精品解析：江苏省扬州市第一中学2026-2027学年高一上学期10月教学质量调研评估数学试题

扬州市第一中学2026-2027学年第一学期 10月教学质量调研评估 高一数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以 2. 下列数集关系判断正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先利用分式不等式的解法和绝对值的解法解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，则不一定成立，所以“”是“”的不必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 4. 某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（ ） A. 45 B. 48 C. 50 D. 58 【答案】C 【解析】 【详解】由题意作如下所示的图： 由图可知，这个班的学生人数是25+(15-8)+(18-8)+8=50. 5. 设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（ ） A. B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念与子集个数的计算方法，计算满足条件的集合个数． 【详解】因为且，故集合中的元素必然包含3， 根据可知，集合中的元素可能包含， 故满足条件的集合等价于的子集，则集合的个数是个． 6. 若正数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】，所以，又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即. 故选：D. 7. 使得，为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可. 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 8. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法，和不等式的性质即可判断选项. 【详解】A.∵，∴不等式同乘以可得， 不等式同乘以可得，即，A正确. B.取时，此时，B错误. C.∵，且，∴,即，C正确. D.∵，， ∴，， ∴，D正确. 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次函数、一元二次方程的关系，先判断，再利用韦达定理得到，，代入各选项求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且，1是方程的两根，A错误. 将代入得，，B正确. 由韦达定理得，所以，. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得，C正确. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得或，D正确. 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，求各式的最值. 【详解】对A，由，所以，即的最大值为，当且仅当时取等号.故A错误； 对B，因为，当且仅当时取等号. 所以，故B正确； 对C，因为，当且仅当即时取等号.故C错误； 对D，因为，当且仅当即时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 13. 若，，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以， 所以. 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 【答案】 ①. 2（答案不唯一，另两个值为、） ②. 【解析】 【分析】由方程根的情况求出值即可；由并集的元素个数，分类求解即得. 【详解】由，得或， 由集合A只有两个元素，得： ①方程有两个相等的实根，且该实根不为3， 因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意， 所以，取； ②方程有一个实根为3，另一实根不为3， 此时，，此时方程的另一实根为，符合题意； 所以或； 由集合C有8个子集，得集合中有3个元素，而，， 则或或或， 当时，方程无实根，，解得， 当时，方程有两个相等的实根1，则， 当时，方程有两个相等的实根4， 而方程有实根时，两根之积为1，因此无解， 当时，方程的两根分别为，同上无解， 实数a的取值范围为. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简两个集合，根据交集的定义即可求解， （2）根据空集和非空集两种情况，即可分情况求解. 【小问1详解】 时，， ，故 【小问2详解】 若时，则，解得，满足条件， 当，则或，解得或， 综上可得时，或 16. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，由“”是“”的充分条件，得，求得实数的取值范围； （2）“”是“”的必要不充分条件得到集合是的真子集，求得实数的取值范围； 【小问1详解】 由题可知， 又“”是“”的充分条件，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以且， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是. 17. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且，对角线过点，已知米，米. （1）若矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； （2）求矩形花坛的面积的最小值. 【答案】（1） （2）192平方米 【解析】 【分析】（1）设的长为米，则可得矩形的面积为，即有，解出即可得； （2）利用矩形的面积公式列出解析式，再借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由可知， 设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积为， 由，得，解得或， 又，所以， 故的长的取值范围是. 【小问2详解】 由题意得矩形花坛的面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当的长为米时，矩形花坛的面积最小，最小值为平方米. 18. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）对命题，分（一次不等式恒成立）与（二次函数开口向上且判别式小于）两种情况讨论，求出为真时的取值范围； （2）先由存在性命题求出为真时的范围，再依据 “有且只有一个真命题”，分真假、假真两类求交集，最后合并得到的范围. 【小问1详解】 当时，恒成立，符合； 当时，需且，即. 综上，为真时． 【小问2详解】 命题q为真，等价于存在使，即，即． 所以p真时，q真时．“p、q有且只有一个是真命题”分两种情况： ①p真q假：，且或，得； ②p假q真：或，且，得． 综上，． 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2026-2027学年第一学期 10月教学质量调研评估 高一数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列数集关系判断正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（ ） A. 45 B. 48 C. 50 D. 58 5. 设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（ ） A. B. 8 C. 16 D. 6. 若正数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 使得，为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 13. 若，，，则的取值范围是______. 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且，对角线过点，已知米，米. （1）若矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； （2）求矩形花坛的面积的最小值. 18. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $