、学情分析 学生在前期学习中积累了一定的基础知识，已具备一定的抽象思能结合几何知识(如全等三维和推理能力，角形、轴对称)理解作图原理(如作角平分线的依据是“SSS全等”)，操作更具目的性知识体系关联:已学习线段、角、三角形等图形的性质，能将尺规作图与图形性质、全等判定等知识结合，形成知识网络(如已知三边作三角形与“SSS判定全等”的关联).作图步骤的逻辑性:复杂作图(如用基本作图组合成三角形)需规划步骤，学生易出现'步骤混乱”或“遗漏关键步骤”的问题.但学生对这些知识的理解可能停留在表面，尚未形成完整的知识网络，难以灵活运用到证明中.结合具体内容采用“问题情境一建立模型一,应用拓展”的模式展开,从简单而具体的实例中让学生经历方程的形成与应用的过程.学生在八年级在学习过程中应该能较好的迁移知识的方法.这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础.   三、教学目标 1. 经历尺规作图实践操作的过程，训练和提高学生尺规作图的技能，培养学生的动手能力． 2.在实际操作过程中，逐步规范作图语言，能依据规范作图语言作出相应的图形．学生积极参与数学活动，培养学生应用知识解决问题的能力． 3.体会尺规作图的过程，培养学生的数学逻辑思维能力．   四、教学重难点 重点：经历尺规作图实践操作的过程，训练和提高学生尺规作图的技能，培养学生的动手能力． 难点：在实际操作过程中，逐步规范作图语言，能依据规范作图语言作出相应的图形．学生积极参与数学活动，培养学生应用知识解决问题的能力．   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：在尺规作图时，用圆规可以作什么图形? 以任意一点为圆心，以任意长为半径，可以作一个圆或一段弧. 问题2：直尺和圆规交替使用呢? 直尺和圆规交替使用，可以解决许多几何作图的问题.前面的“用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段”，就是一个范例. 在七年级我们学习过“用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段”.回忆一下，怎样用不带刻度的直尺和圆规作出线段AB=a?a A B C 如图，任取一点A，用直尺作射线AC，用圆规量取a的长度. 以点A为圆心，以a为半径作弧，交射线AC于点B. 那么AB=a. 你能说明上面作图的道理吗？ 以点A为圆心，线段a为半径画弧，那么这条弧上的所有点到点A的距离都等于a的长，所以AB=a.因此线段AB即为所求作的线段. 设计意图：通过有趣的图片复习回顾引入，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生数学能力. 活动一：用尺规作图作相等的角 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 已知∠AOB，如何作一个角等于∠AOB？ 思考1：如何构造两个三角形全等？ 思考2：判定三角形全等的方法有哪些？ 思考3：现在已知一个角及其两边，可以联想到通过哪种判定方法构造全等？ 思考4：如何利用圆规可以画等长的特性，作出等边？ 步骤： 1.以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. 2.作射线O'A'以点O'为圆心，以OC长为半径作弧l，交O'A'于点C'. 3.以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交弧l于点D'. 4.过点O'，D' 作射线O' B'. 5.∠A'O'B' 就是所求作的角. 什么叫基本作图？ 师生总结：归纳：最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图．“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”都是基本作图． 活动二：已知两边夹角做三角形 已知线段a，c和∠α用直尺和圆规作三角形ABC，使∠B=∠α，BC=a，AB=c? 思考：在作三角形ABC过程中，你觉得先作边还是先作角方便？ 先作角∠ABC，后作边AB、BC方便. 1.作∠B=∠α； 2.在∠B的一边上截取BC=a，在另一边上截取BA=c； 3.连接AC； 4.三角形ABC就是所求的三角形. 5.你做的三角形与同学作的三角形能完全重合吗？为什么？ 对于边和角，也可以先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿. 作法2：1.作一条线段BC=a； 2.以B为顶点，以BC为一边作∠CBD=∠α； 3.在射线BD上截取线段BA=c； 4.连接AC，三角形ABC就是所求的三角形. 师生总结：归纳：根据SAS可知，这样作出的三角形都是全等的．确定一个三角形需要的条件，与判定两个三角形全等需要的条件是相同的． · 应用新知 例1：如图是作三角形ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）． A.已知两边及夹角 B.已知三边 C.已知两角及夹边 D.已知两边及一边对角 分析：根据最基本、最常用的尺规作图“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”即可得到答案. 师生活动：老师提问学生代表展示问题答案．加深学生对法则的记忆. 总结：熟练掌握最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图． 设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情.学以致用. 例2：画一个钝角∠AOB，然后以 O 为顶点，以 OA 为一 边， 在角的内部画一条射线 OC，使∠AOC＝90°，正确的图形是 ( )． 分析：由题意可知，∠AOC 在∠AOB 的内部，且OA 为其公共边，OA 与 OC 的夹角为 90°． 设计意图：通过师生的共同探讨，初步感知通过说理，证明命题的方法与形式. 总结：熟练掌握尺规作图所需的各个基本方法． 例3: 已知：∠α ， ∠β，线段a．用尺规作三角形ABC，使BC=a，B=∠α，∠C=∠β． ββ α a 分析：本题考查用尺规作三角形的方法，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键;根据尺规作图的作法，先作一条线段等于已知线段;再按作一个角等于已知角的方法作出两个角，进而得到三角形ABC. 1. 作一条线段BC=a； 2. 在BC的同侧作∠CBD=∠α，∠BCE=∠β，射线BD与CE交于点A；三角形ABC 即为所求. 3. 还有没有其它方法画这个三角形？ 作法2： 1. 作∠DBF=∠α; 2. 在射线BF上截取线段BC=a； 3. 以C为顶点，以BC为一边，作∠BCE=∠β，BD交CA于点A．则△ABC就是所求作的三角形. 总结：在用尺规作图时往往方法不唯一，尝试多种方法解题． 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握尺规作图的方法. · 课堂练习 1.如图，已知线段a，∠α． 求作三角形ABC，使BC=a，∠B=∠C=∠α. α 作法：1.作一条线段BC=a. · 限时训练 1.下列尺规作图的语句错误的是 ( )． A. 作∠AOB，使∠AOB = 3∠α B. 以点 O 为圆心作弧 C. 以点 A 为圆心，线段 a 的长为半径作弧 D. 作∠ABC，使∠ABC =∠α + ∠β 注意：作弧必须有圆心和半径，缺一不可. 2. 如图，已知∠α和∠β，求作∠γ，使∠γ=∠α+∠β． 解：1.如图，先作∠COD=∠α，2.再作∠DOG=∠β，3.那么∠COG=∠γ =∠α+∠β. 3.如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于 ∠A -∠B (不用写作法，保留作图痕迹)．   分析：作∠COD =∠A，并在∠COD 的内部作∠DOE =∠B，则∠COE 就是所求作的角. 4.已知：线段 a，b，c． 求作： △ ABC，使AB=c，AC=b，BC=a． 作法：1.作一条线段BC=a； 2.分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点； 3.连接AB，AC，△ABC就是所求作的三角形. 师生活动：老师提问学生举手回答问题． 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.你知道的基本作图？ 3作三角形的方法？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 全等三角形 2.3 尺规作图   一、教材分析 《尺规作图(第2课时)》是青岛版初中数学八年级上册第二章《全等三角形》第三节的内容，主要围绕尺规作平行线和过直线外一点作已知直线的垂线展开，是在学生掌握基本作图（作等线段、等角）和全等三角形相关知识后的延伸，体现了从几何原理到作图操作的转化，为后续复杂几何作图和几何证明奠定基础．   二、学情分析 八年级学生已具备一定的几何直观和动手操作能力，对平行线的判定、等腰三角形性质等知识有初步掌握，且在之前的学习中接触过简单的尺规作图，具备探究新作图方法的基础，但对尺规作图中“原理与操作的对应”以及规范步骤的理解和应用仍需强化，团队协作中清晰表达思路的能力有待提升．  三、教学目标 1．学生能精准阐述尺规作图作平行线、垂线的基本原理，理解从几何原理到作图操作的转化过程，提升逻辑推理能力． 2．熟练掌握尺规作平行线、作垂线的规范步骤，独立完成作图并标注痕迹，增强几何直观和动手操作素养． 3．通过团队协作完成作图任务，体会数学知识的应用价值，培养合作与分享精神，形成用数学解决实际问题的意识．   四、教学重难点 重点：熟练掌握尺规作平行线和过直线外一点作已知直线垂线的规范步骤． 难点：理解尺规作图中作平行线和垂线的原理及其与操作步骤的对应关系．   五、教学过程 · 复习回顾 1．判定两条直线平行的依据是什么？ 同位角相等，两条直线平行． 内错角相等，两条直线平行． 同旁内角互补，两条直线平行． 2．基本作图指什么？ 最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图.“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”都是基本作图． 平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系．借助直尺和圆规，怎样过直线外一点作这条直线的平行线或垂线？ 师生活动：教师通过提问引导学生回顾判定两条直线平行的依据（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）和基本作图的概念（作等线段、等角），随后提出“如何用尺规过直线外一点作平行线或垂线”的问题，引发学生思考，学生结合已有知识尝试回答，师生共同梳理思路． 设计意图：通过复习旧知，激活学生对平行线判定和基本作图的记忆，为新知探究奠定知识基础，同时以问题引发认知冲突，激发学生的探究兴趣，自然过渡到新课内容． · 探究新知 活动一：过直线外一点作这条直线的平行线 做一做 过直线外一点作这条直线的平行线． 已知：直线和直线外一点． 求作：直线的平行线，使它经过点． 分析：我们曾学过用三角板和直尺画平行线的方法.我们知道，同位角相等，两直线平行．可以利用这个结论，作出一组同位角，得到一组平行线． 　　　　　 作法：如图． ①过点P作直线MN，交直线于点N； ②作，其中K为上不与N重合的任意一点，点Q与K位于MN同侧； ③作直线PQ． 直线PQ就是所求作的平行线． 同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线． 议一议 问题1：判定两直线平行的方法是什么？ 同位角相等，两直线平行 问题2：作平行线的过程，其本质是什么？ 作一个角等于已知角 问题3：你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？ 与你的同桌讨论并试一试． 师生活动：教师引导学生分析“过直线外一点作平行线”的已知条件和作图目标，结合“同位角相等，两直线平行”的原理，示范作图步骤；学生跟随操作，之后分组讨论“议一议”中的问题，分享不同的作图思路，教师巡视指导并点评各组想法． 设计意图：让学生经历“分析原理—模仿操作—讨论拓展”的过程，理解作平行线的本质是作等角，掌握规范步骤，同时通过小组讨论培养协作精神和发散思维，加深对知识的理解． 活动二：过直线外一点作这条直线的垂线 做一做 过直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线和直线外一点P． 求作：直线的垂线，使它经过点P． 分析：如下图：即当，时，PQ与MN具有怎样的位置关系？你能否从中找到作图的方法？ PQ与MN垂直关系． 　　　 作法：如图． ①以点P为圆心，在直线的另一侧取一点K，以PK为半径作弧，交直线l于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点Q； ③作直线PQ． 直线PQ就是所求作的垂线． 请说出作垂线方法中的原理是什么？ 利用圆的半径相等性构造等腰三角形，再结合“等腰三角形三线合一”的性质推导出垂直关系． 师生活动：教师呈现“过直线外一点作垂线”的问题，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质与垂线的关系，讲解作图步骤（画弧定两点、作弧找交点、连直线）；学生动手实践，完成后同桌互相检查作图痕迹，教师选取典型案例进行讲解，纠正不规范之处． 设计意图：使学生理解作垂线的原理是利用等腰三角形性质，通过动手操作掌握步骤，同伴互查和教师点评帮助学生规范作图行为，提升几何直观和操作的准确性． · 应用新知 例1．如图，已知，C为AN上一点． (1)过点C作，交BM于点D．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：． 分析：利用同位角相等，两直线平行，作平行线．D (1)解：作，直线CD就是所求作的平行线． 如图，CD即为所求． (2)证明：因为，， 所以，，所以C． 例2．已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形． 已知：线段m，n． 求作：，使，，． 分析：利用已知的斜边和直角边，通过特定的作图步骤来构造出直角三角形． 解：画线段； 在点C作AC的垂线CD；以A为圆心， m为半径画弧，交CD于点B； 连接AB，则△ABC即为所求． 师生活动：教师出示例1和例2，引导学生分析题意，明确作图依据（平行线用等角、直角三角形用垂线）；学生独立完成作图和证明，小组内交流思路，教师选取学生作品展示，讲解关键步骤和证明逻辑，强调规范表达． 设计意图：通过例题应用，巩固学生对尺规作平行线和垂线的掌握，将作图与几何证明结合，提升逻辑推理能力，小组交流和展示环节促进学生互相学习，强化知识的应用意识． · 课堂练习 1．如图，是的一个外角．利用尺规，完成下列作图： (1)求作直线CM，使； (2)求作中BC边上的高AN． 分析：利用同位角相等两直线平行的原理作平行线，以及过直线外一点作已知直线垂线的方法作高． 解：(1)以点A为圆心，任取半径画弧，交AB于E，交AC于F， 以点C为圆心，相同半径画弧，交AC的延长线于G，以G为圆心，EF为半径画弧，交前弧于H；过点C、H作直线CM，CM即为所求． (2)作BC边上的高AN，以点A为圆心，任取半径画弧，交BC于P、Q，以P、Q为圆心，相同半径画弧，两弧交于R，连接AR，交BC于N，AN即为所求高线． 师生活动：学生独立完成课堂练习中的作图题，教师巡视，对有困难的学生进行个别指导；完成后，学生自愿展示自己的作图过程和结果，其他学生进行评价，教师总结常见错误和注意事项． 设计意图：通过练习检验学生对知识的掌握程度，及时发现问题并纠正，个别指导关注学生差异，展示与评价环节培养学生的表达能力和批判性思维，巩固所学知识． 限时训练 1．经过直线外一点作这条直线的垂线,其作法的第一步是( ) A.过已知点作已知直线的垂线 B.在已知直线上取一点,过这一点与已知点作一条直线 C.以已知点为圆心，任意长为半径画弧 D.以已知点为圆心，画能与已知直线相交于两点的弧 2．如图，中，D，E分别是AB，AC上一点. (1)过点D作，交AC于点M； (2)过点E作，交AB于点N.(尺规作图,保留作图痕迹，不写作法) 解：(1)如图，DM即为所求． (2)如图，EN即为所求． 总结：依据“同位角相等，两直线平行” ，通过构造相等角来实现． 　　 3．如图，已知Rt△ABC，，试作出边AB上的高． 分析：利用圆的性质来作出一条线段的垂线，在直角三角形中作出斜边的高． 　　 解：作法：(1)以点C为圆心，大于点C到AB的距离的长为半径画弧，交AB于点M，N； (2)分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径在AB的同侧画弧，两弧交于点P； (3)连接PC交AB于点D． 如图，线段CD即为AB边上的高． 4．如图，已知线段c，直线l及l外一点A.作Rt△ABC，使直角边为AC(，垂足为C)，斜边． 分析：关键在于利用垂线作法（借三角板或尺规作已知直线垂线 ）和圆的定义． 解：作法：(1)作，垂足为C； (2)以A为圆心，线段c的长为半径作弧，交直线于点B； (3)连接AB． 如图，△ABC就是所求作的三角形． 师生活动：教师规定时间，学生独立完成限时训练题，强调在规定时间内高效作答；时间结束后，公布答案，学生自行核对，小组内讨论错题原因，教师针对高频错误进行集中讲解． 设计意图：通过限时训练提升学生的解题速度和准确率，培养时间管理能力，错题讨论和集中讲解帮助学生查漏补缺，强化对重点知识（如垂线作法第一步、平行线作图依据）的记忆和应用． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．作平行线和作垂线分别利用了哪些几何原理？ 3．尺规作图时，如何保证作图痕迹的规范性？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课的知识要点（作平行线和垂线的原理、步骤），梳理知识脉络，帮助学生构建系统的知识体系，明确核心内容，加深对知识的理解和记忆，培养归纳总结能力． 学科网（北京）股份有限公司 $