精品解析：广西壮族自治区南宁市良庆区2025-2026学年上学期学业水平质量阶段监测（三）九年级数学试卷（12月）

2025年秋季学期学业水平质量阶段监测（三） 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，与是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ） A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 7. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 8. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 9. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将等边绕点顺时针旋转，得到（点、的对应点分别为点、），分别连接、交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13. 某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是___________（精确到）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 905 9012 频率 14. 点是二次函数 图象上的两个点，则______ (填“”，“”或“”)． 15. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 16. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=的图象上，则k的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的． （2）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 4.5 4 3.6 （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）把表补充完整： （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 20. 近年来，人工智能发展迅速，为了解本校初中学生对的知晓程度，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生进行问卷调查，并整理、描述和分析得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据： 82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据： 63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________； （2）该校八年级有1200名学生，九年级有1300名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有___________名； （3）得分在“”范围有三位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生进行采访，恰好抽到两位男生的概率是___________； （4）请你就如何提高学生对的认知向该校提一条合理的建议． 21. 如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且 （1）求证：与相切； （2）若，求的半径． 22. 阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 23. 问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数：如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点在抛物线上． 问题解决：如图3，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出点和抛物线和的顶点坐标； （2）分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学业水平质量阶段监测（三） 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列式子中，与是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例关系的判断，正确理解反比例关系是解题的关键． 根据反比例关系的定义“y与x的积是一个常数，则y与x是反比例关系”，据此即可解答． 【详解】解：A．中y与x不是反比例关系，不符合题意； B．中y与x不是反比例关系，不符合题意； C．中y与x是反比例关系，符合题意； D．中y与x不是反比例关系，不符合题意． 故选：C． 3. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ） A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据抛掷骰子时，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生，进行判断即可． 【详解】解：∵抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生， ∴该事件是随机事件； 故选B． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 5. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 6. 关于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、由于，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、由于，图象在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，错误，符合题意； C、由，可得图象经过，正确，不符合题意； D、的图象关于直线对称，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，正确，不符合题意． 故选：B． 7. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识．先根据题意得到，，再把变形为整体代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 8. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：l=． 故选D． 【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键． 9. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 11. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，首先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与 轴交点的位置，判断、、是正数还是负数，再根据、、判断一次函数和反比例函数的图象的位置． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ； 二次函数函数的对称轴， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴负半轴上， ， 一次函数经过第二、三、四象限， ，， ， 反比例函数位于第一、三象限. 故选：B． 12. 如图，将等边绕点顺时针旋转，得到（点、的对应点分别为点、），分别连接、交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质证得、、，进而得到和的度数为，根据等边三角形的性质证得，进而证得，根据四边形的内角和为，进行计算求解的度数即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转，得到， 、、 、 是等边三角形 故选：A． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13. 某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是___________（精确到）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 905 9012 频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 根据大量重复试验下投中篮球的频率可以估计投中篮球的概率求解即可． 【详解】解：观察表格发现，随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在附近， ∴投中的概率估计值为， 故答案为：． 14. 点是二次函数 图象上的两个点，则______ (填“”，“”或“”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，将点的坐标代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴； 故答案为：． 15. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 16. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=的图象上，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【详解】解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0）， ∴AB=5，BC=2﹣（﹣3）=2+3=5，AB⊥x轴， ∴△ABC是等腰直角三角形， 过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F， 则A′E=3，BE==4， ∵△A′BC′是△ABC旋转得到， ∴∠A′BE=∠C′BF， 在△A′BE和△C′BF中， ， ∴△A′BE≌△C′BF（AAS）， ∴BF=BE=4，C′F=A′E=3， ∴OF=BF﹣OB=4﹣3=1， ∴点C′的坐标为（1，﹣3）， 把（1，﹣3）代入y=得，=﹣3， 解得k=﹣3． 故答案是：﹣3． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算（零指数幂、绝对值、算术平方根）与一元二次方程的解法（因式分解法），解题的关键是熟练掌握各运算的法则及因式分解法解方程的步骤． （1）分别计算零指数幂、绝对值、算术平方根，再进行加减运算； （2）对一元二次方程进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， 得或， 即，． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的． （2）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； ． 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）要使的周长最小，则最小，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 4.5 4 3.6 （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）把表补充完整： （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）7.2；6 （3）用电器可变电阻应控制在不小于的范围内 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）根据反比例函数定义列解析式，选取一组数据代入求出值即可； （2）根据自变量的值，求的值即可； （3）根据电流不超过10A，列不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数为， 将代入得：， ； 故答案为： 【小问2详解】 解：， 补充表如下： 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 【小问3详解】 ， ， 解得：， 故用电器可变电阻应控制在不小于的范围内． 20. 近年来，人工智能发展迅速，为了解本校初中学生对的知晓程度，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生进行问卷调查，并整理、描述和分析得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据： 82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据： 63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________； （2）该校八年级有1200名学生，九年级有1300名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有___________名； （3）得分在“”范围有三位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生进行采访，恰好抽到两位男生的概率是___________； （4）请你就如何提高学生对的认知向该校提一条合理的建议． 【答案】（1）82，20 （2）380 （3） （4）建议学校开设相关课程或举办有关人工智能的讲座等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率； （1）根据中位数的定义即可求解； （2）根据样本估计总体即可求解； （3）画树状图求概率即可求解； （4）建议学校开设相关课程或举办有关人工智能的讲座等，言之合理即可求解． 【小问1详解】 解：由扇形统计图知，八年级“不了解”的有人，“比较了解”的有人， 八年级被抽取的学生得分的中位数是第5和6位数的平均数， ∴， ， ∴， 故答案为：82，20； 【小问2详解】 解：（人） 故答案为：380； 【小问3详解】 解：画树状图如图， 总共有12种等可能情况，满足恰好抽到两位男生的有6种情况，； 恰好抽到两位男生的概率为． 故答案为：； 【小问4详解】 解：建议学校开设相关课程或举办有关人工智能的讲座等（答案不唯一）． 21. 如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且 （1）求证：与相切； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， ， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的半径的外端，且， ∴与相切； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，则，得，可证，进一步证得，于是与相切； （2）由等边对等角，得，求证，得，再证，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定，直角三角形两锐角互余，等角对等边；添加辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 22. 阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13元/千克 （3）定价20元/千克时，利润最大，最大利润为1000元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用，二次函数的图象性质，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读取表中的数据，再运用待定系数法进行列方程，再解得， （2）理解题意，得每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克，根据水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元进行列式，得出，（舍去），即可作答． （3）理解题意，得，根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设与之间的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， ， ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元． ∴． 即； 【小问2详解】 解：依题意，每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克， 根据题意，得． 解得，（舍去）． 当销售单价定为每千克13元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄可获得的利润为510元． 【小问3详解】 解：根据题意，得 ∵， ∴开口向下， 当销售单价为每千克20元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润为1000元． 23. 问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数：如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点在抛物线上． 问题解决：如图3，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出点和抛物线和的顶点坐标； （2）分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】（1），抛物线和的顶点坐标分别为， （2）的表达式为；的表达式为 （3）4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标；由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，； （2）分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【小问1详解】 解：矩形的边，， ，，，， ，，； 装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， 四边形是矩形； ， 抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ，， 抛物线和的顶点坐标分别为，． 【小问2详解】 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入： 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； 【小问3详解】 装置整体图案为轴对称图形， ，， 轴， 轴， 是矩形， ， 轴， ， 设， ，， ， 解得：或6（在对称轴右侧，舍）， ， 由抛物线对称性可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $