第11讲 向量的应用（寒假预习讲义）高一数学沪教版

第11讲 平面向量的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：线段的定比分点 1.定比的定义 若点在线段所在直线上，且，则称为点分所成的比： 内分点：在线段内时，； 外分点：在线段延长线上时，且. 2.定比分点坐标公式 设，，点分的比为，则： 知识点2：三角形“四心”的向量表示 设的顶点对应向量为、、，记，，，内角为，为零向量. 1.重心（，三条中线的交点） 基本形式： 零向量性质： 坐标形式：若、、，则 2.垂心（，三条高线的交点） 垂直性质：，， 向量等式：（为原点时） 与外心的关系： 3.外心（，三边垂直平分线的交点） 模长性质：（为外接圆半径） 垂直平分线：若是中点，则 4.内心（，三条角平分线的交点） 基本形式： 零向量性质： 知识点3：平面几何中的向量方法 1.证明线段垂直 核心原理： 步骤：设线段对应向量→计算点积→点积为0则垂直. 2.解决夹角问题 夹角公式： 3.解决线段长度问题 长度公式： 4.几何最值与其他应用 最值思路：转化为向量模长的最值； 证明平行：； 三点共线：共线. 知识点4：向量在物理中的应用 1.力的合成 合力大小：若力、夹角为，则 2.速度、位移的合成 实际速度/位移=分速度/分位移的向量和（平行四边形法则）. 3.功、动量的计算 功：（为与的夹角）； 动量：，动量变化量. 五、易错辨析 1.定比的符号：外分点时（非正数）； 2.垂直与共线条件：对应垂直，对应共线； 3.功的正负：由决定（时功为负）. 六、重点记忆结论 1.重心公式：； 2.垂直条件：； 3.夹角公式：； 4.功的公式：. 【题型1 线段的定比分点】 例1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，，若点分所成的比为，则 ， . 变式2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 【题型2 三角形的“四心”向量表示】 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 例2．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 变式2．（24-25高一下·上海金山·月考）如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 【题型3 平面向量在物理中的应用】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 变式1．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【题型4 用平面向量证明线段垂直关系】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 变式2．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【题型5 用平面向量解决夹角与线段长度问题】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 变式1．（24-25高一下·上海宝山·期中）如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 变式2．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【题型6 平面向量与几何的最值】 例1．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是 ． 例2．（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是 . 变式1．（24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    变式2．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【题型7 平面向量在几何中的综合应用】 例1．（24-25高一下·上海黄浦·期末）在中，，，，若点满足，则的正切值为 ． 例2．（24-25高三上·上海·月考）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上不共线的三点、与，求证：的面积． 变式2．（23-24高一下·上海·月考）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 一、核心模块1：线段的定比分点 1.定比的定义 关系： 符号：内分点，外分点且 2.坐标公式（考点） 二、核心模块2：三角形“四心”的向量表示（高频考点） 心的类型 核心向量公式/性质 重心 ； 垂心 ； 外心 ； 内心 ； 三、核心模块3：平面几何中的向量方法 1.三大基础应用（必考点） 垂直： 夹角： 长度： 2.拓展应用 平行： 三点共线： 几何最值：转化为向量模长的最值 四、核心模块4：向量在物理中的应用 物理量 向量运算 公式 力的合成 向量和 速度/位移 向量和 实际速度=船速+水速（示例） 功 向量点积 动量 数乘+向量差 ； 五、易错点警示 1.定比的符号（外分点）； 2.垂直（点积为0）与共线（数乘关系）的条件混淆； 3.功的正负（由符号决定） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海黄浦·月考）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·课前预习）三个顶点的坐标分别为：，，，则的重心坐标为 . 3．（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为 ． 4．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ． 5．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 6．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 7．已知点P在所在的平面内，则下列各结论正确的有 ． ①若P为的垂心，，则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若为锐角三角形且外心为P，且，则 ④若，则动点P的轨迹经过的外心 8．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中），则的最大值为 . 9．（24-25高一下·上海·月考）已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为 ． 三、解答题 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且．求证：． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，求点的坐标． 13．（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 15．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，、、的长分别为a、b、c，试用向量方法证明： (1)（射影定理）； (2)（余弦定理）. 16．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 平面向量的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：线段的定比分点 1.定比的定义 若点在线段所在直线上，且，则称为点分所成的比： 内分点：在线段内时，； 外分点：在线段延长线上时，且. 2.定比分点坐标公式 设，，点分的比为，则： 知识点2：三角形“四心”的向量表示 设的顶点对应向量为、、，记，，，内角为，为零向量. 1.重心（，三条中线的交点） 基本形式： 零向量性质： 坐标形式：若、、，则 2.垂心（，三条高线的交点） 垂直性质：，， 向量等式：（为原点时） 与外心的关系： 3.外心（，三边垂直平分线的交点） 模长性质：（为外接圆半径） 垂直平分线：若是中点，则 4.内心（，三条角平分线的交点） 基本形式： 零向量性质： 知识点3：平面几何中的向量方法 1.证明线段垂直 核心原理： 步骤：设线段对应向量→计算点积→点积为0则垂直. 2.解决夹角问题 夹角公式： 3.解决线段长度问题 长度公式： 4.几何最值与其他应用 最值思路：转化为向量模长的最值； 证明平行：； 三点共线：共线. 知识点4：向量在物理中的应用 1.力的合成 合力大小：若力、夹角为，则 2.速度、位移的合成 实际速度/位移=分速度/分位移的向量和（平行四边形法则）. 3.功、动量的计算 功：（为与的夹角）； 动量：，动量变化量. 五、易错辨析 1.定比的符号：外分点时（非正数）； 2.垂直与共线条件：对应垂直，对应共线； 3.功的正负：由决定（时功为负）. 六、重点记忆结论 1.重心公式：； 2.垂直条件：； 3.夹角公式：； 4.功的公式：. 【题型1 线段的定比分点】 例1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，，若点分所成的比为，则 ， . 【答案】 【分析】依题意可得，再表示出、的坐标，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为点分所成的比为，所以，因为，，，所以，，所以 所以解得 故答案为：； 变式2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 【答案】（1）；（2）机器狗在点处时，离小明最近. 【分析】（1）利用向量的坐标表示得到方程组，求出点P的坐标； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，由平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意得， 故，解得； 故点P的坐标为； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近， 设，则， 所以,若⊥， 则，解得， 故当机器狗在时，离小明最近. 【题型2 三角形的“四心”向量表示】 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 例2．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案. 【详解】三个角所对的三边分别为， 取的中点，的中点，的中点， 连接，，，则，，， 所以， ， ， 因为， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以， 即为钝角三角形. 故选：C.      变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 【答案】①③ 【分析】根据向量的线性关系及数量积，结合对应的几何意义判断点线的位置关系，进而确定△的心. 【详解】①若，即的中点与三点共线，故在中线上，同理在的中线上，故为△的重心，正确； ②由、分别平行于以顶角为的等腰三角形的底边，但不一定有、，故不一定为△的垂心，错误； ③由、表示与、中点的连线，且分别与、垂直，即为、的垂直平分线交点为，故为△的外心，正确． 故答案为：①③ 变式2．（24-25高一下·上海金山·月考）如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行证明即可； （2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可； （3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）时，， ， . （2） 设的中点为，显然， ， 由， 设的中点为，显然， ， 由， 即； （3）是的平分线上某点， ， ， ，当且仅当，即时取最小值， 所以， . 【题型3 平面向量在物理中的应用】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【答案】，与M的前进方向夹角的余弦值为 【分析】设合力，则，得出，由数量积的运算律得出，根据及数量积的运算律求出夹角余弦值． 【详解】根据题意，设合力，则，且， 则， 所以 ， 所以， 设， 由，得 所以， 故乙所用的力，与M的前进方向夹角的余弦值为． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，由题意得，列出方程组求解即可； （2）由代入计算即可． 【详解】（1）由，与的夹角为，可设，则， 因为质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点， 所以，即， 即，解得， 所以． （2）与的合力对质点所做的功为：． 变式1．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    【答案】 【分析】根据力所做的功，利用平面向量数量积公式计算即可． 【详解】根据力所做的功， 故答案为： 变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【答案】合力的大小为，与所成角的大小为. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】如图，以质点为坐标原点，向量所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，，， 于是合力，，，， 所以合力的大小为，与所成角的大小为. 【题型4 用平面向量证明线段垂直关系】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【分析】由题意利用菱形的性质，平面向量的加减法运算及数量积运算证明即可. 【详解】证明：如图，   为菱形，设其对角线与交于点， 则为的中点，， 因为，， 所以， 所以，即， 即菱形的对角线互相垂直. 变式2．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【详解】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 【题型5 用平面向量解决夹角与线段长度问题】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【答案】该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里. 【分析】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向，利用坐标运算，根据和列方程组求出点坐标，然后利用坐标运算求模和夹角可得. 【详解】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向， 易知A、B、C的坐标分别为，，. 设点D的坐标为，则，， ，. 由已知，且，得 解得 ∴，∴， ∴， 因为，所以. 即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.    变式1．（24-25高一下·上海宝山·期中）如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题易知，转化问题为求的模，进而求解； （2）由AD为BC边上的高，则，即，根据，，整理即可求解； （3）易知，则，整理等式，结合且求解即可. 【详解】（1）由题，因为，所以，即点为边的中点， 所以， 因为，，， 所以. （2）由题，因为，所以， 因为AD恰为BC边上的高，所以， 因为，， 且，， 所以 ， 所以，则. （3）由题，， 则， 因为，且，， 所以， 则， 所以， 因为，则， 因为，则， 解得. 变式2．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【题型6 平面向量与几何的最值】 例1．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，由可得点的轨迹，再利用中点向量公式可得，并利用圆的性质求出最小值. 【详解】以正六边形的中心为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由，得轴交于点，交于点， 由，得在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为， 因此 ， 则， 当且仅当是圆与线段的交点时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 例2．（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论． 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上， 以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当都在线段上时，等号成立， ， 当且仅当O在线段上，且在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 变式1．（24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得. 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 【题型7 平面向量在几何中的综合应用】 例1．（24-25高一下·上海黄浦·期末）在中，，，，若点满足，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 例2．（24-25高三上·上海·月考）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，，根据向量的线性运算计算向量并计算，同理计算， 根据不等关系可得出对于边上任意一点都有，从而确定，从而得到结果. 【详解】取的中点，的中点，连接，（如图所示），    则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即为钝角三角形. 故选：A． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上不共线的三点、与，求证：的面积． 【答案】证明见解析 【分析】由题得出，，根据向量夹角公式得出，进而得出，从而得出，代入向量坐标化简即可． 【详解】证明：，， 则，， 所以的面积 ． 变式2．（23-24高一下·上海·月考）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解. 【详解】（1）， （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； （3）， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. 一、核心模块1：线段的定比分点 1.定比的定义 关系： 符号：内分点，外分点且 2.坐标公式（考点） 二、核心模块2：三角形“四心”的向量表示（高频考点） 心的类型 核心向量公式/性质 重心 ； 垂心 ； 外心 ； 内心 ； 三、核心模块3：平面几何中的向量方法 1.三大基础应用（必考点） 垂直： 夹角： 长度： 2.拓展应用 平行： 三点共线： 几何最值：转化为向量模长的最值 四、核心模块4：向量在物理中的应用 物理量 向量运算 公式 力的合成 向量和 速度/位移 向量和 实际速度=船速+水速（示例） 功 向量点积 动量 数乘+向量差 ； 五、易错点警示 1.定比的符号（外分点）； 2.垂直（点积为0）与共线（数乘关系）的条件混淆； 3.功的正负（由符号决定） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海黄浦·月考）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 设的中点为，则，则，    所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心. 故选：A 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·课前预习）三个顶点的坐标分别为：，，，则的重心坐标为 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可. 【详解】由题可知：A、、是单位圆上的三个点，且，不妨设， 所以，则， 当，即时，有最大值为1，所以. 故答案为： 4．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ． 【答案】3 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【详解】由，得向量、、分别看作是以为起点， 以为终点的向量，且是边长为2的正三角形，为正的中心，    由对任意的，均有，得向量、、是以为起点， 各边中点为终点的向量，则， 所以. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：涉及向量的模探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答. 5．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 6．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 7．已知点P在所在的平面内，则下列各结论正确的有 ． ①若P为的垂心，，则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若为锐角三角形且外心为P，且，则 ④若，则动点P的轨迹经过的外心 【答案】①③④ 【分析】①由得到；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，求出最小值；③变形得到，设为的中点，则三点共线，结合是的外心，所以垂直平分，所以，③正确；④变形得到，设是的中点，则，故则动点的轨迹经过的外心. 【详解】对于①，若为的垂心，则，又， 所以，①正确； 对于②，取的中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，      则，设， 则 ，故当时，取得最小值，最小值为，②错误； 对于③，有题意得，则， 即， 如图，设为的中点，则，故，故三点共线，      因为是的外心，所以垂直平分，所以，③正确； 对于④，， ， 所以， 如图，设是的中点，则，故， 即，故则动点的轨迹经过的外心，④正确.      故答案为：①③④ 8．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中），则的最大值为 . 【答案】7 【分析】根据给定条件，令，再结合已知画出图形，由圆的公共点个数即可得解. 【详解】设，，，则， 由知，或，， 所以点在以为圆心，以1或2为半径的圆上， 如图，作出以点为圆心，1或2为半径的4个圆， 观察图形知，这4个圆两两的公共点有，共7个， 4个圆上到点和到点距离为1或2的点最多有7个， 所以的最大值为7. 故答案为：7. 9．（24-25高一下·上海·月考）已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，，结合数量积公式与三角恒等变换公式计算可得的最小值，再利用数形结合可得其范围. 【详解】不妨设，，， 则 ， 令，则， 则， 取，时，等号成立， 当为直径时，点趋向于时，， 故的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【答案】所用的时间是3.1min 【分析】作出示意图，设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为，由题意可得，进而求得航程最短时，所需时间. 【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为， 已知，，    则， 所以. 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据条件得，，然后利用表示出，计算即可. 【详解】证明：如图，， ， ， ， 设， 是正方形， ， ， ， . 12．（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，求点的坐标． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可． 【详解】设点，由得，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为． 13．（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量即可证明． 【详解】证明：因为， 所以且， 所以四边形为梯形． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【答案】不存在，理由见解析 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，假设在线段上存在点使得，列出方程组求解即可． 【详解】如图所示，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作于点， 由题可知，， 所以，假设在线段上存在点使得，则， 由与共线及得，，解得， 因为，所以线段上不存在点使得． 15．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，、、的长分别为a、b、c，试用向量方法证明： (1)（射影定理）； (2)（余弦定理）. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量余弦夹角公式得到证明； （2）两边平方得，从而得到. 【详解】（1）如图， ∵，， ∴ ， ∴. （2）在中，∵， ∴ . ∵、、的长分别为a、b、c， ∴，，， ∴. 16．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【答案】(1)约1.41N (2)不能 【分析】（1）根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果； （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，由题意知，代入数据即可求得结果. 【详解】（1）如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以，所以， 所以． （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，当时，， 解得：． 因为超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $