专题1 等差数列与等比数列 【练】二轮模块整合【通用版】

专题1 等差数列与等比数列【练】 （2026·福建三明·月考） 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，再由即可求. 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B （2026·河南·月考） 2. 已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的性质、等差数列的单调性进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列，所以， 因为成等比数列，， 所以，或（舍去）， 则， 故选：B. （2026·湖南衡阳·月考） 3. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. （2026·广东广州·月考） 4. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意判断，利用等比数列前n项和结合求出，即可求得答案；解法二：利用等比数列前n项和的性质：，，成等比数列，求出，即可求得答案. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，不符题意； 所以，解得， 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故， 故选：C． （2025·江苏·三模） 5. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 670 B. 675 C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. （2026·四川绵阳·月考） 6. 已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． （2026·重庆·月考） 7. 已知数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前20项和为（ ） A. 209 B. 210 C. 211 D. 212 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式可得数列的递推公式，利用等比数列的概念，可得通项，结合题意，结合等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】当时，；当时，，所以，故. 又因为，所以，所以，从而，得， 当时，；当时，，所以数列的前20项和为. 故选：C. （2026·福建·月考） 8. 已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出公比，即可求出通项公式，得到的特征，从而求出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以， 又，，所以， ， 当时，当时，所以当时， 所以当时正整数的最大值为. 故选：A （2025·四川成都·二模） 9. 在等比数列中，，，则_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： （2026·湖北黄冈·月考） 10. 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设5块矩形田地的宽构成等比数列，公比为，矩形的长为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设5块矩形田地的宽构成等比数列，其中首项为，公比为，前和为， 不妨设公比，矩形的长为， 因为田地的总面积为620m2，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍， 可得，即，解得， 所以最小的矩形田地的面积为. 故答案为：. （2026·江西鹰潭·月考） 11. 已知数列满足，，则数列的前40项和______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据递推公式可得，令，结合等比数列的定义和通项公式可得，进而，利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】由数列满足，， 得， 又，所以， 令，可得， 所以，由，可得，所以， 所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 则， 因为，适合上式，所以， 所以数列的前40项的和为 . 故答案为： （2026·甘肃武威·月考） 12. 在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求数列的前30项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据成等比数列，列出关于公差的方程，求出后得出数列的通项公式. （2）先求出数列的前项和，进而得到的表达式，根据表达式判断其正负性，并求出其前项和，然后计算数列的前30项和. 【小问1详解】 设数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 即，整理得. 因为，且，所以，则. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 则. 设数列的前项和为， 当时，，则. 当时，，则 . 综上， . 故. （2026·湖南·月考） 13. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. （2026·四川绵阳·月考） 14. 已知函数，若是函数的导函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，然后根据导函数的零点性质，结合等差数列和等比数列的条件，建立关于和的方程，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以为两个不等的负数， 不妨设，则必有或成等差数列， 或成等比数列， 所以，，解得， 所以，所以. 故答案为： （2026·安徽合肥·月考） 15. 已知数列中，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的前项和； （3）令，求数列的最大项. 【答案】（1） 因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证； （2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解； （3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 化简得； 【小问3详解】 由（2）得， 所以， 令， 易得，又单调递减，当时，即， 又当时，， 所以数列的最大项为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 等差数列与等比数列【练】 （2026·福建三明·月考） 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 （2026·河南·月考） 2. 已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 （2026·湖南衡阳·月考） 3. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. （2026·广东广州·月考） 4. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 （2025·江苏·三模） 5. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 670 B. 675 C. 2025 D. 4050 （2026·四川绵阳·月考） 6. 已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ） A. B. C. D. （2026·重庆·月考） 7. 已知数列的前项和为，满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前20项和为（ ） A. 209 B. 210 C. 211 D. 212 （2026·福建·月考） 8. 已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 （2025·四川成都·二模） 9. 在等比数列中，，，则_____． （2026·湖北黄冈·月考） 10. 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为______. （2026·江西鹰潭·月考） 11. 已知数列满足，，则数列的前40项和______. （2026·甘肃武威·月考） 12. 在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求数列的前30项和. （2026·湖南·月考） 13. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2026·四川绵阳·月考） 14. 已知函数，若是函数的导函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． （2026·安徽合肥·月考） 15. 已知数列中，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的前项和； （3）令，求数列的最大项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $