专题05 立体图形与平面图形（3大知识点+8大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05立体图形与平面图形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 回复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01几何图形 知识点02直线、射线、线段 知识点 知识点03角 【考点1正方体的展开图】 立体图形与平面图形 【考点2由展开图计算几何体的面积或体积】 【考点3画出从不同方向看几何体的平面图形】 【考点4画直线、射线、线段】 考点 【考点5与线段中点有关的计算问题】 【考点6与角平分线有关的计算问题】 【考点7一副三角板中的有关计算问题】 【考点8线段、角有关的新定义型问题】 》》重点速记 属知识点01几何图形 1.立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都 在同一平面内，如三角形、圆等。 2.从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视 图。 3.点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面， 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面动成体。 局知识点02直线、射线、线段 1.有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2.线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC=BC=专AB。 3.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4.两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 属知识点03角 1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形 成的图形。 2.角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60”。 3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB 是∠AOC的角平分线，则∠AOB=∠BOC=专∠AOC。 4.余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这 两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5.方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东 或偏西。 核心考点举一反三 【考点1正方体的展开图】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期末)下列选项中，不是正方体展开图的是（) 【变式1】(2425七年级上·陕西咸阳·期末)如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“科” 面相对的面是() 科 技 创 造 未 来 A.技 B.造 C.未 D.来 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级上·全国期末)如图为正方体的平面展开图，相对的两个面上的数互为相反数， 则m的值为() m-4 2 0 2m+16 -0.5 A.3 B.-4 C.-6 D.2 【变式3】(24-25七年级上陕西宝鸡期末)下列选项中是如图所示的正方体的表面展开图的是() ○ 【考点2由展开图计算几何体的面积或体积】 【例2】(24-25七年级上·陕西汉中.期末)宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人 准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱.若AE=CM=12cm,LE=2cm,KL=4cm,求这个长方体的 表面积和体积. K B D M N 【变式1】(24-25七年级上山东日照·期末)小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图 2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽 多4cm. 3/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16cm 宽 ←-14cm 图1 图2 (1)设长方体的宽为cm,则长为cm,高为cm(都用含x的代数式表示)； (2)求长方体包装盒的体积. 【变式2】(23-24七年级上·四川广元期末)如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长 是宽的2倍 高 ② 57cm 宽 ③ ⑤ ⑥ ① ④ 长 ()包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面_相 对，面②与面_相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为20cm，求这个长方体包装盒的体积. 【变式3】（23-24七年级下·广西南宁期末)广西百色盛产芒果，芒果的包装盒设计为长方体.这个长方 体可由边长为90cm的正方形纸板制成.如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同 样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒.设小正方形的边长为 xcm D (I)AF与FB的数量关系是-： (2)若x=10,求GH和EF的长； (3)若长方体纸盒的底面长与宽的差不少于30cm,求x取最大值时长方体纸盒的体积. 【考点3画出从不同方向看几何体的平面图形】 【例3】(24-25七年级上：广东深圳·期末)如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小 4/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 立方块的棱长均为lcm, 从左面看 从上面看 从正面看 ()请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图： (2)这个几何体的表面积（包括底面）是 cm2 【变式1】(24-25七年级上四川成都期末)用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体. 从正面看 从左面看从上面看 ()请画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (②)在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添 加多少个小立方块？请在从上面看到的形状图里标注出来. 【变式2】(23-24七年级上江苏徐州期末)如图是用10个棱长是1cm,大小相同的小正方体搭成的几何 体. 从正面看 从左面看 从上面看 (①)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）· (2)这个几何体的表面积是 cm2(包含底部)； (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加 个小正方体： (④)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加个小正方体。 【变式3】(24-25七年级上·河南南阳·期末)一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看 到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数。 a b e 从上面看 从正面看 从左面看 (I)填空：a= ,b= C= 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成： (3)当d=1,e=3时，请画出从左面看该几何体的视图，并用阴影涂黑. 【考点4画直线、射线、线段】 【例4】(24-25七年级下·新疆克拉玛依期末)如图，已知直线1和直线外三点A,B,C,按下列要求作图. C● ●B A● (I)连接BC,作射线AB; (②)用圆规在BC的延长线上截取CD=BC; (3)在直线1上找一点E,使得AE+CE最小，你的作图依据： 【变式1】(25-26七年级上山东济南期末)如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D,请按要求完成下 列问题.（注此题作图不要求写出画法和结论） a 8 。C (I)作射线AC； (2)作直线BD与射线AC相交于点O; (3)分别连接AB、AD; (4)我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 ，理由是 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末)尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画 法，保留作图痕迹 A B C 图1 图2 (1)如图1，己知平面内的三个点A,B,C. ①画线段AB,射线BC,直线AC; ②在射线BC上作点D,使得CD=AB+AC; (2)如图2，在四边形ABCD内取一点P,使得PA+PB+PC+PD之和最小，你的依据是 【变式3】(24-25七年级上河北邢台·期末)如图，已知A,B,C,D四个点，根据要求完成下列各小题 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A。 。D B c (I)画线段AB和∠CDB; (②)用尺规在线段BA的延长线上作线段BE=2AB; (3)找一点P,使点P既在直线DE上，又在直线BC上： (④在(1)、(2)、(3)的基础上，线段BE+BP与EP的大小关系为 ,理由是 【考点5与线段中点有关的计算问题】 【例5】(24-25七年级上·四川资阳期末)如图，已知AB=40,M为AB的中点，点P在MB上，N为PB的 中点. A MPN B (1)图中共有_条线段； (2)若NB=7,求MP的长； (3)若AP=24,求MN的长， 【变式1】(24-25七年级上河南漯河期末)如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，若 AC =acm,BD =bcm ,a-6+(b-2)=0. A C B D (1)图中共有 条线段； (2)求线段AD的长； (3)若点E在直线AD上，且EA=2cm,求线段BE的长， 【变式2】(24-25七年级上山东济宁期末)如图1，点B,C在线段AD上. A B C D 图1 M A B 图2 (1)图中共有 条线段： (2)比较线段的长短：若AB=CD,则AC BD;(填：“>”、“<”或“=”) (3)如图2，点B,C在线段AD上，点M是AB的中点，点N是CD的中点. ①若AD=20,BC=12,求MN的长度； ②若AD=a,BC=b,求MN的长度（用含有a,b的代数式表示）· 【变式3】(24-25七年级上·河南新乡·期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完 美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、B表示的数分别为Q、b,则A、B两点 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 之间的距离ABa-b,线段AB的中点表示的数为a+b 2 B A B -20 8 -20 8 如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴 向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为1秒(>0). (I)A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为 (②)t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为；（用含t的代数式表示） (3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否会发生变化？若变化， 请说明理由；若不变，请直接写出线段MN的长度， 【考点6与角平分线有关的计算问题】 【例6】(24-25七年级上·云南红河·期末)如图，0为直线AB上一点，LA0C=60°，0D平分∠A0C, ∠D0E=90°. D A B (I)求出∠BOD的度数： (2)试判断OE是否平分∠B0C,并说明理由， 【变式1】(25-26七年级上江苏徐州期末)如图，直线AB与CD相交于点0,0F,OD分别是∠AOE, LBOE的平分线. E D B C (I)写出∠D0E的补角： (2)试说明：∠AOC和∠E0F互为余角， 【变式2】(25-26七年级上·全国期末)已知O为直线AB上的一点，∠C0E是直角，0F平分∠A0E. D 图1 图2 图3 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若∠C0F=34°，则∠B0E= ;若LCOF=m°，则∠BOE= ∠BOE与∠COF的 数量关系为 (2)在图2中，若∠C0F=75°，在LB0E的内部是否存在一条射线0D,使得2LB0D与LA0F的和等于 BOE与∠BOD的差的三分之一？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，(1)中∠B0E与LC0F的数量关系是否仍然成立？请 说明理由，若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系. 【变式3】(24-25七年级下·新疆克拉玛依期末)综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、 得出结论，是我们常用的几何探究方式.如图1，O是直线AB上的一点，∠C0D=90,OE平分∠BOC. 数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： A B 图1 备用图 【观察计算】(1)如图1，当∠A0C=30°，求LD0E的度数； 【类比猜想】(2)在图1中，当LA0C=a(0°<a<180),试猜想∠D0E的度数（用含a的代数式表示）， 并证明你的猜想； 【拓展探究】(3)在(2)的基础上，将LCOD绕着顶点O顺时针旋转，使得∠COD的两条边中至少有一条 边在直线AB的下方，探究∠AOC和∠DOE之间的数量关系，请直接写出你的结论. 【考点7一副三角板中的有关计算问题】 【例7】(24-25七年级上陕西宝鸡期末)将一副直角三角尺如图放置. B (1)若∠A0D=20°，求∠C0B的大小： (2)求∠AOC与∠BOD的数量关系， 【变式1】（24-25七年级上·安微淮南期末)如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放. E B (1)如果∠DCE=20°，则∠ACB=- 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如果CE始终在LACD内部，当∠DCE的度数发生变化时，请猜想∠DCE与∠ACB之间的数量关系，并 说明理由， 【变式2】(24-25七年级上河南商丘期末)(1)探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 (填序号)》 (2)在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF, 然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠A0B)的顶点与60°角（∠C0D)的顶点互相重合，且边 OA、OC都在直线EF上，固定三角板C0D不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当 边OB与射线OF第一次重合时停止， (1) (2) ①当OB平分∠EOD时，求旋转角度a; ②是否存在∠BOC=2LAOD？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由 【变式3】(24-25七年级下·辽宁沈阳期末)数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三 角尺”的探究活动. 老师将三角尺如图1放置，三角板AOB和三角板COD均可以绕点O顺时针旋转且OB、OD与直线MN重 合. 图1 图2 图3 (1)求∠AOC的度数. (②)第一小组将三角板A0B绕点O旋转到如图2所在位置，此时∠AOC恰好为直角，第二小组在他们旋转 得到图形的基础上又加上两条角平分线，即OF平分∠AOC,OE平分∠AOM,让第一小组求∠EOF的度 数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板AOB和COD从(2)题中位置处开始绕点O顺时针旋转，转速分别为3°/秒 和1°/秒，如图3，请问三角板AOB边OA经过多少秒与三角板COD边0C首次重合？在三角板AOB的边OA 与三角板C0D边0C首次重合前，∠AOC与∠CON的比值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化， 请说明理由、 10/18 专题05 立体图形与平面图形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 知识点02 直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 知识点03 角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 【考点1 正方体的展开图】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列选项中，不是正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方体的展开图，牢记正方体展开图的类型（一四一，二三一，二二二，三三）是解题的关键． 根据正方体的11种展开图进行判断即可． 【详解】解：由题意，不是正方体展开图的是： ． 故选：D ． 【变式1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“科”面相对的面是（   ） A．技 B．造 C．未 D．来 【答案】B 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，依据正方体相对面的核心特征：在展开图中，相对的两个面之间一定相隔一个正方形 (即没有公共边或公共顶点)判断即可． 【详解】解：观察正方体的表面展开图，要找到与“科”面相对的面， ∵根据正方体相对面的特征，相对的面之间 一定相隔一个正方形， 由图得：“科”字相隔一个正方形的面是“造”字所在的面． 故答案为：B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图为正方体的平面展开图，相对的两个面上的数互为相反数，则m的值为（  ） A．3 B．－4 C．－6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出m的值即可． 【详解】解：∵与是正方体相对两个面上的数字， 又由正方体相对两个面上的数互为相反数，得： ， 解得，， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列选项中是如图所示的正方体的表面展开图的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据几何体中图案的位置结合正方体的表面展开图，即可得出结论，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【详解】 解：折叠后可得到图中的正方体，符合题意； 故选：B． 【考点2 由展开图计算几何体的面积或体积】 【例2】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， 先求出，即可知折叠为长方体的长、宽、高分别为，再根据长方体的表面积和体积公式得出答案． 【详解】解：由，，可得， 长方体的表面积：， 体积：． 【变式1】（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)，，或 (2)长方体包装盒得体积是 【分析】（1）设长方体的宽为，由长比宽多，得到长为，用总长为时，则高为，用总长为时，则高为，解答即可． （2）根据题意，得，解得，后根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积计算，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：设长方体的宽为，由长比宽多，则长为， 用总长为时，则高为， 用总长为时，则高为， 故答案为：，，或． （2）解：根据题意，得， 解得 长：，高：． 答：长方体包装盒得体积是． 【变式2】（23-24七年级上·四川广元·期末）如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤，④ (2)这个长方体包装盒的体积为 【分析】本题考查了长方体的平面展开图以及列代数式，注意根据题意分析及解答问题． （1）通过结合立体图形与平面图形的相互转化，可以知道长方体包装盒的六个面分别是那两个面一一对应； （2）根据题意和题干图列代数式，根据所给数据计算即可解答． 【详解】（1）解∶根据长方体纸盒展开图可知，①与⑤是相对的，②与④是相对的，③与⑥是相对的； 故答案为∶⑤，④； （2）解∶由长方体的宽为，长是宽的2倍可以得到长方体的长为；由图可知①与④的高相同，所以长方体的高为． 长方体的体积为∶长宽高， 答∶长方体包装盒的体积为． 【变式3】（23-24七年级下·广西南宁·期末）广西百色盛产芒果，芒果的包装盒设计为长方体．这个长方体可由边长为的正方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒．设小正方形的边长为．    (1)与的数量关系是 ； (2)若，求和的长； (3)若长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，求x取最大值时长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据长方体纸盒折叠的关系可以得解； （2）依据题意，由正方形的边长为，从而可得，则，，又，进而计算可以得解； （3）依据题意，由（2）得，长方体纸盒长为，宽为，又由长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，从而，故，再求出长与宽即可判断得解． 【详解】（1）解：根据长方体纸盒折叠的关系可得，． 故答案为：． （2）解：由题意，正方形的边长为， ． ，． 又， ，． （3）解：由（2）得，长方体纸盒长为，宽为， 又长方体纸盒的底面长与宽的差不少于， ． ． 当最大时为15，此时长方体纸盒的长为，宽为． 此时体积为． 答：取最大值15时长方体纸盒的体积为． 【考点3 画出从不同方向看几何体的平面图形】 【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． (1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积（包括底面）是_______． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）这个几何体的表面积， 故答案为：26． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)请画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加多少个小立方块？请在从上面看到的形状图里标注出来． 【答案】(1)见解析 (2)4，见解析 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）先确定几何体从正面、左面和上面看到的形状图，再画出图形即可； （2）结合堆砌图形的形状与从上面与左边看到的图形，再确定能够添加的位置和数量即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，该几何体从正面、左面和上面看到的形状图 （2）在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，则要在几何体的第二排，从上面看的图形所示的2个位置放正方块，最多放4个，如图所示： 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是______（包含底部）； (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加______个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)36 (3)4 (4)1 【分析】本题主要考查从不同方向看立体图形，掌握立体图形的特点，表面积的计算方法是解题的关键． （1）根据立体图形的特点画图示即可； （2）根据立体图形表面积的计算方法计算即可； （3）由图示特点进行分析即可； （4）由图示特点进行分析即可． 【详解】（1）解：几何体的三视图如下， （2）解：从下往上，第一层的表面积为：， 第二层的表面积为：， 第三层的表面积为：， ∴几何体的表面积为：； （3）解：根据（1）中的图示，保证从上面看的图和从左面看的图不变，可以在如图所示的位置各增加一个， ∴最多可以增加4个小正方形， 故答案为：4； （4）根据（1）中的图示，要保证三个视图都不变，最多可以在（3）中1的位置增加1个小正方形， 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级上·河南南阳·期末）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数． (1)填空：__________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成，最多由__________个小立方块搭成； (3)当，时，请画出从左面看该几何体的视图，并用阴影涂黑． 【答案】(1)2，1，1； (2)8，10； (3)见解析 【分析】本题考查由从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． （1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 【详解】（1）解：观察从正面看到的图可知，． 故答案为：2，1，1； （2）解：结合从上面看到的图和正面看到的图， ∴这个几何体最少由个小立方块搭成， ∴最多由个小立方块搭成． 故答案为：8，10； （3）解：从左面看到的图形如图所示： 【考点4 画直线、射线、线段】 【例4】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求作图． (1)连接，作射线； (2)用圆规在的延长线上截取； (3)在直线l上找一点E，使得最小，你的作图依据：___________． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解，两点之间，线段最短 【分析】本题考查了射线、线段的作图及线段公理的应用，通过尺规作图完成相应的作图要求，并依据线段公理确定使线段和最小的点． （1）连接B，C两点，得到线段，再以点A为端点，向B的方向画出射线即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点D，则； （3）连接，与直线l的交点即为点E，依据是两点之间，线段最短，此时，为最短路径． 【详解】（1）解：如图，线段，射线为所求． （2）解：如图，线段为所求． （3）解：如图，点E为所求．作图依据为：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)分别连接； (4)我们容易判断出线段与的数量关系是_________，理由是_________________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了基本作图，两点之间线段最短，掌握射线、直线、线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间线段最短即可求解； 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：线段与的数量关系是，理由是两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知平面内的三个点A，B，C． ①画线段，射线，直线； ②在射线上作点D，使得； (2)如图2，在四边形内取一点P，使得之和最小，你的依据是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)两点之间线段最短 【分析】本题考查了尺规作图． （1）①分别根据线段、射线、直线的定义作图即可； ②以C为圆心，为半径，在射线上取F，以F为圆心，为半径，在射线上取D即可； （2）根据两点之间线段最短作出线段、的交点P即可． 【详解】（1）①如图，线段，射线，直线即为所求； ②如图，点D即为所求； （2）如图2中，点P即为所求．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短 【变式3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，已知A，B，C，D四个点，根据要求完成下列各小题． (1)画线段和； (2)用尺规在线段的延长线上作线段； (3)找一点P，使点P既在直线上，又在直线上； (4)在（1）、（2）、（3）的基础上，线段与的大小关系为________，理由是________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，角的概念理解，作线段（尺规作图），两点之间线段最短等知识点，熟练掌握相关定义和作图技能是解题的关键． （1）根据线段、角的定义画图即可； （2）以点A为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点E，则线段即为所求作； （3）作直线、，则两条直线的交点即为所求作； （4）根据“两点之间线段最短”进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，线段和即为所求作． （2）作图如图，线段即为所求作． （3）作图如图， 点P即为所求作． （4）∵两点之间线段最短， ∴． 故答案为：，两点之间线段最短． 【考点5 与线段中点有关的计算问题】 【例5】（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)10； (2)6 (3)12 【分析】本题考查的是两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键； （1）根据线段的定义数线段即可； （2）分别求出，再相减即可； （3）分别求出，进而即可求解 【详解】（1）解：图中线段有：共10条， 故答案为：10； （2）解：∵，N为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵N为的中点． ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ 【变式1】（24-25七年级上·河南漯河·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，若，，且． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长； (3)若点在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的数量问题，线段中点的性质以及线段的和差计算，掌握线段的计算方法是解题的关键． （1）根据线段的定义数出结果即可； （2）根据非负数的性质，先求得．，再求，根据，即可求解； （3）分两种情况讨论：①点在线段上，根据；②点在线段延长线上，根据进行计算即可． 【详解】（1）解：解：图中共有，共6条线段， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴． 因为点为线段的中点， ∴， ∵， ∴ （3）解：∵，， ， 当点在点 的右侧时，， 当点在点的左侧时，， 综上所述，或． 【变式2】（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图1，点B，C在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)比较线段的长短：若，则_______；（填：“”、“”或“”） (3)如图2，点B，C在线段上，点M是的中点，点N是的中点． ①若，，求的长度； ②若，，求的长度（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】(1)6 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据线段的定义解答即可； （2）根据题意，，由，进而得出答案； （3）①根据已知，，可得：，再根据点M是的中点，点N是的中点，由线段的中点定义可得：，，进而可得：，进而得出答案； ②由①可知，，再根据点M是的中点，点N是的中点，由线段的中点定义可得：，，再根据，进而得出答案． 【详解】（1）解：图中有线段，线段，线段，线段，线段，线段共6条． 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：①∵，， ∴， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∵， ∴ ； ②∵，， ∴． 由①可得：， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·河南新乡·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)、两点之间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)秒后，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)； (2)点表示的数是，点表示的数是 (3)不变，线段的长度为； 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）利用两点之间的距离公式和线段中点公式求解即可； （2）根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上；②当点在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，点表示的数为8， 、两点间的距离，线段的中点表示的数为， （2）解：根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是； （3）解：线段的长度不变，理由如下： ①当点在线段上时，   点为的中点，点为的中点， ； ②当点在线段的延长线上时，   点为的中点，点为的中点， ； 所以线段的长度不变，是5． 【考点6 与角平分线有关的计算问题】 【例6】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又， ，即平分． 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义． （1）根据互补两角的和为进行判断即可； （2）根据角平分线的定义得到，由同角的补角相等得到，即，可知和互为余角． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴是的补角， ∵，， ∴是的补角， ∵， ∴是的补角， ∴的补角有； （2）证明：因为，分别是，的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 即和互为余角． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 【变式3】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或，见解析 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 【考点7 一副三角板中的有关计算问题】 【例7】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键； （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义． （1）根据题意得，结合，得，再把数值代入进行计算，求出答案即可； （2），故，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 【变式3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 【考点8 线段、角有关的新定义型问题】 【例8】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)①或或；②或 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：   ， 解得（不是整数，舍去）； ②当时，如图所示：   ， 解得； ③当时，如图所示：   ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时整数的值为或． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，点D为线段上一点，点C为的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点有关计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差计算，是解题的关键． 根据已知，，由，可得出的长，再根据点C为的中点，由线段的中点定义，可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴（）， 又∵点C为的中点， ∴（）． 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南红河·期末）某轮船在O处，测得灯塔A在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东的方向上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键．方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可求解． 【详解】解：∵轮船在O处，测得灯塔A在北偏东35的方向上，测得灯塔B在南偏东的方向上， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图，小红制作了一个相对面图案均相同的正方体礼盒，则这个礼盒的展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠．同时考查了空间想象力，结合正方体的展开图的对立面是每隔一个正方形，据此即可作答． 【详解】 解：根据题意得：这个正方体礼品盒的平面展开图可能是， 故选A． 5．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 二、填空题 6．（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为 度． 【答案】160 【分析】本题考查了钟面角，首先求出时针每分钟移动度，然后计算9时20分时时针和分针的位置，再求夹角． 【详解】∵钟表一圈为360度，平均分为12部分， ∴每部分为度， ∴时针每分钟移动度， ∵9时整，时针在数字9处，分针在数字12处， ∴9时20分时，时针转过的角度为度，此时分针在数字4处， ∴时针与分针所成的夹角为度． 故答案为：160． 7．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如图，在一条公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备 种车票． 【答案】20 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键． 根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故答案为：20 ． 8．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要 个小立方块． 【答案】7 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，具备较强的空间想象能力是解题关键．在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数，由此即可得． 【详解】解：在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数如下： 或 则搭成这样的几何体最少需要的小立方块的个数为（个）， 故答案为：7． 9．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． 根据，M为线段的中点，找准线段之间的数量关系，化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：2． 10．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，由角平分线的定义得出， ， ，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出与不互补. 【详解】解：∵平分，平分，平分， ∴， ， ， ∵，， ∴，，， ∴，即，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故④错误． 故答案为：①②③ 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查直线、线段、角的概念，熟练掌握直线、线段、角的概念是解题关键． （1）连接可得线段； （2）作射线、，可得； （3）作直线与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，作直线和，交于点，点即为所求作． 12．（24-25七年级下·四川达州·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平角和求解即可； （2）首先根据平角和求出，，然后有由平分线得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：三点在同一条直线上 ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴． 13．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图，每个小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图2所提供的方格内涂上相应的阴影即可） (2)请计算出该几何体的表面积； (3)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)6个 【分析】本题考查简单组合体的从不同方向看得到的平面图形，掌握简单组合体从不同方向看得到的平面图形画法是正确解答的关键． （1）根据简单组合体从不同方向看得到的平面图形的画法即可画出从不同方向看到的平面图形； （2）根据这个组合体从不同方向看得到的平面图形的面积进行计算即可； （3）在从上往下看得到的图形的相应位置标注所能摆放最多的小正方体的个数即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：表面积为； （3）解：如图，从上往下看得到的图形的相应位置标注所能摆放的最多的小正方体的个数，所以最多可以添加（个）． 14．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，是线段上的一点，． (1)若，求的长． (2)若，分别为线段，的中点，求的长． (3)在（1）的条件下，是直线上的一点，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差关系，熟练掌握线段和差的计算方法和分类讨论解题的关键． （1）根据，，可推出结果； （2）根据线段中点的定义可推出结果； （3）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别求解． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：，分别为线段，的中点，如图， ，， ； （3）解：分两种情况讨论：①如图，当点在线段上时． ，， ， ， ； ②如图，当点在线段的延长线上时， ，， ， ． 综上所述，的值为或． 15．（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1 确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 【答案】任务1：长方体盒子的高为；任务2：减掉的正方形的边长，长方体盒子的体积为 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用： 任务1：先设长方体盒子的高为a，根据线段的和差运算，以及周长公式列式计算，即可作答； 任务2：设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为，根据题意列式，计算即可作答． 【详解】解：任务1 设长方体盒子的高为a， 则底面长为，则底面宽为， 由题意得， ∴． 故长方体盒子的高为； 任务2： 设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为． 由素材3可得方程，， 解得，， ∴盒子的高为，盒子的宽为，长为． 故盒子的体积． 17．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&amp;（，）． 例如，，则，即&amp;（，），反之&amp;（，），则． (1)如图2，射线在的内部， 若射线是的平分线，则 ； 若，，则 ； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当到达时，求的值； 若，求t的值． 【答案】(1)； (2)，t的值为或 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的倍积关系和一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可 ；根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可； （2） 当到达时，，可以求出的度数，从而求出的值 ；分两种情况，根据列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：若射线是的平分线， ，即． ． 故答案为∶． 由题意可得∶． ． ． 故答案为∶． （2）解： 当到达时， ． ， 当由向运动时， ， ． 解得：． 当由向运动时， ， ． 解得：． 综上所述，t的值为或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $