精品解析：江苏省徐州市徐州四校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 温馨提示：本卷共4页，满分140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题有8题，每小题3分） 1. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B. 三点确定一个圆 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（） ①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则 A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题有10小题，每小题4分） 9. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 10. 已知数据，，，，的方差为3，则数据，，，，的方差为______． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 12. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则______． 13. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图的扇形的圆心角是，则这个圆锥底面圆的半径是______． 14. 已知一元二次方程有两个实数根，，则______． 15. 如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 16. 如图，将边长为的正三角形绕中心旋转，阴影部分的面积为______． 17. 如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝_____． 18. 如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为_________． 三、解答题（本大题有7题） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析，共分为四组， A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内的所有得分数据： 85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 b 乙 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，当销售价定为多少元时，获利最大？ 22. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 23. 如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． （1）求点和点的坐标； （2）当时，抛物线的取值范围是_______； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 24. 如图，A、B、C、D四点在圆上，且点A、B、D为格点，；请仅用无刻度的直尺完成下列的作图： （1）请在图（1）中作出一条圆的直径（画出一条即可）； （2）请在图（2）中找出圆心O； （3）请在图（3）中画出的中点E． 25. 中，，，，点D为平面内的任意一点，且；连接BD并延长到点E，连接EC，使得； （1）求证：； （2）在点D变化的过程中，当最大时，试求的长； （3）在点D运动的过程中，直接写出线段的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 温馨提示：本卷共4页，满分140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题有8题，每小题3分） 1. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当，则直线与圆相离，当，则直线与圆相切，当，则直线与圆相交．利用直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， ， 直线l与的位置关系是相离， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数顶点式的性质，抛物线的顶点式方程为，其中顶点坐标为． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为， 故选B． 3. 小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化．根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化． 【详解】解：一组数据“12，12，28，15，■”，该数据■在之间， 四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误． 中位数是15，不变，选项B正确． 众数也变化，选项C错误． 因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误． 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B. 三点确定一个圆 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】A、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故原命题错误； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误； D、同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故原命题正确； 故答案选：D． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， 又， ， 故选：D． 7. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图形．过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（） ①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则 A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数的图像与y轴的交点在负半轴，得，故①正确；推导出，，则，故②正确；求出当时，，则点在函数图像上，有，故③正确；当时，的两个根，推导出，则，得到，故④正确，即可解答． 【详解】解：由二次函数的图像与y轴的交点在负半轴，得，故①正确； ∵二次函数过点， ∴即， 由抛物线开口向上，得， ∴，故②正确， ∵抛物线对称轴为， ∴当时， 若点在函数图像上，则，故③正确；， 当时，的两个根， 方程变形为， ， ∵， ∴， 则， ∴，故④正确． 综上，①②③④正确． 故选D． 二、填空题（本大题有10小题，每小题4分） 9. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 已知数据，，，，的方差为3，则数据，，，，的方差为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差，理解方差的意义是解题关键． 方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大．据此即可获得答案． 【详解】解：∵一组数据，，，，的方差为3，数据，，，，与数据，，，，的波动大小一样， ∴数据，，，，的方差是3． 故答案为：3． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．根据抛物线图象的平移法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度可得：，再向下平移2个单位长度得到 故答案为： 12. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，代入求值即得答案． 【详解】解：，， ． 与是位似图形，， ． ， ． 故答案为：32． 13. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图的扇形的圆心角是，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识．设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R． 由题意，， 解得：或（舍弃）， ∵扇形的弧长=圆锥底面圆的周长， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 已知一元二次方程有两个实数根，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入表达式求值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 由根与系数的关系，得 ，， 则． 故答案为：5． 15. 如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键． 连接， 推导出，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，， ∴ ， ， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 16. 如图，将边长为的正三角形绕中心旋转，阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为2，且面积是的，重叠部分的面积是与三个小等边三角形的面积之差，代入数据计算可得答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为，且面积是的， 观察图形可得，重叠部分的面积是与三个小等边三角形的面积之差， ∴的高是，一个小等边三角形的高是， ∴的面积是，一个小等边三角形的面积是， 所以重叠部分的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 17. 如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝_____． 【答案】90°． 【解析】 【分析】作直径AD，连接CD，由圆周角定理得出∠ACD＝90°，得出∠OAC+∠D＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠D＝180°，两式相减即可得出结果． 【详解】作直径AD，连接CD，如图所示： ∵AD是圆O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠OAC+∠D＝90°， ∵∠ABC+∠D＝180°， ∴∠ABC﹣∠OAC＝180°﹣90°＝90°； 故答案为90°． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理，作出直径是解题的关键． 18. 如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【详解】解：作于，连接． ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、圆周角定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（本大题有7题） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法或因式分解法或公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法或公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：法1： ， ∴， ∴， ∴，． 法2：∵，，， ∴， ∴． ∴，． 法3：原式可化为， ∴或． ∴，． 【小问2详解】 解：法1：， ∴． ∴，． ∴，． 法2：， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴，． 20. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析，共分为四组， A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内的所有得分数据： 85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 b 乙 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】（1）；85 （2） 乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由如下：(本题理由不唯一，合理即可参照给分） ∵，乙中位数>甲中位数， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎． 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，即可解答； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； 【小问1详解】 解：乙款人工智能软件在A组有（人），B组有（人）， ∴乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以乙款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，当销售价定为多少元时，获利最大？ 【答案】（1） （2）每个售价为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，利润W元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 设该品牌头盔每个售价为元，利润W元，依题意，得 ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W取得最大值，最大值为． 答：当销售价定为60元时，获利最大． 22. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． （1）求点和点的坐标； （2）当时，抛物线的取值范围是_______； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）， （2） （3）存在；， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化，涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系． （1）联立抛物线方程与直线方程解出点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出点坐标； （2）确定抛物线在的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围； （3）当在直线上方时，构造，利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标；当在直线下方，构造全等三角形，，计算点坐标． 【小问1详解】 解：求点和点的坐标 联立：解得或 故点． 抛物线化为顶点式：， 故点． 【小问2详解】 抛物线开口向上，对称轴为， 当 取值范围内时，时，（最小值）； 当时，随增大而减小，时，； 当时，随增大而增大，时， 比较得：最小值为，最大值为， 故的取值范围为 ． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①当在直线上方时， 过点作， 设，， 解得，则 令，，点 ∵，直线与轴交于点，直线与轴交于点 ∴可将直线是直线沿方向平移（即向左平移个单位） 则 联立：解得或（舍） 故点． ②当在直线下方， ， 过点作轴于点，延长与交于 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点 设，，则 联立：，解得或（舍） 故点． 综上所述，，． 24. 如图，A、B、C、D四点在圆上，且点A、B、D为格点，；请仅用无刻度的直尺完成下列的作图： （1）请在图（1）中作出一条圆的直径（画出一条即可）； （2）请在图（2）中找出圆心O； （3）请在图（3）中画出的中点E． 【答案】（1） 如图线段所示； （2） 如图点O所示； （3） 如图中点E所示． 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，轴对称的性质，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键． （1）设的中点P，连接格点交圆于点，并延长交圆于点，易知，由垂径定理可知线段即为圆的直径． （2）连接，相交于点M，延长，相交于点N，连接，根据可知为弦和的对称轴，也是圆的对称轴，延长，交于点O，点O即为圆心． （3）由（2）可知直线为弦和的对称轴，故延长交圆于点E，点E即为的中点． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 25. 中，，，，点D为平面内的任意一点，且；连接BD并延长到点E，连接EC，使得； （1）求证：； （2）在点D变化的过程中，当最大时，试求的长； （3）在点D运动的过程中，直接写出线段的最小值________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ∴． （2） （3）9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，圆周角，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）推导出，再由，得到，即可解答． （2）推导出，得到当最大时，也最大，推导出点D满足，即D在以A为圆心、2为半径的圆上，连接令与的交点为F，当与相切时，最大，求出， 推导出是的垂直平分线，求出，再由，得到 ，代值求解即可； （3）延长交于点M，连接，证明，即等于所对的圆周角，延长交于点P，连接，推导出，得到，即，由，得到， 即，推导出取最小值，取最大值，当为圆A的直径时，取得最大值为4，即可解答． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即当最大时，也最大， 点D满足，即D在以A为圆心、2为半径的圆上， 如图，连接，令与的交点为F， 当与相切时，最大． 在中，， 则． ∵ 与相切于D，， ，与相切于B， ∴， ∴点C在的垂直平分线， ∵， ∴点A在的垂直平分线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ． 【小问3详解】 延长交于点M，连接，如图 ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即等于所对的圆周角， 延长交于点P，连接，如图 ∵为的圆周角，等于所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． ∵取最小值， ∴取最大值， 当为圆A的直径时，取得最大值为4， ∴的最小值为． 故答案为：9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $