第六章 几何图形初步（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

该初中数学第六章“几何图形初步”复习讲义通过表格对比、方法总结等工具系统构建知识体系，从立体图形与平面图形的概念入手，逐步延伸到三视图与展开图、点线面体关系、直线射线线段性质及计算、角的定义与运算，用框架图呈现知识递进脉络，突出正方体展开图与相对面、线段角度计算等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“生活情境-方法技巧-分层练习”的设计逻辑，如“农民插秧拉紧细线”体现两点确定一条直线的应用，培养数学眼光；正方体相对面判断的“间隔面法”“Z字两端法”强化推理意识。题型覆盖从基础判断（立体与平面图形识别）到综合计算（角平分线与余补角结合），帮助不同层次学生掌握，同时为教师提供精准教学的题型示例和方法指导，支持学生自主复习与能力提升。

第六章 几何图形初步 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）常见几何体的三视图与展开图； （2）线段的比较与有关计算； （3）角度的比较与有关计算以及余角和补角。 2. 难点 （1）正方体的展开图与相对面； （2）线段与角度的计算。 考点01 立体图形与平面图形 1. 立体图形： (1) 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是立体图形。 (2) 常见的立体图形及其构成： ①柱体：分为圆柱体和棱柱体。 ②椎体：分为圆锥体和棱锥体。 ③台体：分为圆台和棱台。 ④球体：一个曲面组成。 2. 平面图形的概念： 一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，则这样的图形叫做平面图形。 考点02 常见几何体的三视图与展开图： 1．常见几何体的三视图： (1) 几何体的三视图的概念： 正视图：从几何体正面看得到的图形叫做正视图，可以得到物体的长度和高度。 左视图：从几何体左面看得到的图形叫做侧视图，可以得到物体的宽度和高度。 俯视图：从几何体上面看得到的图形叫做俯视图，可以得到物体的长度和宽度。 注意：中间有看得见的线条用实线表示，有看不见的线条用虚线表示。 (2) 常见几何体的三视图： 2. 常见几何体的展开图： 3. 正方体的11种展开图： 4. 正方体展开图找相对面的两种方法： ①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。 ②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。 在判断相对面时，优先用间隔面法。 考点03 点、线、面、体： 1. 点、线、面、体之间的关系： 体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点。或点动成线，线动成面，面动成体。面可以经过移动或旋转成为体。点、线、面、体组成几何图形。 2. 平面图形旋转而成立体： 平面图形不仅可以通过平移得到几何体，还可以通过旋转得到几何体。在旋转平面图形时，旋转轴不同则得到的几何体也不同。 考点04 直线、射线、线段： 1. 直线、射线、线段基本认识 定义 图示 表示方法 特点 直线 可以朝两边无限延伸的线叫做直线 ①用一个小写字母来表示。即表示为直线l。 ②用直线上的两个大写字母表示。即表示为直线AB。 ①无限延伸 ②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。 ①用一个小写字母表示。即表示为射线l。 ②用含端点的两个大写字母表示。且表示端点字母在前。即表示为射线AB。 ①朝一端无限延伸 ②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较。 注意：端点相同，延伸方向相同的射线是同一条射线。 线段 直线上两点及两点间的部分是线段。 ①用一个小写字母表示。即表示为线段a。 ②用表示端点的两个大写字母表示。即表示为线段AB或线段BA。 ①无法延伸 ②两个端点 ③有长度，可度量，可比较。 2. 直线与线段的基本事实： ①经过两点有且只有1条直线。简单说成两点确定一条直线。经过一点有无数条直线。 ②两点之间，线段最短。即连接两点间的所有连线中，线段是最短的。这条线段的长度叫做这两点间的距离。 3. 点与直线的位置关系： 点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外。 4. 直线的相交： 当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点。 5. 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点重合，另一个端点朝同一侧，另一个端点离重合端点越远线段越长。 6. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 7. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成相等的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 8. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成相等的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成相等的四部分的点； 以此类推。 考点05 角 1. 角的定义： 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 动态定义：把一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的表示方法： 表示方法1：用表示顶点的大写字母表示。此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况 表示方法2：用三个大写字母表示。 表示方法3：用希腊字母或阿拉伯数字表示。 3. 角度制的换算： (1) 角的单位： 角的单位有度“°”；分“′”；秒“″”。 (2) 角的单位换算： 1周角＝360°＝2平角，1平角＝180°＝2直角，1直角＝90°。1°＝60′，1′＝60″。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足1°的部分化成分，在把不足1′的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 4. 方向角的定义： 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。方向角通常用南偏东多少度，南偏西多少度，北偏西多少度，北偏东多少度来表示。 若是45°时，可以用东南方向和西南方向来表示。 5. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的顶点和其中一边重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 6. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB。 7. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 8. 余角与补角 (1) 余角： 如果两个角的和等于90°，则这两个角互余。 即若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 (2) 补角： 如果两个角的和等于180°，则这两个角互补。 即若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补或∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角。 注意：余角和补角都是两个角的数量关系。 (3) 余角和补角的性质： 同角的余角相等。 同角的补角相等。 等角的余角相等。 等角的补角相等。 一个角的补角比这个角的余角大90°。 题型01 判断立体图形与平面图形 1．下列几何体中属于棱柱的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 3．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，构成该图案的几何图形有 　 　 ．（任写三个） 题型02 几何体与三视图 1．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 2．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　） A． B． C． D． 3．某物体的三种视图如图所示，则这个物体是（　　） A． B． C． D． 4．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则所搭几何体所需小立方块个数不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从正面、左面、上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，则该几何体中小立方体的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型03 几何体与展开图 10．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 11．如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．三棱柱 题型04 正方体的展开图与展开图和相对面 1．下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图是悠悠设计的抽奖盒子，部分面上进行了装饰．图（　　）是抽奖盒的展开图． A． B． C． D． 4．如图是一个正方体的平面展开图，六个面分别写着“我爱重庆一中”这六个字，则折叠后与汉字“重”相对的面上的汉字是（　　） A．我 B．爱 C．一 D．中 5．如图，是一个正方体的表面展开图，若相对面上两个数字的和都相等，则y2＝（　　） A．1 B．10 C．4 D．﹣5 6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（　　） A．3，﹣2，﹣1 B．﹣1，﹣2，3 C．﹣2，﹣1，3 D．﹣2，3，﹣1 题型05 生活现象的数学原理 1．农民插秧时，为使插种的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段可以比较大小 D．线段有两个端点 2．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 3．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 4．如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是　 　 ． 题型06 直线、射线、线段的基本性质的认识 1．如图，下列说法正确的是（　　） A．射线OA和射线OB是同一条射线 B．直线AB和直线BA不是同一条直线 C．线段OA和线段AO不是同一条线段 D．点O在线段AB的延长线上 2．下列给出的直线，射线，线段，能相交的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 4．下列叙述中，正确的是（　　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 5．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图1所示，延长线段BA到点C B．如图2所示，射线BC经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点 题型07 线段的相关计算 1．A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝4cm，BC＝3cm，那么A、C两点的距离是（　　） A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．以上答案都不对 2．如图，C是线段AB的中点，若AB＝10cm，则AC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3．如图，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，则MN的长为（　　） A．5 B．13 C．7 D．8 4．如图所示，点C在线段AB上，AB＝15，AC：CB＝2：3，点M，N分别是AB，CB的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度． 5．如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD． （1）若AB＝12，BC＝15，求AD的长． （2）若AB＝2BD，AB+DC＝36，E是AC的中点，求BE的长． 6．已知线段AB＝24，P为线段AB的中点． （1）E为线段AB上一点，D为线段AE的中点． ①若PE＝3，求线段PD的长． ②若AD＝3PE，求线段EB的长． （2）若C为直线AB上一点，，Q为线段BC的三等分点，求PQ的长（直接写出结果）． 题型08 角的表示与单位换算 1．如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2 2．下列式子中错误的是（　　） A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42′＝50.7° C．98°45′+2°35′＝101°20′ D．108°18′﹣57°23′＝51°55′ 3．在同一平面上，若∠α＝60.3°，∠β＝20°30'，则∠α+∠β＝（　　） A．81°3′ B．80°33′ C．80.8° D．80.6° 4．已知∠α＝46°24′，∠β＝46.24°，∠γ＝46.4°，则相等的两个角是（　　） A．∠α＝∠β B．∠α＝∠γ C．∠β＝∠γ D．无法确定 5．计算： （1）48°39′+67°31′； （2）180°﹣（58°35′+70.3°）． 题型09 方向角与钟面角计算 1．如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（　　） A．向南偏西50°行走600米 B．向南偏东50°行走400米 C．向北偏东50°行走600米 D．向北偏西30°行走400米 2．如图是小明家相对于学校的位置图，下列描述能确定小明家位置的是（　　） A．在距离学校1.5km处 B．在学校的北偏西25°方向 C．在学校的北偏西65°方向1.5km处 D．在学校的北偏西25°方向1.5km处 3．如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 4．当时钟指向上午8：30时，时针与分针的较小夹角为 　 度． 题型10 余角与补角 1．已知∠α＝35°，则∠α的余角的度数是（　　） A．35° B．55° C．145° D．155° 2．下列关于∠A的结论中，正确的有（　　） ①若∠A＝53°，则∠A的余角度数为47°； ②若∠A＝105°32′，则∠A的补角度数为74°28′； ③若∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，则∠A＝∠C﹣90°． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．若∠α的补角是∠α的余角的三倍，则∠α是（　　） A．60° B．45° C．55° D．50° 题型11 角的相关计算 1．如图，点A，O，B在同一条直线上，，OE平分∠BOD，若∠COD＝10°，则∠COE的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 2．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝32°，∠BOD＝58°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON＝（　　） A．130° B．135° C．110° D．120° 3．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在线段BC上，且不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFH：∠EFH＝1：2，∠GFC＝x，则∠EFH的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 5．如图，∠COD＝20°，，OB平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数； （2）若射线OE在∠AOB的内部，∠DOE＝4∠AOE，试说明OB是∠DOE的平分线． 6．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线． （1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数； （2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，求∠EOF的度数； （3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）常见几何体的三视图与展开图； （2）线段的比较与有关计算； （3）角度的比较与有关计算以及余角和补角。 2. 难点 （1）正方体的展开图与相对面； （2）线段与角度的计算。 考点01 立体图形与平面图形 1. 立体图形： (1) 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是立体图形。 (2) 常见的立体图形及其构成： ①柱体：分为圆柱体和棱柱体。 ②椎体：分为圆锥体和棱锥体。 ③台体：分为圆台和棱台。 ④球体：一个曲面组成。 2. 平面图形的概念： 一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，则这样的图形叫做平面图形。 考点02 常见几何体的三视图与展开图： 1．常见几何体的三视图： (1) 几何体的三视图的概念： 正视图：从几何体正面看得到的图形叫做正视图，可以得到物体的长度和高度。 左视图：从几何体左面看得到的图形叫做侧视图，可以得到物体的宽度和高度。 俯视图：从几何体上面看得到的图形叫做俯视图，可以得到物体的长度和宽度。 注意：中间有看得见的线条用实线表示，有看不见的线条用虚线表示。 (2) 常见几何体的三视图： 2. 常见几何体的展开图： 3. 正方体的11种展开图： 4. 正方体展开图找相对面的两种方法： ①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。 ②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。 在判断相对面时，优先用间隔面法。 考点03 点、线、面、体： 1. 点、线、面、体之间的关系： 体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点。或点动成线，线动成面，面动成体。面可以经过移动或旋转成为体。点、线、面、体组成几何图形。 2. 平面图形旋转而成立体： 平面图形不仅可以通过平移得到几何体，还可以通过旋转得到几何体。在旋转平面图形时，旋转轴不同则得到的几何体也不同。 考点04 直线、射线、线段： 1. 直线、射线、线段基本认识 定义 图示 表示方法 特点 直线 可以朝两边无限延伸的线叫做直线 ①用一个小写字母来表示。即表示为直线l。 ②用直线上的两个大写字母表示。即表示为直线AB。 ①无限延伸 ②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。 ①用一个小写字母表示。即表示为射线l。 ②用含端点的两个大写字母表示。且表示端点字母在前。即表示为射线AB。 ①朝一端无限延伸 ②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较。 注意：端点相同，延伸方向相同的射线是同一条射线。 线段 直线上两点及两点间的部分是线段。 ①用一个小写字母表示。即表示为线段a。 ②用表示端点的两个大写字母表示。即表示为线段AB或线段BA。 ①无法延伸 ②两个端点 ③有长度，可度量，可比较。 2. 直线与线段的基本事实： ①经过两点有且只有1条直线。简单说成两点确定一条直线。经过一点有无数条直线。 ②两点之间，线段最短。即连接两点间的所有连线中，线段是最短的。这条线段的长度叫做这两点间的距离。 3. 点与直线的位置关系： 点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外。 4. 直线的相交： 当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点。 5. 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点重合，另一个端点朝同一侧，另一个端点离重合端点越远线段越长。 6. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 7. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成相等的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 8. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成相等的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成相等的四部分的点； 以此类推。 考点05 角 1. 角的定义： 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 动态定义：把一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的表示方法： 表示方法1：用表示顶点的大写字母表示。此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况 表示方法2：用三个大写字母表示。 表示方法3：用希腊字母或阿拉伯数字表示。 3. 角度制的换算： (1) 角的单位： 角的单位有度“°”；分“′”；秒“″”。 (2) 角的单位换算： 1周角＝360°＝2平角，1平角＝180°＝2直角，1直角＝90°。1°＝60′，1′＝60″。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足1°的部分化成分，在把不足1′的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 4. 方向角的定义： 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。方向角通常用南偏东多少度，南偏西多少度，北偏西多少度，北偏东多少度来表示。 若是45°时，可以用东南方向和西南方向来表示。 5. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的顶点和其中一边重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 6. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB。 7. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 8. 余角与补角 (1) 余角： 如果两个角的和等于90°，则这两个角互余。 即若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 (2) 补角： 如果两个角的和等于180°，则这两个角互补。 即若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补或∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角。 注意：余角和补角都是两个角的数量关系。 (3) 余角和补角的性质： 同角的余角相等。 同角的补角相等。 等角的余角相等。 等角的补角相等。 一个角的补角比这个角的余角大90°。 题型01 判断立体图形与平面图形 1．下列几何体中属于棱柱的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：依题意，属于棱柱的有： 故选：B． 2．如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【答案】C 【解答】解：根据图形可知，其组成部分可抽象为：圆柱、四棱柱、球， 故在这些抽象出的几何体中不包括：圆锥． 故选：C． 3．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：由有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形可得： ①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形． 故选：D． 4．如图，构成该图案的几何图形有 　三角形、正方形、长方形（答案不唯一）　 ．（任写三个） 【答案】三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 【解答】解：构成该图案的几何图形有三角形、正方形、长方形、圆，四边形等， 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 题型02 几何体与三视图 1．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故A选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故C选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意， 故选：B． 3．某物体的三种视图如图所示，则这个物体是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：结合该几何体的三视图可确定这个物体是 ． 故选：C． 4．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则所搭几何体所需小立方块个数不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：由俯视图易得最底层有4个立方块，由左视图易得第二层最多有3个立方块和最少有1个立方块， 那么小立方块的个数可能是5个或6个或7个，不可能是8个． 故选：D． 5．一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从正面、左面、上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，则该几何体中小立方体的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：根据图形可知一共有2行3列立方块， 第一行前面有1个立方块，第二行前面有1个立方块，第三行前面有1个立方块，后面有2个立方块，一共5块立方块． 故选：B． 题型03 几何体与展开图 10．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】A 【解答】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱柱，圆柱； 故选：A． 11．如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．三棱柱 【答案】D 【解答】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面， 因此该几何体是三棱柱． 故选：D． 题型04 正方体的展开图与展开图和相对面 1．下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，不是正方体展开图的是： 故选：B． 2．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为： ． 故选：D． 3．如图是悠悠设计的抽奖盒子，部分面上进行了装饰．图（　　）是抽奖盒的展开图． A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可知，带实心圆的面，带花的面和带阴影部分的面三者相邻， B．带花的面和带阴影的面相对，不符合题意； C．带花的面和带实心圆的面相对，不符合题意； 当实心圆的面朝上时，带花的面在带阴影的面的左侧，D展开图符合这一特点，A展开图不符合这一特点， 故选：D． 4．如图是一个正方体的平面展开图，六个面分别写着“我爱重庆一中”这六个字，则折叠后与汉字“重”相对的面上的汉字是（　　） A．我 B．爱 C．一 D．中 【答案】C 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “重”与“一”是对面， 故选：C． 5．如图，是一个正方体的表面展开图，若相对面上两个数字的和都相等，则y2＝（　　） A．1 B．10 C．4 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：根据题意，x与﹣5相对，y与4相对，﹣2与7相对， ∵原正方体中相对的面上的两个数字之和相等， ∴y+4＝﹣2+7， 解得y＝1， ∴y2＝12＝1． 故选：A． 6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（　　） A．3，﹣2，﹣1 B．﹣1，﹣2，3 C．﹣2，﹣1，3 D．﹣2，3，﹣1 【答案】A 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“A”与“﹣3”，“B”与“2”，“C”与“1”是相对面， 由于相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次3，﹣2，﹣1． 故选：A． 题型05 生活现象的数学原理 1．农民插秧时，为使插种的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段可以比较大小 D．线段有两个端点 【答案】B 【解答】解：农民插秧时，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是两点确定一条直线． 故选：B． 2．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【解答】解：将“笔尖”看作一个点，笔尖在纸上移动形成笔画，体现的数学原理是点动成线． 故选：A． 3．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 【答案】B 【解答】解：如图这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 4．如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是　两点之间，线段最短　 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【解答】解：这样做依据的数学原理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 题型06 直线、射线、线段的基本性质的认识 1．如图，下列说法正确的是（　　） A．射线OA和射线OB是同一条射线 B．直线AB和直线BA不是同一条直线 C．线段OA和线段AO不是同一条线段 D．点O在线段AB的延长线上 【答案】A 【解答】解：A．∵射线OA和射线OB是同一条射线，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； B．∵直线AB和直线BA是同一条直线，∴此选项的说法不正确，故此选项不符合题意； C．∵线段OA和线段AO是同一条线段，∴此选项的说法不正确，故此选项不符合题意； D．∵点O在线段AB的反向延长线上，∴此选项的说法不正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列给出的直线，射线，线段，能相交的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、射线延伸后两直线不能相交，故本选项不符合题意； B、直线延伸后两直线不能相交，故本选项不符合题意； C、射线和直线延伸后两直线不能相交，故本选项不符合题意； D、射线延伸后两直线能相交，故本选项符合题意； 故选：D． 3．如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 【答案】C 【解答】解：选项A．点A在直线BD外，正确，故不符合题意； 选项B．点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意； 选项C．射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意； 选项D．直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意； 故选：C． 4．下列叙述中，正确的是（　　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 【答案】D 【解答】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误； B、射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，本选项错误； C、直线是向两方无限延伸的，无限长，画直线AB＝2cm错误；故本选项错误； D、在射线AB上截取线段AC，使AC＝1cm，所以D选项符合题意． 故选：D． 5．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图1所示，延长线段BA到点C B．如图2所示，射线BC经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点 【答案】C 【解答】解：A．如图1所示，延长线段BA到点C，几何图形与相应语言描述不相符； B．如图2所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符； C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符； D．如图4所示，因为射线CD可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符； 故选：C． 题型07 线段的相关计算 1．A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝4cm，BC＝3cm，那么A、C两点的距离是（　　） A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．以上答案都不对 【答案】C 【解答】解：如图，当点C在线段BA的延长线上时， ∵AB＝4cm，BC＝3cm， ∴A、C两点的距离是AC＝AB﹣BC＝1cm； 如图，当点C在AB的延长线上时， ∵AB＝4cm，BC＝3cm， ∴A、C两点的距离是AC＝AB+BC＝7cm； ∴A、C两点的距离是：1cm或7cm， 故选：C． 2．如图，C是线段AB的中点，若AB＝10cm，则AC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】B 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴． 故选：B． 3．如图，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，则MN的长为（　　） A．5 B．13 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：∵点M是AC的中点，AC＝6cm， ∴， ∵CN：NB＝1：2，BC＝15cm， ∴， ∴MN＝CM+CN＝3+5＝8cm， ∴MN的长为8cm， 综上所述：D选项符合题意， 故选：D． 4．如图所示，点C在线段AB上，AB＝15，AC：CB＝2：3，点M，N分别是AB，CB的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度． 【答案】（1）CN＝9； （2）MN＝3． 【解答】解：（1）∵AB＝15，AC：CB＝2：3， ∴， ∴BC＝AB﹣AC＝15﹣6＝9， ∵点N是CB的中点， ∴； （2）∵点M是AB的中点， ∴， ∴MN＝BM﹣BN＝7.5﹣4.5＝3． 5．如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD． （1）若AB＝12，BC＝15，求AD的长． （2）若AB＝2BD，AB+DC＝36，E是AC的中点，求BE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD． ∵DC＝4BD， ∴BC＝5BD． ∵BC＝15， ∴BD＝3． ∵AB＝12， ∴AD＝AB+BD＝15． （2）∵AB＝2BD，DC＝4BD， ∴DC＝2AB． ∵AB+DC＝36， ∴AB＝12，DC＝24， ∴BD＝6， ∴AC＝AB+BD+DC＝42． ∵E是AC的中点， ∴， ∴BE＝AE﹣AB＝9． 6．已知线段AB＝24，P为线段AB的中点． （1）E为线段AB上一点，D为线段AE的中点． ①若PE＝3，求线段PD的长． ②若AD＝3PE，求线段EB的长． （2）若C为直线AB上一点，，Q为线段BC的三等分点，求PQ的长（直接写出结果）． 【答案】（1）①线段PD的长为或； ②线段EB的长为或； （2）PQ的长为4或2或20或16． 【解答】解：（1）①解：∵AB＝24，P为线段AB的中点， ∴， ∵PE＝3，E在线段AB上， ∴AE＝AP+PE＝12+3＝15或AE＝AP﹣PE＝12﹣3＝9， ∵D为线段AE的中点， ∴，即或， ∴或， 答：线段PD的长为或； ②设线段AE的长为x，则， ∵PE＝|AP﹣AE|＝|12﹣x|，且AD＝3PE， ∴， 分两种情况讨论： 当x≤12时，|12﹣x|＝12﹣x，方程变为， 解得：， 当x＞12时，|12﹣x|＝x﹣12，方程变为， 解得：， ∴EB＝AB﹣AE＝24﹣x， 即：当时，， ，当时，． 答：线段EB的长为或； （2）∵C为直线AB上一点，， 分两种情况讨论： C在线段AB上： ∵AC+BC＝AB＝24，且， ∴， 解得：AC＝18，BC＝24﹣18＝6， ∵Q为线段BC的三等分点， ∴或， ∵P为AB中点，AP＝12，AC＝18， ∴C点坐标（设A为原点）为18， ∴当BQ＝2时，Q点坐标为18﹣2＝16，PQ＝|16﹣12|＝4， 当BQ＝4时，Q点坐标为18﹣4＝14，PQ＝|14﹣12|＝2， C在AB的延长线上（B点右侧）： ∵AC＝AB+BC＝24+BC，且， ∴， 解得：BC＝12，AC＝24+12＝36， ∵Q为线段BC的三等分点， ∴或， ∵C点坐标为24+12＝36， ∴当BQ＝4时，Q点坐标为36﹣4＝32，PQ＝|32﹣12|＝20， 当 BQ＝8时，Q点坐标为36﹣8＝28，PQ＝|28﹣12|＝16． 答：PQ的长为4或2或20或16． 题型08 角的表示与单位换算 1．如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2 【答案】B 【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，该选项正确，不合题意； B、这条射线记作射线OB，该选项错误，符合题意； C、∠1与∠AOB是同一个角，该选项正确，不合题意； D、∠AOC＝∠AOB+∠2，该选项正确，不合题意； 故选：B． 2．下列式子中错误的是（　　） A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42′＝50.7° C．98°45′+2°35′＝101°20′ D．108°18′﹣57°23′＝51°55′ 【答案】D 【解答】解：A、38.78°＝38°46′48″，故A正确； B、50°42′＝50.7°，故B正确； C、98°45′+2°35′＝101°20′，故C正确； D、108°18′﹣57°23′＝50°55′，故D错误； 故选：D． 3．在同一平面上，若∠α＝60.3°，∠β＝20°30'，则∠α+∠β＝（　　） A．81°3′ B．80°33′ C．80.8° D．80.6° 【答案】C 【解答】解：根据题意∠α+∠β＝60.3°+20°30′＝60.3°+20.5°＝80.8°＝80°48′， 故选：C． 4．已知∠α＝46°24′，∠β＝46.24°，∠γ＝46.4°，则相等的两个角是（　　） A．∠α＝∠β B．∠α＝∠γ C．∠β＝∠γ D．无法确定 【答案】B 【解答】解：A、∵∠α＝46°24′， ∴∠α＝46.4°， ∴∠α≠∠β＝46.24°，选项说法错误，不符合题意； B、∵∠α＝46°24′， ∴∠α＝46.4°， ∴∠α＝∠γ，原选项符合题意； C、∵∠β＝46.24°，∠γ＝46.4°， ∴∠β≠∠γ，选项说法错误，不符合题意； D、选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 5．计算： （1）48°39′+67°31′； （2）180°﹣（58°35′+70.3°）． 【答案】（1）116°10′； （2）51°7′． 【解答】解：（1）48°39′+67°31′ ＝115°+70′ ＝115°+1°10′ ＝116°10′； （2）180°﹣（58°35′+70.3°） ＝180°﹣（58°35′+70°18′） ＝180°﹣128°53′ ＝51°7′． 题型09 方向角与钟面角计算 1．如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（　　） A．向南偏西50°行走600米 B．向南偏东50°行走400米 C．向北偏东50°行走600米 D．向北偏西30°行走400米 【答案】A 【解答】解：小明从学校出发去少年宫的方向是南偏西50°， 由图可知，比例尺为1个单位长度代表200米，从学校到少年宫有3个单位长度， 所以距离为3×200＝600米． 综上，小明从学校出发去少年宫的行走路线是向南偏西50°行走600米． 故选：A． 2．如图是小明家相对于学校的位置图，下列描述能确定小明家位置的是（　　） A．在距离学校1.5km处 B．在学校的北偏西25°方向 C．在学校的北偏西65°方向1.5km处 D．在学校的北偏西25°方向1.5km处 【答案】D 【解答】解：如图，小明家在学校的北偏西25°方向1.5千米处， 故选：D． 3．如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【答案】C 【解答】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°， ∴钟表上10时10分钟时，时针从10时转过10分钟转了0.5°×10＝5°，此时时针与垂直线的夹角为60°﹣5°＝55°，分针从12的位置顺时针转了6°×10＝60°， ∴10时10分钟时分针与时针的夹角55°+60°＝115°． 故选：C． 4．当时钟指向上午8：30时，时针与分针的较小夹角为　75　 度． 【答案】75． 【解答】解：如图，由钟面角的定义可知， ∠AOB＝∠BOC30°，∠COD＝30°15°， ∴∠AOD＝30°×2+15°＝75°， 即时钟指向上午8：30时，时针与分针的较小夹角为75°， 故答案为：75． 题型10 余角与补角 1．已知∠α＝35°，则∠α的余角的度数是（　　） A．35° B．55° C．145° D．155° 【答案】B 【解答】解：∵∠α＝35°， ∴∠α的余角＝90°﹣35°＝55°； 故选：B． 2．下列关于∠A的结论中，正确的有（　　） ①若∠A＝53°，则∠A的余角度数为47°； ②若∠A＝105°32′，则∠A的补角度数为74°28′； ③若∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，则∠A＝∠C﹣90°． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解答】①若∵∠A＝53°，则∠A的余角为90°﹣53°＝37°，错误，选项不符合题意； ②若∠A＝105°32′，则∠A的补角为180°﹣105°32′＝179°60′﹣105°32′＝74°28′，正确，选项符合题意； ③若∠A与∠B互余， ∴∠A+∠B＝90°； ∵∠B与∠C互补， ∴∠B+∠C＝180°； ∴∠B＝180°﹣∠C，代入得：∠A+（180°﹣∠C）＝90°， ∴∠A＝∠C﹣90°，正确，选项符合题意． 故选：B． 3．若∠α的补角是∠α的余角的三倍，则∠α是（　　） A．60° B．45° C．55° D．50° 【答案】B 【解答】解：若∠α的补角是∠α的余角的三倍， 则180°﹣∠α＝3（90°﹣∠α）， 解得∠α＝45°， 故选：B． 题型11 角的相关计算 1．如图，点A，O，B在同一条直线上，，OE平分∠BOD，若∠COD＝10°，则∠COE的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵，∠COD＝10°， ∴∠AOC＝3∠COD＝30°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝140°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE∠BOD＝70°， ∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝80°． 故选：A． 2．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝32°，∠BOD＝58°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON＝（　　） A．130° B．135° C．110° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵∠AOC＝32°，OM是∠AOC的平分线， ∴∠AOM∠AOC＝16°， ∵∠BOD＝58°，ON是∠BOD的平分线， ∴∠BON∠BOD＝29°， ∵∠AOB是平角， ∴∠AOM+∠MON+∠BON＝180°， ∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（16°+29°）＝135°． 故选：B． 3．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在线段BC上，且不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFH：∠EFH＝1：2，∠GFC＝x，则∠EFH的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵∠BFH：∠EFH＝1：2， ∴∠EFH∠EFB， ∠C沿着GF折叠，点C落在长方形内部点E处，∠GFC＝x， ∴∠GFC＝∠GFE＝x， ∴∠CFE＝∠GFC+∠GFE＝2x， ∴∠EFB＝180°﹣∠CFE＝180°﹣2x， ∴∠EFH∠EFB（180°﹣2x）＝120°x． 故选：B． 4．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°， ∴∠AOC∠AOB120°＝40°； （2）∵∠AOD∠AOB， ∴∠AOD＝60°， 当OD在∠AOB内时， ∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°， 当OD在∠AOB外时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°． 故∠COD的度数为20°或100°． 5．如图，∠COD＝20°，，OB平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数； （2）若射线OE在∠AOB的内部，∠DOE＝4∠AOE，试说明OB是∠DOE的平分线． 【答案】（1）∠AOD＝100°； （2）OB是∠DOE的平分线． 【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠COD∠COB， ∴∠COB＝3∠COD＝3×20°＝60°， ∵OB平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠COB＝2×60°＝120°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝120°﹣20°＝100°； （2）∵∠DOE＝4∠AOE，∠AOD＝∠DOE+∠AOE＝4∠AOE+∠AOE＝5∠AOE＝100°， ∴∠AOE∠AOD100°＝20°， ∴∠DOE＝4∠AOE＝4×20°＝80°， ∵∠COD＝20°，∠COB＝60°， ∴∠BOD＝∠COB﹣∠COD＝60°﹣20°＝40°80°， ∴∠BOD∠DOE， ∴OB是∠DOE的平分线． 6．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线． （1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数； （2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，求∠EOF的度数； （3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小． 【答案】（1）50°； （2）50°； （3）50° 或 130°． 【解答】解：（1）∵OE 是∠AOC 的平分线，∠AOC＝30°， ∴ ∴∠AOB＝100° ∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝70° ∵OF是∠COB 的平分线， ∴， ∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝15°+35°＝50°， （2）∠AOB＝100°， ∴∠AOC+∠COB＝100°， ∵ ， ∴， （3）∵OE 是∠AOC 的平分线，OF是∠COB 的平分线， ∴，， ①延长BO至点D，当OC在∠AOD 的内部， ∴∠AOB＝100° ∴∠COB﹣∠AOC＝100° ∴； ②延长BO至点D，延长AO至点M，当OC在∠DOM 内部， ∠AOB＝100° ∴∠COB+∠AOC＝360°﹣∠AOB＝260°， ∴； ③延长AO至点M，当OC在∠BOM 内部， ∵∠AOB＝100°， ∴∠AOC﹣∠COB＝100°， ∴， 综上，度数为 50° 或 130°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $