精品解析：山东省滨州市惠民县第一中学（实验中心）2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

实验中心2024级高二学年上学期第三次月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 2. 抛物线C：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 10. 将数列中的所有项排成如下数阵．从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，，则（ ） A. B. C. 位于第46行第1列 D. 2026在数阵中出现两次 11. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为______. 13. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 15. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 17. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点. 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 19. 已知椭圆的焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （1）若，求的周长； （2）①若，求椭圆的方程； ②根据①中所求椭圆方程，在轴是否存在异于的定点Q，使为定值(其中为直线QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐标;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中心2024级高二学年上学期第三次月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 2. 抛物线C：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，得到，求出准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为， 抛物线C的焦点在x轴的负半轴上且，故其准线的方程为. 故选：D. 3. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可. 【详解】，，则所求切线切点坐标为， ，有，则所求切线斜率为， 所求的切线方程为，即. 故选：B 5. 若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值. 【详解】如下图所示： 直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以，， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故. 故选：A. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 7. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 8. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 10. 将数列中的所有项排成如下数阵．从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，，则（ ） A. B. C. 位于第46行第1列 D. 2026在数阵中出现两次 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解. 【详解】由第1列数 成等差数列，设公差为， 又由，可得，解得， 则第一列的通项公式为， 又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得，所以A正确，B错误； 又因为每一行的最后一个数为， 且，可得是的后一个数，且在第46行第1列，所以C正确； 由题设可知第行第个数的大小为， 当时，，与题意不符， 当时，令，若，则无整数解； 若，则即；若，无整数解，故D错误. 故答案为：AC. 11. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别分析椭圆与双曲线的性质，可判断ABC的真假；联立方程组，解方程组可得椭圆与双曲线公共点的个数，判断D的真假. 【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为. 对双曲线：焦点在轴上，其渐近线方程为. 所以，AC正确，B错误. 对D：由， 所以或或或. 即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】设，，可得，， 两式相减可得，点是弦的中点， 且直线，可得，，，即有， 即，，，故双曲线的离心率为. 故答案为：2. 13. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共面的基本定理计算即可求解. 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为： 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。 【详解】设, 因为实数， 所以两点在圆上，且, 所以，所以是等边三角形，， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 在第三象限，所在直线与直线平行， 可设， 由圆心到直线的距离为，可得，解得， 即有两平行线之间的距离为， 所以， 所以， 所以的最大值为。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 15. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的定义求解通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为数列满足，所以， 所以数列是等比数列，首项为，设公比为， 由，可得：，解得. . 【小问2详解】 ， ， ， ， . 17. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可； （2）令，则有，令，利用导数得出的单调性，从而得出结论． 【详解】解：（1）时，， 则， 令，解得：或， 令，解得：， 故在和，递增，在，递减； （2）证明： 令，则有， 令， 则， 故在上递增， 又，所以仅有1个根， 即只有1个零点. 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面. （2） 易知两两垂直，以为坐标原点， 以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，即可得到线线垂直，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）设，设平面的一个法向量，并求出法向量，又向量是平面的一个法向量，然后利用向量法表示出二面角的余弦值，即可求得，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则由（2）知，所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 19. 已知椭圆的焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （1）若，求的周长； （2）①若，求椭圆的方程； ②根据①中所求椭圆方程，在轴是否存在异于的定点Q，使为定值(其中为直线QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）①=1；②存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对称性及两点间距离公式求出三角形周长. （2）①根据给定条件，利用椭圆定义、结合三角形相似及斜率坐标公式求得即可；②设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解即可. 【小问1详解】 依题意，，则点关于x轴对称， 所以的周长为. 【小问2详解】 ①设，由，得， 又，则，又， 因此，解得，则，不妨令点， 直线的斜率，过点B作x轴的垂线，垂足为点P，则， 于是，，又，则， 由点在椭圆方程上，得，， 所以椭圆的方程为. ②由直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为， 由消去并整理得，设， 则，， 假设点存在，设，则 当时，而，则，， 所以存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $