5.已知f(g(x)）定义域求f(x)定义域（反向推导）【中档】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 5.已知f(g(x)定义域求(f(x)定义域（反向推导）【中档】 （全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】复合函数定义域的反向推导 ￮ 定义表述：已知单层复合函数的定义域，求外层函数的定义域，本质是求内层函数在定义域内的值域。 ￮ 数学符号/表达式：若定义域为，则定义域为 ￮ 关键特征：将的定义域等价转化为内层函数的取值范围，核心是求值域而非解不等式。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、分式函数、根式函数等基本初等函数的复合问题，关联函数定义域与值域的求解方法。 2. 【概念2】内层函数的值域与外层函数定义域的关系 ￮ 定义表述：在单层复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的有效值域（即在定义域内时的取值集合）。 ￮ 数学符号/表达式：设定义域为，记，则定义域为 ￮ 关键特征：反向推导的逻辑是“定义域→x的范围→g(x)的范围→f(x)的定义域”，与正向推导逻辑相反。 ￮ 跨章节关联：关联集合的映射关系、函数值域的求解技巧，是复合函数定义域问题的逆向应用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 反向推导的核心本质 已知定义域求定义域，等价于求内层函数的值域 混淆“中的范围”与“中的范围”，直接将的定义域当作的定义域 已知定义域为，误将当作定义域；正确做法是求在时的值域 含参内层函数的处理原则 若是含参函数，需结合参数范围分析的单调性，再求值域 忽略参数对单调性的影响，直接代入端点求值域 已知定义域为，当时，单调递减，值域为；当时单调递增，值域为 分段内层函数的处理原则 若是分段函数，需分区间求的值域，再取各区间值域的并集 未分段求解，直接整体判断的取值范围 ，定义域为，需分和求值域，再取并集 三、题型分类与例题精析 题型1：内层函数为一次函数型（） 题型特征：内层函数是一次整式函数，单调性固定（递增，递减），只需代入定义域的端点值，即可求的值域，进而得到的定义域。 解题步骤： 1. 明确的定义域，即的取值范围； 2. 根据的正负判断的单调性； 3. 代入的端点值求的最值，确定值域，即为的定义域。 例题1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三1-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三1-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三1-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 题型2：内层函数为二次函数型（） 题型特征：内层函数是二次函数，需结合二次函数的开口方向、对称轴，分析其在定义域内的单调性，进而求值域（即的定义域）。 解题步骤： 1. 明确的定义域，确定的取值范围； 2. 分析二次函数的开口方向与对称轴，判断其在内的单调性区间； 3. 求在各单调区间的最值，确定值域，即为的定义域。 例题2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三2-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三2-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三2-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 题型3：内层函数为分式/根式函数型 题型特征：内层函数是分式或根式函数，需结合函数的定义域限制（分母不为零、被开方数非负），分析其在定义域内的取值范围，进而求的定义域。 解题步骤： 1. 明确的定义域，确定的取值范围； 2. 分析分式/根式函数的单调性与取值限制； 3. 求在内的值域，即为的定义域。 例题3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三3-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三3-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 举一反三3-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列说法正确的有（ ） A. 内层函数的值域为 B. 函数的定义域为 C. 内层函数在单调递减 D. 若定义域为，则定义域为 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. 内层函数的值域为 B. 函数的定义域为 C. 若定义域为，则定义域为 D. 内层函数在上单调递减 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 5.已知f(g(x)定义域求(f(x)定义域（反向推导）【中档】 （全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】复合函数定义域的反向推导 ￮ 定义表述：已知单层复合函数的定义域，求外层函数的定义域，本质是求内层函数在定义域内的值域。 ￮ 数学符号/表达式：若定义域为，则定义域为 ￮ 关键特征：将的定义域等价转化为内层函数的取值范围，核心是求值域而非解不等式。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、分式函数、根式函数等基本初等函数的复合问题，关联函数定义域与值域的求解方法。 2. 【概念2】内层函数的值域与外层函数定义域的关系 ￮ 定义表述：在单层复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的有效值域（即在定义域内时的取值集合）。 ￮ 数学符号/表达式：设定义域为，记，则定义域为 ￮ 关键特征：反向推导的逻辑是“定义域→x的范围→g(x)的范围→f(x)的定义域”，与正向推导逻辑相反。 ￮ 跨章节关联：关联集合的映射关系、函数值域的求解技巧，是复合函数定义域问题的逆向应用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 反向推导的核心本质 已知定义域求定义域，等价于求内层函数的值域 混淆“中的范围”与“中的范围”，直接将的定义域当作的定义域 已知定义域为，误将当作定义域；正确做法是求在时的值域 含参内层函数的处理原则 若是含参函数，需结合参数范围分析的单调性，再求值域 忽略参数对单调性的影响，直接代入端点求值域 已知定义域为，当时，单调递减，值域为；当时单调递增，值域为 分段内层函数的处理原则 若是分段函数，需分区间求的值域，再取各区间值域的并集 未分段求解，直接整体判断的取值范围 ，定义域为，需分和求值域，再取并集 三、题型分类与例题精析 题型1：内层函数为一次函数型（） 题型特征：内层函数是一次整式函数，单调性固定（递增，递减），只需代入定义域的端点值，即可求的值域，进而得到的定义域。 解题步骤： 1. 明确的定义域，即的取值范围； 2. 根据的正负判断的单调性； 3. 代入的端点值求的最值，确定值域，即为的定义域。 例题1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 第一步：明确的定义域为，即的取值范围是； 第二步：分析内层函数的单调性，，函数单调递增； 第三步：求的值域，当时，；当时，，因此。 根据反向推导原则，的定义域为的值域。 答案： 举一反三1-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得。 内层函数单调递增，当时，；当时，，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 举一反三1-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得。 内层函数单调递减，当时，；当时，，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 举一反三1-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得。 内层函数单调递增，当时，；当时，，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 题型2：内层函数为二次函数型（） 题型特征：内层函数是二次函数，需结合二次函数的开口方向、对称轴，分析其在定义域内的单调性，进而求值域（即的定义域）。 解题步骤： 1. 明确的定义域，确定的取值范围； 2. 分析二次函数的开口方向与对称轴，判断其在内的单调性区间； 3. 求在各单调区间的最值，确定值域，即为的定义域。 例题2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 第一步：由定义域为，得； 第二步：内层函数，开口向上，对称轴为； 第三步：分析单调性与最值，在上单调递减，在上单调递增； 当时，取得最小值； 当时，；当时，，故的最大值为； 因此。 根据反向推导原则，的定义域为的值域。 答案： 举一反三2-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得。 内层函数，开口向上，对称轴为； 在单调递减，在单调递增； 当时，最小值为；当时，最大值为，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 举一反三2-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得。 内层函数，开口向下，对称轴为； 在单调递增，在单调递减； 当时，最大值为；当时，最小值为，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 举一反三2-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得。 内层函数，开口向上，对称轴为； 在单调递减，在单调递增； 当时，最小值为；当时，最大值为，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 题型3：内层函数为分式/根式函数型 题型特征：内层函数是分式或根式函数，需结合函数的定义域限制（分母不为零、被开方数非负），分析其在定义域内的取值范围，进而求的定义域。 解题步骤： 1. 明确的定义域，确定的取值范围； 2. 分析分式/根式函数的单调性与取值限制； 3. 求在内的值域，即为的定义域。 例题3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 第一步：由定义域为，得； 第二步：分析内层函数的单调性，在上单调递减； 第三步：求的值域，当时，；当时，，故。 根据反向推导原则，的定义域为的值域。 答案： 举一反三3-1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得，则。 内层函数在单调递减，当时，；当时，，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 举一反三3-2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得，则。 内层函数在单调递增，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 举一反三3-3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析： 由定义域为，得，则，。 内层函数在单调递增，故。 因此的定义域为的值域。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 解析：由，得，，即的值域为，故定义域为。 答案：B 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列说法正确的有（ ） A. 内层函数的值域为 B. 函数的定义域为 C. 内层函数在单调递减 D. 若定义域为，则定义域为 解析：由，的值域为，故A、B正确；在单调递减，C正确；解得，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 解析：由，得，，即的值域为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：由，得，，即的值域为，故的定义域为。 答案： (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：由，得，，即的值域为，故的定义域为。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 解析：，，对称轴，，，值域为，故定义域为。 答案：A 2. 多选题 已知函数的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. 内层函数的值域为 B. 函数的定义域为 C. 若定义域为，则定义域为 D. 内层函数在上单调递减 解析：由，得，，A、B正确；解得，C正确；在单调递增，D错误。 答案：ABC 3. 填空题 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______。 解析：由，得，，即的值域为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：，，对称轴，，，值域为，故的定义域为。 答案： (2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：由，得，，，即的值域为，故的定义域为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $