内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗2025-2026学年高三上学期12月考试数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 0 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.1+22-3= A.3+i B.3-i C.-1+i D.-1-i 如 2.已知集合A={x2+1,x},B={1,2,3},若A∩B={1},则x= A.0 B.1 C.2 D.0或1 3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)的图象如图所示，则f(x)的极大值点为 A.a 封 B.6 C.c D.d 蓉 4.sin15°cos45°-cos165°sin45°= A a号 c D. 2 5.已知递增的等比数列{am}满足a6十a8=10,a3a11=9,则{am}的公比q= A.6 B.3 C.2 线 6.如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道 两端的A,B两点到C点的距离分别为AC=5km,BC=8km,且cos∠ACB= ,则隧道 3 家 AB的长度为 A.3√3km B.2√6km C.4√3km D.√29km 【高三数学第1页（共4页）】 7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线交于A,B两点，记直线OA,OB(O 为坐标原点)的斜率分别为：，若十名，-6，则AB= A.148 B.150 C.152 D.154 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>0,且3f(x十y)=f(x)f(y),f(1)=9,则f(x)+ f(2一x)的最小值为 A.9 B.12 C.16 D.18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 已知双曲线C,文y1(@>0,b>0)的焦距为4，则下列条件能使C的方程为？一y2三 的是 AC的离心率为 B.C的渐近线方程为y=土√3x C.C的实轴长为√3 D.（3,√2)是C上的点 10.已知函数f(x)=2 cOs wx一1(w>0)的最小正周期为π，则 A直线x=罗是f(x)图象的一条对称轴 B点（于，0）是f(x)图象的一个对称中心 Cfx)的单调递诚区间为[x,2+r]h∈z D.f(x)在(0,3π)内恰有6个零点 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是线段A1B,AC上的动点 (不含端点)，且A1M=AN=a,则下列结论正确的是 A.AB⊥MN B三棱锥M-ABN体积的最大值为号 C.若a=√2，则三棱锥M-ABN外接球的表面积为8π D.存在a∈(0,2√2)，使得MN/平面B1CD1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知向量a,b满足a=(1,2),a·b=5,且a⊥(a十mb),则m= 13.已知(ax+)°的展开式中x的系数为-80，则a=▲一 14.若对任意的x∈[1,2]，不等式2ax2+(3a+2b)x-4如 ≤x恒成立，则2b一4a的取值范 围为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成[10,15)， [15,20),[20,25),[25,30),[30,35]五组，画出频率分布直方图，如图所示 (1)求m的值，并求在被调查的用户中，月用水量在[15,20)内的户数； (2)用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在[15,20)和[25,30)内的用户中选取6户， 再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在[15,20)内的用户数为X,求X 的分布列与期望， 忄频率/组距 0.08 m 0.03 0.02 0.01 0√01520253035月用水量/吨 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB,AD=2,AB=1,PB=√3，PD =√6. (1)证明：平面PAD⊥平面PCD. (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. D 【高三数学第3页（共4页）】 17.(15分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a6=9,S3=51. (1)求{an}的通项公式； ②求数列|是 的前n项和 弥 18.(17分) 已如稀圆C +常=1(a>b>0)的离心率为，C的左顶点为M,上、下顶点分别为 A(0,1),B(0,-1) (1)求C的方程. (2)记O为坐标原点，设P是C上异于顶点的一个动点，直线PM与y轴交于点D,直线 PB与x轴交于点E (1)记△ADM的面积为S1,△BDE的面积为S2,证明：S1=S2. 封 (ⅱ)若点P在△ODE外接圆的圆外，求点P的纵坐标的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=|lnx|一ax, 线 (1)若曲线y=f(x)在x=e处的切线与在x=一处的切线的倾斜角互补，求a的值 (2)设x1,x2,x3(x1<x2<x3)是f(x)的三个零点， (i)求a的取值范围； （i)证明：x2xx>e2. 【高三数学第4页（共4页）】高三数学考试参考答案 1.C1+22-i3=1-2+i=-1+i. 2.A因为A∩B={1},所以x2+1=1或x=1,则x=0或x=1.若x=0,则A={1,0},符合 题意.若x=1,则A={1,2,不符合题意. 3.C由图可知，f(x)在（一∞，a)和(c,d)上单调递减，在(a,c)和(d,十∞）上单调递增，所以 f(x)的极大值点为c. 4.Dsin15“cos45°-cos165sin46°=sin15cos45°+cos15°sin45°=sin60°- 2 5B由aa8=a3a1=9,a6十as=10,解得6=1 a6=9, 或 因为{an}是递增数列，所以 as=9 las=1. a6=1则g2=9g=3(负根舍去). la8=9, 6.D由余弦定理可知，AB=AC+BC=2AC·BCcos∠ACB=25+64-2X5X8X8 29,则隧道AB的长度为/29km. 7.A设A(),B(）则1=1，=4，左+十=6，则十3=24，直 y2'E1十E2=4 线AB的斜率k=一y: yi y 十由题可知F1,0,所以直线AB的方程为y-名(x 4 1 44 -1),代入y2=4x,得x2-146x+1=0,得|AB|=146+2=148. 8.D令x=y=1,则3f(2)=f(1)f(1),所以f(2)=27. 令y=2-x,则3f(2)=f(x)f(2-x)=81, 故f(x)十f(2-x)≥2/f(x)f(2-x)=18,当且仅当f(x)=f(2-x)时，等号成立. 9AD由题可知=2.若C的离心率为25，期2-2，得a=万，公=-。=1.C的方程 3 为号y=1,A符合题意若C的渐近线方程为y=士x,则片-厅，得a=16=原，C的 方程为x2一 言1B不符合题意若C的安轴长为6，则2a=厅8-号-6-0-品。 C的方程为号-答-1.C不作合题意若8区)是C上的点则导一忌-1，又a+女= 4,所以a2-3,6-1,则C的方程为写一y=1,D符合题意. 10.ACD因为f(x)的最小正周期为π，所以2红-π，得w=2,则f(x)=2cos2x-1,f(x)图 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 象的对称轴方程为2x=kπ，k∈乙，令k=1,可知直线x=受是f(x)图象的一条对称轴，A 正确.令2=登十kx,6∈Z.得x-②十还，k∈Z.令长=0，可得图象的-个对称中 4 心为点(T,-1),B不正确.令2kπ≤2x≤元十2kπ，k∈乙，得kπ≤x≤受+x,k∈Z,故 fx)的单调递减区间为[k,受+k元](k∈Z,C正确：由了x)=0,可得cos2z=号，则2x =营+2张元或2x=警+2x,k∈Z.得x-=晋+π或x-否+，k∈乙由0<x<3,可得 一音晋学告，竖，怡有6个零点D正确 11.ABD以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,之轴， 建立如图所示的室间直角坐标系，则M(号。62-号.)N(竖。 B 号o)4o008e.6,0m-(o号号。2-2.0 O),M示·AB=0,则AB⊥MN,A正确.三棱锥M-ABN的体积V=x合 号×号×2×(2-号a)=a-)+<专B正确当a= √2时，M,N分别是线段A,B,AC的中点，取AB的中点O,连接OM,ON(图略)，易得OA =OB=OM=ON=1,则三棱锥M-ABN外接球的半径为1，表面积为4π，C不正确.连接 AC1(图略).由图可知平面B,CD1的一个法向量为AC1=(2,2,2).由MN∥平面B1CD1, 可得M示·AC=2√2a一4=0，解得a=√2，此时M,N分别是线段AB,AC的中点，则 MN在平面B,CD1,从而MN∥平面B,CD1,D正确. 12.-1因为a⊥(a+mb),所以a·(a+mb)=a2+ma·b=5+5m=0,解得m=-1. 13.-2(ax+)）”的展开式的通项是C(ax)-r()）厂=a-Cx.令5-2r=1,得r=2, 则展开式中x的系数为a3C=10a3=一80，解得a=-2. 14.[-3,3】因为对任意的x∈[1,2]，不等式2ax2+(3a+2b)x-4a≤x恒成立，所以 a(2x+3-)+2b<1恒成立.令函数f(x)=2x+3-,易得fx)在[1.2]上单调递 -1≤a+2b≤1， 增，则f(x)∈[1,6]，则 又2b-4a=2(a+2b)-(6a+2b),所以-3≤2b -1≤6a+2b≤1. -4a≤3. 15.解：(1)由5×(0.02+m+0.08+0.03+0.01)=1,… 2分 解得=0.06. 3分 月用水量在[15,20)内的户数的频率为5m=0.3,…4分 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 则被调查的用户中，月用水量在[15,20)内的户数为100×0.3=30.…5分 (2)月用水量在[25,30)内的户数的频率为5×0.03=0.15，用比例分配的分层随机抽样方 法从月用水量在[15,20)和[25,30)内的用户中选取6户，可知月用水量在[15,20)内的居民 有4户，月用水量在[25,30)内的居民有2户.…6分 从中任选3户，可知X的取值可能为1,2,3， …7分 …10分 C X的分布列为 X 1 2 3 P 3 …11分 Ex)-1x号+2×g+3x日 =2 …13分 16.(1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD.… …1分 又PA⊥AB,ABCD,所以PA⊥CD.…2分 又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.…4分 又CDC平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.…5分 (2)解：由PA⊥AB,AB=1,PB=√3，可得PA=√2.…6分 因为AD=2,PD=√6，所以PA2十AD=PD2,则PA⊥AD.… B …7分 由AB∩AD=A,可得PA⊥平面ABCD,则AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点， AB,AD,AP所在直线分别为x,y,x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,√2)，…8分 PC=(1,2,-2),Pd=(0,2,-2).…9分 m·PC=0, x+2y-√2g=0, 设平面PCD的法向量为m=(xy,x),则由 可得 m·PD=0, 2y-√2x=0, ……10分 令之=2，可得m=(0,1,√2).…11分 易知平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,0). 12分 又cosm,AD)=m·Ad 23 1 mAD12√3 3 …14分 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为号 …15分 a6=9, a1+5d=9, 17.解：(1)设{an}的公差为d,由 可得 …2分 1S3=51, 3a1+3d=51, 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 a1=19, 解得 d=-2, …4分 则an=a1十(n-1)d=21-2m.… 6分 (2)由1)可知S.=a+a,)m 2 =-n2+20m, …8分 则|=1-a+20. …9分 记|}的前m项和为T,当<20时，号≥0则工，=19十18+…十20-a (19+20-n)n_39n-n2 2 …11分 当m>21时，S<0,则T.=19+18+…十1+0叶1-1++120-nl…12分 39m,21+2Tw-n-39n+760 2 2 …14分 39m-n2 2n≤20， 综上，Tw 15分 n2-39n+760 2 n>21. c_3 a 2 18.(1)解：由题可知 .. a2=b2+c2, 2分 b=1, a=2, 解得b=1, …3分 c=5, 则C的方程为听十y2=1.…4分 (2)(ⅰ)证明：由(1)可得M(一2,0).设直线PM的方程为x=ty一2(t≠士2)， 则D(0,2）园 …5分 [x=ly-2, 由x2 +y2-1 可得(t2+4)y2-4y=0, 则P 6分 4t十1 t2+4 t+2 则kPB= 212-8 2t-4 t2+4 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 则直线PB的方程为y=。 号-1则(o0 …7分 又s=1AD1·1oM1=1-2引=|2|： 8分 s-2B1oE1-1+1=·引-，到 ,…9分 所以S1=S2.… …10分 (i)解：记△ODE外接圆的圆心为Q. 因为0D10E,所以Q为线段DE的中点则Q(号，}》。 …11分 因为点P在△ODE外接圆的圆外，所以川PQ|>OQ,…12分 +(年》≥+( …13分 则142-4-4+40-2》2+822-32_81-223+2>0,14分 (t2+4)2 (t2+4)2 解得t>2. …15分 At 因为十4 4 ,由t>2,可得t十 >4， …16分 4 t+ 所以0<4厅 <1,故点P的纵坐标的取值范围为(0,1).…17分 -a,0x<1, |-lnx-ax,0<x<1, 19.解：(1)f(x)= 所以f'(x) …1分 lnx-a.x,x≥l, -a,x≥1， 则f()=-e-af(e)=日 -. …2分 因为曲线y=f(x)在x=c处的切线与在x=二处的切线的倾斜角互补，所以（一c一a)十 (-）=0，… …3分 解得a。号 …4分 (2)(i)令f(x)=lnx-ax=0,则a=1nxl …5分 In x 1nx-1 ,0x<1, ,0<x<1, 令g(x)= lnx,则g(x) x 所以g'(x) …6分 In x 1-In x ,x≥1， t? ,x≥1， 则g(x)的单调递增区间为(1，e),单调递减区间为(0,1)，(e,十o∞).…7分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 又g)=0,g®)=。，)有三个零点，所以u的取值能围为0，》。】 …9分 (i)证明：由(1)可知0<x1<1<x2<e<x3. 下面证明，>e,> ①要证明x2x>e3,只需证明lnx2+2lnx3>3. 又lnx2=ax2,lnxa=ax3,即证ax2十2a.x3>3,所以上式等价于证明a> 3 x2+2.x3 …10分 由1nx=ax2lnx=axa,得ln=a(xg一x2),则a= 3一x2 h 所以只需证明x2> 3 ax2+2g 即证ln3(-x2) 3(-1） 142 11分 x2x2+2x3 令t=,则>1，上式等价于证明1n>3) 1+2t 3,则'0=130+2)6-D_《1D4= 令h(t)=lnt-1+2t (1+2t)2 t(1+2t)2 因为t>1,所以h'(t)>0恒成立，所以h(t)在(1，+o∞)上单调递增， 所以当>1时，h()>h(1)=0,即n>3-D 1+2t 所以原不等式成立，即x2x>e3. …13分 ②要证明。只需证明x一 由(1)知g 誓则打”（了-分a …15分 工)在(0,1)上单调递减，所以1>之乙成立，… 综上，x2xx>e2. 17分 ▣ ▣ 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】