精品解析：江西省鹰潭市余江区正源学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

江西省鹰潭市余江区正源学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 说明： 1．范围：上册第一章～第五章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. 16 C. 2 D. 4. 已知关于x，y的方程组，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是关于x，y的二元一次方程，则_______． 8. 把方程改写成用含的式子表示的形式是________． 9. 将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组______． 10. 已知代数式，当时，其值为；当时，其值为1；当时，其值为10；则当时，其值为_______． 11. 如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作一条直线与轴的正半轴交于点，过点作另一条直线与轴交于点，且，，绕点在坐标平面内转动，连接，当为等腰三角形时，则点的坐标是_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程组： （1） （2） 14. 已知是64的平方根，且，求的值． 15. 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，其中点的坐标为． （1）点的坐标是______，点的坐标是_______； （2）请画出关于轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标． 17. 聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． （1）请根据题意，列出二元一次方程组； （2）宿舍有多少间？学生有多少人？ 19. 已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 20. 对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某同学从家出发骑车去学校参加活动，当她骑行一段时间，突然想买一些食品当午饭，于是又折返回刚经过的一家商店，买好东西后又继续骑车去学校．如图是该同学离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该同学买好东西后骑车去学校的速度是____________米／分钟； （2）由于途中返回买东西，她比直接去学校多骑行了____________米； （3）当该同学距离学校500米时，所用时间为多少分钟？ 22. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． （1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形； ②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值； 【推广应用】 （2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省鹰潭市余江区正源学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 说明： 1．范围：上册第一章～第五章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A．中，不是整式方程，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意； C．含有三个未知数，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； D．未知数的次数是2，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含平方因子，由此求解即可． 【详解】解：最简二次根式定义要求被开方数不含分母且不含平方因子； 选项A：，11为质数，无平方因子； 选项B：，，无平方因子； 选项C：，被开方数含分母； 选项D：，2为质数，无平方因子； 不是最简二次根式的是C． 故选：C． 3. 若在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. 16 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于y轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标性质“横坐标互为相反数，纵坐标相等”，求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴且． 解得， 故选：D． 4. 已知关于x，y的方程组，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查解二元一次方程组，熟练掌握是解题关键． 根据代入消元法求解二元一次方程组，然后代入代数式求解即可． 【详解】解： 由②得：， 代入①： ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ， 故选：C． 5. 在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据总卡纸数12张和每个包装盒所需侧面与底面的比例关系列出方程组求解即可． 【详解】设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面， 根据题意，得 解得 ， ∴ 可做包装盒个数为， 故最多可做4个包装盒． 故选：B． 6. 如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，然后根据一次函数解析式求出点、的坐标，再求出点、的坐标，再由对称的性质找出点M的坐标，结合勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图． 令中，则 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点为线段的中点， 点． ∵点在线段上， ∴， 解得：，即点， ∴， ∴， ∴周长的最小值为： 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是关于x，y的二元一次方程，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，， 解得，且， 故， 故答案为：2． 8. 把方程改写成用含的式子表示的形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将看作已知数，利用移项、系数化为1的步骤解答即可得． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得，即， 故答案为：． 9. 将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解此题的关键是能准确地从图中找出角之间的数量关系，从而列出方程组． 【详解】解：由的度数比的度数大可得：， 再从图中可看出， 即， 由此可列二元一次方程组为：． 故答案为：． 10. 已知代数式，当时，其值为；当时，其值为1；当时，其值为10；则当时，其值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值和三元一次方程组的解法，根据已知条件建立关于、、的方程组是解题的关键．利用已知条件列出关于a，b的方程组，解出a，b的值，再代入计算代数式的值． 【详解】解：当时，代数式的值为，即， 当时，代数式的值为1，即，代入，得， 当时，代数式的值为10，即，代入，得，即， 解方程组，得， 因此代数式为， 当时，代数式的值为， 故答案为． 11. 如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，列出二元一次方程，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：， ． 故答案为：0． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作一条直线与轴的正半轴交于点，过点作另一条直线与轴交于点，且，，绕点在坐标平面内转动，连接，当为等腰三角形时，则点的坐标是_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角函数的定义、以及旋转的性质，注意方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想的应用．由点P的坐标为可知，然后分别从，，分别去分析即可求得答案． 【详解】解：点P的坐标为， ， ①如图，若，则， ， 即轴， 轴， 点的坐标为：； ②如图，若，则， ， ， 点B与点O重合， 点的坐标为：； ③如图，若，则， 过点P作轴于点C，过点B作于点D，则， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 即， 解得：， 点的坐标为：； 综上所述，B点的坐标为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解答即可． （2）利用代入消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，灵活选择解法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解是． 【小问2详解】 解： 把②代入①，得． 解这个方程，得． 把代入②，得， ∴原方程组的解是． 14. 已知是64的平方根，且，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、平方根，熟练掌握绝对值的性质、平方根的定义是解决本题的关键． 根据绝对值的性质、平方根的定义，可得到x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得或． 是64的平方根， ， 解得或． ∵ 15. 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解：， 先将看作一个整体， 则整理①，得③， 将③整体代入②，得， 解得． 把代入③得， 解得， ∴原方程组的解为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，其中点的坐标为． （1）点的坐标是______，点的坐标是_______； （2）请画出关于轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标． 【答案】（1）， （2）图见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称变换，熟练掌握点的坐标与轴对称变换是解题关键． （1）根据点在平面直角坐标系中的位置，写出它们的坐标即可得； （2）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律即可得的坐标． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系可知，点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． ∵关于轴对称的图形是，且，，， ∴，，． 17. 聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． （1）请根据题意，列出二元一次方程组； （2）宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】（1） （2）宿舍有11间，学生有45人 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【小问1详解】 解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； 【小问2详解】 解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 19. 已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查同解方程组，熟练掌握是解题关键． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； 【小问2详解】 把代入得， 解得， ． 20. 对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得； 【小问2详解】 依题意得， ， ，即， 解得． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某同学从家出发骑车去学校参加活动，当她骑行一段时间，突然想买一些食品当午饭，于是又折返回刚经过的一家商店，买好东西后又继续骑车去学校．如图是该同学离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该同学买好东西后骑车去学校的速度是____________米／分钟； （2）由于途中返回买东西，她比直接去学校多骑行了____________米； （3）当该同学距离学校500米时，所用时间为多少分钟？ 【答案】（1）600 （2）1600 （3）所用时间为分钟或分钟或分钟 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，函数的解析式，解题的关键是熟练掌握函数的图象． （1）根据题意以及图象可知即可求解； （2）根据图象中的数据即可求解； （3）分当去学校时、当折返回时和买好东西后又继续去时三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：该同学买好东西后骑车去学校的速度是（米／分钟） 故答案为：600； 【小问2详解】 解：由于该同学途中返回买东西，她比直接去学校多走了（米）． 故答案为：1600； 【小问3详解】 解：根据图象可得，距离学校500米，该同学的位置有以下几种情况： 当去学校时，骑行速度为400米／分钟，（分钟）； 当折返回时，骑行速度为200米／分钟，（分钟），时间为（分钟）； 当该同学买好东西后又继续骑车去学校时，骑行速度为600米／分钟， （分钟）， （分钟）． 故所用时间为分钟或分钟或分钟． 22. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． （1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 六、解答题（本大题共12分） 23. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形； ②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值； 【推广应用】 （2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1）①是；②32；（2） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②根据勾股定理得到，再由可得最后由，计算即可得到答案； （2）过点作于，证明为等腰三角形，，即可解决问题． 【详解】解：（1）①等腰直角三角形是勾股高三角形． 设等腰直角三角形的直角边长为， 则斜边长为， ， 等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， 等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； ②∵为勾股高三角形，点为勾股顶点，， （2）如图，过点作，垂足为点． ∵等腰三角形为勾股高三角形， 且， ∴只能是，由（1）②知． 又 ，， 而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 根据三线合一原理可知． 又， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $