专题 1.3 丰富的图形世界全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了“丰富的图形世界”全章内容，整合立体图形分类、n棱柱参数规律、点线面体动态关系等核心知识点，用表格呈现n棱柱顶点棱面数量公式，用分类图明确柱体锥体球体特征，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型精析”模块，针对正方体展开图判断、三视图还原几何体等7类核心题型，通过例题+变式题强化空间观念和几何直观，如用“同行隔一个，异行隔一列”口诀解决相对面问题。同步检测分层设计选择填空解答题，帮助不同层次学生巩固提升，教师可据此实施精准复习教学。

专题 1.3 丰富的图形世界全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】生活中的立体图形（1.1核心） 1 【知识点二】从立体图形到平面图形（1.2核心） 2 二.题型精析 3 【题型 1】立体图形识别与分类 3 【题型 2】n棱柱参数计算 5 【题型 3】面动成体旋转匹配 6 【题型 4】正方体展开图判断与相对面求解 8 【题型 5】几何体截面判断 10 【题型 6】三视图还原几何体 12 【题型 7】几何体中的点、棱、面 15 三.同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】生活中的立体图形（1.1核心） 1. 常见立体图形分类 本章立体图形分为三大类：柱体、锥体、球体，是识别几何体的基础。 柱体：包括棱柱、圆柱。棱柱底面为全等多边形，侧面为长方形（直棱柱）；圆柱底面为圆形，侧面为曲面。 锥体：包括棱锥、圆锥。棱锥底面为多边形，侧面为三角形；圆锥底面为圆形，侧面为曲面。 球体：由单一光滑曲面围成，无平面、无棱、无顶点。 组合几何体：生活中多数物体为组合体，如蒙古包（圆柱+圆锥）、铅笔（圆柱+圆锥）、粮仓（圆柱+圆锥）。 2. n棱柱必考数量规律 n棱柱通用公式（适用于所有直棱柱）： 顶点个数：2n 棱的条数：3n（n条侧棱+2n条底面棱） 面的个数：n+2（n个侧面+2个底面） 核心性质：棱柱所有侧棱长度相等，上下两个底面形状、大小完全相同。 3. 点、线、面、体动态关系 几何图形由点、线、面构成。 点动成线、线动成面、面动成体。 高频旋转结论：长方形旋转得圆柱、直角三角形旋转得圆锥、半圆旋转得球、直角梯形旋转得圆台。 4. 面的类型辨析 全平面几何体：正方体、长方体、所有棱柱； 平面+曲面对合几何体：圆柱、圆锥； 全曲面几何体：球。 【知识点二】从立体图形到平面图形（1.2核心） 1. 几何体的展开图 （1）正方体展开图 共11种展开图：一四一型（6种）、一三二型（3种）、三三型（1种）、二二二型（1种）。 禁止结构：含田字形、凹字形的图形，无法折叠成正方体。 相对面判断口诀：同行隔一个，异行隔一列。 剪开棱数：正方体展开需剪开7条棱（总12条棱，剩余5条相连）。 （2）常见几何体展开图构成 三棱柱：2个全等三角形底面+3个长方形侧面； 圆柱：2个等圆底面+1个长方形侧面； 圆锥：1个圆形底面+1个扇形侧面。 2. 平面截几何体（截面问题） 截面：平面截取几何体得到的平面图形。 正方体截面：可截出锐角三角形、四边形、五边形、六边形，不可截出直角、钝角三角形； 圆柱截面：圆、长方形、椭圆，无三角形； 圆锥截面：圆、等腰三角形、椭圆； 球体截面：任意截取，恒为圆。 3. 三视图（三个方向看物体） 主视图：从正面看；左视图：从左面看；俯视图：从上面看。 解题核心：俯视图定地基（底层布局）、主视图定列高、左视图定行高。 常考：根据三视图还原几何体、计算小立方块最多或最少数量。 二.题型精析 【题型 1】立体图形识别与分类 【例题1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．根据圆柱体的特征判断即可． 解：A、有两个大小相同的圆形底面，且互相平行，侧面是曲面，符合圆柱的特征，故此选项符合题意； B、只有一个圆形底面，顶点是一个点，是圆锥，故此选项不符合题意； C、底面是三角形，侧面是三角形是三棱锥，故此选项不符合题意； D、是一个完全由曲面构成的球体，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的认识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据四棱锥、圆柱、四棱柱、圆锥的定义逐项判断即可． 解： 解：A．是四棱锥，故A不符合题意； B．是圆柱，故B不符合题意； C．是四棱柱，故C不符合题意； D．是圆锥，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】（2026·四川乐山·中考真题）下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、是柱体，不符合题意； B、是锥体，不符合题意； C、是球体，符合题意； D、是锥体，不符合题意． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·期末）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的分类，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解． 解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱；⑦球体． 属于棱柱的有：①③⑥． 故选：C． 【题型 2】n棱柱参数计算 【例题2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【答案】D 【分析】本题考查直棱柱的棱数与顶点数的关系．先利用直棱柱棱数公式求出底面边数，再根据顶点数公式计算顶点数即可． 解：∵直棱柱的总棱数底面多边形的边数， 设底面多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵直棱柱的顶点数底面多边形的边数， ∴顶点数， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）五棱柱棱的条数为（   ） A．7 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查了立体图形中棱柱的认识，一般棱柱有上下两个底面，五棱柱五个侧面，由此可以确定棱的条数，即可求解． 解：∵五棱柱上底面有5条棱，下底面有5条棱，侧面有5条侧棱， ∴五棱柱棱的条数为（条） 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可． 解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，且有3个侧面，3条侧棱， 故B说法正确，A、C、D说法错误， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查棱柱的顶点数，棱数和面数，根据棱柱的性质，n棱柱的顶点数为，棱数为，面数为，进行求解即可． 解：五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为；；； 故选：C． 【题型 3】面动成体旋转匹配 【例题3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）2025年9月3日纪念抗战胜利80周年阅兵仪式中，飞机表演的飞机拉线可以用数学知识解释为________．（填序号：①点动成线，②线动成面，③面动成体．） 【答案】① 【分析】本题主要考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体的几何原理是解题的关键．本题可根据点、线、面、体之间的关系，判断飞机拉线所对应的几何现象，从而选出正确答案． 解：飞机可视为一个点，其在空中运动的轨迹形成一条线，这一过程对应几何中的点动成线． 故答案为：①． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面． 解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的动态关系，需将雨滴和雨丝抽象为几何图形，结合概念判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， ∴点运动形成线，对应数学原理为点动成线， 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）航天飞机拖曳“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为 _________ ． （2）电动车车辐条运动形成的图形可解释为 _________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查几何变换的基本概念，即点、线、面的运动关系．小蚂蚁可视为点，其运动轨迹形成线；车辐条可视为线，其运动轨迹形成面． 解：（1）小蚂蚁近似看作一个点，其行走时点移动形成路线，因此解释为点动成线； （2）电动车车辐条近似看作一条线，其运动时线移动形成图形，因此解释为线动成面． 故答案为：（1）点动成线；（2）线动成面 【题型 4】正方体展开图判断与相对面求解 【例题4】（24-25七年级上·山西太原·期中）如图，是一个没有上底面的正方体纸盒，将该纸盒沿图中加粗的棱剪开，请在右面的方格图中画出该纸盒展开图的示意图． 【答案】如图所示： 【分析】根据无盖可知下面没有对面，再根据图形粗线的位置即可画出展开后的平面图形. 本题是一道有关正方体的展开图的题，结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键. 解：略 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确正方体平面展开图中相对面的判定规则：同行或同列中，间隔一个面的两个面为相对面．逐个分析每个选项的展开图，定位“有”字的位置，根据相对面判定规则找到其对应的对面文字．对比每个选项中“有”的对面是否为“竟”，筛选出符合要求的选项． 解：选项A：该展开图中，“有”的对面是“成”，不符合要求． 选项B：该展开图中，“有”的对面是“竟”，符合要求． 选项C：该展开图中，“有”的对面是“事”，不符合要求． 选项D：该展开图不能构成正方体，不符合要求． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．将正方体的展开图重新折叠成正方体，观察图形即可得出答案． 解：把展开图折叠成正方体如图所示： 观察图形可知，距顶点A最远的点是C． 故答案为：C． 【变式3】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个无盖长方体的展开图． （1）若①②④⑤四个面上分别标有x、、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，分别求出x、y的值； （2）若将这个展开图折叠成一个无盖长方体，请根据图中所给数据求出该无盖长方体的表面积．（用含c的式子表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． （1）根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，“Z”字两端是对面判断即可； （2）利用长方体的表面积公式进行计算即可解答． 解：（1）解：由图可知：x与5相对，与y相对， ； （2）无盖长方体的表面积为：， ∴无盖长方体的表面积为． 【题型 5】几何体截面判断 【例题5】（25-26六年级上·山东青岛·期中）如图1，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，展开成一个平面图形． （1）下列是该正方体表面展开图的是______（填写序号）； （2）如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是______．在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线． 【答案】（1）①；（2）三角形， 在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线，如图①所示： 【分析】本题考查了正方形的展开图，空间想象能力，截一个几何体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，认真思考，运用空间想象能力，即可作答． （2）理解题意，运用空间想象能力，得出用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是三角形，再进行作图解答即可． （1）解：观察图中，理解题意，则该正方体表面展开图的是 , 故答案为：①； （2）解：依题意，如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是三角形． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是__________. 【答案】①③ 解：用一个平面去截一个正方体，截面相同的是①③． 【变式3】（23-24七年级上·北京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），请你任意画出此正方体的两种平面展开图，并在展开图上画出所有的切割线． 【答案】见分析 【分析】本题考查了截一个几何体和几何体的展开图，观察思考与动手操作结合，得到相应的规律是解决本题的关键． 根据正六面体和截面的特征即可得到答案． 解：如图所示：（答案不唯一） 【题型 6】三视图还原几何体 【例题6】（24-25七年级上·全国·期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． （1）x，z 各表示多少？ （2）y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】（1）；（2）y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． （1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，从不同方向看几何体，熟练掌握正方体的展开图特点是解题关键． 先根据图1可得数字1所在面的相对面上的数字是5，数字4所在面的相对面上的数字是2，则可得数字6所在面的相对面上的数字是3，再根据图2可得标有的面与标有数字2的面是相对面，由此即可得解． 解：由图1可知，与标有数字1的面相邻的面上的数字有， ∴数字1所在面的相对面上的数字是5， 同理可得：数字4所在面的相对面上的数字是2， ∴数字6所在面的相对面上的数字是3， 由图2可知，标有的面与标有数字2的面是相对面， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）（3）见分析 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 【题型 7】几何体中的点、棱、面 【例题7】（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． （1）观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． （2）猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） （3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】（1）4；4；6；6；6；10；（2）11；11；20；；；；（3）； 【分析】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识． （1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； （2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可； ②根据n棱锥的特征填写即可； （3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系； ②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 解：（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，； 故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，； 故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． 【变式1】（24-25七年级上·广东河源·期中）下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 【答案】C 【分析】根据长方体、正方体的特征即可解答． 解：A.每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点，A选项正确； B.一个长方体可能有2个面是正方形，B选项正确； C.一个长方体有无数条高，C选项错误； D.一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等，D选项正确． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了长方体、正方体的特征，掌握立体图形的特性是解答本题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是__________边形．共有__________个面，__________个顶点，__________条棱． 【答案】 五 7 10 15 【分析】本题主要考查的是棱柱的认识，掌握棱柱的概念是解题的关键． 根据n棱柱的底面是n边形，n棱柱有个面， 个顶点，条棱求解即可 ． 解：这个棱柱的底面是五边形， 它有7个面，有10个顶点，有15条棱． 故答案为：五；7；10；15． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； （3）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． （4）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 【答案】（1）表见分析，；（2）五；（3）6；（4）正五边形有个，正六边形有个 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）首先填写表格，然后总结规律即可； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可； （4）设黑皮有个，白皮有个，则这个足球的面数为：，根据欧拉公式求解即可． （1）解：填表如下： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 ∴顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； （2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱，故答案为：五； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：，故该多面体的面数为6． （4）解：设黑皮有个，白皮有个，则这个足球的面数为：， 棱数为：，顶点数为：， 由欧拉公式可得：， 解得：， 个黑皮与个白皮相邻，个白皮与个黑皮相邻， 白皮个数为（个）， ∴正五边形有个，正六边形有个． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 2．（2026·河南周口·模拟预测）下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可． 解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B． 3．（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从前面看到的图形解答即可． 解：从前面看，是上面小下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 5．（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵A选项中出现一行个正方形，不符合正方体展开图特征， ∴不能折成正方体； ∵B选项中一行个正方形，其余个正方形均在同一侧， ∴折叠后两个面重叠，不能折成正方体； ∵C选项中含有“田”字格结构， ∴不能折成正方体； ∵D选项属于“”型，中间个连成一串，两侧各有一个且不相邻， ∴能折成正方体． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． 7．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点拨】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 8．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的定义 ，立体图形的定义，理解平面图形和立体图形的定义是解题的关键．根据平面图形的定义回答即可． 解：选项A是长方形，长方形是平面图形； 选项B是球体，球是立体图形； 选项C是长方体，长方体是立体图形； 选项D是三棱柱，三棱柱是立体图形； 故选：A． 9．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 10．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）图中的几何体由___________个面围成． 【答案】9 【分析】可将几何体分成两个部分观察． 解：该几何体可分为上下两个部分，上面部分有4个面，下面部分有5个面，共有9个面． 故答案为：9 【点拨】本题考查立体几何的相关知识，解题的关键是具有空间想象能力． 12．（25-26七年级上·四川巴中·期末）已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 【答案】12 【分析】本题考查几何体的点，线，面，根据棱柱的结构特征，总面数等于侧面数加2，由此求出底面边数，再应用棱柱的棱数公式求解即可． 解：设棱柱的底面边数为n，则总面数为．由题意，，解得． 棱柱的总棱数为． 故答案为：12 13．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）可以由某个平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体是_____．（写一个名称即可） 【答案】圆柱（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，熟练掌握平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必有曲面是解题关键． 根据平面图形旋转的特点即可解答． 解：长方形绕其一条边旋转一周可得圆柱． 故答案为：圆柱（答案不唯一）． 14．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，该几何体的侧面是长方形，则该几何体是柱体，上下底面是三角形，则该几何体是三棱柱． 解：该几何体的侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，故该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 15．（2025·云南红河·模拟预测）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【答案】们 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， 所以“中”与“们”是对面． 16．（25-26七年级上·四川达州·期末）用一个平面去截一个棱柱，得到的截面边数最多是20条，则这个棱柱有________个面，有________条棱． 【答案】 20 54 【分析】本题主要考查了棱柱的截面性质与棱柱的面数、棱数计算公式，熟练掌握截面边数最多等于棱柱的面数以及棱柱的面数公式、棱数公式是解题的关键． 先根据截面边数最多等于棱柱的面数求出棱柱的面数，再利用棱柱面数公式求出底面边数，最后根据棱柱棱数公式计算棱的总数． 解：∵用平面截棱柱时，截面边数最多等于棱柱的面数，且截面边数最多为20， ∴棱柱的面数为20， 设棱柱底面边数为， ∵棱柱面数公式为， ∴， ∴， ∵棱柱棱数公式为， ∴棱数为， 故答案为：；． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 【答案】圆锥 【分析】本题考查认识立体图形，解题关键是熟记常见几何体的特征．根据甲和乙所述特征，几何体需同时具备曲面和顶点，常见几何体中圆锥满足条件 解：球有曲面但无顶点，三棱锥有顶点但无曲面，圆柱有曲面但无顶点，圆锥既有曲面（侧面）又有顶点， ∴该几何体模型可能是圆锥． 故答案为：圆锥． 18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【答案】或 【分析】先根据从上面看确定底层纸箱的数量，因为从上面看每个正方形对应底层一个位置的纸箱，所以可先得出底层纸箱总数，再结合从前面看和从左面看判断各位置上的层数，从前面看反映每列的最大层数，从左面看反映每行的最大层数，由此分析每个位置可能的层数取值．分别计算所有可能的层数组合对应的总纸箱数． 解：首先根据从上面看（图②）可得：这堆纸箱底层共有3个纸箱， 结合从前面看和左面看到的形状如图①，可得这堆纸箱排列如图 因此总个数为： 或 ，两种情况都满足从前面、从上面和左面看到的形状要求． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·天津河西·期末）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 【答案】解：如图， 【分析】本题考查认识立体图形，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键．根据常见立体图形的特征直接连线即可． 解：略 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【答案】作图见分析 【分析】从上面观察几何体及小正方形中的数字，可知从正面看几何体的列数与从上面观察几何体的列数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应列中小正方形中的数字的最大数字；从左面看几何体的列数与从上面观察几何体的行数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应行中小正方形中的数字的最大数字，据此画图即可． 解：如图： 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． （1）得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】（1）圆柱，面动成体；（2） 【分析】本题主要考查了求几何体的体积，面动成体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）根据题意可得所得圆柱的底面圆的半径为，高为，据此根据圆柱的体积公式求解即可． （1）解：由题意得，所得的几何体是圆柱，这一过程体现了面动成体； （2）解：， ∴得到的这个几何体的体积为． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． （1）这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； （2）求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； （3）通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】（1）八，10，24；（2）；（3）n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得； （2）由八棱柱有个侧面求解可得； （3）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得答案． （1）解：因为此直棱柱有个顶点， 所以由知，此棱柱是八棱柱，有个面，有条棱；． （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：； （3）n棱柱共有个顶点，共有条棱． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 【答案】 3n 2n 2n 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒． 如图，方法如下：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的高为，长为 ，宽为 （用含， 的式子表示） ； 【实践应用】 （3）春节临近，某纸箱厂需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，并且一张纸板制作一个纸盒．小明同学借鉴（2）中纸盒的制作方案，很快画出一种设计图（如图）．但爱思考的小聪同学觉得有更好的方案，可以为厂方降低采购成本．请你画出小聪同学的设计图，标上相应的尺寸，并通过长方形纸板的面积计算说明小聪的方案为何更好． 【答案】（1）；（2），；（3）见分析 【分析】本题考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何体的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）利用正方体的表面展开图的特征解答即可； （2）根据长方体的表面展开图得出长、宽即可； （3）根据题意设计出符合要求的图形即可，然后计算出长方形纸板的面积进行比较即可． 解：（1）不能折成一个无盖正方体纸盒，能折成一个无盖正方体纸盒； 故答案为：； （2）由题意可知，该长方体纸盒的长为，宽为； 故答案为：，； （3）小明同学借鉴（2）中纸盒的制作方案，所需长方形纸板的面积为； 小聪同学的设计图如下： 则小聪同学制作方案所需长方形纸板的面积为， ， 小聪的方案更好． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 丰富的图形世界全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】生活中的立体图形（1.1核心） 1 【知识点二】从立体图形到平面图形（1.2核心） 2 二.题型精析 3 【题型 1】立体图形识别与分类 3 【题型 2】n棱柱参数计算 4 【题型 3】面动成体旋转匹配 4 【题型 4】正方体展开图判断与相对面求解 5 【题型 5】几何体截面判断 6 【题型 6】三视图还原几何体 7 【题型 7】几何体中的点、棱、面 8 三.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】生活中的立体图形（1.1核心） 1. 常见立体图形分类 本章立体图形分为三大类：柱体、锥体、球体，是识别几何体的基础。 柱体：包括棱柱、圆柱。棱柱底面为全等多边形，侧面为长方形（直棱柱）；圆柱底面为圆形，侧面为曲面。 锥体：包括棱锥、圆锥。棱锥底面为多边形，侧面为三角形；圆锥底面为圆形，侧面为曲面。 球体：由单一光滑曲面围成，无平面、无棱、无顶点。 组合几何体：生活中多数物体为组合体，如蒙古包（圆柱+圆锥）、铅笔（圆柱+圆锥）、粮仓（圆柱+圆锥）。 2. n棱柱必考数量规律 n棱柱通用公式（适用于所有直棱柱）： 顶点个数：2n 棱的条数：3n（n条侧棱+2n条底面棱） 面的个数：n+2（n个侧面+2个底面） 核心性质：棱柱所有侧棱长度相等，上下两个底面形状、大小完全相同。 3. 点、线、面、体动态关系 几何图形由点、线、面构成。 点动成线、线动成面、面动成体。 高频旋转结论：长方形旋转得圆柱、直角三角形旋转得圆锥、半圆旋转得球、直角梯形旋转得圆台。 4. 面的类型辨析 全平面几何体：正方体、长方体、所有棱柱； 平面+曲面对合几何体：圆柱、圆锥； 全曲面几何体：球。 【知识点二】从立体图形到平面图形（1.2核心） 1. 几何体的展开图 （1）正方体展开图 共11种展开图：一四一型（6种）、一三二型（3种）、三三型（1种）、二二二型（1种）。 禁止结构：含田字形、凹字形的图形，无法折叠成正方体。 相对面判断口诀：同行隔一个，异行隔一列。 剪开棱数：正方体展开需剪开7条棱（总12条棱，剩余5条相连）。 （2）常见几何体展开图构成 三棱柱：2个全等三角形底面+3个长方形侧面； 圆柱：2个等圆底面+1个长方形侧面； 圆锥：1个圆形底面+1个扇形侧面。 2. 平面截几何体（截面问题） 截面：平面截取几何体得到的平面图形。 正方体截面：可截出锐角三角形、四边形、五边形、六边形，不可截出直角、钝角三角形； 圆柱截面：圆、长方形、椭圆，无三角形； 圆锥截面：圆、等腰三角形、椭圆； 球体截面：任意截取，恒为圆。 3. 三视图（三个方向看物体） 主视图：从正面看；左视图：从左面看；俯视图：从上面看。 解题核心：俯视图定地基（底层布局）、主视图定列高、左视图定行高。 常考：根据三视图还原几何体、计算小立方块最多或最少数量。 二.题型精析 【题型 1】立体图形识别与分类 【例题1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川乐山·中考真题）下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·期末）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【题型 2】n棱柱参数计算 【例题2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）五棱柱棱的条数为（   ） A．7 B．10 C．15 D．30 【变式2】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【变式3】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 【题型 3】面动成体旋转匹配 【例题3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）2025年9月3日纪念抗战胜利80周年阅兵仪式中，飞机表演的飞机拉线可以用数学知识解释为________．（填序号：①点动成线，②线动成面，③面动成体．） 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【变式3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）航天飞机拖曳“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为 _________ ． （2）电动车车辐条运动形成的图形可解释为 _________ ． 【题型 4】正方体展开图判断与相对面求解 【例题4】（24-25七年级上·山西太原·期中）如图，是一个没有上底面的正方体纸盒，将该纸盒沿图中加粗的棱剪开，请在右面的方格图中画出该纸盒展开图的示意图． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 【变式3】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个无盖长方体的展开图． （1）若①②④⑤四个面上分别标有x、、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，分别求出x、y的值； （2）若将这个展开图折叠成一个无盖长方体，请根据图中所给数据求出该无盖长方体的表面积．（用含c的式子表示） 【题型 5】几何体截面判断 【例题5】（25-26六年级上·山东青岛·期中）如图1，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，展开成一个平面图形． （1）下列是该正方体表面展开图的是______（填写序号）； （2）如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是______．在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是__________. 【变式3】（23-24七年级上·北京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），请你任意画出此正方体的两种平面展开图，并在展开图上画出所有的切割线． 【题型 6】三视图还原几何体 【例题6】（24-25七年级上·全国·期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． （1）x，z 各表示多少？ （2）y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【变式3】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【题型 7】几何体中的点、棱、面 【例题7】（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． （1）观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． （2）猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） （3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【变式1】（24-25七年级上·广东河源·期中）下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是__________边形．共有__________个面，__________个顶点，__________条棱． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； （3）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． （4）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·模拟预测）下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 7．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 10．（2026·河北沧州·一模）如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）图中的几何体由___________个面围成． 12．（25-26七年级上·四川巴中·期末）已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 13．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）可以由某个平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体是_____．（写一个名称即可） 14．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 15．（2025·云南红河·模拟预测）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 16．（25-26七年级上·四川达州·期末）用一个平面去截一个棱柱，得到的截面边数最多是20条，则这个棱柱有________个面，有________条棱． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·天津河西·期末）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． （1）得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． （1）这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； （2）求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； （3）通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒． 如图，方法如下：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的高为，长为 ，宽为 （用含， 的式子表示） ； 【实践应用】 （3）春节临近，某纸箱厂需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，并且一张纸板制作一个纸盒．小明同学借鉴（2）中纸盒的制作方案，很快画出一种设计图（如图）．但爱思考的小聪同学觉得有更好的方案，可以为厂方降低采购成本．请你画出小聪同学的设计图，标上相应的尺寸，并通过长方形纸板的面积计算说明小聪的方案为何更好． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $