期末复习专题09 线段的比较与运算（5知识点+8大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考

该初中数学期末复习讲义以思维导图系统构建线段比较与运算的知识体系，涵盖尺规作图、比较方法、性质、和差及中点等5个核心知识点，通过清晰框架呈现概念内涵与逻辑联系，突出基础操作与综合应用的递进关系。 讲义亮点在于8大题型分层设计，如尺规作图培养几何直观，动点问题提升运算能力与推理意识，典例结合跟随训练适配不同层次学生。过关检测强化知识应用，助力教师实施精准复习，学生自主梳理时能明确重难点。

期末复习专题09 线段的比较与运算 （5知识点+8大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 作线段（尺规作图）】 2 【题型2 线段的和与差】 3 【题型3 线段中点的有关计算】 4 【题型4 线段n等分点的有关计算】 5 【题型5 线段之间的数量关系】 6 【题型6 与线段有关的动点问题】 6 【题型7 两点之间，线段最短】 7 【题型8 两点间的距离】 8 【知识点01 尺规作图】 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 【知识点2 线段的比较方法】 线段的比较本质是比较线段的长度，常用两种核心方法，适用于不同场景： 叠合法（几何直观法） 操作步骤：将两条线段的一个端点重合，使另一条端点落在同一条直线上，观察另一个端点的位置关系。 结论判定：若线段 AB 与线段 CD 重合（A 与 C 重合，B 与 D 在 AC 所在直线上）： 若 B 与 D 重合，则 AB = CD； 若 B 在线段 CD 上，则 AB < CD； 若 B 在线段 CD 的延长线上，则 AB > CD。 适用场景：直接比较两条可操作的 “实体线段”（如纸条、作图后的线段）。 度量法（数值计算法） 操作步骤：用刻度尺分别测量两条线段的长度（单位需统一，如 cm、mm），通过比较数值大小确定线段长短。 结论判定：设线段 AB 长度为 a，线段 CD 长度为 b： 若 a = b，则 AB = CD； 若 a < b，则 AB < CD； 若 a > b，则 AB > CD。 适用场景：需要精确比较，或线段无法直接叠合（如数轴上的线段、抽象图形中的线段）。 【知识点03 线段的性质】 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 【知识点04 线段的和与差】 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 【知识点05 线段的中点】 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【题型1 作线段（尺规作图）】 【典例】．如图，已知线段，作一条线段使它等于．作法：①作射线；②用圆规量出线段的长，在射线上顺次截取；③用圆规量出线段的长，在线段上截取，那么所作的线段是（  ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图， ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段，； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段上作线段．则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．如图，已知三点A、B、C，请完成作图． (1)画直线、射线；连接，并在延长线上取点，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） (2)若，点为的中点，求线段的长． 【跟随训练3】．如图，已知四点A，B，C，D， (1)画直线，射线； (2)连接，，并反向延长； (3)在线段的延长线上取一点E，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (4)在直线上找一点P使的长最小． 【题型2 线段的和与差】 【典例】．已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【跟随训练1】．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【跟随训练2】．如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【跟随训练3】．如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有______条线段？ (2)求的长； (3)若点在直线上，且，求的长． 【题型3 线段中点的有关计算】 【典例】．在射线上截取，在射线上截取，点、分别是线段、的中点，那么线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．若A，B，C三点在同一直线上，线段，，点E，F分别是线段，的中点，则线段的长为（ ）． A．8 B．4 C．8或2 D．8或4 【跟随训练2】．如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【跟随训练3】．我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【题型4 线段n等分点的有关计算】 【典例】．线段，点A、B是的三等分点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D． 【跟随训练1】．线段，点是的一个七等分点，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．点A、B、C是线段的四等分点，若，则 ． 【跟随训练3】．【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【题型5 线段之间的数量关系】 【典例】．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【跟随训练1】．如图，点在线段上，且，点是线段的中点，点是线段的三等分点（即），则下列结论：①；②；③，其中正确的结论有（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【跟随训练2】．如图，点D是线段上一点，点C是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．如图所示，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：点C是线段的中点，（已知） ． （已知）， ∴ ． 点D在线段上，（已知）， ． ． ． 【题型6 与线段有关的动点问题】 【典例】．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【跟随训练1】．已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【跟随训练2】．如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【跟随训练3】．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【题型7 两点之间，线段最短】 【典例】．下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【跟随训练1】．如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，直线最短 【跟随训练2】．下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（   ） A．木工师傅用墨斗画线 B．墙上固定木条 C．建筑工人砌墙 D．弯曲河道改直 【跟随训练3】．下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有 ．（填序号） 【题型8 两点间的距离】 【典例】．已知点在直线上，线段，点是的中点，，那么，之间的距离是( ) A． B．或 C． D．或 【跟随训练1】．已知平面内有A、B、C三点，且，，那么A、C两点之间的距离为（   ） A．10 B．2 C．10或2 D．不能确定 【跟随训练2】．在一条笔直的大道上有、、三个小区，学校在小区的正中间（即点为中点）．已知小区、相距，小区、相距，则小区A到学校的距离为 ． 【跟随训练3】．下列说法中，正确的是（    ） 射线和射线是同一条射线； 若，则点为线段的中点； 连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离； 点在线段上，，分别是线段，的中点，若，则线段． A． B． C． D． 1．如图，下列关系式中与图不符的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．点A在直线外 B．射线与射线是同一条 C．点A到点C的距离是线段的长度 D．直线和直线相交于点B 3．小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 4．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 5．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是（    ） A． B． C． D． 6．在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点确定一条直线”的是（   ） A．笔尖在纸上运动形成了线 B．把弯路改直可以缩短路程 C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排 D．人们过马路优先选择直线路径 7．如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”。正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（   ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．连接两点间线段的长度是两点间的距离 D．两点之间，线段最短 9．下列说法：①倒数等于本身的数只有1；②若a、b互为相反数，那么a、b的商必定等于；③对于任意实数x，一定是非负数；④两个负数，绝对值小的反而大；⑤连接两点的线段，叫作这两点间的距离．其中错误的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．数学课上，小美进行了如下操作： ①作射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取； ④分别找到线段的中点． 则线段的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 11．已知点B在直线上，，，P、Q分别是、的中点，则 ． 12．已知点是线段的一个三等分点，是线段的中点，是线段的中点，，则 ． 13．数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 14．如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（填序号） 15．已知线段，在直线上取一点，使得，若、分别为，中点，则 （用含有的式子表示）． 16．如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为 ． 17．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成（保留画图痕迹） (1)画射线； (2)连接并延长到，使得； (3)在线段上取点，使的值最小． 18．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 19．如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 20．A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 21．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 22．【新知理解】如图，点在线段 上，图中共有三条线段，和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段 的“巧点”． （1）下列说法正确的有______（填序号）． 若点是线段的中点，则点是线段 的巧点； 若点在线段上，且，则点是线段 的巧点； 【解决问题】（2）已知线段，动点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动，点， 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，， ， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题09 线段的比较与运算 （5知识点+8大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 作线段（尺规作图）】 2 【题型2 线段的和与差】 5 【题型3 线段中点的有关计算】 8 【题型4 线段n等分点的有关计算】 12 【题型5 线段之间的数量关系】 15 【题型6 与线段有关的动点问题】 18 【题型7 两点之间，线段最短】 26 【题型8 两点间的距离】 27 【知识点01 尺规作图】 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 【知识点2 线段的比较方法】 线段的比较本质是比较线段的长度，常用两种核心方法，适用于不同场景： 叠合法（几何直观法） 操作步骤：将两条线段的一个端点重合，使另一条端点落在同一条直线上，观察另一个端点的位置关系。 结论判定：若线段 AB 与线段 CD 重合（A 与 C 重合，B 与 D 在 AC 所在直线上）： 若 B 与 D 重合，则 AB = CD； 若 B 在线段 CD 上，则 AB < CD； 若 B 在线段 CD 的延长线上，则 AB > CD。 适用场景：直接比较两条可操作的 “实体线段”（如纸条、作图后的线段）。 度量法（数值计算法） 操作步骤：用刻度尺分别测量两条线段的长度（单位需统一，如 cm、mm），通过比较数值大小确定线段长短。 结论判定：设线段 AB 长度为 a，线段 CD 长度为 b： 若 a = b，则 AB = CD； 若 a < b，则 AB < CD； 若 a > b，则 AB > CD。 适用场景：需要精确比较，或线段无法直接叠合（如数轴上的线段、抽象图形中的线段）。 【知识点03 线段的性质】 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 【知识点04 线段的和与差】 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 【知识点05 线段的中点】 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【题型1 作线段（尺规作图）】 【典例】．如图，已知线段，作一条线段使它等于．作法：①作射线；②用圆规量出线段的长，在射线上顺次截取；③用圆规量出线段的长，在线段上截取，那么所作的线段是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作线段、线段的和差，熟练掌握作线段的方法是解题关键．根据线段的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴所作的线段是， 故选：A． 【跟随训练1】．如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图， ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段，； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段上作线段．则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作线段，线段和差的计算，数形结合是解题的关键． 根据线段的和差进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 作图为： 故选：B． 【跟随训练2】．如图，已知三点A、B、C，请完成作图． (1)画直线、射线；连接，并在延长线上取点，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） (2)若，点为的中点，求线段的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查画直线，射线和线段，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据直线和射线的定义，画图即可；以点为圆心，的长为半径画弧交射线于一点，再以该点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，即可； （2）先求出的长，中点求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线、射线、点即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 【跟随训练3】．如图，已知四点A，B，C，D， (1)画直线，射线； (2)连接，，并反向延长； (3)在线段的延长线上取一点E，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (4)在直线上找一点P使的长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，尺规作图，两点之间线段最短． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）根据线段、射线的定义作图即可； （3）以为圆心，为半径，在延长线上作弧，弧与延长线交于点E； （4）连接，交于点P即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求； （2）解：如图，，及反向延长线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求； （4）解：如图，点P即为所求； 【题型2 线段的和与差】 【典例】．已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点的有关运算． 点A、B、C在同一直线上，但位置关系不确定，需分两种情况讨论：当B在线段上时；当A在线段上时，根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴． 情况1：当B在线段AC上时， ； 情况2：当A在线段上时， ； 综上，的长为3或15． 故选：B． 【跟随训练1】．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据点与点重合和点与点重合两种情况解答即可．本题考查了线段的中点，线段的和，分类思想的应用，熟练掌握线段的中点是解题的关键． 【详解】解：∵，，M，N分别是它们的中点， ∴，， 当点与点重合时， ； 当点A与点D重合时， ， 故选：C． 【跟随训练2】．如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，能根据图形求出各个线段之间的关系是解此题的关键． （1）根据线段中点求出、的长，根据即可求得的长，根据可求出、的长，最后根据即可得解； （2）根据为的中点，，可得到，，结合，，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：为的中点，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点，， ，， ，， ． 【跟随训练3】．如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有______条线段？ (2)求的长； (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和(差)，熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和、差是解题的关键． （1）固定为端点，数线段，依次类推，最后求和即可； （2）根据，计算即可； （3）分点在点左边和右边两种情形分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 共有（条）； 故答案为：； （2）解：∵为中点，， ∴ ∵ ∴； （3）解：，， 第一种情况：点在线段上（点在点右侧），如图所示： ； 第二种情况：点在线段上（点在点左侧），如图所示： ， 综上所述，的长为或． 【题型3 线段中点的有关计算】 【典例】．在射线上截取，在射线上截取，点、分别是线段、的中点，那么线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差关系，先根据线段中点定义求出、的长度，然后根据线段和差关系求解即可． 【详解】解∶如图， ∵，点A是线段的中点， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴， ∴ 故选：D． 【跟随训练1】．若A，B，C三点在同一直线上，线段，，点E，F分别是线段，的中点，则线段的长为（ ）． A．8 B．4 C．8或2 D．8或4 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算，线段的中点，掌握相关知识是解决问题的关键．由于点A、B、C在同一直线上，但相对位置不确定，需分情况讨论：当点B在点A和点C之间时，；当点C在点A和点B之间时，． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴， ∵F是的中点，， ∴， 情况1：点B在点A和点C之间， ∴， 情况2：点C在点A和点B之间， ∴， 综上，的长为或． 故选：D． 【跟随训练2】．如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【详解】解：①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 【跟随训练3】．我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为秒或秒；②存在常数m，使得的值是定值，m的值为 【分析】（1）利用当时动点Q表示的数=点B表示的数点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数；利用当时动点Q表示的数=原点表示的数+点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数； （2）①分及两种情况考虑，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分及两种情况，可找出，，的值，结合的值是定值，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 当时，动点Q表示的数为； 当时，动点Q表示的数为 故答案为：； （2）①当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得：； 当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得： 答：t的值为秒或秒； ②当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得：； 即时，为定值，该定值为0； 当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得： 综上所述，存在常数m，使得的值是定值，m的值为． 【点睛】本题考查了数轴与动点，熟练掌握路程与速度和时间的关系，动点在数轴上表示的数，两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论，是解题的关键． 【题型4 线段n等分点的有关计算】 【典例】．线段，点A、B是的三等分点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点间距离，解决问题的关键是分类讨论，画出相应的图形进行计算． 分B为靠近P的三等分点或靠近Q的三等分点两种情况进行讨论，即可得到解答． 【详解】解：∵ ，A和B是三等分点， ∴ 每等分长度为. 如图，当B为靠近Q的三等分点时， ∴的长为 当B为靠近P的三等分点时， ； ∴的长为或. 故选：C． 【跟随训练1】．线段，点是的一个七等分点，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段等分点的有关计算． 点是线段的七等分点，即将分成7等份，因此的长度应为长度的，计算可能值后与选项对比即可． 【详解】解：∵， ∴七等分后每份长为， ∴ 的长度可能为，，，，，， ∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【跟随训练2】．点A、B、C是线段的四等分点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 由题意可确定是线段的三等分点，而，即可求解的长度． 【详解】解：∵点A、B、C是线段的四等分点，， ∴是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 【跟随训练3】．【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 【题型5 线段之间的数量关系】 【典例】．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，根据线段中点的定义可得，，再逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， ∴，故①正确，②错误； ∵，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上，等式中正确的是①④， 故选：． 【跟随训练1】．如图，点在线段上，且，点是线段的中点，点是线段的三等分点（即），则下列结论：①；②；③，其中正确的结论有（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论． 先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ∴正确的结论为①②． 故选：B ． 【跟随训练2】．如图，点D是线段上一点，点C是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点平分线段，熟练找到线段间的关系是解题的关键． 根据点D是线段上一点，得到、，再根据点C是线段的中点，得到，由点D不一定是线段的中点，所以不一定成立，据此逐项判断即可． 【详解】解： 点D是线段上一点 、 因此A、B不符合题意； 点C是线段的中点 因此C不符合题意； 点D不一定是线段的中点 不一定成立 因此D符合题意． 故选：D． 【跟随训练3】．如图所示，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：点C是线段的中点，（已知） ． （已知）， ∴ ． 点D在线段上，（已知）， ． ． ． 【答案】，，，，，，，， 【分析】本题主要考查了关于线段的中点、线段的倍数相关的计算，明确题意，理清题中各线段的倍数关系是解答本题的关键． 根据题目给出的思路作答即可． 【详解】点是线段的中点，（已知） ． （已知） ． 点在线段上，（已知） ． ． . 故答案为：，，，，，，，，． 【题型6 与线段有关的动点问题】 【典例】．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 【跟随训练1】．已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 【跟随训练2】．如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点特点，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，以及根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分别求出，再结合线段中点特点得到，进而求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据线段中点特点得到，进而推出，再由得到，即可求出的值； （3）设，则，根据线段在直线上移动，分情况讨论，结合建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， D为的中点， ， ， ； （2）解： D为的中点，E为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 设，则， ， 当E在A的左侧时， 有， 解得， ， ； 当A在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在之间时， 有， 解得， ， ， ； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 【跟随训练3】．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 【题型7 两点之间，线段最短】 【典例】．下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短；逐项判断各现象是否基于该事实． 【详解】解： A、木匠弹墨线基于“两点确定一条直线”，不符合题意； B、打靶瞄准基于“两点确定一条直线”，不符合题意； C、弯曲公路改直是为了缩短距离，基于“两点之间线段最短”，符合题意， D、拉绳插秧基于“两点确定一条直线”，不符合题意； 故选：C． 【跟随训练1】．如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据线段的性质即可求解． 【详解】解：把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为两点之间，线段最短 故选：B． 【跟随训练2】．下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（   ） A．木工师傅用墨斗画线 B．墙上固定木条 C．建筑工人砌墙 D．弯曲河道改直 【答案】D 【分析】本题主要考查了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”，解题的关键是理解以上知识点．直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：A、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； B、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； C、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； D、选项中的现象可用“两点之间线段最短”来解释，故符合题意； 故选：D． 【跟随训练3】．下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据“两点之间，线段最短”的性质，判断各现象是否涉及路径缩短或距离优化． 【详解】解：现象①：建筑工人拉线砌墙，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象②：把弯曲的公路改直，能缩短路程，直接应用两点之间线段最短； 现象③：植树时确定两棵树的位置以确定直线，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象④：从地到地架设电线沿线段，是为了节省材料，应用两点之间线段最短； 故答案为：②④． 【题型8 两点间的距离】 【典例】．已知点在直线上，线段，点是的中点，，那么，之间的距离是( ) A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想． 首先考虑到、、三点之间的位置关系：①当点在线段上；②点在的延长线上；再根据正确画出的图形解题即可得解． 【详解】当点在线段上， ，， ， 是的中点， ， 点在的延长线上， ，， ， 是的中点， ， 的值为或． 故选． 【跟随训练1】．已知平面内有A、B、C三点，且，，那么A、C两点之间的距离为（   ） A．10 B．2 C．10或2 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间的距离的概念，需要注意点的位置关系是否明确，避免错误地假设三点共线而选择C选项． 由于A、B、C三点在平面内的位置关系不确定，可能共线也可能不共线，因此A、C两点之间的距离无法确定． 【详解】解：由于A、B、C三点在平面内的位置关系不确定，可能共线也可能不共线，因此A、C两点之间的距离无法确定． ∴的值不固定，无法确定． 故选：D． 【跟随训练2】．在一条笔直的大道上有、、三个小区，学校在小区的正中间（即点为中点）．已知小区、相距，小区、相距，则小区A到学校的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差倍分，分类讨论是关键．分为点在线段延长线上时、点在线段上时两种情况讨论，求解即可． 【详解】解：①点在线段延长线上时， 由条件可知，， 为中点， ， ； ②点在线段上时， 由条件可知，， 为中点， ， ； 综上所述，小区A到学校的距离为或 故答案为：或． 【跟随训练3】．下列说法中，正确的是（    ） 射线和射线是同一条射线； 若，则点为线段的中点； 连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离； 点在线段上，，分别是线段，的中点，若，则线段． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查射线、线段中点、距离定义等几何概念，根据射线、线段中点、两点间的距离求解即可． 【详解】∵射线以A为端点向B延伸，射线以B为端点向A延伸，方向不同， ∴ ①错误； ∵时，点B不一定在线段上， ∴ ②错误； ∵连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离， ∴ ③正确； ∵ C在线段上，M为中点，N为中点， ∴，， ∴， ∴ ④正确． 故选：D． 1．如图，下列关系式中与图不符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系求解判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ， 根据现有条件无法得到， ∴不一定成立， 故选：C． 2．如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．点A在直线外 B．射线与射线是同一条 C．点A到点C的距离是线段的长度 D．直线和直线相交于点B 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A．点A在直线外，原说法正确，但不符合题意； B ．射线与射线是两条不同的射线，原说法错误，不符合题意； C．点A到点C的距离是线段的长度，原说法正确，但不符合题意； D．直线和直线相交于点B，原说法正确，但不符合题意； 故选：B． 3．小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】解：能用来解释这一事实的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：A． 4．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的相关计算，根据的关系，可用表示，表示，根据线段的和差，可得长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得． 由线段的和差，得，． 由线段的中点E、F，得： 由线段的和差，得， 解得：， （）， 故选：A． 5．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化的规律，根据所给跳动方式，依次求出点，，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为O，A两点的距离为12，且点为的中点， 则， 依此类推，， 所以． 当时，． 令的中点为M，如下图， 所以， 所以， 即点与的中点的距离是． 故选：B． 6．在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点确定一条直线”的是（   ） A．笔尖在纸上运动形成了线 B．把弯路改直可以缩短路程 C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排 D．人们过马路优先选择直线路径 【答案】C 【分析】本题主要考查直线的性质，解题的关键是掌握两点确定一条直线的性质．根据直线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、笔尖在纸上运动形成了线体现基本事实“点动成线”，故此选项不符合题意； B、把弯路改直可以缩短路程体现基本事实“两点之间，线段最短”， 故此选项不符合题意； C、用两根木桩拉一直线把树栽成一排体现基本事实“两点确定一条直线”， 故此选项符合题意； D、人们过马路优先选择直线路径体现基本事实“两点之间，线段最短”， 故此选项不符合题意． 故选：C． 7．如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求线段长度，掌握线段的和差及线段中点的定义是解答本题的关键． 根据，得到，进而求出的长度；由中点求出和的长度，结合图中可得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵P，Q分别为，的中点， ∴，， ∴． 故选：B． 8．毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”。正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（   ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．连接两点间线段的长度是两点间的距离 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的性质， 建桥后距离缩短，体现了“两点之间，线段最短”的几何事实． 【详解】解：∵大桥直接连接上海和宁波两点，而原本陆路是曲线路径， ∴根据“两点之间，线段最短”，可知距离缩短． 故选：D． 9．下列说法：①倒数等于本身的数只有1；②若a、b互为相反数，那么a、b的商必定等于；③对于任意实数x，一定是非负数；④两个负数，绝对值小的反而大；⑤连接两点的线段，叫作这两点间的距离．其中错误的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、相反数和倒数，两点间的距离，解题的关键是掌握绝对值、相反数和倒数的性质． 根据绝对值、相反数和倒数的性质判断选项的正确性． 【详解】解：①倒数等于本身的数有1和，该项错误； ②若a、b互为相反数，那么a、b的商必定等于，该项错误，a，b不能等于0； ③当x为负数时，；当x为非负数时，，即对于任意实数x，一定是非负数，该项正确； ④两个负数，绝对值小的反而大，该项正确； ⑤连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，该项错误． 其中错误的个数是3个． 故选：B． 10．数学课上，小美进行了如下操作： ①作射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取； ④分别找到线段的中点． 则线段的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，线段中点的含义，线段的和差运算，由作图可得，再结合线段的和差与线段中点的含义逐一分析即可． 【详解】解：由作图可得：， ∴， ∵线段的中点分别为， ， ， 故选：B． 11．已知点B在直线上，，，P、Q分别是、的中点，则 ． 【答案】4或10 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，分两种情况：当点在点左侧时；当点在点右侧时；分别计算即可得出结果，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点在点左侧时， ， ∵，，P、Q分别是、的中点， ∴，， ∴； 如图，当点在点右侧时， ， ∵，，P、Q分别是、的中点， ∴，， ∴； 综上所述，或， 故答案为：4或10． 12．已知点是线段的一个三等分点，是线段的中点，是线段的中点，，则 ． 【答案】24或12 【分析】本题考查了线段的和差，线段n等分点的有关计算，线段中点特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 根据点C是线段的一个三等分点，分两种情况讨论：当C靠近A时和当C靠近B时，利用中点定义和线段和差关系求解，即可解题． 【详解】解：设， 情况1：当点C靠近点A时，， ∵是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 情况2：当点C靠近点B时，； ∵是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，的值为24或12； 故答案为：24或12． 13．数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据点和点的运动速度，表示出秒后点和点的坐标，利用中点公式得到点的坐标表达式，点在线段上往返运动，需根据时间分段讨论点的坐标，并建立方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当点为线段的中点时，点表示的数为， 当时， 解得：， 即运动秒时，点，重合时，运动停止， ， 点在线段上往返运动， 解方程， 可得：， 即当运动秒时，点与点重合，此时点与点重合， 当时， 点表示的数为，点表示的数为， 点在上运动， 点表示的数大于， 点不能成为的中点； 当时，点从点向点运动，表示的数为， 点是线段的中点， ， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时，点从点向点运动，表示的数为 令， 解得：， 经检验，满足，且运动未停止（点M与点N重合时）． 故答案为 ：． 14．如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了线段中点的性质以及线段中点的有关计算，掌握线段中点的性质是解题的关键． 根据线段中点可得，，，然后再利用线段中点的有关计算，逐个判断即可求解． 【详解】解：是的中点，M是的中点，N是的中点， ，，， ，故结论①正确， ，故结论②正确， ， ，故结论③正确， ，而不一定为中点，故结论④错误， 综上所述，结论①②③正确． 故答案为：①②③． 15．已知线段，在直线上取一点，使得，若、分别为，中点，则 （用含有的式子表示）． 【答案】或 【分析】本题考查线段的中点及线段的和差计算．由于点在直线上，需分点在线段上和点在的延长线上两种情况讨论．分别利用中点的定义和线段的和差关系求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∵点是的中点， ∴． 分两种情况： ①若点在线段上，则． ②若点在的延长线上，则． 综上所述，或． 故答案为：或． 16．如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是线段的和差，设，由点D为的中点可知，再由点C是折线的“折中点”可知，由折线的长度为9得出x的值即可． 【详解】解：设， ∵点D为的中点， ∴，， ∵点C是折线的“折中点”， ∴， ∵折线的长度为9， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：3． 17．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成（保留画图痕迹） (1)画射线； (2)连接并延长到，使得； (3)在线段上取点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查“线段、射线、直线的基本作图”“尺规作图，作相等线段”“线段的和与差”，掌握线段，射线和直线的定义和线段的和差运算是解题关键． （1）点A为端点，根据射线的定义作图即可； （2）先作射线，再根据线段和的定义，和作相等线段的方法在射线上截取线段作图即可； （3）先作线段，再根据两点之间线段最短，找到P点即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点P即为所求． 18．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)5 (2)21 【分析】本题考查两点之间距离的计算方法，理解各条线段之间的和、差、倍、分的关系是解决本题的关键． （1）将，，转化为，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出，再代入求解即可． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， 所以; （2）由（1）可知， 所以， 即． 因为， 所以． 19．如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）先根据线段的中点定义得到，再由线段的和差得到即可； （2）根据线段的中点得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴ ∵， ∴ （2）解：∵N是的中点，， ∴， ∴． 20．A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【答案】(1)，21，24 (2)①；②2；③的值是或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题． （1）根据题意，可知，，即可算出m与n的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为m，根据题目，我们知道，解这个方程即可； ②根据题目直接计算即可； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒，由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是，再根据，，，分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：，21，24； （2）解：①设的长度为m， 则， 解得， ∴线段； ②∵线段完全经过点A所需的时间为3秒， ∴， 即运动的速度为2个单位长度/秒， 故答案为：2； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒， 由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是， 当点Q到达点时，，解得， 分三种情况讨论： 阶段1：当时，点未到达点，点从点出发，未到达点，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段2：当时，点未到达点，点到达点，开始返回点，此时点C对应的数是， 当时，点C对应的数是9， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 阶段3：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段4：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上，的值是或． 21．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据可得，在由线段，可得． （2）用含的整式表示点，点，故根据题意可列式，求解即可． （3）根据点在线段上，，，可得点表示的数为：，再由，分成点在点右边和点不在点右边时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且， ∵， ∴， ∵点在点的右侧，且， ∴， 故答案为：，； （2）由题意可得：点表示的数为：， ∵点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为：， ∵当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动， ∴线段的长度； （3）解：∵点在线段上，且，， ∴，，点表示的数为：， 由（2）可知，点表示的数为：，且在点左边， ∴， 当点在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 当点不在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或时，． 22．【新知理解】如图，点在线段 上，图中共有三条线段，和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段 的“巧点”． （1）下列说法正确的有______（填序号）． 若点是线段的中点，则点是线段 的巧点； 若点在线段上，且，则点是线段 的巧点； 【解决问题】（2）已知线段，动点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动，点， 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，， ， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点？ 【答案】（）（）当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （）通过线段中点的定义，线段的和与差，“巧点”定义逐一判断即可； （）由题意知， ，根据题意可得点不可能为线段 的巧点，然后分当点为线段的巧点时，当点为线段的巧点时，两种情况分别列方程求解即可， 【详解】解：（）∵点是线段的中点， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； ∵点在线段上，且， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； 故答案为：； （）由题意知，， ， 由题意可得点不可能为线段 的巧点， 故分两种情况：当点为线段的巧点时， ，即，解得 ； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 当点为线段的巧点时， ，即，解得 （舍去）； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 综上所述，当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $