专题08 一次函数与最值问题（含将军饮马）（3大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学复习讲义以“工具支撑-模型原理-应用拓展”为主线构建知识体系，通过框架图系统梳理一次函数的定义、图象性质及与方程不等式的联系，用步骤分解表呈现将军饮马模型的原理和变式，清晰展现重难点分布与内在逻辑。 讲义亮点在于三大题型的分层设计，如将军饮马模型通过作对称点转化路径培养几何直观，实际应用中利润问题的函数建模发展模型意识，练习分基础题和拓展题适配不同学生。每个题型配有典例解析和方法总结，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题08 一次函数与最值问题（含将军饮马）（3大基本题型） 题型1：将军饮马模型 题型2：一次函数最值的实际应用 题型3：一次函数与几何问题的最值综合 一、一次函数基础：最值问题的工具支撑 一次函数是解决最值问题的核心工具，其表达式、图象与性质是理解最值问题的基础，主要包括： 1. 一次函数的定义与表达式：形如的函数称为一次函数一次函数的一般形式为，当时为正比例函数（）。 (1) 系数意义：k决定直线的倾斜方向与陡峭程度（k＞0时，直线从左到右上升；k＜0时，直线从左到右下降）；b决定直线与y轴的交点坐标。 (2) 解析式求解：通过待定系数法，代入已知点的坐标求解k和b。 2. 一次函数的图象与性质 (1) 图象形状：一次函数的图象是直线，正比例函数的图象过原点。 (2) 单调性：k＞0时，y随x增大而增大；k＜0时，y随x增大而减小。 (3) 截距：直线与x轴的交点为，与y轴的交点为。 (4) 平移规律：直线向上平移m个单位得，向下平移m个单位得 ；向左平移m个单位得，向右平移m个单位得。 3. 一次函数与方程、不等式的联系 (1) 一次函数与x轴的交点横坐标是方程的解； (2) 一次函数与y轴的交点纵坐标是方程的解； (3) 两个一次函数的交点坐标是方程组的解。 二、将军饮马模型：最短路径问题的经典解法 将军饮马模型是几何最值问题的核心模型，用于解决“两点到直线上一点的最短路径”问题，其核心思想是轴对称变换（将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”）。主要包括： 1. 模型原理：对于直线l同侧的两点A、B，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。 (1) 解法步骤： 1 作点A关于直线l的对称点A′（对称点的连线与直线l垂直，且中点在直线l上）； 2 连接A′B，与直线l交于点P，则P即为所求点（此时PA＋PB＝A′B，为最小值）。 (2) 理论依据：轴对称性质（PA＝PA′）＋两点之间线段最短（A′B是A′到B的最短路径）。 2. 模型变式 (1) 异侧点问题：若两点A、B在直线l异侧，直接连接AB，与直线l的交点即为最短路径点（无需对称）； (2) 多动点问题：若直线上有两个动点P、Q，需分别作对称点（如作A关于l1的对称点A′，作B关于l2的对称点B′），再连接A′B′找交点； 3. 实际场景应用：如“饮马问题”“台球击球路线”“光线反射”等，均可用将军饮马模型解决。 三、一次函数与最值综合应用：实际问题的数学建模 一次函数与最值问题的综合应用，本质是将实际问题转化为一次函数模型，利用其单调性或图象特征求最值，主要包括： 1. 最值问题的类型 (1) 最大值问题：当k＜0时，y随x的增大而减小，因此在自变量取值范围的左端点，y取最大值； (2) 最小值问题：当k＞0时，y随x的增大而增大，因此在自变量取值范围的右端点，y取最小值； (3) 范围约束：若自变量x有取值范围（如），需结合一次函数的单调性，在范围内找最值点。 2. 实际应用场景 (1) 销售利润问题：设销售量为x，利润为y，利润函数为y＝(售价−成本)x－固定成本，通过一次函数的单调性求最大利润； (2) 行程问题：设时间为x，路程为y，路程函数为y＝速度×x，通过一次函数的单调性求最短时间或最远路程； (3) 费用问题：设用水量为x，水费为y，水费函数为分段一次函数（如阶梯水价），通过分段函数的单调性求最小费用； (4) 几何最值问题：如“矩形周长最小”“三角形面积最大”等，通过一次函数表示边长或面积，结合几何性质求最值。 3. 解题步骤 (1) 建模：将实际问题转化为一次函数表达式（如设变量、找关系）； (2) 分析单调性：确定k的符号（k＞0或k＜0）； (3) 确定取值范围：根据实际问题，确定自变量x的取值范围； (4) 求最值：结合单调性，在取值范围内找最值点（端点或交点）。 四、核心知识点的联系与应用 一次函数与将军饮马模型的核心联系在于数形结合： 1. 将军的“马路线”对应一次函数的图象（直线），最短路径对应两点之间的线段（A′B）； 2. 一次函数的单调性（k的符号）决定了最值的位置（左端点或右端点）； 3. 轴对称变换（将军饮马）是几何方法，一次函数是代数方法，两者结合可解决复杂的综合问题。 【题型1】将军饮马模型 核心解题思路：利用轴对称变换将“折线距离”转化为“直线距离”（两点之间线段最短），通过作对称点、连线找交点解决最短路径问题。 1. 基础型：两点在直线同侧求最短路径 (1) 题型描述：已知直线l和直线同侧的两点A、B，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。 (2) 核心解题步骤： 1 作对称点：作点A关于直线l的对称点A′（对称点的连线与l垂直，中点在l上）； 2 连线找交点：连接A′B，与直线l的交点即为所求点P； 3 原理验证：PA＝PA′（轴对称性质），故PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B（两点之间线段最短）。 2. 变式型：两点在直线异侧求最短路径 (1) 题型描述：已知直线l和直线异侧的两点A、B，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。 (2) 核心解题步骤： 1 连线找交点：直接连接AB，与直线l的交点即为所求点P 2 原理验证：两点之间线段最短，无需轴对称变换。 3. 扩展型：多动点或多次反射问题 (1) 题型描述：涉及多个动点（如直线上有两个动点P、Q）或多次反射（如“将军饮马”＋“台球碰壁”）的最短路径问题。 . (2) 核心解题步骤： 1 多次轴对称：对每个定点作对应直线的对称点（如作A关于l1的对称点A′，作B关于l2的对称点B′）； 2 连线找交点：连接对称点，与各直线的交点即为所求动点； 3 原理验证：通过多次轴对称将折线转化为直线，确保总距离最短。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短路径问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，可得当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则， ∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为： 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、勾股定理及一次函数的图象与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图、勾股定理及一次函数的图象与性质是解题的关键；连接，由线段垂直平分线的性质可知，则有，要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可知：垂直平分， ∴， ∴， 要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 由一次函数可令时，则有，令时，则有， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：． 【练习2】如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【练习3】如图，直线 与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，在平面直角坐标系中，点是轴上的一个点，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了垂线段最短，勾股定理，一次函数的性质，过作于点，连接，由垂线段最短可得即为线段的最小值，通过一次函数的性质可得，，所以，，，所以，再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，连接， 由垂线段最短可得，即为线段的最小值， ∵直线 与轴、轴分别交于点，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【题型2】一次函数最值的实际应用 核心解题思路：通过建立一次函数模型，分析函数单调性（k的符号），结合自变量取值范围，确定最优方案（如最小成本、最大利润）。 1. 最大利润问题 (1) 题型描述：涉及销售、生产等场景，求最大利润。 (2) 核心解题步骤： 1 设变量：设销售量、售价等自变量； 2 建模型：根据题意写出利润函数； 3 分析单调性：根据k的符号判断函数增减性； 4 求最值：结合自变量取值范围，在端点处取最值。 2. 费用最少问题 (1) 题型描述：涉及租车、用水、用电等场景，求最小费用。 (2) 核心解题步骤： 1 分段建模型：根据收费标准分段，写出各段函数； 2 分析单调性：每段函数根据k的符号判断增减性； 3 求最值：结合自变量取值范围，选择费用最低的方案。 3. 分配方案问题 (1) 题型描述：涉及资源分配、人员分配等场景，求最优分配方案。 (2) 核心解题步骤： 1 设变量：设分配量； 2 建模型：写出各仓库的调运量及总费用函数； 3 约束条件：根据仓库容量、调运量非负等条件，确定自变量取值范围； 4 求最值：分析函数单调性，在约束范围内取最值。 【典例1】某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【答案】(1)，，且为整数； (2)66000元，生产A产品60件，B产品30件． 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意列出函数关系式即可； （2）根据题意可得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得： ，且，为整数； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵，随的增大而增大， ∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元）， ∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为元． 【练习1】草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富，具有生产周期短、见效快、经济效益高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销售，设经销商购进甲种草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓的价格是每千克30元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共100千克，其中甲种草莓不少于40千克且不超过70千克，设经销商付款总金额为W元，求W的最小值． 【答案】(1) (2)3300 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）分和，两段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出关于的一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得， ∴； 当时，设函数解析式为， 将点，代入得 ， 解得， ∴． ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意可知， 当时，， ∵， ∴W随x的增大而增大，当时，W最小，最小值为3400， 当时，， ∵， ∴W随x的增大而减小，当时，W最小，最小值为3300， ∵， ∴W的最小值为3300. 【练习2】根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了一处劳动实践基地，2025年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y(单位：元)与其种植面积x(单位：的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为40元． 问题解决 任务1 确定函数关系 (1)求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 (2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 任务3 改进种植方案 (3)经过技术改进，乙每平方米成本减少元(的常数)，问此时取何值时总费用最少？最少费用是多少？(可以用含的代数式表示) 【答案】任务1： 任务2：种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，最小，的最小值为元 任务3：当时，最少费用为，当时最少费用为元，当时最少费用为元 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 任务1：用待定系数法可得甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式为； 任务2：依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案． 任务3：依据题意，求出，再根据的范围结合一次函数性质可得答案． 【详解】解：任务1：设甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式为， 根据图象可得： 解得： 甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式为； 任务2：根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为元； 种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，最小，的最小值为元． 任务3：根据题意得： 当时，即，随的增大而减小，当时，取最小值，最小值为(元) ． 当时，当时，最小值为； 当时，即，随的增大而增大，当时，取最小值，最小值为元； 综上所述，当时，最少费用为元，当时最少费用为元，当时最少费用为元． 【练习3】甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 【题型3】一次函数与几何问题的最值综合 核心解题思路：结合几何性质（如三角形两边之和大于第三边、垂线段最短）与一次函数单调性，解决图形中的最值问题（如周长最小、线段和最小）。 1. 周长最小问题 (1) 题型描述：涉及三角形、四边形等图形的周长最小。 (2) 核心解题步骤： 1 转化变量：将周长转化为“线段和”； 2 用将军饮马：对于线段和部分，用将军饮马模型求最小值； 3 结合单调性：对于固定部分，根据一次函数单调性求最值。 2. 线段和最小问题 (1) 题型描述：涉及图形中的线段和最小。 (2) 核心解题步骤： 1 作对称点：对其中一个顶点作对边的对称点； 2 连线找交点：连接对称点与另一个顶点，与对边的交点即为所求点； 3 原理验证：轴对称性质+两点之间线段最短。 3. 垂线段最短问题 (1) 题型描述：涉及点到直线的距离最小。 (2) 核心解题步骤： 1 原理应用：根据“垂线段最短”，过点作直线的垂线，垂足即为所求点； 2 结合一次函数：求垂足坐标，联立方程求交点。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 【答案】(1) (2)的最小周长是 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）周长， 当最小时，的周长最小， 如下图，作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D， 此时，可得到最小值， ，C与A关于y轴对称， M为中点，， ，即， ， ， 在中，， 在中，， 周长． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． (2)请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【分析】（）根据轴对称图形的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； （）连接交于点，连接，由轴对称的性质得，故，由两点之间线段最短，可知的值最小，即此时周长最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图所示，点即为所求． 【练习2】【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为______； ②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接．若AC⊥CD，，则的最小值是______； （2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 【答案】（1）①；②4；（2）；（3） 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3） 过点M作轴，过点N作轴，与相交于点H，过点P作轴，交直线于点G．可根据“角角边”证明，可得，再设点，点，根据数量关系可得点N在直线上，接下来得出当点三点共线时，最小，即的值最小，然后设直线与x轴交于点J，与y轴交于点K，连接，可证明，即可得出点，最后求出的长，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，； 当时，得：， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故答案为：4； （2）过点A作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，如图3， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 令，则；令，则，解得， ∴，， ∴， ∴， 解得，． ∴， 设直线l的解析式为，将点B，点D的坐标分别代入得： ， 解得， ∴l解析式为； （3）已知点P的坐标为，按设计要求，如图③，过点M作轴，过点N作轴，与相交于点H，过点P作轴，交直线于点G． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 设点，点， 即， 解得，， 则．即点N在直线上， 过点O作直线的对称点，当点三点共线时，最小，即的值最小， 如图，设直线与x轴交于点J，与y轴交于点K，连接，， 则点，点，， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴ ∴的值最小为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【练习3】【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． 【问题提出】（1）求直线的函数表达式； 【初步探究】（2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值． 【答案】（1）；（2）或 ；（3） 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求直线围成的图形面积，用勾股定理解三角形等知识，解题的关键掌握上述知识点并能运用求解． （1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答； （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答； （3）连接，由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】(1) 解：将代入，则， ∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； (2) 存在． 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 当时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； (3) 如图，连接， ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∴， 即的最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题08 一次函数与最值问题（含将军饮马）（3大基本题型） 题型1：将军饮马模型 题型2：一次函数最值的实际应用 题型3：一次函数与几何问题的最值综合 一、一次函数基础：最值问题的工具支撑 一次函数是解决最值问题的核心工具，其表达式、图象与性质是理解最值问题的基础，主要包括： 1. 一次函数的定义与表达式：形如的函数称为一次函数一次函数的一般形式为，当时为正比例函数（）。 (1) 系数意义：k决定直线的倾斜方向与陡峭程度（k＞0时，直线从左到右上升；k＜0时，直线从左到右下降）；b决定直线与y轴的交点坐标。 (2) 解析式求解：通过待定系数法，代入已知点的坐标求解k和b。 2. 一次函数的图象与性质 (1) 图象形状：一次函数的图象是直线，正比例函数的图象过原点。 (2) 单调性：k＞0时，y随x增大而增大；k＜0时，y随x增大而减小。 (3) 截距：直线与x轴的交点为，与y轴的交点为。 (4) 平移规律：直线向上平移m个单位得，向下平移m个单位得 ；向左平移m个单位得，向右平移m个单位得。 3. 一次函数与方程、不等式的联系 (1) 一次函数与x轴的交点横坐标是方程的解； (2) 一次函数与y轴的交点纵坐标是方程的解； (3) 两个一次函数的交点坐标是方程组的解。 二、将军饮马模型：最短路径问题的经典解法 将军饮马模型是几何最值问题的核心模型，用于解决“两点到直线上一点的最短路径”问题，其核心思想是轴对称变换（将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”）。主要包括： 1. 模型原理：对于直线l同侧的两点A、B，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。 (1) 解法步骤： 1 作点A关于直线l的对称点A′（对称点的连线与直线l垂直，且中点在直线l上）； 2 连接A′B，与直线l交于点P，则P即为所求点（此时PA＋PB＝A′B，为最小值）。 (2) 理论依据：轴对称性质（PA＝PA′）＋两点之间线段最短（A′B是A′到B的最短路径）。 2. 模型变式 (1) 异侧点问题：若两点A、B在直线l异侧，直接连接AB，与直线l的交点即为最短路径点（无需对称）； (2) 多动点问题：若直线上有两个动点P、Q，需分别作对称点（如作A关于l1的对称点A′，作B关于l2的对称点B′），再连接A′B′找交点； 3. 实际场景应用：如“饮马问题”“台球击球路线”“光线反射”等，均可用将军饮马模型解决。 三、一次函数与最值综合应用：实际问题的数学建模 一次函数与最值问题的综合应用，本质是将实际问题转化为一次函数模型，利用其单调性或图象特征求最值，主要包括： 1. 最值问题的类型 (1) 最大值问题：当k＜0时，y随x的增大而减小，因此在自变量取值范围的左端点，y取最大值； (2) 最小值问题：当k＞0时，y随x的增大而增大，因此在自变量取值范围的右端点，y取最小值； (3) 范围约束：若自变量x有取值范围（如），需结合一次函数的单调性，在范围内找最值点。 2. 实际应用场景 (1) 销售利润问题：设销售量为x，利润为y，利润函数为y＝(售价−成本)x－固定成本，通过一次函数的单调性求最大利润； (2) 行程问题：设时间为x，路程为y，路程函数为y＝速度×x，通过一次函数的单调性求最短时间或最远路程； (3) 费用问题：设用水量为x，水费为y，水费函数为分段一次函数（如阶梯水价），通过分段函数的单调性求最小费用； (4) 几何最值问题：如“矩形周长最小”“三角形面积最大”等，通过一次函数表示边长或面积，结合几何性质求最值。 3. 解题步骤 (1) 建模：将实际问题转化为一次函数表达式（如设变量、找关系）； (2) 分析单调性：确定k的符号（k＞0或k＜0）； (3) 确定取值范围：根据实际问题，确定自变量x的取值范围； (4) 求最值：结合单调性，在取值范围内找最值点（端点或交点）。 四、核心知识点的联系与应用 一次函数与将军饮马模型的核心联系在于数形结合： 1. 将军的“马路线”对应一次函数的图象（直线），最短路径对应两点之间的线段（A′B）； 2. 一次函数的单调性（k的符号）决定了最值的位置（左端点或右端点）； 3. 轴对称变换（将军饮马）是几何方法，一次函数是代数方法，两者结合可解决复杂的综合问题。 【题型1】将军饮马模型 核心解题思路：利用轴对称变换将“折线距离”转化为“直线距离”（两点之间线段最短），通过作对称点、连线找交点解决最短路径问题。 1. 基础型：两点在直线同侧求最短路径 (1) 题型描述：已知直线l和直线同侧的两点A、B，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。 (2) 核心解题步骤： 1 作对称点：作点A关于直线l的对称点A′（对称点的连线与l垂直，中点在l上）； 2 连线找交点：连接A′B，与直线l的交点即为所求点P； 3 原理验证：PA＝PA′（轴对称性质），故PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B（两点之间线段最短）。 2. 变式型：两点在直线异侧求最短路径 (1) 题型描述：已知直线l和直线异侧的两点A、B，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。 (2) 核心解题步骤： 1 连线找交点：直接连接AB，与直线l的交点即为所求点P 2 原理验证：两点之间线段最短，无需轴对称变换。 3. 扩展型：多动点或多次反射问题 (1) 题型描述：涉及多个动点（如直线上有两个动点P、Q）或多次反射（如“将军饮马”＋“台球碰壁”）的最短路径问题。 . (2) 核心解题步骤： 1 多次轴对称：对每个定点作对应直线的对称点（如作A关于l1的对称点A′，作B关于l2的对称点B′）； 2 连线找交点：连接对称点，与各直线的交点即为所求动点； 3 原理验证：通过多次轴对称将折线转化为直线，确保总距离最短。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为_____． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是_________． 【练习2】如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 【练习3】如图，直线 与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，在平面直角坐标系中，点是轴上的一个点，则线段的最小值为______． 【题型2】一次函数最值的实际应用 核心解题思路：通过建立一次函数模型，分析函数单调性（k的符号），结合自变量取值范围，确定最优方案（如最小成本、最大利润）。 1. 最大利润问题 (1) 题型描述：涉及销售、生产等场景，求最大利润。 (2) 核心解题步骤： 1 设变量：设销售量、售价等自变量； 2 建模型：根据题意写出利润函数； 3 分析单调性：根据k的符号判断函数增减性； 4 求最值：结合自变量取值范围，在端点处取最值。 2. 费用最少问题 (1) 题型描述：涉及租车、用水、用电等场景，求最小费用。 (2) 核心解题步骤： 1 分段建模型：根据收费标准分段，写出各段函数； 2 分析单调性：每段函数根据k的符号判断增减性； 3 求最值：结合自变量取值范围，选择费用最低的方案。 3. 分配方案问题 (1) 题型描述：涉及资源分配、人员分配等场景，求最优分配方案。 (2) 核心解题步骤： 1 设变量：设分配量； 2 建模型：写出各仓库的调运量及总费用函数； 3 约束条件：根据仓库容量、调运量非负等条件，确定自变量取值范围； 4 求最值：分析函数单调性，在约束范围内取最值。 【典例1】某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【练习1】草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富，具有生产周期短、见效快、经济效益高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销售，设经销商购进甲种草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓的价格是每千克30元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共100千克，其中甲种草莓不少于40千克且不超过70千克，设经销商付款总金额为W元，求W的最小值． 【练习2】根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了一处劳动实践基地，2025年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y(单位：元)与其种植面积x(单位：的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为40元． 问题解决 任务1 确定函数关系 (1)求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 (2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 任务3 改进种植方案 (3)经过技术改进，乙每平方米成本减少元(的常数)，问此时取何值时总费用最少？最少费用是多少？(可以用含的代数式表示) 【练习3】甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【题型3】一次函数与几何问题的最值综合 核心解题思路：结合几何性质（如三角形两边之和大于第三边、垂线段最短）与一次函数单调性，解决图形中的最值问题（如周长最小、线段和最小）。 1. 周长最小问题 (1) 题型描述：涉及三角形、四边形等图形的周长最小。 (2) 核心解题步骤： 1 转化变量：将周长转化为“线段和”； 2 用将军饮马：对于线段和部分，用将军饮马模型求最小值； 3 结合单调性：对于固定部分，根据一次函数单调性求最值。 2. 线段和最小问题 (1) 题型描述：涉及图形中的线段和最小。 (2) 核心解题步骤： 1 作对称点：对其中一个顶点作对边的对称点； 2 连线找交点：连接对称点与另一个顶点，与对边的交点即为所求点； 3 原理验证：轴对称性质+两点之间线段最短。 3. 垂线段最短问题 (1) 题型描述：涉及点到直线的距离最小。 (2) 核心解题步骤： 1 原理应用：根据“垂线段最短”，过点作直线的垂线，垂足即为所求点； 2 结合一次函数：求垂足坐标，联立方程求交点。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． (2)请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【练习2】【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为______； ②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接．若AC⊥CD，，则的最小值是______； （2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 【练习3】【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． 【问题提出】（1）求直线的函数表达式； 【初步探究】（2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $