第05讲 一次方程（组）及其应用（复习讲义，3考点10题型3重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一次方程（组）的概念 题型01等式的基本性质 题型02一元一次方程的解 题型03二元一次方程组的解 命题点二 解一次方程（组） 题型01 解一元一次方程 题型02 解二元一次方程组 题型03 解二元一次方程组的错解复原问题 命题点三 一次方程（组）的应用 题型01 一元一次方程的应用 题型02 一元一次方程与函数的综合应用 题型03 二元一次方程的应用 题型04 二元一次方程与函数的综合应用 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 已知一元一次方程的解为整数解，求参数 突破二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 突破三 已知二元一次方程组同解问题，求参数 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程的解法 山东济南 T8 山东青岛 T7 山东烟台 T6 掌握一元一次方程的解法步骤，能熟练求解一元一次方程 二元一次方程组的解法 山东潍坊 T10 山东济南 T9 山东临沂 T8 掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组 一次方程的实际应用 山东菏泽 T18 山东德州 T17 山东聊城 T16 能从实际问题中抽象出数学模型，列出方程（组）解决实际问题 二元一次方程组的实际应用 山东日照 T20 山东威海 T19 山东滨州 T18 能从实际问题中抽象出二元一次方程组，解决复杂的实际问题 一次方程与函数的关系 山东东营 T15 山东枣庄 T14 山东莱芜 T13 理解一次函数与一元一次方程的关系，能利用函数图像解一元一次方程 一次方程与不等式的结合 山东青岛 T16 山东烟台 T15 山东潍坊 T14 能结合一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题 含参数的一次方程 山东济南 T14 山东泰安 T13 山东临沂 T12 理解含参数一次方程解的情况，能根据解的情况确定参数的值或范围 命题预测 近三年山东中考数学真题显示，一次方程（组）的考查重心已从单纯解方程转向数学建模与解决实际问题的能力。2026年预计将继续强化这一方向，试题将深度嵌入具有时代性和地域性的真实情境，例如社区垃圾分类的成本核算、新能源汽车充电计费、乡村旅游的收益分配等现实议题。题目设计将更注重过程的完整性与方案的合理性，要求学生不仅正确列出方程，还需对解的合理性进行解释与评价，体现数学的严谨性与应用价值。同时，与统计图表、一次函数图像的简单结合可能成为新的命题支点，实现知识间的自然融通。备考应着重训练从复杂文字、图表中剥离等量关系的能力，并培养用数学语言表述现实问题的素养。 考点一 一次方程（组）概念 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 知识点03 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．（2024·山东济南·二模）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·山东·模拟预测）小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．（2024·山东济南·二模）若一元一次方程的解为，则 ． 5．（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 6．（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 考点二 解一次方程（组） 知识点01 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点02 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 1．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是 ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 3．（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 4．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 5．（2024·山东东营·一模）解方程组： 6．（2025·山东淄博·二模）（1）解方程组 （2）解不等式组 考点三 一次方程（组）的应用 知识点01 一元一次方程应用题解题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 知识点03 二元一次方程组的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1是长方形菜园长，宽 ．中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍．四周过道部分的宽度相等，如图2为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等，每垄菜地的长比宽多．设过道宽度为，求每垄菜地的长与宽． 2．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 3．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 4．小明想把新分发的12本课本用封皮包好，如图，通过测量发现课本的长都是，宽都是，而厚度()不一样，且都小于，如果用一张长方形封皮纸包好一本课本，要将封皮纸在封面和封底各折进去 (不小于1)． (1)计算包一本课本所用封皮纸的周长是多少？(结果用含，m的代数式表示) (2)若数学课本的厚度为，准备把封皮纸在封面和封底各折进去，则包数学课本的封皮纸的周长是多少？ (3)商店里有规格为和的两种长方形封皮纸，请直接判断小明该选用哪一种规格的封皮纸，买回来裁剪包课本会更节约材料． (说明∶表示宽，长) 5．（2025·山东潍坊·一模）某地举行龙舟比赛，赛程为900米．甲、乙两队比赛时，路程（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示． (1)最先到达终点的是 队，比另一队领先 分钟到达； (2)求出图中点的坐标，并解释它的实际意义； (3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点？早几分钟？ 6．（2025·山东济南·一模）火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． (1)问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ (2)若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 7．（2025·山东济南·一模）“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 (1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ (2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 命题点一 一次方程（组）的概念 ►题型01 等式的基本性质 / 方法总结： 等式两边同加减、乘除（除数非零）同一式，等号仍成立，解方程基础。 易错总结： 除时忽略零，去分母漏乘，移项未变号，系数化一算错负号。 【典例】（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式】1．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式】2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D．3a+1=2b+5 ►题型02 一元一次方程的解 / 方法总结： 将解代入原方程，化为关于参数的方程，求解即可得参数值。 易错总结（30字内）： 代入时符号易错，化简参数方程出错，忽略参数限制条件，得解后未回代检验。 【典例】若是方程的解，则值为 ． 【变式】1．已知是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【变式】2．已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． ►题型03 二元一次方程的解 / 方法总结： 将解代入原方程，得参数方程，联立求解即可确定参数值。 易错总结： 代入时抄错数值，解参数方程计算出错，忽略参数间隐含关系，得解未回代验证。 【典例】（2023·山东枣庄·模拟预测）若二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【变式】1．如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 【变式】2．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 命题点二 解一次方程（组） ►题型01 解一元一次方程 / 解一元一次方程方法总结： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，按序求解。 易错总结： 去分母时漏乘不含分母项，移项未变号，系数为负时化1出错，忘检验。 【典例】（2023·山东济南·二模）解一元一次方程：． 【变式】1．（2024·山东东营·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) 【变式】2．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． ►题型02 解二元一次方程组 / 方法总结： 代入消元或加减消元，目标化为一元方程求解，再回代得另一解。 易错总结： 消元时符号错误，回代到错误方程，计算粗心导致连锁错，忘写大括号。 【典例】（2024·山东济南·一模）解方程组： 【变式】1．（2023·山东枣庄·一模）解方程组：. 【变式】2．（2022·山东淄博·中考真题）解方程组： ►题型03 解二元一次方程组错解复原问题 / 方法总结： 将错解代入错误步骤对应的变形方程，逆向复原参数与正确解。 易错总结： 混淆正确与错误方程，复原步骤逻辑反推错误，参数求解后未验算正确解。 【典例】阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 【变式】1．下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步 解决下列问题： (1)上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法； (2)小星同学第______步开始出现错误； (3)求该方程组的正确解． 【变式】2．下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 命题点三 一次方程（组）的应用 ►题型01 一元一次方程的应用 / 方法总结： 审题找等量关系，设未知数，列方程，解方程，检验合理性，写答。 易错总结： 单位不统一，等量关系找错，解出负值或分数不符实际意义，漏答。 【典例】（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【变式】1．我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 【变式】2．（2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ ►题型02 一元一次方程与不等式的综合应用 / 方法总结： 先由等量关系列方程求解，再用不等式检验或确定范围，综合决策。 易错总结： 混淆等量与非等量关系，解不等式时方向错误，解集未结合实际情况筛选。 【典例】（2023·江西·中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【变式】1．某小区积极响应全民健身运动，决定在小区内安装健身器材．经调查：甲种健身器材的单价是乙种健身器材的单价的2倍，购买2个甲种健身器材和3个乙种健身器材共需420元． (1)求甲、乙种健身器材的单价各是多少元？ (2)如果购买甲、乙种健身器材共60个，且费用不超过4800元．又知该小区至少需要安放19个甲种健身器材，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 【变式】2．潍县萝卜是山东潍坊市的特产，中国国家地理标志产品；因原产于山东潍县而得名，已有多年的栽培历史．月日，潍坊市第十六届潍坊·寒亭潍县萝卜文化节嘉年华活动在潍坊国家农综区国际博览馆隆重举办．期间，某农产品合作社主要推销A、B两种不同品种的有机萝卜，已知A、B两种有机萝卜的批发价和零售价如下表所示： 品名 A品种 B品种 批发价/（元/） 4 零售价/（元/） 展会后，某商超采购员到有机萝卜产区进行了采购． (1)若他批发A、B两种有机萝卜共花元．求批发A，B两种有机萝卜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发A、B两种有机萝卜共花m元，设批发A种有机萝卜n，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完这些萝卜后要保证利润不低于元，至少批发A种有有机萝卜多少千克？ ►题型03 二元一次方程组的应用 / 方法总结： 审题找两个等量关系，设两个未知数，列方程组求解，检验写答。 易错总结： 设未知数不当致方程复杂，两个关系混淆列错，解出结果未双检符合题意。 【典例】（2025·山西吕梁·一模）某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 【变式】1．（2024·山东泰安·二模）清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多万人，第二天A入口登山游客增加了，B入口登山游客减少了，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？ 【变式】2．某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ ►题型04 二元一次方程组与不等式的综合应用 / 方法总结： 列方程组求基准解，用不等式限定范围，结合整数解等实际条件筛选。 易错总结： 方程与不等式条件混淆，求范围时忽略整数限制，未验算端点值合理性。 【典例】（2025·山东济南·一模）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案． 【变式】1．（2025·山东临沂·一模）某纪念品商店购进若干龙年吉祥物钥匙扣和玩偶．已知钥匙扣的进价为 6 元/个，玩偶的进价为 20 元/个，下表是近两天的销售情况： 销售时段 钥匙扣（个） 玩偶（个） 销售收入（元） 第一天 7 4 190 第二天 3 5 180 (1)请尝试求出钥匙扣和玩偶的销售单价． (2)若该商店准备用不超过 685 元再采购钥匙扣和玩偶共 50 个，则该商店至少采购钥匙扣多少个？ 【变式】2．（2025·山东青岛·模拟预测）某校计划组织开展“劳动技能”比赛活动，活动计划评出100名获奖参赛个人，并设立一、二、三等奖，分别奖励一件A、B、C三种价格不同的奖品．已知购买1件A奖品和2件B奖品共63元；购买2件A奖品和3件B奖品共108元．设获一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且，． (1)求A奖品和B奖品的单价； (2)因购买数量较多，商家同时给予以下两种优惠： ①每购买1件A奖品赠送2件C奖品； ②购买A奖品15件以内（含15件）按原价，超过15件时，每多购买一件，所有A奖品的单价降低0.2元（单价最多降低4元）．已知C奖品的单价是10元，赠送的C奖品不足以奖励所有获得三等奖的学生，需要再购买一部分C奖品．问：怎样设置一等奖人数使购买方案最省钱？并求出购买奖品费用的最小值． 突破一 已知一元一次方程的解为整数解，求参数 【典例】关于的方程的解是整数，则整数所有可能取值的和为 ． 【变式】1.已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为 ． 2.若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 3.已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． 突破二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式】1.如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 2.若关于的二元一次方程组中，的值比值的相反数大1，则的值为 ． 3.在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则 ． 突破三 已知二元一次方程组同解问题，求参数 【典例】已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 【变式】1.若方程组和方程组有相同的解，则的值为 ． 2.已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 3.关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 一、单选题 1．（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 2．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 3．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 二、填空题 4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 6．（2024·广东·二模）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组是 ． 三、解答题 7．（2010·江苏徐州·中考真题）解方程：． 8．（2024·安徽·模拟预测）砀山酥梨以果大核小、黄亮型美、皮薄多汁、酥脆甘甜而驰名中外．果农小李准备将一批酥梨装箱运往某水果超市销售，每箱酥梨的重量要相等．第一天小李用这批水果的，装了16个果箱，还剩余4千克；第二天她把剩下的酥梨全部取来，恰好共装了9个果箱，那么这批酥梨共有多少千克？ 9．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 一、单选题 1．（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山·模拟预测）某厂第二车间人数比第一车间人数的少，如果从第一车间调人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间人数的，问这个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人．根据题意，正确列出方程组的是 A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·河南驻马店·三模）已知二元一次方程组，则的值是 ． 4．（2025·湖北·三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得 ． 三、解答题 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶ 6．（2024·山西·模拟预测）“冬盖三层被，瑞雪兆丰年”是广为流传的农谚．2023年12月中旬，我省普降大雪，预示着来年粮食的丰收，但大雪也给出行带来诸多不便，环卫部门积极开展扫雪除冰工作．省城某区有A，B两种型号的除雪撒布车，其中A型50辆，B型20辆．已知一辆A型车平均每小时比一辆B型车平均每小时撒布的面积多25平方米，按要求除雪撒布车撒布融雪剂颗粒的密度为0.04吨/平方米，若该区所有除雪车同时工作一小时，使用融雪剂颗粒可达470吨，求两种除雪撒布车平均每小时撒布的面积各是多少平方米． 7．（2025·四川广元·模拟预测）某中学计划购进一批护眼灯和黑板灯，已知1盏护眼灯和3盏黑板灯共需420元，3盏护眼灯和2 盏黑板灯共需910元． (1)一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是多少元? (2)学校准备购进这两种灯共100盏，其中护眼灯不少于黑板灯的3倍，设购进黑板灯盏，这100盏灯的总费用为元． ①求关于的函数解析式． ②购进护眼灯和黑板灯各多少盏，才能使总费用最低? 一、单选题 1．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江衢州·二模）由方程组可以得出与的关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川宜宾·模拟预测）若方程组的解，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·浙江杭州·二模）将公式变形成用表示，则 ． 7．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 8．（2025·河南周口·二模）关于x，y的方程组的解为 ． 9．（2025·浙江绍兴·一模）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是 ． 10．（2025·陕西榆林·二模）幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是 ． 三、解答题 11．（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 12．（2025·海南三亚·模拟预测）为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 13．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 14．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 15．（2025·广东佛山·三模）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ 16．（2025·云南临沧·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一次方程（组）的概念 题型01等式的基本性质 题型02一元一次方程的解 题型03二元一次方程组的解 命题点二 解一次方程（组） 题型01 解一元一次方程 题型02 解二元一次方程组 题型03 解二元一次方程组的错解复原问题 命题点三 一次方程（组）的应用 题型01 一元一次方程的应用 题型02 一元一次方程与函数的综合应用 题型03 二元一次方程的应用 题型04 二元一次方程与函数的综合应用 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 已知一元一次方程的解为整数解，求参数 突破二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 突破三 已知二元一次方程组同解问题，求参数 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程的解法 山东济南 T8 山东青岛 T7 山东烟台 T6 掌握一元一次方程的解法步骤，能熟练求解一元一次方程 二元一次方程组的解法 山东潍坊 T10 山东济南 T9 山东临沂 T8 掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组 一次方程的实际应用 山东菏泽 T18 山东德州 T17 山东聊城 T16 能从实际问题中抽象出数学模型，列出方程（组）解决实际问题 二元一次方程组的实际应用 山东日照 T20 山东威海 T19 山东滨州 T18 能从实际问题中抽象出二元一次方程组，解决复杂的实际问题 一次方程与函数的关系 山东东营 T15 山东枣庄 T14 山东莱芜 T13 理解一次函数与一元一次方程的关系，能利用函数图像解一元一次方程 一次方程与不等式的结合 山东青岛 T16 山东烟台 T15 山东潍坊 T14 能结合一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题 含参数的一次方程 山东济南 T14 山东泰安 T13 山东临沂 T12 理解含参数一次方程解的情况，能根据解的情况确定参数的值或范围 命题预测 近三年山东中考数学真题显示，一次方程（组）的考查重心已从单纯解方程转向数学建模与解决实际问题的能力。2026年预计将继续强化这一方向，试题将深度嵌入具有时代性和地域性的真实情境，例如社区垃圾分类的成本核算、新能源汽车充电计费、乡村旅游的收益分配等现实议题。题目设计将更注重过程的完整性与方案的合理性，要求学生不仅正确列出方程，还需对解的合理性进行解释与评价，体现数学的严谨性与应用价值。同时，与统计图表、一次函数图像的简单结合可能成为新的命题支点，实现知识间的自然融通。备考应着重训练从复杂文字、图表中剥离等量关系的能力，并培养用数学语言表述现实问题的素养。 考点一 一次方程（组）概念 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 知识点03 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．（2024·山东济南·二模）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故选：． 2．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，不等式的性质，真、假命题．解题的关键在于对等式进行合理的等量代换．由，，可得，进而可判断A的真假；由，可得，，则，整理得，，进而可判断B的真假；由，且，，可得，整理得，，计算求解，可判断C的真假；由，整理得，，由，可得，进而可判断D的真假． 【详解】解：∵，， ∴，正确，A为真命题，故不符合要求； ∵， ∴，， ∴，整理得，，正确，B为真命题，故不符合要求； ∵，且，， ∴，整理得，，解得或，错误，C为假命题，故符合要求； ∵，且， ∴，整理得，， ∵， ∴，正确，D为真命题，故不符合要求； 故选：C． 3．（2025·山东·模拟预测）小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设兑换成10元x张，20元的零钱y元，根据题意列出二元一次方程，进而求解即可． 【详解】设兑换成10元x张，20元的零钱y元， 由题意得：， 整理得：， 方程的整数解为：，，，． 因此兑换方案有4种， 故选：B． 4．（2024·山东济南·二模）若一元一次方程的解为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：3． 5．（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 6．（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义问题，整式加减的应用，二元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键．根据题意表示出各个数位上的数，求出，根据能被3整除，进而求解即可． 【详解】解：根据题意：M千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为，个位上的数字为，且， 则 ， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整数， ∴能被3整数， ∵，且b越大，M越大， ∴当时，不能被3整除，不符合题意； 当时，能被3整除，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的“成双数”中的最大数为， 故答案为：． 考点二 解一次方程（组） 知识点01 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点02 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 1．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是解题的关键．直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 3．（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键； （1）根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 4．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 5．（2024·山东东营·一模）解方程组： 【答案】． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法．根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入②得：， ， ∴方程组的解为． 6．（2025·山东淄博·二模）（1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用加减消元法解答，即可求解； （2）分别解两个不等式，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 由，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， 由得， 由得， 不等式组的解集为． 考点三 一次方程（组）的应用 知识点01 一元一次方程应用题解题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 知识点03 二元一次方程组的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1是长方形菜园长，宽 ．中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍．四周过道部分的宽度相等，如图2为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等，每垄菜地的长比宽多．设过道宽度为，求每垄菜地的长与宽． 【答案】每垄菜地宽为，长为． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设过道宽度为，则长方形菜园长，宽，根据中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍列出方程求出长方形菜园长和宽；设每垄菜地宽为，则长为，根据垄与垄之间的间距相等列出方程求解即可． 【详解】解：设过道宽度为，则长方形菜园长，宽； 由题意得，， 解得， ∴，， 设每垄菜地宽为，则长为， ， 解得， 每垄菜地宽为，长为． 2．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 3．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 4．小明想把新分发的12本课本用封皮包好，如图，通过测量发现课本的长都是，宽都是，而厚度()不一样，且都小于，如果用一张长方形封皮纸包好一本课本，要将封皮纸在封面和封底各折进去 (不小于1)． (1)计算包一本课本所用封皮纸的周长是多少？(结果用含，m的代数式表示) (2)若数学课本的厚度为，准备把封皮纸在封面和封底各折进去，则包数学课本的封皮纸的周长是多少？ (3)商店里有规格为和的两种长方形封皮纸，请直接判断小明该选用哪一种规格的封皮纸，买回来裁剪包课本会更节约材料． (说明∶表示宽，长) 【答案】(1) (2) (3)选用规格为比较合算 【分析】本题考查的了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握图形中长度的数量关系是解题的关键． （1）用含有、表示出封皮纸的长和宽，再用长方周长公式即可解答； （2）把代入（1）中结果计算即可； （3）取的最大值临界值，再计算出规格的封皮纸是否合适，即可从节约材料的角度求出答案． 【详解】（1）由题意可知： 封皮纸的长：； 封皮纸的宽：． 封皮纸的周长：． 答：这本书所用封皮纸的周长是． （2）当时， （3）12本课本，厚度都小于，即， 为适用于所有课本，则考虑取最大临界值，即． 长，宽， 则当时，， 此时， 选用规格为比较合算． 5．（2025·山东潍坊·一模）某地举行龙舟比赛，赛程为900米．甲、乙两队比赛时，路程（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示． (1)最先到达终点的是 队，比另一队领先 分钟到达； (2)求出图中点的坐标，并解释它的实际意义； (3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点？早几分钟？ 【答案】(1)乙，1 (2)，点的实际意义是4.4分钟时甲乙两队同时到达660米处 (3)甲先到，早到分钟 【分析】本题考查了一次函数的运用，行程问题的数量关系速度路程时间的运用，解答时阅读理解函数图象是关键． （1）由函数图象时间与路程的关系就可以得出结论； （2）求出交点坐标即可解答； （3）先求出乙第一次加速后的速度就可以求出乙行驶完全程的时间，与甲的时间比较就可以得出结论． 【详解】（1）解：由函数图象得：最先到达终点的是乙队，比另一队领先分钟到达． 故答案为：乙，1； （2）解：由函数图象得：甲的速度为：（米分）， 乙队在第2分钟后第一次加速，其速度为（米分）， 乙队在第4分钟后第一次加速，其速度为（米分）， 设在分钟乙追上甲， 根据题意得：， 解得， ， 即点的坐标为，它的实际意义为当时间为4.4分钟时乙追上甲，此时路程为660米； （3）解：乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进走完余下路程需要的时间为：（分钟）， 乙队走完全程的时间为：（分钟）， 甲队行驶完全程需要的时间是6分钟，且， 甲早分钟达终点． 6．（2025·山东济南·一模）火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． (1)问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ (2)若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元 (2)购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大，最大利润是700元 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式解应用题，读懂题意，得到相应方程组、函数及不等式是解决问题的关键． （1）设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）根据（1）中求得的结论，由题意得到销售这两种火龙果的利润表达式，由一次函数性质及一元一次不等式解集即可得到答案 【详解】（1）解：设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元， 由题意可得，解得， 答：“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元； （2）解：由题意可得， ， 随的增大而减小， 要求所花资金不高于2600元， ，解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大．最大利润是700元． 7．（2025·山东济南·一模）“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 (1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ (2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； (2)第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件， 根据题意得，， 解得， 答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； （2）解：由题知：， 解得，， ， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 命题点一 一次方程（组）的概念 ►题型01 等式的基本性质 / 方法总结： 等式两边同加减、乘除（除数非零）同一式，等号仍成立，解方程基础。 易错总结： 除时忽略零，去分母漏乘，移项未变号，系数化一算错负号。 【典例】（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 【变式】1．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可． 【详解】解：A.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； B.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； C.由，，则可得到，结论正确，不符合题意； D.由可得，则，当时，，即，原结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式】2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D．3a+1=2b+5 【答案】BD 【分析】根据等式的性质逐个判断即可．本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 【详解】解：A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得3a+1=2b+6，故本选项不符合题意 故选：B． ►题型02 一元一次方程的解 / 方法总结： 将解代入原方程，化为关于参数的方程，求解即可得参数值。 易错总结（30字内）： 代入时符号易错，化简参数方程出错，忽略参数限制条件，得解后未回代检验。 【典例】若是方程的解，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，代数式求值．首先将代入方程中，得，而原式，将代入原式即可求解． 【详解】解：是方程的解， ， ， ， 故答案为：． 【变式】1．已知是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，根据一元一次方程的解的定义，将代入方程求解m． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式】2．已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了方程的解． 将第二个方程变形，得到与第一个方程相似的形式，利用第一个方程的解，推导出，从而求出y的值． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． ►题型03 二元一次方程的解 / 方法总结： 将解代入原方程，得参数方程，联立求解即可确定参数值。 易错总结： 代入时抄错数值，解参数方程计算出错，忽略参数间隐含关系，得解未回代验证。 【典例】（2023·山东枣庄·模拟预测）若二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值． 把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值． 【详解】将代入方程组，得：， ，得：， 则， 故答案为1． 【变式】1．如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴． 故答案为：8 【变式】2．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 由题意得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点二 解一次方程（组） ►题型01 解一元一次方程 / 解一元一次方程方法总结： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，按序求解。 易错总结： 去分母时漏乘不含分母项，移项未变号，系数为负时化1出错，忘检验。 【典例】（2023·山东济南·二模）解一元一次方程：． 【答案】 【分析】方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解： ， 去分母，得3（x﹣1）﹣2＝6x， 去括号，得3x﹣3﹣2＝6x， 移项，得3x﹣6x＝5， 合并同类项，得﹣3x＝5， 系数化为1，得x＝﹣ ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，牢记解题的步骤是关键． 【变式】1．（2024·山东东营·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先把方程左边合并，再把方程两边同时除以4即可得到答案； （2）先把方程左边合并，再把方程两边同时除以即可得到答案； （3）先把移到方程右边并合并，再把方程两边同时除以即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式】2．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)1；2； (2)， 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：1；2； （2）若时，即时，则 ， 解得：， 若时，即时，则 ， 解得：，不合题意，舍去， ， ►题型02 解二元一次方程组 / 方法总结： 代入消元或加减消元，目标化为一元方程求解，再回代得另一解。 易错总结： 消元时符号错误，回代到错误方程，计算粗心导致连锁错，忘写大括号。 【典例】（2024·山东济南·一模）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式】1．（2023·山东枣庄·一模）解方程组：. 【答案】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解： ①+②得， 解得 将代入①得， 解得 所以方程组的解为. 【变式】2．（2022·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】整理方程组得，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：整理方程组得，                    得， y=1，                  把y=1代入①得， 解得x=5，             ∴方程组的解为. ►题型03 解二元一次方程组错解复原问题 / 方法总结： 将错解代入错误步骤对应的变形方程，逆向复原参数与正确解。 易错总结： 混淆正确与错误方程，复原步骤逻辑反推错误，参数求解后未验算正确解。 【典例】阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 【答案】（1）A；（2）二，；（3） 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 故选A； （2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为； 故答案为二，； （3）． 由①，得，③ 把③代入②，得， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 故答案为． 【变式】1．下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步 解决下列问题： (1)上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法； (2)小星同学第______步开始出现错误； (3)求该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义“当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法”即可得； （2）根据即可得； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】（1）解：上述这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减消元． （2）解：小星同学第二步开始出现错误，即计算时出现错误， 故答案为：二． （3）解：， ，得③， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解为． 【变式】2．下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)一，等式右边没有乘3 (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：加减消元；等式的基本性质 （2）第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3， 故答案为：一，等式右边没有乘以3； （3）解方程组: 解：由①，得③ ③②，得， 将代入①， 解得， 所以，原方程组的解为， 故答案为：． 命题点三 一次方程（组）的应用 ►题型01 一元一次方程的应用 / 方法总结： 审题找等量关系，设未知数，列方程，解方程，检验合理性，写答。 易错总结： 单位不统一，等量关系找错，解出负值或分数不符实际意义，漏答。 【典例】（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 【变式】1．我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 【答案】绳索长为20尺，竿长15尺． 【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可． 【详解】解∶设绳索长尺，则竿长为尺． 根据题意可得， 解得 （尺）， 答：绳索长为20尺，竿长15尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式】2．（2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 【答案】(1)这台M型平板电脑的价值为元 (2)她应获得元的报酬 【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为元，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可． 【详解】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得： ， 解得：； ∴这台M型平板电脑的价值为元； （2）解：由题意，得：； 答：她应获得元的报酬． ►题型02 一元一次方程与不等式的综合应用 / 方法总结： 先由等量关系列方程求解，再用不等式检验或确定范围，综合决策。 易错总结： 混淆等量与非等量关系，解不等式时方向错误，解集未结合实际情况筛选。 【典例】（2023·江西·中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】(1)该班的学生人数为45人 (2)至少购买了甲树苗80棵 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m得最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 【变式】1．某小区积极响应全民健身运动，决定在小区内安装健身器材．经调查：甲种健身器材的单价是乙种健身器材的单价的2倍，购买2个甲种健身器材和3个乙种健身器材共需420元． (1)求甲、乙种健身器材的单价各是多少元？ (2)如果购买甲、乙种健身器材共60个，且费用不超过4800元．又知该小区至少需要安放19个甲种健身器材，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 【答案】(1)甲种健身器材的单价是120元， 乙种健身器材的单价是60元； (2)当购买甲健身器材19台，乙健身器材41台，所需资金最小． 【分析】（1）设乙种健身器材的单价是x元，则甲种健身器材的单价是元，根据“购买2个甲种健身器材和3个乙种健身器材共需420元”列一元一次方程，解方程即可求解； （2）设购买甲健身器材y个，则购买乙健身器材个，根据“购买总资金不超过4800元，并且至少需要安放19个甲种健身器材”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为整数即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设乙种健身器材的单价是x元，则甲种健身器材的单价是元， 根据题意得， 解得，， 答：甲种健身器材的单价是120元，乙种健身器材的单价是60元； （2）解：设购买甲种健身器材y个，则购买乙种健身器材个， 根据题意得， 解得， ∵y为整数， ∴y可以为19，20， ∴一共有2种购买方案， 方案1：购买甲健身器材19台，乙健身器材41台； 需要资金，元； 方案2：购买甲健身器材20台，乙健身器材40台； 需要资金，元； ∵， ∴当购买甲健身器材19台，乙健身器材41台，所需资金最小，最小值为4740元． 【变式】2．潍县萝卜是山东潍坊市的特产，中国国家地理标志产品；因原产于山东潍县而得名，已有多年的栽培历史．月日，潍坊市第十六届潍坊·寒亭潍县萝卜文化节嘉年华活动在潍坊国家农综区国际博览馆隆重举办．期间，某农产品合作社主要推销A、B两种不同品种的有机萝卜，已知A、B两种有机萝卜的批发价和零售价如下表所示： 品名 A品种 B品种 批发价/（元/） 4 零售价/（元/） 展会后，某商超采购员到有机萝卜产区进行了采购． (1)若他批发A、B两种有机萝卜共花元．求批发A，B两种有机萝卜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发A、B两种有机萝卜共花m元，设批发A种有机萝卜n，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完这些萝卜后要保证利润不低于元，至少批发A种有有机萝卜多少千克？ 【答案】(1)批发A种有机萝卜，B种有机萝卜 (2) (3)至少批发A种有机萝卜 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜，依题意得：，然后作答即可； （3）设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜， 依题意得，， 解得：， ∴， ∴批发A种有机萝卜，B种有机萝卜； （2）解：设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜， 依题意得：， ∴m与n的函数关系为：； （3）解：设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜， 依题意得，， 解得，， ∴至少批发A种有机萝卜． ►题型03 二元一次方程组的应用 / 方法总结： 审题找两个等量关系，设两个未知数，列方程组求解，检验写答。 易错总结： 设未知数不当致方程复杂，两个关系混淆列错，解出结果未双检符合题意。 【典例】（2025·山西吕梁·一模）某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 【答案】去年的总产值为600万元，总支出为400万元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用， 设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元， 根据题意得 解得 答：去年的总产值为600万元，总支出为400万元． 【变式】1．（2024·山东泰安·二模）清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多万人，第二天A入口登山游客增加了，B入口登山游客减少了，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？ 【答案】第二天入口登山游客的人数是2.86万人，入口登山游客的人数是1.26万人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设第一天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人，则第二天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人，根据“第一天入口比入口登山游客多1.2万人，且第二天、入口登山游客总人数增加了”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入及中，即可求出结论． 【详解】解：设第一天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人，则第二天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人， 根据题意得：， 解得：， （万人）； （万人）． 答：第二天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人． 【变式】2．某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ 【答案】(1)型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人 (2)租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人． （2）解：设租用型辆，型辆， 可得：， 因为，为正整数，所以方程的解为：，， 方案一：型1辆，型8辆，费用：元； 方案二：型5辆，型5辆，费用：元； 方案三：型9辆，型2辆，费用：元； 所以租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元． ►题型04 二元一次方程组与不等式的综合应用 / 方法总结： 列方程组求基准解，用不等式限定范围，结合整数解等实际条件筛选。 易错总结： 方程与不等式条件混淆，求范围时忽略整数限制，未验算端点值合理性。 【典例】（2025·山东济南·一模）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案． 【答案】(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元 (2)获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润． 【详解】（1）解：设甲、乙两种商品每件的进价分别是元， ， 解得， 即甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元； （2）解：设购买甲种商品件，获利为元， ， ， 解得， ∴当时，取得最大值， 即获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件． 【变式】1．（2025·山东临沂·一模）某纪念品商店购进若干龙年吉祥物钥匙扣和玩偶．已知钥匙扣的进价为 6 元/个，玩偶的进价为 20 元/个，下表是近两天的销售情况： 销售时段 钥匙扣（个） 玩偶（个） 销售收入（元） 第一天 7 4 190 第二天 3 5 180 (1)请尝试求出钥匙扣和玩偶的销售单价． (2)若该商店准备用不超过 685 元再采购钥匙扣和玩偶共 50 个，则该商店至少采购钥匙扣多少个？ 【答案】(1)钥匙扣销售单价为 10 元，玩偶的销售单价为 30 元 (2)该商店至少采购钥匙扣23个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设钥匙扣的销售单价为 x 元，玩偶的销售单价为y 元，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店采购钥匙扣a个，则采购玩偶个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过685元，可列出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设钥匙扣的销售单价为 x 元，玩偶的销售单价为y 元．根据题意, ， 解得， 答：钥匙扣销售单价为 10 元，玩偶的销售单价为 30 元； （2）解：设该商店采购钥匙扣a个，则采购玩偶个． 根据题意，得   解得 ∵a为正整数， ∴ ∴该商店至少采购钥匙扣23个． 【变式】2．（2025·山东青岛·模拟预测）某校计划组织开展“劳动技能”比赛活动，活动计划评出100名获奖参赛个人，并设立一、二、三等奖，分别奖励一件A、B、C三种价格不同的奖品．已知购买1件A奖品和2件B奖品共63元；购买2件A奖品和3件B奖品共108元．设获一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且，． (1)求A奖品和B奖品的单价； (2)因购买数量较多，商家同时给予以下两种优惠： ①每购买1件A奖品赠送2件C奖品； ②购买A奖品15件以内（含15件）按原价，超过15件时，每多购买一件，所有A奖品的单价降低0.2元（单价最多降低4元）．已知C奖品的单价是10元，赠送的C奖品不足以奖励所有获得三等奖的学生，需要再购买一部分C奖品．问：怎样设置一等奖人数使购买方案最省钱？并求出购买奖品费用的最小值． 【答案】(1)A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元 (2)设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元 【分析】本题考查二次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和二次函数最值的求法是解题的关键． （1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据“奖品的单价奖品的数量奖品的单价奖品的数量金额”列方程组并求解即可； （2）根据题意，得三等奖的人数为人.设购买奖品费用为元，根据“购买奖品费用奖品的单价购买奖品的数量比件多出的件数购买奖品的数量奖品的单价购买奖品的数量奖品的单价购买奖品的数量购买奖品的数量”写出关于的函数关系式，然后求出的取值范围，然后根据函数性质得到最值解题即可． 【详解】（1）解：设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元． 根据题意，得， 解得， ∴A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元． （2）解：根据题意，得三等奖的人数为人． 设购买奖品费用为w元，则， ， 解得， ∵， ∴， ∵，且a为整数， ∴当时，w最小，， ∴设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元． 突破一 已知一元一次方程的解为整数解，求参数 【典例】关于的方程的解是整数，则整数所有可能取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，分情况讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将方程化为，解得，由于解为整数，因此必须是4的约数，列出所有整数的可能取值并求和． 【详解】解：方程移项得，即，解得． 由于为整数，因此为整数，即是4的约数． 4的约数有、、， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数的所有可能取值为、、、、、， 它们的和为． 【变式】1.已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先解一元一次方程可得，再根据关于的方程的解为负整数，且为整数可得所有可能取值，然后求和即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以6去分母，得， 移项、合并同类项，得， ∵这个关于的方程有解， ∴， 又∵这个关于的方程的解为负整数，且为整数， ∴所有可能取值为， ∴所有可能取值为， ∴整数所有可能取值的和为， 故答案为：． 2.若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，方程的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解方程得到的表达式，由解为正整数确定的可能值；再根据多项式为二次三项式的条件筛选的值，最后求满足条件的整数的和． 【详解】解：， 两边乘以得：， 即， ∴， ∵解是正整数， ∴，且为整数， ∴为负整数，且整除4， ∵4的正因数为， ∴可能为， ∵多项式是二次三项式， ∴二次项系数，且一次项系数， 解得：，， 结合方程解的条件，的可能值中排除（因二次项系数为零），排除（但，均不为）， ∴满足条件的为和， ∴其和为， 故答案为：． 3.已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，先解方程，然后结合整数解求出符合条件的的值，再计算绝对值的和即可．正确求出方程的解是解题关键． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴所有整数的绝对值的和为：． 故答案为：． 突破二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 【变式】1.如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质，因为x和y的值互为相反数，所以有，将方程组的两个方程相加得，则，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二元一次方程的解互为相反数， ∴， 得， 即， ∴， 解得：； 故答案为：． 2.若关于的二元一次方程组中，的值比值的相反数大1，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 由的值比值的相反数大1，则有，即，然后构建方程求得方程的解，最后代入求k即可． 【详解】解：根据题意可知：，即， 解方程组，得， 将代入方程，得，解得：． 故答案为3． 3.在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，根据“三倍解方程”的定义，方程组的解中两个未知数有3倍关系，即或．分别将这两种关系代入原方程组，通过解方程组求出的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组是“三倍解方程”， ∴当时，代入第一个方程， 得， 解得 则； 将， 代入第二个方程， 得 解得； 当时，代入第一个方程， 得 解得 则． 将，代入第二个方程， 得 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 突破三 已知二元一次方程组同解问题，求参数 【典例】已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、算术平方根与立方根的定义，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 先求出两个方程组的公共解，再代入含、的方程求出、的值，最后计算的算术平方根和的立方根，进而求出． 【详解】解：解方程组得 ，． 将，代入得． 将，代入得． ∴， 解得 ， ∴ ，其算术平方根． ∵ ， ∴ ，其立方根． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式】1.若方程组和方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．解方程组得出x，y的值，然后得到，求出a与b的值，最后求出结果即可． 【详解】解：将和组成方程组得， 解得，， 将分别代入和得， 整理得：， 解得， ∴． 故答案为：． 2.已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 3.关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于，的方程组与有相同的解，则，解得：，然后代入得，求出，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，通过移项求解一元一次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 故选：B 2．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 3．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了加减消元法、同底数幂的除法等知识点，准确求解方程组是解题的关键． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后整体代入即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题 4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 6．（2024·广东·二模）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设有张桌子，有条凳子，根据“四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设有张桌子，有条凳子， 根据题意可知：， 故答案为： 三、解答题 7．（2010·江苏徐州·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，先去分母，再去括号，然后合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 8．（2024·安徽·模拟预测）砀山酥梨以果大核小、黄亮型美、皮薄多汁、酥脆甘甜而驰名中外．果农小李准备将一批酥梨装箱运往某水果超市销售，每箱酥梨的重量要相等．第一天小李用这批水果的，装了16个果箱，还剩余4千克；第二天她把剩下的酥梨全部取来，恰好共装了9个果箱，那么这批酥梨共有多少千克？ 【答案】这批酥梨共有54千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每箱酥梨的重量要相等，列出方程进行解答． 【详解】解：设这批酥梨共有x千克．根据题意得 ， 解得． 答：这批酥梨共有54千克． 9．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 一、单选题 1．（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 2．（2025·四川眉山·模拟预测）某厂第二车间人数比第一车间人数的少，如果从第一车间调人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间人数的，问这个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人．根据题意，正确列出方程组的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组． 根据题意可知，第二车间的人数=第一车间的人数，（第一车间）=第二车间，根据这两个等量关系，可列方程组． 【详解】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有： ， 故选：C． 二、填空题 3．（2025·河南驻马店·三模）已知二元一次方程组，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据所求式子的特点灵活求解是关键； 方程组中的两个方程相减即可得出答案. 【详解】解：方程组中的两个方程相减，得， 故答案为：4. 4．（2025·湖北·三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等列出关于x，a的方程，消去a后，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：如图，可得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得； 把代入，得：，解得； ∴方程组的解为． 6．（2024·山西·模拟预测）“冬盖三层被，瑞雪兆丰年”是广为流传的农谚．2023年12月中旬，我省普降大雪，预示着来年粮食的丰收，但大雪也给出行带来诸多不便，环卫部门积极开展扫雪除冰工作．省城某区有A，B两种型号的除雪撒布车，其中A型50辆，B型20辆．已知一辆A型车平均每小时比一辆B型车平均每小时撒布的面积多25平方米，按要求除雪撒布车撒布融雪剂颗粒的密度为0.04吨/平方米，若该区所有除雪车同时工作一小时，使用融雪剂颗粒可达470吨，求两种除雪撒布车平均每小时撒布的面积各是多少平方米． 【答案】A型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米，B型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设A型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米，则B型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米，根据该区所有除雪车同时工作一小时，使用融雪剂颗粒可达470吨，结合除雪撒布车撒布融雪剂颗粒的密度为0.04吨/平方米，列出一元一次方程求解即可解答． 【详解】解：设A型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米，则B型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米， 根据题意， 解得， 则（平方米）， 答：A型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米，B型除雪撒布车平均每小时撒布的面积是平方米． 7．（2025·四川广元·模拟预测）某中学计划购进一批护眼灯和黑板灯，已知1盏护眼灯和3盏黑板灯共需420元，3盏护眼灯和2 盏黑板灯共需910元． (1)一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是多少元? (2)学校准备购进这两种灯共100盏，其中护眼灯不少于黑板灯的3倍，设购进黑板灯盏，这100盏灯的总费用为元． ①求关于的函数解析式． ②购进护眼灯和黑板灯各多少盏，才能使总费用最低? 【答案】(1)一盏护眼灯的售价是270元，一盏黑板灯的售价是50元． (2)①；②购进黑板灯25盏，护眼灯75 盏时总费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是元和元，根据题意列出方程组，解出答案即可； （2）由题意可知，购进黑板灯盏，购进护眼灯盏，然后根据“护眼灯不少于黑板灯的3倍”列出不等式，解得，然后列出的表达式：，然后根据一次函数的性质，求得最值． 【详解】（1）解：设一盏护眼灯和一盏黑板灯的售价分别是元和元， 则 解得 ， 答：一盏护眼灯的售价是270元，一盏黑板灯的售价是50元． （2）解：∵购进黑板灯盏， ∴购进护眼灯盏． ∵护眼灯不少于黑板灯的3 倍， ∴，即． ∴ ． ②由①知，． ， 随的增大而减小， ， ∴当时，最小． 即黑板灯25盏，护眼灯75 盏，总费用最低； 答：购进黑板灯25盏，护眼灯75 盏时，总费用最低． 一、单选题 1．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了根据一元一次方程的解求参数，解一元一次不等式，首先移项得到，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】 移项得， ∵关于的方程有负根， ∴ ∴． 故选：A． 2．（2025·浙江衢州·二模）由方程组可以得出与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过消去参数，将两个方程联立，解出与的关系式即可． 【详解】解：由得， 将代入方程中，得： 整理，得， 故选：C． 3．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 5．（2025·四川宜宾·模拟预测）若方程组的解，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围．本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再利用不等式组求解是解题的关键． 【详解】解： ∴ ∵， ∴ 解不等式，得，即； 解不等式，得，即． 综上， 故选：B ． 二、填空题 6．（2025·浙江杭州·二模）将公式变形成用表示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程中代入法的运用，掌握等式的性质，代入法的计算是关键． 根据等式的性质，代入法的计算即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得到， 移项、合并同类项得，， ∴， 故答案为： ． 7．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴k的值不可能是， 故答案为：． 8．（2025·河南周口·二模）关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 9．（2025·浙江绍兴·一模）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键．小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱， 根据“今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱”即可列出方程组． 【详解】解：小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱， 根据题意得：． 故答案为：． 10．（2025·陕西榆林·二模）幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幻方的计算，理解题目中幻方的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴“德”盖住的数字是3， 故答案为：3 ． 三、解答题 11．（2025·广东佛山·三模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②，得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 12．（2025·海南三亚·模拟预测）为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 【答案】60个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据“七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个， 根据题意得：， 解得：． 答：七年级创作的作品有60个． 13．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 14．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 15．（2025·广东佛山·三模）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ 【答案】服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， 由题意得：， 解得：． 答：服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． 16．（2025·云南临沧·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null