4.已知f(x)定义域求f(g(x))定义域（单层复合）【基础】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 4.已知f(x)定义域求f(g(x))定义域（单层复合）【基础】 （全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】单层复合函数 ￮ 定义表述：若函数，，则函数称为单层复合函数，其中是内层函数，是外层函数。 ￮ 数学符号/表达式：，其中，（为的定义域） ￮ 关键特征：复合函数的定义域由内层函数的值域与外层函数的定义域的交集决定，本质是让内层函数的取值落在外层函数的定义域内。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、分式函数、根式函数、对数函数等各类基本函数的复合。 2. 【概念2】复合函数的定义域 ￮ 定义表述：已知外层函数的定义域为，则复合函数的定义域是指使得成立的自变量的取值集合。 ￮ 数学符号/表达式：若定义域为，则定义域为 ￮ 关键特征：复合函数定义域的求解核心是“换元等价代换”，将看作整体代入的定义域条件。 ￮ 跨章节关联：关联集合的运算、函数的定义域与值域的求解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 定义域的等价代换原则 已知定义域为，求定义域，需解不等式 混淆“的定义域”与“的定义域”；误将的范围直接当作的范围 已知定义域为，求定义域，应解，而非直接认为 复合函数定义域的取值对象 的定义域是自变量的取值集合，而非内层函数的取值集合 把内层函数的取值范围当作复合函数的定义域 已知定义域为，中解得即，定义域是，不是 一次内层函数的复合求解 一次函数，解不等式时，注意的正负对不等号方向的影响 解含系数的一次不等式时，忽略系数正负导致不等号方向错误 已知定义域为，求定义域，解，需变号得 三、题型分类与例题精析 题型1：内层函数为一次函数型（） 题型特征：内层函数是一次整式函数，外层函数的定义域为区间形式，求解时只需将代入的定义域不等式，解关于的一次不等式即可。 解题步骤： 1. 明确外层函数的定义域； 2. 列出不等式； 3. 解关于的不等式，得到的解集即为的定义域。 例题1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：根据复合函数定义域的求解原则，外层函数的定义域为，则内层函数的取值需满足。 解不等式组： 第一步：，移项得，解得； 第二步：，移项得，解得； 取两个不等式的交集，得。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三1-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：由题意得，内层函数需满足。 解不等式：，即。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三1-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：根据复合函数定义域求解原则，需满足。 解不等式时注意系数为负，不等号方向改变： 第一步：，两边同除以，得； 第二步：，两边同除以，得； 取交集得。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三1-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：由题意得。 解不等式： ，即； 两边同除以，得。 故函数的定义域为。 答案： 题型2：内层函数为分式函数型（） 题型特征：内层函数是分式函数，外层函数定义域为区间形式，求解时需将分式代入定义域不等式，同时注意分式分母不为零的隐含条件。 解题步骤： 1. 明确外层函数的定义域； 2. 列出不等式组； 3. 解关于的不等式组，得到的解集即为的定义域。 例题2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：根据复合函数定义域求解原则，需满足。 分两步解不等式： ① 由得； ② 由，因为，两边同乘得，解得； 结合，取交集得。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三2-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组。 第一步：解，移项得，通分，即，解得； 第二步：解，移项得，通分，即，等价于，解得或； 结合，取交集得。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三2-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组。 解不等式： ① 由，移项得，通分，解得或； ② 由，移项得，通分，等价于，解得或； 结合，取交集得或。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三2-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组。 解不等式： ① 由得，解得； ② 由，因为，两边同乘得，展开得，移项得，解得； 结合，取交集得。 故函数的定义域为。 答案： 题型3：内层函数为根式函数型（或） 题型特征：内层函数是偶次根式函数，外层函数定义域为区间形式，求解时需将根式代入定义域不等式，同时注意根式被开方数非负的隐含条件。 解题步骤： 1. 明确外层函数的定义域； 2. 列出不等式组； 3. 解关于的不等式组，得到的解集即为的定义域。 例题3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组。 第一步：解，两边平方得，解得； 第二步：解，两边平方得，解得； 第三步：解，解得； 取三个不等式的交集得。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三3-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组。 解不等式： ① 由得，解得； ② 由，两边平方得，解得； 结合，取交集得。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三3-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组。 解不等式： ① 两边平方得； ② 移项得； ③ 解得或； 不等式的解为或，与上述解集取交集后结果不变。 故函数的定义域为。 答案： 举一反三3-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组。 解不等式： ① 两边平方得； ② 解得； ③ 解得，即； 取交集得。 故函数的定义域为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 解析：由题意得，移项解得，对应选项A。 答案：A 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列函数中定义域为的有（ ） A. B. C. D. 解析：选项A：，解得，符合；选项B：，解得，符合；选项C：，解得，不符合；选项D：，解得，不符合。 答案：AB 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 解析：由题意得，解不等式得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足，移项得，两边同除以3得。 答案： (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足，移项得，两边同乘2得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 解析：需满足不等式组，解得即，结合得，对应选项A。 答案：A 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列函数定义域正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的定义域为 C. 的定义域为 D. 的定义域为 解析：选项A：，解得，正确；选项B：，解得或，正确；选项C：，解得或，正确；选项D：，解得或，正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 解析：需满足不等式组，解不等式得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足，移项得，解得。 答案： (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足不等式组，解不等式得。 答案： （三）拔高拓展卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，且，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 解析：函数的定义域需满足，即，因为即，所以交集为，对应选项C。 答案：C 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列说法正确的有（ ） A. 内层函数的值域为 B. 外层函数的定义域为 C. 函数的定义域为 D. 函数的定义域为 解析：选项A：时，，正确；选项B：定义域与内层函数值域一致，为，正确；选项C：，解得，正确；选项D：，解得，正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 解析：需满足不等式组，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：需满足，因为恒成立，所以只需解，即，解得。 答案： (2) 已知函数的定义域为，且是奇函数，求函数的定义域。 解析：奇函数定义域关于原点对称，故定义域为。函数的定义域需满足，解得，取交集得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 4.已知f(x)定义域求f(g(x))定义域（单层复合）【基础】 （全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】单层复合函数 ￮ 定义表述：若函数，，则函数称为单层复合函数，其中是内层函数，是外层函数。 ￮ 数学符号/表达式：，其中，（为的定义域） ￮ 关键特征：复合函数的定义域由内层函数的值域与外层函数的定义域的交集决定，本质是让内层函数的取值落在外层函数的定义域内。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、分式函数、根式函数、对数函数等各类基本函数的复合。 2. 【概念2】复合函数的定义域 ￮ 定义表述：已知外层函数的定义域为，则复合函数的定义域是指使得成立的自变量的取值集合。 ￮ 数学符号/表达式：若定义域为，则定义域为 ￮ 关键特征：复合函数定义域的求解核心是“换元等价代换”，将看作整体代入的定义域条件。 ￮ 跨章节关联：关联集合的运算、函数的定义域与值域的求解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 定义域的等价代换原则 已知定义域为，求定义域，需解不等式 混淆“的定义域”与“的定义域”；误将的范围直接当作的范围 已知定义域为，求定义域，应解，而非直接认为 复合函数定义域的取值对象 的定义域是自变量的取值集合，而非内层函数的取值集合 把内层函数的取值范围当作复合函数的定义域 已知定义域为，中解得即，定义域是，不是 一次内层函数的复合求解 一次函数，解不等式时，注意的正负对不等号方向的影响 解含系数的一次不等式时，忽略系数正负导致不等号方向错误 已知定义域为，求定义域，解，需变号得 三、题型分类与例题精析 题型1：内层函数为一次函数型（） 题型特征：内层函数是一次整式函数，外层函数的定义域为区间形式，求解时只需将代入的定义域不等式，解关于的一次不等式即可。 解题步骤： 1. 明确外层函数的定义域； 2. 列出不等式； 3. 解关于的不等式，得到的解集即为的定义域。 例题1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三1-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三1-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三1-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 题型2：内层函数为分式函数型（） 题型特征：内层函数是分式函数，外层函数定义域为区间形式，求解时需将分式代入定义域不等式，同时注意分式分母不为零的隐含条件。 解题步骤： 1. 明确外层函数的定义域； 2. 列出不等式组； 3. 解关于的不等式组，得到的解集即为的定义域。 例题2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三2-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三2-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三2-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 题型3：内层函数为根式函数型（或） 题型特征：内层函数是偶次根式函数，外层函数定义域为区间形式，求解时需将根式代入定义域不等式，同时注意根式被开方数非负的隐含条件。 解题步骤： 1. 明确外层函数的定义域； 2. 列出不等式组； 3. 解关于的不等式组，得到的解集即为的定义域。 例题3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三3-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三3-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三3-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列函数中定义域为的有（ ） A. B. C. D. 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列函数定义域正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的定义域为 C. 的定义域为 D. 的定义域为 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 （三）拔高拓展卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，且，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列说法正确的有（ ） A. 内层函数的值域为 B. 外层函数的定义域为 C. 函数的定义域为 D. 函数的定义域为 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 (2) 已知函数的定义域为，且是奇函数，求函数的定义域。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $