精品解析：江苏省扬州市邗江区公道中学2025-2026学年高一上学期第二次学情检测数学试卷

扬州市邗江区公道中学2025－2026第一学期第二次学情检测 高一数学 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C 2. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及单调性列式求出值. 【详解】由幂函数在上单调递减，得，所以. 故选：A 3. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得，再利用重要不等式即可求的最大值，进而得周长的最大值. 【详解】设直角三角形两直角边长为，斜边长为，则. 因为，即， 所以，即，当且仅当时等号成立， 又，则， 所以该直角三角形的周长，即这个直角三角形周长的最大值等于. 故选：C. 4. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再带入特殊点逐一排除即可. 【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，故排除选项B; 因为，故排除选项A; 因为，故排除选项D. 故选：C. 6. 若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调递减的性质，分别分析每一段函数的单调性，并考虑分段点处的函数值关系. 【详解】若分段函数在上单调递减，则两段各自递减且在断点处左不小于右，则， 该方程组无解，故不存在. 故选：D. 7. 已知函数f（x）=|lgx|.若0<a<b,且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：，所以，所以由得，即，所以，，令，因为函数在区间上是减函数，故，故选C． 考点：对数函数性质，函数单调性与最值． 8. 已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符舍题目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断各选项的正误. 【详解】，， ，， 故选：AB. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是4 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 选项C：由得，所以， 当且仅当时取等号，但与（1）中时，矛盾， 所以的最小值不是8，故C错误； 选项D：由可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若值域为，则 B. 若定义域为，则 C. 若最大值为0，则 D. 若最小值为1，则 【答案】AC 【解析】 【分析】结合对数函数的单调性和二次函数的性质逐项分析判断； 【详解】选项A：值域为，说明函数能取到所有大于0的数， 当时，不满足； 当时，，解得：，选项正确； 选项B：当定义域为时，函数恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得：， 综上，，选项错误； 选项C：若最大值为0，即的最小值为， 故有，解得：，选项正确； 选项D：若最小值为1，即的最大值为， 则有，无解，选项错误； 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 13. ______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式直接计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为： 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质可得，分离参数，将问题转化为，根据对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】由于是偶函数， 故， 根据可得， ，解得， 由可得， 故， 因此， 由于，故，令， 则在单调递减，在单调递增，且当和时，，， 故， 因此， 故的最大值为， 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据包含关系求解即可； （2）由题意可得，进而分、两种情况求解即可. 【小问1详解】 由，则，解得， 则实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是成立的充分不必要条件，所以， 当时，，解得； 当时，由，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 16. 解答下列问题： （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求值：. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)利用正余弦函数的平方关系，来化简，即可求值； (2)利用幂指数运算，结合指数运算法则，即可求值； (3)利用幂指数运算，结合平方运算，即可求值. 【小问1详解】 , 因为， 所以原式； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，平方可得：， 再平方得：， 所以. 17. 已知的三个内角分别是，，. （1）求证：. （2）若. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） 在中，， 所以 所以． （2）①② 【解析】 【分析】（1）结合内角和公式，利用诱导公式化简，由此证明结论； （2）①由两边平方，结合平方关系求，利用诱导公式结合商的关系可得，由此可求结论；②结合角的范围可得，由此可求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，且， 所以， 所，从而. 所以. ②由，可知， 所以. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得、，代入即可得解； （2）由可判断函数单调递减，结合奇函数的性质可得恒成立，即可得解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，故，则， 所以， 又恒成立，所以； （2）因为，函数单调递减， 又恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以. 【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求参数，考查了利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，属于中档题. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求的零点； （2）当为偶函数时， ①求的值； ②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数在上的单调性，结合可得出函数的零点； （2）①根据偶函数的定义结合对数的运算性质可求得实数的值； ②由可得，令，分析可知关于的方程只有个正数解，对实数的取值进行分类讨论，在时直接验证即可，在或时，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时， 因为函数在上单调递增，且， 外层函数为上的增函数，故函数在上单调递增， 又因为函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 因为，所以，函数的零点为. 【小问2详解】 解：当为偶函数时，， ①， 因为，即， 所以，对恒成立，则，解得； ②因为函数与的图象有且只有一个公共点， 所以，只有一解，即只有一解， 所以，只有一解， 令， 则关于的方程只有个正数解， （Ⅰ）当时，，不合题意； （Ⅱ）当时，，设方程两根为、， 则，所以，方程有一正一负根，负根舍去，符合题意； （Ⅲ）当时，因为当时，， 故只需，解得. 综上：实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市邗江区公道中学2025－2026第一学期第二次学情检测 高一数学 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ） A. B. 12 C. D. 4. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f（x）=|lgx|.若0<a<b,且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符舍题目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是4 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是2 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若值域为，则 B. 若定义域为，则 C. 若最大值为0，则 D. 若最小值为1，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必过定点_____． 13. ______. 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 解答下列问题： （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求值：. 17. 已知的三个内角分别是，，. （1）求证：. （2）若. ①求的值； ②求的值. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求的零点； （2）当为偶函数时， ①求的值； ②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $