专题14 一次函数与轴对称综合（3大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义以一次函数与轴对称综合为核心，通过知识框架图系统梳理基础知识点，整合一次函数解析式、图象性质与轴对称变换规律，用表格对比直线关于x轴、y轴、原点对称的解析式变化，清晰呈现“对称直线求解”“将军饮马模型”等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，题型1“对称直线解析式求解”通过“取点-求对称点-待定系数法”三步法培养推理能力，题型2“将军饮马模型”结合一次函数图象转化折线距离为直线距离发展几何直观。典例与梯度练习搭配，基础题巩固方法，综合题提升应用意识，支持学生自主复习，助力教师精准教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题14 一次函数与轴对称综合（3大基本题型） 题型1：对称直线解析式求解 题型2：最短路径问题（将军饮马模型） 题型3：轴对称图形与一次函数结合的综合应用 一、一次函数的基础核心知识点 1. 一次函数的解析式与图象：一次函数的一般形式为y＝kx＋b（k≠0），其图象是直线。当b＝0时，退化为正比例函数y＝kx，图象过原点。 2. 解析式的求法：通过两点式（已知直线上两点坐标）、点斜式（已知斜率和一点坐标）或平移法（直线平移时，k不变，b调整）求解。 3. 图象的平移规律：“上加下减，左加右减”（如直线y＝kx＋b向上平移m个单位，得y＝kx＋b＋m；向右平移n个单位，得y＝k(x－n)＋b）。 4. 一次函数的系数与图象特征： (1) 斜率k：决定直线的倾斜方向（k＞0时，直线从左到右上升；k＜0时，直线从左到右下降）和倾斜程度（∣k∣越大，直线越陡）。 (2) 截距b：决定直线与 y轴的交点(0,b)。 5. 一次函数与方程的联系： (1) 一次函数与x轴的交点：令y＝0，解得x＝，即交点为(,0)。 (2) 一次函数与y轴的交点：令x＝0，得(0,b)。 二、轴对称变换的核心知识点 1. 点的轴对称规律： (1) 点P(a,b)关于x轴对称的点：P1(a,−b)（横坐标不变，纵坐标取反）； (2) 点P(a,b)关于y轴对称的点：P2(−a,b)（纵坐标不变，横坐标取反）； (3) 点P(a,b)关于原点对称的点：P3(−a,−b)（横、纵坐标均取反）。 2. 线段的轴对称规律：线段AB关于某轴对称的线段A′B′，其端点A′、B′分别为 A、B的对称点，线段长度不变（A′B′＝AB）。 3. 直线的轴对称规律（核心重点）：直线关于某轴对称的直线，其解析式可通过点的对称推导（取直线上两点，求对称点，再求直线解析式） (1) 直线l:y＝kx＋b关于x轴对称的直线：将y取反，得y＝－kx－b； (2) 直线l:y＝kx＋b关于y轴对称的直线：将x取反，得y＝－kx＋b； (3) 直线l:y＝kx＋b关于原点对称的直线：将x、y均取反，得y＝kx＋b（与原直线重合，因直线过原点时对称后不变，不过原点时需验证，但核心规律是“斜率不变，截距取反”）。 三、核心思想与技巧 1. 数形结合思想：一次函数的图象是直线，轴对称变换是几何操作，通过“以形助数”（用图象理解解析式）和“以数解形”（用解析式计算坐标），解决综合问题。 2. 分类讨论思想：当轴对称变换涉及多个对称轴（如x轴、y轴、原点）或点的位置不确定时，需分类讨论（如对称轴为x轴或y轴时的不同解析式） 3. 特殊点法：求直线解析式时，优先取特殊点（如与坐标轴的交点），简化计算（如直线与x轴交点为(,0)，与y轴交点为(0,b)）。 【题型1】对称直线解析式求解 核心题型：求已知直线关于x轴、y轴或原点对称的直线解析式。 核心解题思路： 1. 利用点的对称变换推导直线解析式——直线由无数点组成，若能找到原直线上任意两点关于对称轴的对称点，即可用待定系数法求出对称直线的解析式。 (1) 关于x轴对称：点的横坐标不变，纵坐标取反 (2) 关于y轴对称：点的纵坐标不变，横坐标取反 (3) 关于原点对称：点的横、纵坐标均取反 2. 详细解题步骤： (1) 取原直线上的两点 (2) 求对称点 (3) 用待定系数法求对称直线解析式 【题型2】最短路径问题（将军饮马模型） 核心题型：在直线上找一点，使该点到直线同侧两定点的距离之和最小（或异侧两定点的距离之差最大）。 核心解题思路：利用轴对称变换将“折线距离”转化为“直线距离”（两点之间线段最短）。 1. 两定一动型（同侧）：找其中一定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求点； 2. 两定一动型（异侧）：直接连接两定点，与直线的交点即为所求点（无需对称）。 【题型3】轴对称图形与一次函数结合的综合应用 核心题型：利用一次函数求解轴对称图形的顶点坐标、周长/面积，或判断轴对称图形的性质。 核心解题思路： 1. 轴对称图形的顶点坐标：找到原图形顶点关于对称轴的对称点，即为轴对称图形的顶点； 2. 周长/面积：利用轴对称性质，轴对称图形的周长/面积与原图形相等，结合一次函数解析式求边长或高； 3. 性质判断：利用一次函数的对称性（如关于x轴、y轴对称的直线斜率关系）判断图形是否为轴对称图形。 解题步骤： 1. 明确对称规则 2. 计算对称顶点坐标 3. 验证轴对称图形 【题型1】对称直线解析式求解 【典例1】若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 【练习1】已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B． (1)在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)在同一坐标系中，画出直线关于y轴对称的直线； (3)求出这条对称直线的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象和性质，关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）先求出，的坐标，再用两点法画出函数图象； （2）根据关于轴对称的性质画出直线关于轴对称的直线； （3）用待定系数法求出函数解析式． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ，， 一次函数的图象如图所示： （2）解：点关于轴的对称点为， 直线关于轴对称的直线过点，， 函数图象如图所示： （3）解：由（2）可知，直线关于轴对称的直线过点，， 设对称直线的函数解析式为， 把点坐标代入得， 解得， 对称直线的函数解析式为． 【练习2】对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3） 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 （4） 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 【练习3】在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程． x … 0 1 2 3 … y … 2 1 m 0 1 2 … (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①m的值为______； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是______； ①此函数图象关于y轴对称； ②当时，函数有最小值为0． ③当时，y随x的增大而增大； (3)已知的图象与y轴的交点为点A，的图象上有一点，在y轴上存在一点C，使面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1)①0； ②图见解析 (2)①③ (3)点C的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，画函数图象，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）①把代入即可求得m的值；②描点、连线即可； （2）根据图象判断即可； （3）根据函数解析式求得A、B的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）①把代入得， ， 故答案为：0； ②列表： x ⋯ 0 3 ⋯ y ⋯ 2 0 2 ⋯ 描点，连线画出函数图象，如图： （2）解：观察图象： ①此函数图象关于y轴对称，正确； ②当时，函数有最小值为，故错误． ③当时，y随x的增大而增大；则，y随x的增大而增大，故正确； 故答案为：：①③； （3）解：的图象上有一点 ， 或5， 或 的图象与y轴的交点为点，在y轴上存在一点C，使面积为6， 当时，， 此时或 当时， 此时或． 综上所述，点C的坐标为或 【题型2】最短路径问题（将军饮马模型） 【典例1】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和轴对称—最短路径问题，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键． 先根据动点，利用参数法求出即点在直线上，再找出点关于直线对称点为，根据根据将军饮马模型可知当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，求出长即可解题． 【详解】解：∵设动点为；又因为动点， ∴， ∴，即点在直线上， 如图， 直线与x轴、y轴分别交于、两点， 易得直线与x轴、y轴分别交于、， ∴， ∴关于直线对称点为， 连接，，作轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，最小值为． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，则周长的最小值为___________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形，平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，掌握以上知识是关键． 过点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，当点共线时，周长的最小值，结合两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，如图所示，过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，作点作关于直线的对称点，连接，交轴于点，交直线于点，      ∴，，， ∴当点共线时，周长的最小值， ∴， 连接，过点作轴于点， ∴，，即，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【练习2】如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及轴对称-最短路线问题，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．作点P关于的对称点，再结合垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：方法一：作点P关于的对称点，交于点，交于点，连接，，过点作于点，交直线于点M，轴于点，过点作于点，轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴，直线解析式为，， 联立，解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∴的最小值为． 方法二：如图，直线，直线解析式为，直线解析式为，与坐标轴交点为，，则，，， 联立解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 整理得 ， ∴， ∴，即当两条直线垂直时，； 如图，作点P关于的对称点， 过点作垂线于点N，交直线于点M，则该垂线解析式为， ∵和关于对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，且过点， ∴设直线， 将代入得，， 解得， ∴直线， 联立直线和，得 ， 解得， ∴， ∴． 【练习3】【问题导入】如图①，在直线上找一点，如何使得最小？ 小华同学的思路：作点关于直线的对称点，连接，与直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最小． 如图②，在直线上找一点，如何使得最大？ 小明同学的思路：作点关于直线的对称点，连接并延长交直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点在轴上运动，点在直线下方的轴上运动． ①当最小时，求点的坐标； ②当最大时，求点的坐标． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当的值最大时，若点、分别是线段、上的动点，且，连接、，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1）①②；（2）． 【分析】（1）①把代入，求出，再把代入解析式，求出的值，作点B关于x轴对称点，连接，则与轴的交点即为点，求出的解析式，令，求出点的坐标即可； ②由①可得的最小值，作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长，求出点坐标，进行求解即可； （2），得到当最大，最小时，t有最大值，过点P，作，，连，证明，得到，进而得到，得到当在线段上时，的值最小，求出的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）①将点代入，得， ∴ 将点代入，得； 故，； 作点B关于x轴对称点，连接， 则与轴的交点即为点， 此时的值最小为的长， ∵， ∴设直线的解析式为， 则：， 解得： ∴， 令，则， 解得， ∴； ②作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长， 设的解析式为 把，分别代入 得 解得 ∴ 令，则， ∴， （2）依题意，， 当最大，最小时，t有最大值，且， ∵， ∴， ∴； 过点P作，使得，连， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握将军饮马是解题的关键． 【题型3】轴对称图形与一次函数结合的综合应用 【典例1】已知一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则的值是（　　） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象和性质， 根据两个一次函数的图象关于y轴对称，得出它们与y轴的交点相同，进而可求出n的值，再在所得一次函数的图象上任意取一点，将其关于y轴的对称点坐标代入即可解决问题． 【详解】解：当，， ∴一次函数与y轴的交点坐标为. ∵一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则将代入得，， 所以一次函数的解析式为． 令得，， 则点关于y轴的对称点坐标为． 将代入得， ， 解得， 所以． 故选：D． 【练习1】如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求的面积； (2)若点P在一次函数的图象上，且在第一象限，，求点P的坐标． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据一次函数解析式先求出点A、B坐标，再求出的面积即可； （2）先求出点C坐标，设点，再分别求出、，根据条件列出方程，求出m值即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：在一次函数中，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵点C与点A关于y轴对称． ∴， 如图，连接， 设点， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【练习2】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，设，则，求出直线解析式为，则可求出，利用勾股定理得到，利用偶次方的非负性推出，则或（舍去），据此可得答案． 【详解】解：设， ∵点关于轴的对称点是点， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴的最小值为， 故答案为：． 【练习3】（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 _； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 _，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 _； （3）【深度思考】 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． ①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③ 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； ②设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ③过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，， ∴点． ①如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ②如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ③如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题14一次函数与轴对称综合（3大基本题型) 专题概览 题型1：对称直线解析式求解 题型2：最短路径问题（将军饮马模型） 题型3：轴对称图形与一次函数结合的综合应用 核心知识点总结 一、一次函数的基础核心知识点 1.一次函数的解析式与图象：一次函数的一般形式为y=a十b(k≠0)，其图象是直线。当b=0时， 退化为正比例函数y=,图象过原点。 2.解析式的求法：通过两点式（已知直线上两点坐标）、点斜式（已知斜率和一点坐标）或平移法 (直线平移时，k不变，b调整)求解。 3.图象的平移规律：“上加下减，左加右减”（如直线y=十b向上平移m个单位，得y=十b 十m;向右平移n个单位，得y=x一n)十b)。 4.一次函数的系数与图象特征： ()斜率k:决定直线的倾斜方向(k>0时，直线从左到右上升；k<0时，直线从左到右下降)和倾 斜程度（越大，直线越陡）。 (2)截距b:决定直线与y轴的交点(O,b)。 5.一次函数与方程的联系： (1) 一次函数与轴的交点：令y=0,解得x=名，即交点为(-冬0。 (2)一次函数与y轴的交点：令x=0,得(0，b)。 二、轴对称变换的核心知识点 1.点的轴对称规律： (1)点P(a,b)关于x轴对称的点：P1(a,-b)(横坐标不变，纵坐标取反)； (2)点P(a,b)关于y轴对称的点：P2(-a,b)(纵坐标不变，横坐标取反)； (3)点P(a,b)关于原点对称的点：P3(-a,-b)(横、纵坐标均取反)。 2.线段的轴对称规律：线段AB关于某轴对称的线段AB',其端点A'、B分别为A、B的对称点， 线段长度不变(AB=AB)。 3.直线的轴对称规律（核心重点）：直线关于某轴对称的直线，其解析式可通过点的对称推导（取 直线上两点，求对称点，再求直线解析式) (I)直线1y=十b关于x轴对称的直线：将y取反，得y=一一b: (2)直线1y=十b关于y轴对称的直线：将x取反，得y=一十b: (3)直线1y=c十b关于原点对称的直线：将x、y均取反，得y=a十b(与原直线重合，因直线过原 点时对称后不变，不过原点时需验证，但核心规律是“斜率不变，截距取反”)。 三、核心思想与技巧 1.数形结合思想：一次函数的图象是直线，轴对称变换是几何操作，通过“以形助数”（用图象理 解解析式)和“以数解形”（用解析式计算坐标），解决综合问题。 2.分类讨论思想：当轴对称变换涉及多个对称轴（如x轴、y轴、原点）或点的位置不确定时，需分 类讨论（如对称轴为x轴或y轴时的不同解析式） 3.特殊点法：求直线解析式时，优先取特殊点（如与坐标轴的交点），简化计算（如直线与x轴交 点为冬0，与y轴交点为0》。 题型归纳 【题型1】对称直线解析式求解 核心题型：求已知直线关于x轴、y轴或原点对称的直线解析式。 核心解题思路： 1.利用点的对称变换推导直线解析式一直线由无数点组成，若能找到原直线上任意两点关于对称 轴的对称点，即可用待定系数法求出对称直线的解析式。 (1)关于x轴对称：点的横坐标不变，纵坐标取反 (2)关于y轴对称：点的纵坐标不变，横坐标取反 (3)关于原点对称：点的横、纵坐标均取反 2. 详细解题步骤： (1)取原直线上的两点 (2)求对称点 (3)用待定系数法求对称直线解析式 【题型2】最短路径问题（将军饮马模型） / 核心题型：在直线上找一点，使该点到直线同侧两定点的距离之和最小（或异侧两定点的距离之差 最大)。 核心解题思路：利用轴对称变换将“折线距离”转化为“直线距离”（两点之间线段最短）。 1.两定一动型（同侧）：找其中一定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点 即为所求点； 2.两定一动型（异侧)：直接连接两定点，与直线的交点即为所求点（无需对称）。 【题型3】轴对称图形与一次函数结合的综合应用 核心题型：利用一次函数求解轴对称图形的顶点坐标、周长/面积，或判断轴对称图形的性质。 核心解题思路： 1.轴对称图形的顶点坐标：找到原图形顶点关于对称轴的对称点，即为轴对称图形的顶点； 2.周长面积：利用轴对称性质，轴对称图形的周长/面积与原图形相等，结合一次函数解析式求边长 或高： 3.性质判断：利用一次函数的对称性（如关于x轴、y轴对称的直线斜率关系）判断图形是否为轴对 称图形。 解题步骤： 1. 明确对称规则 2. 计算对称顶点坐标 3 验证轴对称图形 配套练习 【题型1】对称直线解析式求解 【典例1】若直线y=2x+b与直线y=c+3关于直线y=-x对称，则k、b值分别为() 1 A.k三、b=6B.k=2、b=3 Ck=b=6D.k== 【练习1】己知一次函数y=二x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B. (1)在直角坐标系中画出该函数的图象： ②在同一坐标系中，画出直线y)x+2关于y轴对称的直线 (3)求出这条对称直线的函数关系式 【练习2】对于函数y=2x+m(m为常数)，小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质， 请将小明的探究过程补充完整，并解决问题 y=2x y=2x+7 -65-433-2-1012345 .-2 (1)当m=0时，函数为y=2x;当m=7时，函数为y=2x+7,用描点法画出了这两个函数的图象，如 图所示。 观察函数图象可知：函数y=2x的图象关于 对称： 对于函数y=2x+7,当x=时，y=3; (2)当m=-4时，函数为y=2x-4 ①在图中画出函数y=2x-4的图象： ②对于函数y=2x-4,当1<x<3时，y的取值范围是 (3)结合函数y=2x,y=2x+7和y=2x-4的图象，可知函数y=|2x+m(m≠0)的图象可由函数 y=2x的图象平移得到，它们具有类似的性质.若m>0,写出由函数y=2x的图象得到函数 y=2x+m的图象的平移方式. 【练习3】在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象 一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程 -3 -2 -1 0 3 m 2 珠 分 4 3 2 1 4-3-2-10 2 4 2 (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出y=x-1的函数图象； ①m的值为； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数y=x-1图象及性质描述正确的是； ①此函数图象关于y轴对称； ②当x=1时，函数有最小值为0. ③当x>1时，y随x的增大而增大： (3)已知y=x-1的图象与y轴的交点为点A,y=x-1的图象上有一点B(m,4),在y轴上存在一点C, 使ABC面积为6，求点C的坐标 【题型2】最短路径问题（将军饮马模型） 1 【典例1】已知直线y=2x+1与x轴、y轴分别交于4、B两点，平面内有一动点心m-4,-m+2,则 PA+PB的最小值为 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,3)，点C是y轴上一动点，点B是正比例函数 y=x图象上一动点，则ABC周长的最小值为 【练习2】知图，已知点P叫7，，点M,N分别是直线：y=x和直线：y=号x上的动点，连接PM, MN.则PM+MN的最小值为 【练习3】【问题导入】如图①，在直线1上找一点P,如何使得PA+PB最小？ B B 图① 图② 小华同学的思路：作点A关于直线I的对称点A,连接BA',与直线I交于点P,由对称可得PA'=PA, 所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB,此时PA+PB最小. 如图②，在直线I上找一点P,如何使得PA-PB最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线I的对称点！，连接BA'并延长交直线I交于点P,由对称可得 P'=PA,所以PA-PB=PA'-PB≤A'B,当A、P、B三点共线的时候，PA-PB=AB,此时 PA-PB最大 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决。 【理解运用】(1)如图③，直线y=7x+b上有点A(4,、B(-2,,点P在x轴上运动，点0在直线 AB下方的y轴上运动， ①当PA+PB最小时，求点P的坐标； ②当QA-QB最大时，求点Q的坐标. / 【深度探究】(2)在(1)的条件下，且满足t=QA-QB-PA-PB,当t的值最大时，若点M、N分 别是线段OP、OQ上的动点，且PM=ON,连接PN、MQ,当PN+M但最小时，求点M的坐标. B 图③ 备用图 【题型3】轴对称图形与一次函数结合的综合应用 【典例1】已知一次函数y=mx-3的图象与一次函数y=2x+n的图象关于y轴对称，则m+n的值是() A.5 B.-1 C.1 D.-5 【练习1】如图，已知一次函数y=x+2的图象与x轴交于点4，与y轴交于点B,点C与点4关于) 轴对称. B (1)求A0B的面积； ②若点P在一次函数x+2的图象上，且在第一象限，SxOWCS.APc,求点P的坐标 【练习2】如图，直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C为线段AB(端点除外)上一动点，点 D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交DO的延长线于点F,则线段DF的最小值是： 【练习3】(1)【提出问题】将一次函数y=-2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象 对应的函数表达式为一； (2)【初步思考】将一次函数y=-2x+4的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函 数表达式.数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点A0,4), B(2,0),将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点A,B的坐标分别为一，从而求出经过点A, B的直线对应的函数表达式为_一； (3)【深度思考】 已知一次函数y=-2x+4的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B. ①将一次函数y=-2x+4的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式： ②如图①，将直线y=-2x+4绕点A逆时针旋转90°，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线y=-2x+4绕点A逆时针旋转45°，求所得图象对应的函数表达式。 8 y=-2c+4 v=-2r+4 图① 图②