精品解析：2025年黑龙江省大庆市第三十六中学中考数学三模试卷

2025年黑龙江省大庆三十六中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的应用．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按照要求表示即可求解． 【详解】解：亿． 故选：A． 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，的俯视图是， 故选：C． 5. 【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先列表得到得到所有等可能性的结果数，再找到他们的孩子是单眼皮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： B b B b 由表格可知，一共有4种等可能性的结果数，其中他们的孩子是单眼皮的结果数有1种， ∴他们的孩子是单眼皮的概率为， 故选：B． 6. 下列语句中真命题有（ ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③若，则； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤如果A地在B地北偏东方向处，那么B地在A地的南偏西方向处． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，点到直线的距离，平行线的性质，算术平方根，垂线的性质，方向角和距离，熟知相关知识是解题的关键． 根据点到直线的距离，平行线的性质，算术平方根，垂线的性质，方向角和距离，等知识逐项进行判断即可． 【详解】解：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，而非垂线段本身，故①是假命题； ②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补是平行的性质，故②是真命题； ③若，则，故③是真命题； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是假命题； ⑤如果A地在B地北偏东方向处，那么B地在A地的南偏西方向处，是真命题； ∴ 真命题有②、③、⑤，共3个． 故选：C． 7. 如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ， ； B．由翻折可知：， ， ， ，故B选项不符合题意； C．由翻折可知：， ， ， ， ，故C选项不符合题意； ， ， ， 不平行，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 8. 有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 【答案】D 【解析】 【分析】设9个数据为，则，根据平均数，方差，中位数的定义计算判定即可． 本题考查了中位数，方差，平均数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：设9个数据为，且， 则， 则 ， 故平均数不变， 故A错误； 根据方差定义，得起始数据的方差为：， 新数据的方差为： ， 分子相同，分母变大， 故新方差变小， 故B错误； 根据，则起始数据的中位数为， 新数据的中位数是中间两个数的平均数，即第5个，第六个数据的平均数， 故， 若，则， 这与有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等矛盾． 故C错误， 故D正确， 故选：D． 9. 给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么．则（ ） A. 正确的命题只有① B. 正确的命题有①②④ C. 错误的命题有②③ D. 错误的命题是③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式关系，命题与定理，求出交点的坐标并准确识图是解题关键． 先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析二次函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④正确． 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，点B与点F关于对称，连接并延长，交于点G，交于点．若G是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B点作，连接交于点H，连接，先证明，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过B点作，连接交于点H，连接，如图所示： 则， ∵， , ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ， 设，则， 为中点， ， ∴，， ， ， 由轴对称性质可知，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的斜边中线定理，相似三角形的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键，遇轴对称，常常伴随着全等三角形出现，等腰三角形出现． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 使代数式有意义，则x的取值范围是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．是一道复合型的题目，要考虑前面是重点．根据分式分母不为零，二次根式被开方数非负，得出不等式组计算即可． 【详解】解：由题意： 则， 故答案为：． 12. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，以及提取公因式法，原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 求不等式组：整数解之和______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 14. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 15. 两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm． 【答案】3． 【解析】 【分析】如图，由AB∥CD，知△OAB∽△OCD，再根据相似三角形对应线段成比例即可求出CD的长． 【详解】如图，OE＝20 cm，OF＝30 cm，AB＝2 cm， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴＝，即＝， ∴CD＝3， 即光屏上火焰所成像的高度为3 cm． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是找出相似三角形． 16. 我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为______． 【答案】20或 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解新定义，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴ 解得． 当时， ∵ ∴ 解得． 故答案为：20或． 17. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点按此方法作下去，则点的坐标是____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，依题意得，进而得，则，由此可求出，再由三角形的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线直线，得，则，再由直线得，则，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：直线与轴交于点，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 令，则， ∴点的坐标为， ∵直线中， ∴直线与轴的夹角为， ， ∵直线经过坐标原点，， ∴直线与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 直线， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴点的坐标为， ∵直线直线， ， ， 由勾股定理得：， ∵直线， ∴在中，，则， ∴， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴点的坐标为， 同理可得：点，点， 以此类推，点的坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型：点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解直角三角形，含 30 度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 18. 现有y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ④若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 代入求顶点坐标，即可验证①；把函数化为，令，求定点，即可验证②；先求得方程的根，然后求距离，结合，即可验证③；先求得抛物线的对称轴，结合，可知对称轴在的右侧，即可验证④． 【详解】解：当时，， ∴其顶点坐标为，故①正确； ∵， ∴当时， 解得或， 当时，； 当时，； ∴图象过定点和，故②正确； ∵方程的根为，，且， ∴函数图象在x轴上截得的线段的长度为，故③正确； ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即抛物线的开口向下，且对称轴在的右侧， ∴当时，则有， 此时，故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 21. 某互联网巨头采用面试系统筛选求职者，共有3000名应聘者参与线上考核．为确保应聘者的各项数据准确，每位应聘者的各项数据需由甲、乙两位员工独立录入系统进行交叉验证．其中，甲使用辅助录入工具，乙采用传统手动录入方式．已知甲平均每分钟录入的人数是乙平均每分钟录入的人数的倍，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入．求乙平均每分钟录入多少名应聘者的数据？ 【答案】10名 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据，根据共有3000名应聘者参与线上考核，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入，列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：乙操作员每分钟能输入10名应聘者的数据． 22. 如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．延长交于点，则，在中，根据正切定义可得出，设，在中，，根据正切的定义得出，解方程求出x，然后根据勾股定理求出和，进而求出从A处移动到B处，物体上升的高度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ∴， 设， 在中，， ， ， 解得， ∴，， ∴，， ∴从A处移动到B处，物体上升了， ∴． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3） 画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 略 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在 中， ∵为中点， ， 在 中， ∵为中点， ， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，在中，，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 25. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元．设第x天的销售价格为y（元），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为_________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元，且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2）x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，y与x的关系式为：． （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润（元）与销售价x（元）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． （3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴，求得a即可． 【小问1详解】 解：依题意，当时，；时，， 当时，设y与x的关系式为，则有 ， 解得， ∴y与x的关系式为：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意， ∵， ∴， 整理得，， 当时， ∵W随x增大而增大， ∴时，取最大值， 当时，， ∵， ∴时，W取得最大值，此时， 综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元． 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，且， ∴对称轴，得， ∵， ∴a的取值范围为． 26. 如图，反比例函数的图像经过线段的端点，线段与x轴正半轴的夹角为，且． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图像相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若P为函数的图像上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且，当时，求出n的值． 【答案】（1）， （2）， 理由：如下图，作轴， ∵，∴ ∴， ∴设代入中，得（舍去） ∴ 设，得直线解析式为：，令， ∴ （3）n的值为或 【解析】 【分析】（1）作轴，由得，从而求得，于是可求的直线关系式和反比例函数表达式； （2）作轴，先求得，设代入中，从而求出得直线解析式为： ，即可求得答案； （3）分两种情况讨论求解即可，①如图1，当点N在上，即时，先求得直线的解折式为，则点，由，即可求解；②如图2，当点N在上，时，由题意得直线的解析式为，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如下图，作轴， ∵， ∴ ∴， ∴直线关系式为 代入中∴； ∴反比例函数表达式为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在平行四边形中， 点P在反比例函数的图像上，点P的横坐标为n，， ①如图1， 当点N在上，即时， 直线的解折式为，则点， 由，得：（舍去）； ②如图2， 当点N在上，时，直线的解析式为 由，解得：． ∴n的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质及待定系数法求反比例函数，图形变换—平移，待定系数法求一次函数以及直角三角函数，掌握分类讨论思想是解题的关键． 27. 如图， 是 的直径， C、D在上， 且点 A 是 的中点，连接交于点E， 延长和相交于点 P， 过点A作交于点G． （1）求证: 直线 是的切线； （2）若， 求的值； （3）过点 P作的切线，切点为Q， 若，求m与n之间的关系． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵点 A 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线 是⊙O 的切线； （2）6 （3） 【解析】 【分析】题目主要考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆周角定理及三角形内角和定理得出，再由等弧所对的圆周角相等确定，由平行线的性质得出，利用等量代换即可证明； （2）根据相似三角形的判定和性质得出，即可求解； （3）过点P作⊙O的切线，连接，利用圆周角定理及等量代换确定，再由相似三角形的判定和性质得出，根据平行线截线段成比例得出，然后代入即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 解：过点P作⊙O的切线，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴代入得：， ∴． 28. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是，直线过定点 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得 ，当时，有最大值为，此时； （3）设直线的解析式为，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，，再由，可得，即，整理得，，由此可知直线经过点． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， 将点B、C代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 过点作轴交于点，过点作轴交于点 ， ， ， 的面积为的面积为， 点为直线BC上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：直线过定点，理由如下: 设直线的解析式为， 当时，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， 当时，， 整理得，， 直线经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年黑龙江省大庆三十六中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列语句中真命题有（ ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③若，则； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤如果A地在B地北偏东方向处，那么B地在A地的南偏西方向处． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 9. 给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么．则（ ） A. 正确的命题只有① B. 正确的命题有①②④ C. 错误的命题有②③ D. 错误的命题是③④ 10. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，点B与点F关于对称，连接并延长，交于点G，交于点．若G是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 使代数式有意义，则x的取值范围是 ___________ ． 12. 分解因式： ______． 13. 求不等式组：整数解之和______． 14. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 15. 两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm． 16. 我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为______． 17. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点按此方法作下去，则点的坐标是____________________ ． 18. 现有y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ④若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立． 三、解答题：本题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中m满足． 21. 某互联网巨头采用面试系统筛选求职者，共有3000名应聘者参与线上考核．为确保应聘者的各项数据准确，每位应聘者的各项数据需由甲、乙两位员工独立录入系统进行交叉验证．其中，甲使用辅助录入工具，乙采用传统手动录入方式．已知甲平均每分钟录入的人数是乙平均每分钟录入的人数的倍，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入．求乙平均每分钟录入多少名应聘者的数据？ 22. 如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 25. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元．设第x天的销售价格为y（元），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为_________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元，且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 26. 如图，反比例函数的图像经过线段的端点，线段与x轴正半轴的夹角为，且． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图像相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若P为函数的图像上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且，当时，求出n的值． 27. 如图， 是 的直径， C、D在上， 且点 A 是 的中点，连接交于点E， 延长和相交于点 P， 过点A作交于点G． （1）求证: 直线 是的切线； （2）若， 求的值； （3）过点 P作的切线，切点为Q， 若，求m与n之间的关系． 28. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $