专题09 一次函数与规律探究问题（3大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过梳理一次函数概念、表达式、图象性质及规律探究核心方法构建知识体系，以框架图形式呈现“数”与“形”结合的方法脉络，突出待定系数法、数形结合等重难点，明确知识内在联系。 讲义亮点在于三大题型分层设计，点的坐标、线段长度、面积规律问题均配典例与练习，通过“计算特例-归纳规律-验证结论”步骤培养推理意识（数学思维），如正方形放置的点坐标问题引导学生抽象坐标规律，基础学生掌握方法，优秀学生深化探究，助力教师精准教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题09 一次函数与规律探究问题（3大基本题型） 题型1：点的坐标规律问题 题型2：线段长度规律问题 题型3：面积规律问题 一、一次函数的基础支撑：规律探究的“工具” 一次函数是规律探究的核心载体，其相关知识点是解决规律问题的基础，主要包括： 1. 一次函数的概念与表达式：一次函数的一般形式为，当时为正比例函数（）。规律探究中，常通过待定系数法确定函数表达式（如根据两点坐标求k,b），进而分析变量间的线性关系。 2. 一次函数的图象与性质：规律探究中，常通过图象特征（如斜率、截距）分析变量的变化趋势（如点的坐标、线段长度、面积的变化规律）。 (1) 图象：一次函数的图象是直线，正比例函数的图象是过原点的直线。 (2) 性质：k决定直线的增减性（k＞0时，y随x增大而增大；k＜0时，y随x增大而减小）；b决定直线与y轴的交点。 二、规律探究的核心方法：“数”与“形”的结合 规律探究问题的关键是从“数”（数值关系）和“形”（图形特征）两个角度分析变量的变化规律，具体方法包括： 1. 从“数”的角度：通过列表法列出变量的取值（如点的坐标、线段长度、面积），观察数值间的倍数关系、乘方关系或循环关系。 2. 从“形”的角度：通过图形的几何性质（如等腰直角三角形的性质、平行线的性质、相似三角形的性质）分析变量的变化。 3. 验证规律：通过特殊值代入（如 ）或数学归纳法验证规律的正确性，确认规律成立。 【题型1】点的坐标规律问题 题型定义：通过分析直线上或几何图形中动点的坐标变化，寻找其横坐标与纵坐标的通项公式（如的规律）。 核心解题思路： 1. 计算特例：先求出前几个点（如）的坐标，列出表格记录； 2. 寻找规律：观察坐标的倍数关系、加减关系； 3. 数学归纳：用n表示规律，写出通项公式； 4. 验证结论：代入n＝4或更大的数，确认规律是否成立。 基本解题步骤： 1. 确定动点的运动轨迹； 2. 计算前3个点的坐标； 3. 分析坐标规律； 4. 推导通项公式； 5. 验证。 【典例1】正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【练习1】如图，正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点…和点…分别在直线和轴上．则点的纵坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标规律；利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律：点的纵坐标为，再代入即可得出结论． 【详解】解：作轴于， 当时，，当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 四边形为正方形， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为， 当时，， 点的坐标为． 同理，点的纵坐标为． 同理，可知：点的坐标为， 点的纵坐标为． ， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：． 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 _____________ ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标变换的规律，通过推导点坐标总结出横纵坐标的符号、绝对值变化规律是解题关键．根据直线和的解析式，依次确定各点坐标，发现每次变换后横、纵坐标的绝对值会乘以，同时符号按周期循环变化，进而推出的坐标． 【详解】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、、等的坐标． 解：当时，， 点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，． 故答案为：． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，设的坐标为，可得，即得，得到点的坐标为，即 ，同理可得点的坐标为，即， 点的坐标为，即，进而得到点的坐标为，据此即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为，即 ∵轴, ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， ， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【题型2】线段长度规律问题 题型定义：分析动线段长度的变化（如、），寻找其长度与序号n的关系。 核心解题思路： 1. 计算特例：求出前几个线段的长度； 2. 寻找规律：观察长度的倍数关系或几何公式（如勾股定理、三角形面积公式）； 3. 数学归纳：用n表示规律，写出通项公式； 4. 验证结论：代入n＝3或更大的数，确认规律是否成立。 基本解题步骤（以北师大版教材常见题型为例）： 1. 确定线段的端点 2. 计算前3个线段的长度 3. 分析长度规律 4. 推导通项公式 5. 验证 【典例1】如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 【练习1】《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【分析】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【详解】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 【练习2】如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，可得：，可得运动的总路径的长为，据此即可求解． 【详解】解：由直线：可知，， 由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知， ，， ，，， ，， ，，，， 由此可得，， ∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为， ∴当点到达处时，运动的总路径的长为． 故答案为：． 【练习3】如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，，这样依次下去，得到一组线段：，，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解直角三角形，根据题意分别求出线段，，的长度，进而发现规律得到的长度，据此即可求解，利用从特殊到一般的探究方法发现规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线， ∴直线与 轴的夹角为， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ， ， ∴， 当时，， 故答案为：． 【题型3】面积规律问题 题型定义：探究几何图形面积（如三角形、矩形、梯形）与序号n的关系，常涉及线段长度或坐标的转化。 核心解题思路： 1. 计算特例：求出前几个图形的面积； 2. 寻找规律：观察面积的倍数关系、加减关系或几何公式； 3. 数学归纳：用n表示规律，写出通项公式； 4. 验证结论：代入n＝3或更大的数，确认规律是否成立。 基本解题步骤（以北师大版教材常见题型为例）： 1. 确定图形的构成 2. 计算前3个图形的面积 3. 分析面积规律 4. 推导通项公式 5. 验证 【典例1】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 【练习1】如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 根据梯形的面积公式求解出的函数解析式即可． 【详解】解：当时，；当时，； 当时，； 当时，； 则， 由题意知得， 根据梯形的面积公式得，， ， 故我们可以得出， ∵当均成立， ∴成立， 故答案为：． 【练习2】如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律，___________． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 将点的坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得，， ∴， ， ， …… ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型，点的坐标，一次函数图象上的点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 【练习3】正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形．由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，总结出规律，即可得解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题09一次函数与规律探究问题（3大基本题型) 专题概览 题型1：点的坐标规律问题 题型2：线段长度规律问题 题型3：面积规律问题 核心知识点总结 一、一次函数的基础支撑：规律探究的“工具” 一次函数是规律探究的核心载体，其相关知识点是解决规律问题的基础，主要包括： 1.一次函数的概念与表达式：一次函数的一般形式为y=x+b(k≠0)，当b=0时为正比例函数 (y=:)。规律探究中，常通过待定系数法确定函数表达式（如根据两点坐标求k,b),进而分析变量 间的线性关系。 2. 一次函数的图象与性质：规律探究中，常通过图象特征（如斜率、截距)分析变量的变化趋势（如 点的坐标、线段长度、面积的变化规律)。 (①)图象：一次函数的图象是直线，正比例函数的图象是过原点的直线。 (2)性质：k决定直线的增减性（k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小)；b决定 直线与y轴的交点(0，b)。 二、规律探究的核心方法：“数”与“形”的结合 规律探究问题的关键是从“数”（数值关系）和“形”（图形特征）两个角度分析变量的变化规律， 具体方法包括： 1.从“数”的角度：通过列表法列出变量的取值（如点的坐标、线段长度、面积），观察数值间的 倍数关系、乘方关系或循环关系。 2.从“形”的角度：通过图形的几何性质（如等腰直角三角形的性质、平行线的性质、相似三角形 的性质)分析变量的变化。 3.验证规律：通过特殊值代入（如n=1,2,3·)或数学归纳法验证规律的正确性，确认规律成立。 题型归纳 【题型1】点的坐标规律问题 题型定义：通过分析直线上或几何图形中动点的坐标变化，寻找其横坐标与纵坐标的通项公式（如 An(xnyn)的规律)。 核心解题思路： 1.计算特例：先求出前几个点（如n=1,2,3…)的坐标，列出表格记录： 2.寻找规律：观察坐标的倍数关系、加减关系： 3.数学归纳：用n表示规律，写出通项公式： 4.验证结论：代入n=4或更大的数，确认规律是否成立。 基本解题步骤： 1.确定动点的运动轨迹； 2. 计算前3个点的坐标： 3. 分析坐标规律； 4.推导通项公式； 5.验证。 【典例1】正方形AB,C,O、A,BC,C,ABCC按如图所示的方式放置.点A、4、A和点G、 C2、C.分别在直线y=x+1和x轴上，则点A26的坐标是() y=x+1 子 B3 B2 C2 A.(222,22024）B.(2205-1,22025）C.(2224,2025 D.(2206-1,2026） 【练习1】如图，正方形ABC1A2,A2B2C2A3,ABC3A4,,按如图所示的方式放置，点AAA,.和 点B,B,B…分别在直线y=x+1和x轴上.则点C224的纵坐标是 A4/ A C B2 【练习2】如图，在平面直角坐标系x0y中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线1，，过点(1,0)作 x轴的垂线交于点A,过点A作y轴的垂线交马于点A,过点A作x轴的垂线交于点A,过点A作 y轴的垂线交马于点A,依次进行下去，则点A。的坐标为 12 A A 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,4)，以点0为圆心，以OA长为半径画弧，交 直线y=x于点B.过B点作B4,∥y轴，交直线y=2x于点4，以0为圆心，以O4,长为半径画弧， 交直线y=。x于点B;过点B作B2A,∥y轴，交直线y=2x于点A,以点O为圆心，以OA长为半径 1 画弧，交直线y=二x于点B;过B点作B,A4∥y轴，交直线y=2x于点A,以点O为圆心，以OA长 为半径画弧，交直线y=2于点B, ，按照如此规律进行下去，点B25的坐标为 v=2x A3 A2 B3 A B2 B 【题型2】线段长度规律问题 题型定义：分析动线段长度的变化（如A,B,、OA,)，寻找其长度与序号n的关系。 核心解题思路： 1.计算特例：求出前几个线段的长度； 2.寻找规律：观察长度的倍数关系或几何公式（如勾股定理、三角形面积公式）； 3.数学归纳：用n表示规律，写出通项公式： 4. 验证结论：代入n=3或更大的数，确认规律是否成立。 基本解题步骤（以北师大版教材常见题型为例）： 1.确定线段的端点 2.计算前3个线段的长度 3. 分析长度规律 4.推导通项公式 5.验证 【典例1】如图，直线y=x+2与y轴相交于点A,过点A作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B, 过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,再过点A作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B,过 点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点4，.，依此类推，得到直线y=x+2上的点A、A,A,, 与直线y=0.5x+1上的点B,B,B,,则A,B。的长为 V A3 'y=x+2 … A y-0.5x+1 A B3 【练习1】《庄子天下篇》记载一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如图，直线：少+1与)轴交于 点A,过点A作x轴的平行线交直线l2:y=x于点O,过点O作y轴的平行线交直线于点A,以此类 推，令OA=a1,01A,=a2,,0n-1An-1=an，则a2s的值为 / A 2 【练习2】如图，直线1：y=x+1与直线4：y=2x+2相交于点P-1,0).直线与y轴交于点4.一动 点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点B处后，改为垂直于x轴的方向运动， 到达直线1上的点A处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点B处后，又改为垂直于x轴 的方向运动，到达直线上的点4处后，仍沿平行于x轴的方向运动，照此规律运动，动点C依次经 过点B,A,B4,B,A,,Bo14,A14,.则当动点C到达A025处时，运动的总路径的长为 A B A 6 B 【练习3】如图，过点A2,0)作直线y=5 x的垂线，垂足为点A,过点A作AA⊥x轴，垂足为点 3 4,过点4作A,4⊥1，垂足为点A,,这样依次下去，得到一组线段：A4,AA,A,A,，则 线段A201gA2020的长为 A O 【题型3】面积规律问题 题型定义：探究几何图形面积（如三角形、矩形、梯形)与序号n的关系，常涉及线段长度或坐标 的转化。 核心解题思路： 1.计算特例：求出前几个图形的面积： 2.寻找规律：观察面积的倍数关系、加减关系或几何公式： 3. 数学归纳：用n表示规律，写出通项公式： 4.验证结论：代入n=3或更大的数，确认规律是否成立。 基本解题步骤（以北师大版教材常见题型为例）： 1.确定图形的构成 2.计算前3个图形的面积 3.分析面积规律 4. 推导通项公式 5.验证 【典例1】如下图，直线：y=x+1交y轴于点A,在x轴正方向上取点B,使OB,=OA;过点B作 A,B,⊥x轴，交1于点A,在x轴正方向上取点B,使B,B2=B,A2;过点B作A,B2⊥x轴，交1于点A, 在x轴正方向上取点B,使B2B3=B2A,;记△OA,B,面积为S,△BA,B2面积为S2,△B2AB,面积为S3,… 则S225等于() A A B, A.24046 B.24047 C.24048 D.24049 【练习1】如图，已知直线：y=2x,分别过x轴上的点A(1,0)、A(2,0)、…、Ann,0),作垂直于x轴 的直线交1于点B、B2、、Bn,将△OA,B,,四边形AAB2B、…、四边形A。-1A.B.B。1的面积依次记为 SS2、Sm,则Sn=· y B3/ B2 B S S, 97 A42A3 【练习2】如图，△OA,B,△BAB2,△B2AB,…,都是等腰直角三角，点B,B,B,…均在x轴 正半轴上，直角顶点4，(2,2)，4,4，…均在直线y=- x+3上.设△0AB1,△B,4,B2,△B24B, 2 …的面积分别为S,S2,S3,…,S,S2,S…,依据图形所反映的规律，So2o= A A2 A3 0 B1 B2 B3 【练习3】正方形A4,B,C0、AB,CC1、ABCC2,按如图方式放置，点AAA…和点 CCC3…分别在直线y=x+1和x轴上： A3 B A2/ B2 7ōCC2 C (1)请写出点B的坐标是； (2)△4.B.B1的面积是—