微专题20：圆锥曲线的基本问题（方程与几何性质）讲义-2026届高三数学二轮复习专题

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线核心考点，涵盖定义应用、标准方程求解及椭圆、双曲线、抛物线几何性质，按题型分类构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破重点难点。 讲义以新课标核心素养为导向，创新采用“核心归纳+易错提示+分层训练”模式，如通过表格对比椭圆与双曲线性质培养数学思维，结合2025年真题强化应用能力，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题20：圆锥曲线的基本问题（方程与几何性质）】 【高考定位】 1.考查频率：圆锥曲线基本问题是高考数学的核心考点，在选择题、填空题中必考1-2题，解答题第一问常围绕此展开，分值占比12-17分，属于基础得分板块. 2.考查重点：聚焦圆锥曲线的定义、标准方程求解，椭圆与双曲线的离心率、渐近线等几何性质，抛物线的焦点、准线及定义应用等核心内容. 3.考查趋势：以“定义应用为核心，性质推导为纽带”，强调数形结合思想的运用，题型多为基础中档题，偶有与最值、范围结合的综合型基础题，注重对逻辑推理和运算求解能力的考查. 【真题体验】 1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 7．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 8．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 9．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 11．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以 ，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 14．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 16．【多选题】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 17．【多选题】（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以 ， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 18．【多选题】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 19．【多选题】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    20．【多选题】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 21．【多选题】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 22．【多选题】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：：圆锥曲线的定义应用】 【核心归纳】 椭圆定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（，）的点的轨迹；当时，轨迹为线段；当时，无轨迹. 双曲线定义：平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（，）的点的轨迹；当时，轨迹为以、为端点的两条射线；当时，无轨迹. 抛物线定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线，不在上）的距离相等的点的轨迹；核心是“抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离”（焦半径转化核心）. 定义的核心作用：简化距离运算、求解轨迹方程、转化焦半径与弦长问题. 【易错提示】 忽略椭圆定义中“”和双曲线定义中“”的限制条件，导致轨迹判断错误. 双曲线定义中“距离之差的绝对值”易遗漏“绝对值”，导致只考虑一支轨迹，忽略另一支. 抛物线定义中忽略“焦点不在准线上”的前提，若在上，轨迹为过且垂直于的直线. （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值； 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. （2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ）经典例题2例题 A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. （2023·福建泉州·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，过点作，垂足为点，分析出为等边三角形，并求出，从而可求得，即为所求. 【详解】取线段的中点，连接，过点作，垂足为点， 则， 所以，，所以，，所以，， 因为，所以，是边长为的等边三角形，则， 由抛物线的定义可知，所以，，故， 所以，，则，即点到直线的距离为. 故选：B. （2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心和相似三角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积. 【详解】对于抛物线，已知，可得.那么抛物线的方程为，其焦点，准线的方程为.   则，（为抛物线准线与轴交点）.   因为为的重心，所以为的三等分点且. 又因为，所以与相似，且，即. 不妨设，且在第一象限，由抛物线的性质可知点到准线的距离. 已知，则，解得. 因为点在抛物线上，将代入抛物线方程得，又因为在第一象限，所以.   因为为的三等分点且，所以. 已知. 根据三角形面积公式，对于，则. 故选：B. （2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ）小试牛刀2 A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    （2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C 【热点题型2：圆锥曲线的标准方程求解】 【核心归纳】 求解思路：先定位（确定曲线类型、焦点位置），再定量（求、、等核心参数）. 椭圆标准方程：①焦点在轴上：（，）；②焦点在轴上：（，）；③焦点位置不确定时，可设为（，，）. 双曲线标准方程：①焦点在轴上：（，，）；②焦点在轴上：（，，）；③焦点位置不确定时，可设为（）；④等轴双曲线：（），渐近线为，离心率. 抛物线标准方程：分四种开口方向，核心是确定焦点坐标与准线方程，设式技巧：①开口向右：（）；②开口向左：（）；③开口向上：（）；④开口向下：（）；的几何意义是“焦点到准线的距离”. 求参关键：利用定义、几何性质、已知点坐标代入等建立关于参数的方程（组）求解. 【易错提示】 混淆椭圆与双曲线中、、的关系：椭圆中（最大），双曲线中（最大），易出现“”通用的错误. 确定双曲线焦点位置时，误将“项系数正”等同于“焦点在轴上”，忽略项系数为负的情况（需看正负项对应的坐标轴）. 抛物线标准方程中忽略的条件，导致参数符号错误；或混淆开口方向与方程形式的对应关系（如开口向上误写为）. 焦点位置不确定时，未分类讨论或设式不当，导致漏解. （2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A （24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取弦的中点，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出之间的关系，即可求得. 【详解】由题意知以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，设交点为A，B， 取弦的中点，连接，如下图所示：    则，，因为，所以， 因为为的中点，是的中点，所以， ，且垂直平分弦， 因为，，所以， 所以， 由椭圆定义可知，，， 所以，解得，， 因为，，所以，， 所以椭圆方程为. 故选：B （2024·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B （2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ）经典例题4例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A （2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（    ）经典例题5例题 A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【分析】建系，利用空间向量结合线线夹角分析运算. 【详解】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，设， 可得，， 因为直线与的所成角为， 则，化简可得， 所以点Q的轨迹为抛物线. 故选：C.    （2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（    ）经典例题6例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得点横坐标，即可得点坐标，结合焦点坐标可得直线斜率，表示出直线后，联立曲线即可得点坐标，结合焦半径公式计算即可得解. 【详解】设，则， ，即， 由得，， 的方程为， 由得，，， ，，故. 故选：B. 【热点题型3：椭圆、双曲线的几何性质应用】 【核心归纳】 （一）椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 焦点位置 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 对称轴 范围 离心率 焦距 （） x轴上 长轴顶点：；短轴顶点： ， x轴、y轴 ， （） （） y轴上 长轴顶点：；短轴顶点： ， x轴、y轴 ， （） （二）双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 焦点位置 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 渐近线方程 对称轴 范围 离心率 焦距 （，） x轴上 ， x轴、y轴 ， （） （，） y轴上 ， x轴、y轴 ， （） 三、核心衍生性质（高频考点） （一）椭圆的衍生性质 1.离心率的几何意义与拓展 越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆越圆（当时，退化为圆，此时，）. 离心率与、的关系：（由推导，可用于已知、求或已知求、关系）. 2.焦半径公式（椭圆上点到焦点的距离） 设椭圆上任意一点，焦半径为、，核心是利用定义推导. 对于（焦点在x轴）：，（为左焦点，为右焦点）. 对于（焦点在y轴）：，（为下焦点，为上焦点）. 3.焦点弦与通径 焦点弦：过椭圆焦点的弦，记为，、. 通径：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦，是椭圆的最短焦点弦，长度为. 焦点弦长度公式： 焦点在x轴，弦垂直x轴（通径）：. 焦点在x轴，弦斜率为：. 4.椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（应用于光学设计，如椭圆镜面）. （二）双曲线的衍生性质 1.离心率的几何意义与拓展 越大，双曲线的开口越开阔；越接近1，双曲线的开口越狭窄. 离心率与、的关系：（由推导，是求解离心率范围的核心公式）. 2.焦半径公式（双曲线上点到焦点的距离） 设双曲线上任意一点，焦半径为、，核心是利用定义推导，需注意点所在的分支. 对于（焦点在x轴）： 点在右支：，. 点在左支：，. 对于（焦点在y轴）： 点在上支：，. 点在下支：，. 3.渐近线的拓展性质 渐近线的求法：将双曲线标准方程右边的“1”改为“0”，因式分解即可得渐近线方程（如，分解为，即）. 共渐近线的双曲线系：与共渐近线的双曲线方程可设为（）；当时，焦点在x轴；当时，焦点在y轴. 渐近线与离心率的关系：由，可得（焦点在x轴），（焦点在y轴），可通过渐近线斜率求离心率. 4.等轴双曲线的特殊性质 等轴双曲线：的双曲线，标准方程为（）. 渐近线：，且两条渐近线互相垂直. 离心率：（固定值，由推导）. 性质：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之积等于该点到中心距离的平方（，为原点）. 5.双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（应用于天文观测，如望远镜的设计）. 【易错提示】 （一）椭圆常见易错点 混淆、的大小关系：椭圆中，若焦点在y轴上，长半轴在y轴，易误将当作长半轴. 焦半径公式记忆错误：忽略焦点位置对公式的影响，如将焦点在y轴的焦半径公式误写为含的形式. 离心率范围记错：误将椭圆离心率记为，混淆与双曲线的离心率范围. 忽略定义中的限制条件：判断轨迹时，未验证，导致将线段误判为椭圆. （二）双曲线常见易错点 混淆焦点位置与渐近线的关系：焦点在y轴时，渐近线斜率为，易误写为. 焦半径公式忽略分支：未区分点在双曲线的左/右支、上/下支，直接套用公式，导致结果为负（焦半径为距离，恒正）. 参数关系混淆：误将椭圆的用于双曲线，导致参数计算错误. 渐近线方程书写错误：将等轴双曲线的渐近线误写为，忽略时斜率为. 定义中遗漏“绝对值”：判断轨迹时，未考虑“距离之差的绝对值”，导致只得到双曲线的一支，漏解另一支. 【多选题】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆：的离心率为．若点在上，，分别是的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A． B．若，则 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【答案】AC 【分析】根据条件，先求出，对A，利用椭圆的定义，即可求解；对B，根据条件求出，再由余弦定理，即可求解；对C，令，，从而得，即可求解；对于D，利用，得以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有4个交点，再结合椭圆的对称性，即可求解. 【详解】因为，则，又，，则 解得，， 对于A，由椭圆的定义可得，故A正确； 对于B，因为①，又②，由①②可得，， 在中，由余弦定理可得，故B错误； 对于C，因为椭圆方程为，令，， 则内接矩形周长，其中， 因为，取，则， 故当时，内接矩形周长的最大，最大值为，故C正确； 对于D，因为，，则，所以以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有4个交点， 所以椭圆上有个点，使，如图所示， 又当或时，满足条件的点各有2个， 所以满足是直角三角形的点有8个，所以D错误． 故选：AC. 【多选题】（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（    ）经典例题2例题 A．的面积最大值为 B．的最小值为 C．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D．椭圆上存在点，使得 【答案】BCD 【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意. 【详解】由题意可知，，，，解得， 则，，, 当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 , 等号成立时，故B正确； 设过点的圆的方程为， 设，且，，， 则，，， 得，， 则过点的圆的方程为，圆心， 因为圆的直径，则关于点对称，则， 令，则， 因，则， 因，则点的轨迹方程为，C正确； 当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确. 故选：BCD    【多选题】（2025·云南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（   ）经典例题3例题 A．若点P在双曲线C的右支上，且，则 B．若双曲线C的渐近线方程为，则其离心率为 C．若，直线与双曲线C有且仅有一个交点，则满足条件的k值有2个 D．若双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则的面积为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义以及渐近线、离心率的相关运算可判断A,B，根据直线方程可得直线过定点，分类讨论并分析直线与渐近线平行和不平行两种情况下满足题意的直线条数，即可判断C，根据题意作图，结合双曲线的性质以及三角形面积计算，可判断D. 【详解】对于A，因为点P在双曲线C的右支上，所以，又，解得，故A正确； 对于B，因为双曲线的渐近线方程为且焦点在x轴上，所以， 又，所以离心率，故B正确； 对于C，因为直线方程为：，所以直线恒过点， 当直线与渐近线平行时，满足题意的直线有两条； 当直线与渐近线不平行且与双曲线相切时，满足题意的直线也有两条． 综上，满足条件的直线有4条，即k的值也有4个，故C错误； 对于D，如图，因为垂直于渐近线，所以，又因为，所以． 在中，，所以， 所以， 又因为，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【多选题】（2025·广西·模拟预测）设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B．双曲线的离心率为 C．点到轴的距离为 D．四边形的面积为15 【答案】BCD 【分析】过向作垂线，垂足为，易知、、，结合已知求出双曲线参数，再依次判断各项的正误. 【详解】由题意，，如图，过向作垂线，垂足为，，， 因为，则，得，故A错误； 由，得，且， 又， ，，所以双曲线的离心率，故B正确； 的面积， ，则点到轴的距离为，故正确；的面积，则四边形的面积为，故D正确. 故选：BCD 【多选题】（2025·浙江·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（    ）小试牛刀2 A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 【答案】BD 【分析】联立及，可得M，N的坐标，从而可得的坐标及模，根据向量的数量积运算，可得，从而得，求出离心率判断A；由四边形为平行四边形，可判断B；求得，，可判断C，求出四边形的面积，可判断D. 【详解】如图所示： 因为圆的方程为， 双曲线的渐近线的一条方程为， 联立，得或， 不妨设，则， 又因为 所以，， 所以， 又因为， 所以， 从而得，， 所以， 对于A，由题意可得 又因为，解得，故A错误； 对于B，由对称性可得四边形为平行四边形， 又因为， 所以，故B正确； 对于C，设，则，因为， 且，即， 所以， 所以， 同理，若，则，可得，故C不正确； 对于D，当时，， 所以， 所以， 又因为四边形的面积，故D正确. 故选：BD. 【多选题】（2025·广东·模拟预测）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，求出的值，再根据椭圆定义、三角形面积公式、圆的标准方程、直线斜率公式逐一分析选项即可. 【详解】已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 【热点题型四：抛物线的几何性质应用】 【核心归纳】 一、核心基础：抛物线的定义 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点不在定直线上. 核心等价关系：设抛物线上任意一点，到焦点的距离为，到准线的距离为，则（此关系是焦半径、弦长计算的核心依据）. 二、核心参数：的几何意义 表示抛物线的焦点到准线的距离，且；表示焦点到抛物线顶点的距离，也是顶点到准线的距离. 三、四种标准方程对应的几何性质（全面梳理） 标准方程 开口方向 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 对称轴 范围 离心率 （） 向右 x轴 ， （抛物线共性） （） 向左 x轴 ， （） 向上 y轴 ， （） 向下 y轴 ， 四、核心衍生性质（高频考点） 1.焦半径公式（精准推导+全开口覆盖） 焦半径：抛物线上任意一点到焦点的距离，核心是利用定义转化为到准线的距离. 若（开口向右）： 若（开口向左）： 若（开口向上）： 若（开口向下）： 2.焦点弦相关性质（含通径） 焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，线段为焦点弦. （1）通径（特殊焦点弦） 过焦点且垂直于对称轴的焦点弦，是抛物线的最短焦点弦. 长度：所有抛物线的通径长度均为. 坐标特征：以为例，通径端点为和. （2）焦点弦长度公式 一般式（含斜率）：设焦点弦所在直线斜率为，倾斜角为，则弦长（适用于所有开口方向，，当时即为通径，）. 坐标式（按开口分类）： ： ： ： ： （3）焦点弦的坐标衍生结论 ：，（乘积为定值）. ：，. ：，. ：，. 3.对称性与顶点性质 对称性：抛物线只有一条对称轴（过焦点且垂直于准线的直线），无对称中心. 顶点：抛物线的顶点是对称轴与抛物线的交点（即原点），也是抛物线上到焦点距离最小的点（最小距离为）. 4.切线相关基础性质（高频选填考点） 抛物线上一点的切线方程： ： ： ： ： 切线性质：从抛物线的焦点向任意一条切线作垂线，垂足必在抛物线的准线上. 【易错提示】 混淆焦点坐标与准线方程的符号：如将的焦点误写为，准线误写为，核心是记住“开口方向决定符号”，向左/向下开口时，焦点横/纵坐标为负，准线方程符号为正. 焦半径公式记忆错误：未结合定义推导，忽略开口方向对公式的影响，如将的焦半径误写为，正确推导逻辑是“到准线距离”，开口向上时准线为，故距离为. 忽略的前提：求解参数时，未验证，导致出现负参数，违背几何意义. 焦点弦长度计算漏解：未考虑斜率不存在的情况（即通径），此类情况弦长最短，为. 误将抛物线离心率记为其他值：抛物线离心率恒为，区别于椭圆（）和双曲线（）. 【多选题】（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（   ）经典例题1例题 A．点E的坐标为 B． C．直线的斜率为 D．直线关于x轴对称 【答案】BD 【分析】据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由抛物线的标准方程可知：，所以点E的坐标为，故A错误； 对于B，由，可得点A为线段的中点，点E为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B到准线的距离的，由抛物线定义可得B正确； 对于C，设，由点A为的中点， 可得，，所以，又， 联立解得，所以，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD 【多选题】（2025·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设为抛物线的焦点，是上一点，点，若的延长线与交于点．记，，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意得到抛物线的准线，根据准线的性质，正弦定理及三角函数的定义即可判断各选项． 【详解】依题意可得抛物线的准线为， 对于选项A，B，过点作垂直准线于，则，如图，    在中，由正弦定理有，得， 在中，，且， 则，所以，故选项A正确； 所以当时，，即当时，，故选项B错误； 对于选项C，D，过点作垂直准线于，则，如图，    在中，由正弦定理有，得， 在中，，且， 则，所以，故选项C正确； 所以当时，，即当时，，故选项D错误； 故选：AC． 【多选题】（2025·四川广安·模拟预测）已知抛物线：（）的准线与圆：相切，点为抛物线上的动点，点是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（   ）经典例题3例题 A． B．的最小值是 C．当三点，，共线时，点的坐标是 D．不存在两个点，，使得且 【答案】ABC 【分析】由题易得，根据定义，再由结合点到圆上点的距离的最值即可判断B；对于C，得出直线的方程，再求点坐标即可；对于D，由，得到，再转化为中垂线与曲线交点个数问题即可. 【详解】由准线与圆相切知，，得，所以A正确； 由可得， 又，， 所以最小值是，所以B正确； 易知，，，直线的方程是， 所以点的坐标是，所以C正确； 若，则，作中垂线， 设为中点，则可得，直线斜率为， 由此知为，与抛物线：联立可得到， ，所以有两个实数解， 所以存在两个点，使得，故D错误. 故选：ABC. 【多选题】（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ）小试牛刀1 A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【多选题】（2025·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点M为抛物线上第一象限上的点，且满足，过点M作l的垂线，垂足为点N，AM与NF交于点Q，则（    ）小试牛刀2 A．直线NF的斜率不是定值 B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，由求出点坐标（用表示），然后结合抛物线的定义检验各选项． 【详解】如图， 选项A，设，易知，由得， 由得，，显然，故解得，则，可得，所以，，为常数，故A错误； 选项B，作轴，垂足为，如图，则，则，若，则， 又，所以，所以，B错误； 选项C，，， 所以，因，则，C正确； 选项D，由得， 因为， 即，又， ，从而，则，即， 于是， 故得，故D正确． 故选：CD． 【多选题】（2025·新疆喀什·模拟预测）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（    ）小试牛刀3 A．的方程为 B． C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点的坐标，结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解. 【详解】由直线过点，得抛物线的焦点，方程为， 对于A，抛物线的准线的方程为，A正确； 由消去并整理得，解得， 对于B，点，，B错误； 对于C，，线段中点到准线的距离， 因此以为直径的圆与相切，C错误； 对于D，，则是钝角，D正确. 故选：AD. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·福建龙岩·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，利用勾股定理求得，结合和椭圆的定义建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】如图，过点作，垂足为，    由，知，所以，而， 所以，则， 由椭圆的定义知，，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 2．（2025·福建·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设设，圆心，利用两点间距离公式及条件得到，，再利用圆的性质，即可求解. 【详解】如图设，以为直径的圆的圆心为， 则，    又，得到，所以， 因为，得到， 又， 因为的最大值为，所以， 所以的离心率为， 故选：B. 3．（2025·福建三明·三模）已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用角平分线定理以及椭圆定义得出，再在中利用余弦定理即可求出离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为， 因为的角平分线， 则在中利用角平分线定理可知，， 因，，则，则， 由椭圆的定义可知，，则， 由直线的斜率为，则， 则在中利用余弦定理可得，， 即，得或（舍）， 则椭圆C的离心率是. 故选：A      4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可. 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若，且点在直线上，则直线的斜率为（   ） A．或 B．或 C．1或 D．或 【答案】B 【分析】由题意得，准线为，设，由题意得点坐标，再根据点在直线上，由斜率公式求出，得到直线的斜率即可. 【详解】由题意，，准线为， 设，则， 由于，则为的中点，即， 又点在直线上， 则，解得，则. 故选：B. 6．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质，结合条件可得是等边三角形，利用抛物线的性质即可求解. 【详解】因点A在C上，则，又，为正三角形， 如图，准线与轴交于点，在中，，所以， 即. 故选：B 7．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由，根据，求得，设的内切圆的半径为，则，结合由点到轴和直线的距离相等，求得，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】由椭圆的左、右顶点分别为， 其中上下焦点为，且， 设，因为，可得，且， 所以，解得，即， 又因为的内切圆的圆心为，设的内切圆的半径为，则 可得直线的方程为，即， 由点到轴和直线的距离相等，则，解得， 即，所以，可得，所以. 故选：A. 8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合双曲线的定义及得，再由和余弦定理得到齐次式，即可得离心率. 【详解】设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 由，则， 所以，可得， 所以. 故选：C 9．（2025·福建泉州·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】勾股得到，从而得到当最大时，最大，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当最大时，最大，再结合截面得到的最大值，从而得到的最大值. 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接，，， 设，则， 所以当最大时，最大， 由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面， 则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 则当最大时，最大， 如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则此时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求最值. 10．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 二、多选题 11．（2023·福建·模拟预测）已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点P在C上，PQ垂直l于点Q，直线QF与C相交于M､N两点.若M为QF的三等分点，则（    ） A．cos∠ B．sin∠ C． D． 【答案】ACD 【分析】过点作于点，设准线为l与交于点，由抛物线的定义可得，可判断A；求出的长，由正弦定理可判断B；求出可判断C；求出可判断D. 【详解】如下图，过点作于点，设准线l与交于点， 由抛物线的定义知：， 因为M为QF的三等分点，所以，所以， 所以，所以cos∠，故A正确； 对于B，在中，由抛物线的定义知：，，所以为等边三角形， 又因为，解得：， 同理可得：， 所以，因为为等边三角形，所以 M为QF的三等分点， 所以中，由余弦定理可得：， 则， 则， 所以在中，由正弦定理可得：， 代入可得，sin∠，故B不正确； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以中，，由余弦定理可得：， 则，所以，故D正确. 故选：ACD. 12．（2025·福建龙岩·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（   ） A．的值随着的增大而减小 B．双曲线的离心率为 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角形正弦定理来判断A选项，利用坐标来计算斜率得到相等关系可求离心率，可判断B选项，利用基本不等式可判断C选项，利用双曲线的切线方程来研究交点坐标，可判断D选项. 【详解】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 渐近线为，在中， 由正弦定理可知， 显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大， 即，随着的增大分别减小与增大且均为正数， 的值随着的增大而减小，故A正确； 对于B，由，则，因为左顶点为，右顶点为， 即，所以，，故B正确； 对于C，显然，且，，故C错误； 对于D，可设双曲线， 在点处的切线方程为， 联立可得， 联立可得， 点为线段的中点，即，故D正确； 故选：ABD. 13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点在上，过作的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．的斜率为定值 B．若圆被截得弦长为，则 C． D．若平行的直线与相切于点，则 【答案】AC 【分析】对于A，设出抛物线在处的切线方程，联立切线方程与抛物线方程后结合判别式为零可求斜率，故可判断A的正误；对于B，根据弦长公式计算后可判断其正误；对于C，利用向量的数量积的坐标形式计算后可判断其正误；对于D，同A的方法求出的坐标，再结合向量的坐标运算可判断其正误. 【详解】 对于A选项，由题设的斜率必定存在且不为零，而， 当，设， 由 可得，故， 而，故，故此时切线的斜率为； 当，同理可求切线的斜率为，故A正确； 对于B选项，由对称性不妨设， 则由A可得切线方程为即， 而圆心到的距离为，故，故B错误； 对于C选项，根据对称性，不妨取，由A中的切线方程得， 又，故，故C正确； 对于D选项，根据对称性，不妨取由C的分析可得， 又，设，且抛物线在处的切线方程为， 由可得， 故，故， 故切线的斜率为，故，故，， 而，故，故D错误． 故选：AC． 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点在上，过作的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．的斜率为 B．若圆被截得弦长为，则 C． D．若平行的直线与相切于点，则 【答案】ACD 【分析】对于A，设出抛物线在处的切线方程，联立切线方程与抛物线方程后结合判别式为零可求斜率判断正误；对于B，根据弦长公式计算后可判断其正误；对于C，利用向量的数量积的坐标形式计算后可判断正误；对于D，同A的方法求出的坐标，再结合向量的坐标运算可判断其正误. 【详解】由题设，切线的斜率存在且不为零，且， 当，设，联立， 所以，则，可得， 所以，此时的斜率为， 同理，当时的斜率为，A对； 由对称性，取，此时切线方程为， 所以到的距离为，可得，B错； 若切线为，则，而，取， 所以，结合抛物线对称性可知C对； 同C分析，设，该点处切线方程为， 联立，得，且， 所以，则，故切线斜率为， 所以，即， 所以，则，D对. 故选：ACD 三、填空题 15．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由对称性可知、为与抛物线的交点，联立求出其中一个交点坐标，代入双曲线方程，结合焦距得到，进而求出离心率. 【详解】由对称性知、关于轴对称，为正三角形， 则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点， 联立与得或0（舍去），当时，， 故其中一个交点为， 设双曲线方程为，故，解得， 在双曲线上，，， 故离心率为； 故答案为： 16．（2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 【答案】 【分析】根据所给的角确定B所在直线，设出B点坐标，再由三角形相似得出B点坐标代入椭圆方程，化简即可得解. 【详解】因为，所以直线的斜率为或， 不妨取，则如图， 设，过作轴于点， 由∽，，， 可得，即，故， 代入椭圆方程可得：， 即，解得， 所以. 故答案为： 17．（2025·福建福州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，其左、右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交于两点，直线与交于点，若与的面积相等，则的离心率为 ． 【答案】2 【分析】根据双曲线方程和焦点位置，确定右顶点、右焦点以及直线与双曲线的交点的坐标，分别求出直线和的方程，联立求解交点Q的坐标，由面积相等条件列出方程，最终求出离心率. 【详解】双曲线左顶点，右顶点，右焦点（其中， 将代入双曲线方程可得，解得， 不妨设和， 直线的斜率为，其方程为：， 同理可得直线的方程为：，直线的方程为：， 即直线的一般式方程为， 联立直线与直线，解得：，即， 因为与的面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 即：，因为，所以化简得，即， 故答案为：2 18．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】利用双曲线的定义即可列方程求解. 【详解】由双曲线定义可得， 所以， 故周长为 故答案为：4 19．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，则，，，在等腰中应用诱导公式、二倍角余弦公式可得，在、中应用余弦定理求参数值，并得到双曲线参数的齐次式，即可得. 【详解】设，则，，故，    在等腰中，，则 ， 又，可得， 所以，则，， 在中，可得， 所以. 故答案为： 20．（2025·福建厦门·三模）已知直线：与圆：相切于点T，A是圆上一动点，点P满足，且以P为圆心，为半径的圆恰与相切，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，由题意可得，整理可得点P的轨迹，由此可设，则是关于的式子，利用基本不等式得最值即可. 【详解】设，则， 直线：与圆：相切于点T，则， 以P为圆心，为半径的圆恰与相切， 则可得，化简可得，且， 从而可设，且， 则， 由于，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线与圆的位置关系、距离公式，确定点的轨迹方程，根据轨迹方程确定动点坐标，从而将所求问题转化为坐标关系，结合不等式或者函数求解最值即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题20：圆锥曲线的基本问题（方程与几何性质）】 【高考定位】 1.考查频率：圆锥曲线基本问题是高考数学的核心考点，在选择题、填空题中必考1-2题，解答题第一问常围绕此展开，分值占比12-17分，属于基础得分板块. 2.考查重点：聚焦圆锥曲线的定义、标准方程求解，椭圆与双曲线的离心率、渐近线等几何性质，抛物线的焦点、准线及定义应用等核心内容. 3.考查趋势：以“定义应用为核心，性质推导为纽带”，强调数形结合思想的运用，题型多为基础中档题，偶有与最值、范围结合的综合型基础题，注重对逻辑推理和运算求解能力的考查. 【真题体验】 1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 11．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 14．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 16．【多选题】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 17．【多选题】（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 18．【多选题】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 19．【多选题】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 20．【多选题】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 21．【多选题】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．【多选题】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：：圆锥曲线的定义应用】 【核心归纳】 椭圆定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（，）的点的轨迹；当时，轨迹为线段；当时，无轨迹. 双曲线定义：平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（，）的点的轨迹；当时，轨迹为以、为端点的两条射线；当时，无轨迹. 抛物线定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线，不在上）的距离相等的点的轨迹；核心是“抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离”（焦半径转化核心）. 定义的核心作用：简化距离运算、求解轨迹方程、转化焦半径与弦长问题. 【易错提示】 忽略椭圆定义中“”和双曲线定义中“”的限制条件，导致轨迹判断错误. 双曲线定义中“距离之差的绝对值”易遗漏“绝对值”，导致只考虑一支轨迹，忽略另一支. 抛物线定义中忽略“焦点不在准线上”的前提，若在上，轨迹为过且垂直于的直线. （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ）经典例题2例题 A． B．8 C． D． （2023·福建泉州·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． （2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ）小试牛刀2 A．12 B．16 C．20 D．24 （2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型2：圆锥曲线的标准方程求解】 【核心归纳】 求解思路：先定位（确定曲线类型、焦点位置），再定量（求、、等核心参数）. 椭圆标准方程：①焦点在轴上：（，）；②焦点在轴上：（，）；③焦点位置不确定时，可设为（，，）. 双曲线标准方程：①焦点在轴上：（，，）；②焦点在轴上：（，，）；③焦点位置不确定时，可设为（）；④等轴双曲线：（），渐近线为，离心率. 抛物线标准方程：分四种开口方向，核心是确定焦点坐标与准线方程，设式技巧：①开口向右：（）；②开口向左：（）；③开口向上：（）；④开口向下：（）；的几何意义是“焦点到准线的距离”. 求参关键：利用定义、几何性质、已知点坐标代入等建立关于参数的方程（组）求解. 【易错提示】 混淆椭圆与双曲线中、、的关系：椭圆中（最大），双曲线中（最大），易出现“”通用的错误. 确定双曲线焦点位置时，误将“项系数正”等同于“焦点在轴上”，忽略项系数为负的情况（需看正负项对应的坐标轴）. 抛物线标准方程中忽略的条件，导致参数符号错误；或混淆开口方向与方程形式的对应关系（如开口向上误写为）. 焦点位置不确定时，未分类讨论或设式不当，导致漏解. （2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2024·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． （2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ）经典例题4例题 A． B． C． D． （2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（    ）经典例题5例题 A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 （2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（    ）经典例题6例题 A． B． C． D． 【热点题型3：椭圆、双曲线的几何性质应用】 【核心归纳】 （一）椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 焦点位置 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 对称轴 范围 离心率 焦距 （） x轴上 长轴顶点：；短轴顶点： ， x轴、y轴 ， （） （） y轴上 长轴顶点：；短轴顶点： ， x轴、y轴 ， （） （二）双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 焦点位置 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 渐近线方程 对称轴 范围 离心率 焦距 （，） x轴上 ， x轴、y轴 ， （） （，） y轴上 ， x轴、y轴 ， （） 三、核心衍生性质（高频考点） （一）椭圆的衍生性质 1.离心率的几何意义与拓展 越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆越圆（当时，退化为圆，此时，）. 离心率与、的关系：（由推导，可用于已知、求或已知求、关系）. 2.焦半径公式（椭圆上点到焦点的距离） 设椭圆上任意一点，焦半径为、，核心是利用定义推导. 对于（焦点在x轴）：，（为左焦点，为右焦点）. 对于（焦点在y轴）：，（为下焦点，为上焦点）. 3.焦点弦与通径 焦点弦：过椭圆焦点的弦，记为，、. 通径：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦，是椭圆的最短焦点弦，长度为. 焦点弦长度公式： 焦点在x轴，弦垂直x轴（通径）：. 焦点在x轴，弦斜率为：. 4.椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（应用于光学设计，如椭圆镜面）. （二）双曲线的衍生性质 1.离心率的几何意义与拓展 越大，双曲线的开口越开阔；越接近1，双曲线的开口越狭窄. 离心率与、的关系：（由推导，是求解离心率范围的核心公式）. 2.焦半径公式（双曲线上点到焦点的距离） 设双曲线上任意一点，焦半径为、，核心是利用定义推导，需注意点所在的分支. 对于（焦点在x轴）： 点在右支：，. 点在左支：，. 对于（焦点在y轴）： 点在上支：，. 点在下支：，. 3.渐近线的拓展性质 渐近线的求法：将双曲线标准方程右边的“1”改为“0”，因式分解即可得渐近线方程（如，分解为，即）. 共渐近线的双曲线系：与共渐近线的双曲线方程可设为（）；当时，焦点在x轴；当时，焦点在y轴. 渐近线与离心率的关系：由，可得（焦点在x轴），（焦点在y轴），可通过渐近线斜率求离心率. 4.等轴双曲线的特殊性质 等轴双曲线：的双曲线，标准方程为（）. 渐近线：，且两条渐近线互相垂直. 离心率：（固定值，由推导）. 性质：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之积等于该点到中心距离的平方（，为原点）. 5.双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（应用于天文观测，如望远镜的设计）. 【易错提示】 （一）椭圆常见易错点 混淆、的大小关系：椭圆中，若焦点在y轴上，长半轴在y轴，易误将当作长半轴. 焦半径公式记忆错误：忽略焦点位置对公式的影响，如将焦点在y轴的焦半径公式误写为含的形式. 离心率范围记错：误将椭圆离心率记为，混淆与双曲线的离心率范围. 忽略定义中的限制条件：判断轨迹时，未验证，导致将线段误判为椭圆. （二）双曲线常见易错点 混淆焦点位置与渐近线的关系：焦点在y轴时，渐近线斜率为，易误写为. 焦半径公式忽略分支：未区分点在双曲线的左/右支、上/下支，直接套用公式，导致结果为负（焦半径为距离，恒正）. 参数关系混淆：误将椭圆的用于双曲线，导致参数计算错误. 渐近线方程书写错误：将等轴双曲线的渐近线误写为，忽略时斜率为. 定义中遗漏“绝对值”：判断轨迹时，未考虑“距离之差的绝对值”，导致只得到双曲线的一支，漏解另一支. 【多选题】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆：的离心率为．若点在上，，分别是的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A． B．若，则 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【多选题】（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（    ）经典例题2例题 A．的面积最大值为 B．的最小值为 C．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D．椭圆上存在点，使得 【多选题】（2025·云南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（   ）经典例题3例题 A．若点P在双曲线C的右支上，且，则 B．若双曲线C的渐近线方程为，则其离心率为 C．若，直线与双曲线C有且仅有一个交点，则满足条件的k值有2个 D．若双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则的面积为 【多选题】（2025·广西·模拟预测）设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B．双曲线的离心率为 C．点到轴的距离为 D．四边形的面积为15 【多选题】（2025·浙江·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（    ）小试牛刀2 A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 【多选题】（2025·广东·模拟预测）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【热点题型四：抛物线的几何性质应用】 【核心归纳】 一、核心基础：抛物线的定义 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点不在定直线上. 核心等价关系：设抛物线上任意一点，到焦点的距离为，到准线的距离为，则（此关系是焦半径、弦长计算的核心依据）. 二、核心参数：的几何意义 表示抛物线的焦点到准线的距离，且；表示焦点到抛物线顶点的距离，也是顶点到准线的距离. 三、四种标准方程对应的几何性质（全面梳理） 标准方程 开口方向 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 对称轴 范围 离心率 （） 向右 x轴 ， （抛物线共性） （） 向左 x轴 ， （） 向上 y轴 ， （） 向下 y轴 ， 四、核心衍生性质（高频考点） 1.焦半径公式（精准推导+全开口覆盖） 焦半径：抛物线上任意一点到焦点的距离，核心是利用定义转化为到准线的距离. 若（开口向右）： 若（开口向左）： 若（开口向上）： 若（开口向下）： 2.焦点弦相关性质（含通径） 焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，线段为焦点弦. （1）通径（特殊焦点弦） 过焦点且垂直于对称轴的焦点弦，是抛物线的最短焦点弦. 长度：所有抛物线的通径长度均为. 坐标特征：以为例，通径端点为和. （2）焦点弦长度公式 一般式（含斜率）：设焦点弦所在直线斜率为，倾斜角为，则弦长（适用于所有开口方向，，当时即为通径，）. 坐标式（按开口分类）： ： ： ： ： （3）焦点弦的坐标衍生结论 ：，（乘积为定值）. ：，. ：，. ：，. 3.对称性与顶点性质 对称性：抛物线只有一条对称轴（过焦点且垂直于准线的直线），无对称中心. 顶点：抛物线的顶点是对称轴与抛物线的交点（即原点），也是抛物线上到焦点距离最小的点（最小距离为）. 4.切线相关基础性质（高频选填考点） 抛物线上一点的切线方程： ： ： ： ： 切线性质：从抛物线的焦点向任意一条切线作垂线，垂足必在抛物线的准线上. 【易错提示】 混淆焦点坐标与准线方程的符号：如将的焦点误写为，准线误写为，核心是记住“开口方向决定符号”，向左/向下开口时，焦点横/纵坐标为负，准线方程符号为正. 焦半径公式记忆错误：未结合定义推导，忽略开口方向对公式的影响，如将的焦半径误写为，正确推导逻辑是“到准线距离”，开口向上时准线为，故距离为. 忽略的前提：求解参数时，未验证，导致出现负参数，违背几何意义. 焦点弦长度计算漏解：未考虑斜率不存在的情况（即通径），此类情况弦长最短，为. 误将抛物线离心率记为其他值：抛物线离心率恒为，区别于椭圆（）和双曲线（）. 【多选题】（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（   ）经典例题1例题 A．点E的坐标为 B． C．直线的斜率为 D．直线关于x轴对称 【多选题】（2025·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设为抛物线的焦点，是上一点，点，若的延长线与交于点．记，，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（2025·四川广安·模拟预测）已知抛物线：（）的准线与圆：相切，点为抛物线上的动点，点是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（   ）经典例题3例题 A． B．的最小值是 C．当三点，，共线时，点的坐标是 D．不存在两个点，，使得且 【多选题】（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ）小试牛刀1 A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【多选题】（2025·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点M为抛物线上第一象限上的点，且满足，过点M作l的垂线，垂足为点N，AM与NF交于点Q，则（    ）小试牛刀2 A．直线NF的斜率不是定值 B． C． D． 【多选题】（2025·新疆喀什·模拟预测）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（    ）小试牛刀3 A．的方程为 B． C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·福建龙岩·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·三模）已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若，且点在直线上，则直线的斜率为（   ） A．或 B．或 C．1或 D．或 6．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·福建泉州·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 10．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·福建·模拟预测）已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点P在C上，PQ垂直l于点Q，直线QF与C相交于M､N两点.若M为QF的三等分点，则（    ） A．cos∠ B．sin∠ C． D． 12．（2025·福建龙岩·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（   ） A．的值随着的增大而减小 B．双曲线的离心率为 C． D． 13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点在上，过作的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．的斜率为定值 B．若圆被截得弦长为，则 C． D．若平行的直线与相切于点，则 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点在上，过作的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．的斜率为 B．若圆被截得弦长为，则 C． D．若平行的直线与相切于点，则 三、填空题 15．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为 . 16．（2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 17．（2025·福建福州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，其左、右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交于两点，直线与交于点，若与的面积相等，则的离心率为 ． 18．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 19．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 20．（2025·福建厦门·三模）已知直线：与圆：相切于点T，A是圆上一动点，点P满足，且以P为圆心，为半径的圆恰与相切，则的最大值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $