专题02 一次函数与三角形综合问题的三种模型（高效培优专项训练）数学北师大版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02一次函数与三角形综合问题的三种模型 题型归纳 目录 题型一：一次函数与三角形的面积问题 题型二：一次函数与三角形全等问题 .10 题型三：一次函数与三角形存在问题.23 题型专练 题型一：一次函数与三角形的面积问题 1.(24-25八年级下·广东汕头阶段练习)若直线y=2x+b与直线y=3x-4相交于x轴上一点，则这两条直 线与y轴所围成的三角形的面积是() A.号 B. c 2.(24-25八年级下山东菏泽·期末)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→C→B以 1cm/s的速度匀速运动至点B,图2是点P运动时，△ABP的面积ycm)随时间x(s变化的函数图象，则 该三角形的斜边AB的长为() 6 图1 图2 A.35 B.35 C.45 D.9 3.(24-25八年级下·黑龙江绥化期末)若直线y=3x+m与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值 为 4.(24-25八年级下·北京·期中)若直线y=kc+2与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为■ 5.(23-24八年级下·上海浦东新阶段练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知一次函数y=-2x+4的 图象与x轴、y轴的交点分别为点A和点B. 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求AOB的周长： (2)如果直线1经过线段AB的中点C,且与直线y=3x+1平行，求直线1、直线AB与y轴围成的三角形的面 积. 6.(2025八年级下，全国，专题练习)在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此 一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,则△OAB为此函数 的坐标三角形 y B A八 (1)求函数y=-x+3的坐标三角形的面积： 3 (2)若函数y=-三x+b(b为常数)的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积. 7.(23-24八年级下·江西上饶期末)如图，直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是OB的 中点. (1)求点C的坐标： (2)在x轴上找一点D,使得S。4CD=S。ABC,求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形AOB的面积是三角形AOP面积的2倍，直接写出点P的坐标， 8.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x 轴负半轴交于点B,与y轴正半轴交于点A,A点坐标(0,2)，三角形AB0的面积是4. 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y B B B E 图1 图2 图3 (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标(0，m),连接BC,点E是x轴正半轴 上一点，且OE=2AC,连接AE. ①如图2，若三角形ABE的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段BO上一点（点F与点B,点O不重合），连接AF,CF,当四边形ACBF的面积与 三角形AFE的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形ACF的面积，并说明理由. 9.(24-25七年级下·湖南长沙阶段练习)在平面直角坐标系中，A(0,α)，B(b,-1,且a,b满足 (a-b+12+√2a+b-10=0,连接AB交x轴于点C,E(-6,0)在x轴的负半轴上，过点B作直线AE的平行 线交y轴于点D. D 图1 图2 (1)求a,b的值： (②)如图1，若y轴上存在一点P,使得三角形ABP的面积为8，求出点P的坐标； (3)如图2，点Q为直线AE上一点，使得mS。AD0=S。ADB,且点Q在第二象限(S。ADB表示三角形ADB的面积) ①求点D的坐标；（提示：可以去思考一下ADE与△ABE面积的关系 ②求点Q的坐标（用含m的式子表示）. 题型二：一次函数与三角形全等问题 10.(2425八年级上山东青岛期中)如图，直线1：y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点， 4 OM⊥AB于点M,点P为直线1上不与点A、B重合的一个动点.在y轴上存在()个点Q,使得以O、 P、Q为顶点的三角形与△OMP全等. 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 A A.2 B.4 C.5 D.6 11.(23-24八年级下山东济宁.期末)如图，直线y=-3x+3与x轴和y轴分别交于A,B两点，射线 AP上AB于点A.若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C,D,A为顶点的三 角形与AOB全等，则OD的长为() y个 B 0 A A.3或V10+1B.4或V10 C.3或0 D.4或√10+1 12.(23-24八年级上江西九江期中)如图，直线AB的解析式为y=-x+b分别与x,y轴交于A,B两点， 点A的坐标为(3,0)，过点B的直线交x轴负半轴于点C,且0B:0C=3:1.在x轴上方存在点D,使以点A ,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 4 13.(24-25八年级上山东淄博阶段练习)如图，直线y=- +4与轴，y轴分别交于A,B两点，射线 AC⊥AB于点A,若点P是射线AC上一动点，点D是x轴上的一动点，若以A,D,P为顶点的三角形与 △AOB全等，则点P的坐标为 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 14.(23-24八年级上·浙江嘉兴阶段练习)如图，直线y=- x+3分别交x轴，y轴于点A,B,点 C(0,6),动点M从点A出发以每秒1个单位的速度沿x轴负方向移动，设点M的移动时间为t秒， M A (1)求A,B两点的坐标. (2)设△C0M的面积为S,当0<1<6时，求S关于t的函数表达式. (3)当t为何值时，△C0M与AOB全等 15.(24-25八年级上江苏期末)如图：直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，0A=40B,点 C(x,y)是直线y=x+3上与A、B不重合的动点. B A A 备用图1 备用图2 (1I)求直线AB的解析式： (2)作直线0C,当点C运动到什么位置时，A0B的面积被直线0C分成1：2的两部分； (3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与AOB全等？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，说明理由 16.(24-25八年级下广东阳江·期末)如图1，直线☑与y轴交于点A(0,2),与x轴交于点B(4,0),直线2经 过点A,C(-1,0. 2 C B 图1 图2 (1)求直线1与Z的函数解析式. (2)求ABC的面积， (3)如图2，P是线段AB上的一动点，Q是线段AC上的一动点，连接OP,OQ,PQ,若△PQA与△POO全 5/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 等，求点P的坐标。 题型三：一次函数与三角形存在问题 17.(24-25八年级下·广西来宾期末)如图，Am,0),B(n,0),且m,n满足(m+2)+n-2=0,直线AC恰 好是一次函数y=+1的图象，CB1x轴于B. 0 (I)求点C的坐标，并求ABC的周长； (②)在y轴上是否存在点P,使得S△c=S△p？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 18.(24-25八年级下上海金山阶段练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-4x+4与x轴、y轴 3 分别交于点A、点B,点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的 点C处， D (I)求点A和点B的坐标以及AB的长： (②)求点C和点D的坐标； (同y轴上是香存在一点P,使得S。S若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明连由。 19.(24-25七年级下，黑龙江鸡西·期末)如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形ABCD, AB=m,BC=n,且m-8+√n-6=0.E是CD边上的一点，且DE=2,动点P从点A出发，以每秒2 个单位长度的速度沿A→B→C运动，最终到达点C.设点P运动的时间为t秒 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A (1)填空：m= ,n= (2)求出点P在运动过程中三角形APE的面积S(用含t的式子表示)： (③)是否存在一点P,使三角形APE的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理 由. 20.(24-25八年级下-湖北恩施期末)在平面直角坐标系中，直线y=-3-交x轴于点A,交y轴于点B ,直线y=-3x+3交x轴于点C,交y轴于点D. 4 图1 图2 (I)如图1，连接BC,求△BCD的面积. (2如图2，在直线y=-3x+3上存在点E,使得∠4BE=45,求点E的坐标。 41 21.（2425八年级上广东佛阶段练习》如图1，在平面直角坐标系中，一次函数)=号x+4与x销交于 2 点B,与y轴交于点A. 图1 图2 (1)求A、B两点的坐标； (②)若在直线AB上有一点M,使得△OBM的面积为9，求点M的坐标； (3)如图2，点C为线段AB中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D,若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交 x轴于点F,且CF=FE,在直线CD上有一点P,使得AP+EP最小，求P点坐标： 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)如图3，直线CD上存在点Q使得∠ABQ=45°，请直接写出点Q的坐标. 22.(24-25八年级上江苏扬州·阶段练习)【模型建立】 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过 B作BE⊥ED于点E,易证明△BEC≌△CDA(无需证明)，我们将这个模型称为“K形图”.接下来我们就利用 这个模型来解决一些问题： YA B B ●A 图1 图2 图3 【模型运用】 (I)如图1，若AD=1,BE=3,则ABC的面积为_； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰RtAACB,∠ACB=90°，AC=BC,点C的坐标为0，-3)，A点的坐 标为6,0)，求AB与y轴交点D的坐标： (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线I函数关系式为：y=2十1，点A(4,2),在直线1上是否存在点B, 使直线AB与直线1的夹角为45°？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由. 8/8 专题02 一次函数与三角形综合问题的三种模型 目录 题型一：一次函数与三角形的面积问题 1 题型二：一次函数与三角形全等问题 10 题型三：一次函数与三角形存在问题 23 题型一：一次函数与三角形的面积问题 1．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若直线与直线相交于x轴上一点，则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，两条直线在x轴上相交，先求出交点坐标，再确定参数b的值，接着找到两直线与y轴的交点，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴直线于x轴的交点为， ∵该点也在直线上， 代入得，解得， ∴直线方程为． ∵直线与y轴交点为时，，即． 直线与y轴交点为时，，即． ∴三角形的三个顶点为、和． ∴三角形的； 故选A． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，当时，面积最大值为9，此时当点P运动到点C，得到， 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时，面积最大值为9， 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，得出是解题的关键． 设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出的长，再结合直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴m的值为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·北京·期中）若直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 先判断出，再求出直线与两条坐标轴的交点坐标，然后利用直角三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：， 当时，，解得， 即直线与轴的交点坐标为， 当时，，即直线与轴的交点坐标为， 则， 解得， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴的交点分别为点A和点B． (1)求的周长； (2)如果直线l经过线段的中点C，且与直线平行，求直线l、直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要是考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，根据勾股定理求的长，问题可求解； （2）设，由题意易得，然后可得直线l的表达式为，进而问题可求解 【详解】（1）解：令时，则有，令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵点在直线上，可设． ∵点是中点， ∴． ∴， 解得，，， 经检验，均是原方程的根，但是， ∴符合题意，不符合题意（舍去）， 即， 依题意可设直线l的表达式为． 把代入中，得，∴． ∴直线l的表达式为， 设直线l与轴的交点为点D， ∴点D的坐标为， ∴． 过作轴，垂足为点， ∴． 那么直线l、直线与轴围成的三角形的面积为 6．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则为此函数的坐标三角形． (1)求函数的坐标三角形的面积； (2)若函数（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积． 【答案】(1)4.5 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理， 对于（1），分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而可得三角形的面积； 对于（2），先用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数的坐标三角形的面积为； （2）解：直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为， 根据勾股定理，得坐标三角形的斜边的长为， 当时，，得，此时，坐标三角形面积为； 当时，，得，此时，三角形面积． 综上，当函数的坐标三角形周长为16时，面积为． 7．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标． （3）设点P的坐标为，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点B， 令得，， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴． （2）解：∵直线与x轴交于点A， 令得，， ∴， ∴， ∴， 设点，则， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， ∵，即， ， ，即 点的坐标为或． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，，且满足，连接交轴于点C，在轴的负半轴上，过点作直线的平行线交轴于点． (1)求的值； (2)如图1，若轴上存在一点，使得三角形的面积为8，求出点的坐标； (3)如图2，点为直线上一点，使得．且点在第二象限（表示三角形的面积） ①求点的坐标；（提示：可以去思考一下与面积的关系 ②求点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、一次函数的斜率与解析式、三角形面积的计算以及坐标与图形的性质．解题的关键是利用非负数的性质求出点的坐标，通过平行线斜率相等确定直线解析式，结合坐标法计算三角形面积并建立等量关系求解未知点坐标． （1）根据平方数和算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组并求解； （2）设出点P的坐标，利用三角形面积公式（以y轴上的线段为底，另一点横坐标绝对值为高）建立方程，求出P的坐标； （3）①先求出直线的斜率，利用平行线斜率相等得到直线的解析式，进而求出与y轴交点D的坐标；②求出的面积，根据面积关系列出关于点Q坐标的方程，结合直线的解析式表示出Q的坐标． 【详解】（1）解：且， ∴, 解方程组：两式相加得，得，将代入，得，则． ∴，； （2）解：由（1）知，，设在y轴上）．的长度为， 点B到y轴的距离为4， ∵， ， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 答：点P的坐标为或； （3）①解，，设直线的解析式为． ∴解得：， ∵，故设直线方程为，将点代入求得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点D的坐标为． ②解：由①知，，， ． ， ． 直线的解析式为， 设． ， ∴， 代入直线解析式得， ∴点Q的坐标为． 题型二：一次函数与三角形全等问题 10．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 11．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，    ， ， ； ②当时，如图2，    ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 12．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出、点，分点在轴右侧、点在轴左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， 则点，，则， 即点； ①如图，当点在轴右侧时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当点在轴左侧时， 则，则点、到的距离相等， 则直线， 设直线的表达式为：， 将点代入上式得，解得：， 直线的表达式为：， 设点， ，，为顶点的三角形与全等， 则， 解得：， 故点； 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 13．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 【答案】或 【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 首先求出点，点，则，，当以，，为顶点的三角形与全等时，有以下两种情况：①当时，先证，当，则，，则，据此可得点的坐标；②时，过点作于，由于，因此当时，，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，进而再求出，据此可得点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点， ，， 当以，，为顶点的三角形与全等时， 则以，，为顶点的三角形是直角三角形， 因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ，， ，， ， 当时，，， ， 点的坐标为； ②时，如图所示：过点作于， 由①知， 当时，，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 故答案为：或． 14．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒． (1)求，两点的坐标． (2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式． (3)当为何值时，与全等． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，与全等 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、全等三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先判断出只能是，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， 则点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由（1）已得：点的坐标为， ∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，且点的移动时间为秒， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵轴轴， ∴的面积为， 所以关于的函数表达式为． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∵，，，轴轴， ∴，，， ∴与全等只有一种情况：， ∴，即， 解得或， 所以当或时，与全等． 15．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 16．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 题型三：一次函数与三角形存在问题 17．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，，且m ，n满足，直线恰好是一次函数的图象，轴于B． (1)求点C的坐标，并求的周长； (2)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的周长为（）； (2)存在，或． 【分析】本题考查坐标与图形，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，进而求出点的坐标，求出点横坐标，代入解析式，进而求出点坐标，勾股定理求出的长，再利用周长公式进行计算即可； （2）设，直线与轴交点为，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）由得， ∴，， ∵轴于，又点在的图象上， 设， ∴， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）如图，假设存在点满足题意，设，直线与轴交点为， ∵， ∴当时，， ∴， ∴． ∵， ∵， ∴，解得或， ∴或． 18．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1),， (2), (3)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）令，求出；令，求出；继而求出； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）存在；由，可得，可求出，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ； 令，则， ； ，， ； （2）解：由折叠的性质可知，，， 则， ； 设， 则，， ， 解得：， ； （3）解：轴上存在一点，使得，理由如下： ， ， 解得：， 点的坐标为或． 19．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．E是边上的一点，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒． (1)填空：________，________； (2)求出点P在运动过程中三角形的面积S（用含t的式子表示）； (3)是否存在一点P，使三角形的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6； (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程、函数解析式等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）假设存在点使的面积等于20，在两种情况下求出相应的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为：8，6； （2）由（1）知，，， 四边形是长方形， ，， ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ， 即 （3）存在， ①如图1，当时， ，解得； ∴ ②如图2，当时， ， 解得； 综上可知，点P的坐标为或 20．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； （2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能在直线的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点． 21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据列出方程求解可得或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P为所求点，然后求得其坐标即可解答； （4）当点Q在上方时，证明得到M的坐标为，进而求解即可；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，解得：；令，则． ∴点A、的坐标分别为、． （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ，即∶，解得：或， 把代入得：，解得：； ∴此时点M的坐标为； 把代入得：，解得：， ∴此时点M的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）解：∵点为线段中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为：，则∶ ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：存在，理由如下： 如图2，当点Q在上方时，过点A作交于点M，过点M作轴于点H，则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，． ∴点Q的坐标为； 当点在下方时，过点A作交于点N，则， ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴A为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线的表达式为：， 当时，． ∴点的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $