精品解析：福建省厦门市第十中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

厦门市十中2025级高一年第一学期数学科12月份测试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：陈勋 审核人：康金真 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合A，再根据交集运算求解. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：B. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 3. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案. 【详解】若，则一定是第一象限角，充分性成立； 若是第一象限角，则， 无法得到一定属于，必要性不成立. 所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中不单调，且可举出实例. 【详解】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调， ABC选项，在R上单调递减，在R上单调递增， 在上单调递增，ABC错误； D选项，在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，与函数，，两者的值域相同，为同值函数，D正确. 故选：D 5. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 6. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【详解】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 故选：C 7. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（ ） A. 4.8 B. 4.9 C. 5.0 D. 5.1 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入数据求值即可. 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 8. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定的奇偶性及单调性，即可求解. 【详解】函数，由，即，， 解得显然，∴为偶函数， ∴当时，， 易知在上单调递增，结合复合函数单调性可知： 在上单调递增. ∴在上为减函数，在上为增函数， ，， 所以，， ∴. 故选：C. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但选不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 为钝角 B. C. D. 点在第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】因为角的终边经过点，根据三角函数的定义即可判断三角函数值的符号及三角函数值，进而逐一判断. 【详解】因为角的终边经过点， 所以是第二象限角，由周期性可知不一定是钝角，且，，， 所以AC错误，B正确； 因为点的横坐标，纵坐标， 所以点在第二象限，D正确. 故选：BD. 10. 若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由且，得出，结合作差比较法和基本不等式可得答案. 【详解】对于A，因为且，所以，所以，即，A不正确； 对于B，由选项A可知，所以，即，B正确； 对于C，由于异号，所以，所以，由于等号只能在时取到，所以，即，C正确； 对于D，因为，所以，D正确. 故选：BCD. 11. 已知，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的取值范围是 D. 当，，时， 【答案】BC 【解析】 【分析】变形给定等式，构造函数，利用单调性可得，再逐项求解判断即可. 【详解】由，得，令函数， 则原等式等价于，而函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，则， 对于A，由，得或或，显然不恒成立，A错误； 对于B，由，得，则，解得，则，B正确； 对于C，由，，得，又， 则，即，解得且，因此，C正确； 对于D，依题意，，即，又， 则，而，解得，则，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是幂函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，确定幂函数的解析式，再求函数值. 【详解】设，则，所以. 故， 所以. 故答案为： 13. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得tanα，再由万能公式求解． 【详解】由sinα=2cosα，得tanα=2， ∴sinαcosα===． 故答案为． 【点睛】题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及万能公式的应用，是基础题． 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】分别画出函数和的图象，再根据条件求解. 【详解】设，，分别绘制，的草图如下： 其中有最小值，且； 无最小值，且，. 因为函数有最小值，所以； 点在的图象上，所以. 综上. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，，求； （2）若，，求正数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合补集的概念与运算即可求解； （2）根据指数不等式和一元一次不等式的运算可得，，结合集合之间的包含关系即可求解. 【小问1详解】 由题意得，而，故， 得，； 【小问2详解】 由，得，即，即， 而，由得，即， 而，故，且，得， 即a的取值范围为． 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）是上的增函数，证明如下： 设为区间内的任意两个值，且， 则，， ∵= =， 即， ∴是上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数得，代入整理得； （2）判断单调性采用定义法，设为区间内的任意两个值，且，计算出，说明函数是增函数； （3）结合函数奇偶性、单调性转化为对任意恒成立恒成立，然后分类讨论求解. 【小问1详解】 由题意可得：=， ∵是奇函数， ∴，即 ， 所以， ∴，即， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是上的增函数，且是奇函数. ∵， ∴， ∴， 即对任意恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，只需，解得， 综上，实数的取值范围 17. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 18. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）至少5分钟； （3）时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 【解析】 【分析】（1）当时，，当时,,由题可求出,即可得到答案. （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益最大值. 【小问1详解】 由题知，当时，； 当时,, 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人， 此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人， ，解得， 此时， 所以. 【小问2详解】 依题意， 当时，，满足题意； 当时，，即， 解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人. 【小问3详解】 由（1）知 时，当且仅当等号成立， 时 当上,单调递减,则 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”. （1）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求的解析式； （2）设函数，是否存在实数使得为的“函数”，且同时满足：（i）是偶函数；（ii）的值域为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）结合“函数”定义，利用为奇函数和为偶函数，列方程求解即可； （2）假设存在实数使得为，的“函数”，可得，根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为为，的“函数”， 所以①，所以， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②，解得； 【小问2详解】 存在，且，理由如下， 假设存在实数，使得为，的“函数”， 则， (i)因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为需对任意成立，所以； (ii) ， 因为，当且仅当即时取等号， 所以， 由于的值域为，所以，所以， 又因为，所以. 综上所述，存在满足要求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市十中2025级高一年第一学期数学科12月份测试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：陈勋 审核人：康金真 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（ ） A. 4.8 B. 4.9 C. 5.0 D. 5.1 8. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但选不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 为钝角 B. C. D. 点在第二象限 10. 若且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的取值范围是 D. 当，，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是幂函数，且，则______． 13. 已知，则_________． 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，，求； （2）若，，求正数的取值范围． 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 18. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”. （1）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求的解析式； （2）设函数，是否存在实数使得为的“函数”，且同时满足：（i）是偶函数；（ii）的值域为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $