第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 （寒假预习讲义）高一数学沪教版

第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：正（余）弦型函数 一般形式： 正弦型：（） 余弦型：（） 其中（振幅）、（角频率）、（相位）、（纵向平移量）为常数. 易错辨析 易错点：混淆“相位”与“初相” 辨析：相位是，初相是时的相位（即），需注意时，初相仍为，与无关. 概念比较 与基本正（余）弦函数比较：基本函数是的特殊情况；正（余）弦型函数是基本函数经“伸缩、平移”变换后的一般形式，性质由参数共同决定. 重点记忆 正（余）弦型函数是基本正（余）弦函数的“变换版”，参数对应不同的图像变换方式. 知识点2：图像变换及解析式特征 1.相位变换（横向平移） 规则：，向左（）/右（）平移个单位； 推广到：需提取，即，平移量为. 易错辨析 易错点：直接用作为平移量（如误判为向左平移个单位） 辨析：平移是对“本身”的变换，需提取，正确平移量为（即）. 重点记忆+常考结论 平移量公式：，方向遵循“左加右减”（针对提取后的）. 2.上下平移变换 规则：，向上（）/下（）平移个单位. 易错辨析 易错点：认为上下平移会改变函数的周期、奇偶性 辨析：上下平移仅改变函数值域的上下界，不影响周期、奇偶性、单调性等核心性质. 常考结论 上下平移后，函数的最值为：最大值，最小值. 3.周期变换（横向伸缩） 规则：，图像横向伸缩为原来的倍； 周期公式：（绝对值越大，周期越小）. 易错辨析 易错点：周期公式遗漏的绝对值（如误算周期为） 辨析：周期是正数，故公式中需取的绝对值，的周期为. 概念比较 与振幅变换的区别：周期变换是“横向伸缩”，影响的系数；振幅变换是“纵向伸缩”，影响的绝对值，两者互不影响. 重点记忆+常考结论 周期仅与有关，与均无关；若，则. 4.振幅变换（纵向伸缩） 规则：，图像纵向伸缩为原来的倍； 振幅定义：（最大值与最小值的差的一半）. 易错辨析 易错点：认为会改变振幅大小 辨析：振幅是，仅使图像关于轴对称，不改变振幅的数值（如的振幅仍为2）. 常考结论 若函数值域为，则振幅，纵向平移量. 知识点3：图像变换的综合应用 1.描述变换过程（以为例） 步骤（两种顺序）： 顺序1：相位变换→周期变换→振幅变换→上下平移； 顺序2：周期变换→相位变换（注意平移量变为）→振幅变换→上下平移. 易错辨析 易错点：先周期变换后相位变换时，平移量未除以 辨析：若先将横向压缩为，再向左平移个单位，得到（平移量需除以）. 2.由图像求解析式 步骤： 1.求：； 2.求：； 3.求：由周期（通过图像相邻最值点/零点距离求）； 4.求：代入图像上的已知点（优先选“五点法”中的点，如正弦型的起点、最高点）. 易错辨析 易错点：求时忽略的符号 辨析：若，可先利用诱导公式将化为正数（如），再求，避免符号错误. 重点记忆 “五点法”选点：正弦型函数的五点为对应的点；余弦型为对应的点（起点为最大值点）. 知识点4：图像与性质的结合应用 核心方法：“整体代换法”——令，将正（余）弦型函数转化为基本正（余）弦函数（或），再结合基本函数的性质求解. 常考结论 1.单调区间：代入基本函数的单调区间，解关于的不等式（注意正负对不等号方向的影响）； 2.对称轴/对称中心：正弦型对称轴为，对称中心为（）；余弦型对称轴为，对称中心为（）. 【题型1 根据图像变换求解析式】 例1．（25-26高二上·上海·期中）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】首先用辅助角公式进行化简，然后根据图像平移的结论即可求解. 【详解】，将函数沿轴平移向右平移个单位， 平移后的解析式为. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值. 【详解】因为最小正周期为， 所以，解得，所以． 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 根据所得图象关于轴对称，可得，解得， 又，所以． 故答案为：． 变式1．（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 变式2．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案. 【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得， 即 故答案为： 【题型2 描述正余弦函数的变换过程】 例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】A 【分析】根据题意利用平移规则可知向右平移即可满足题意. 【详解】易知将向右平移个单位可得. 故选：A 例2．（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】B 【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移个单位得到， 故选：B. 变式1．（24-25高二上·上海·月考）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 变式2．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）由的图象变换得到（，）的图象的流程： 方法1： 方法2： （1）上面的两种三角函数的图象变换的流程图中，向左（右）平移多少个单位长度？ （2）上面的两种三角函数的图象变换的流程有什么不同？ 【答案】（1）， （2）先伸缩后平移变换的平移量为个单位长度；先平移后伸缩变换的平移量为个单位长度. 【分析】根据图象平移规律可得答案. 【详解】（1）， （2）方法一是先伸缩后平移变换的平移量为个单位长度； 方法二是先平移后伸缩变换的平移量为个单位长度. 【题型3 振幅相位变换求解析式】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 【答案】 【分析】由振幅确定，最小正周期确定，初始相位确定. 【详解】因为函数（，）的振幅是3， 最小正周期是，初始相位是. 所以, ，. 即这个函数的表达式为 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 【答案】振幅为，频率为，初始相位为 【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【详解】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 变式2．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数的初相是 【答案】 【分析】根据正弦型三角函数的物理意义判断初相即可. 【详解】解：因为初相是，即为. 故答案为：. 【题型4 由图像求解析式】 例1．（25-26高二上·上海·开学考试）函数的部分图像如图所示，则 ．    【答案】 【分析】由题可得，再求出，再结合，从而可求解. 【详解】由题中图象可得，周期，则， 又，则，所以，， 又因为，所以可得，则. 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】由图象可得振幅和周期，从而可得，再利用最高点的坐标可求，得解. 【详解】根据函数的部分图象知，，，所以， 由，得，，解得，； 又，所以，所以． 故答案为：. 变式1．（2025高三·上海·专题练习）已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则 .    【答案】 【分析】先根据图象求出函数的解析式，然后根据平移法则求出解析式即可. 【详解】由已知，函数的部分图象如图所示，    由图可知, 则函数周期，所以， 因为，由图可知，解得， 所以，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象如图所示，    根据平移法则，得. 故答案为：. 变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【分析】先根据图象得到和，进而求出，代入特殊点坐标求出，得到答案. 【详解】由图象可得，，解得， 因为，所以，解得， 将代入解析式得，，故，， 因为，解得， 故. 故答案为： 【题型5 由图像变换求三角函数的性质】 例1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即 ，因为，令，可得， 故答案为： 例2．（23-24高三上·天津·期末）已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确. 【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得； 将的图象向右平移个单位长度后可得， 其图象关于y轴对称，所以为偶函数，则，， 解得，，由可知当时，符合题意； 由可得； 因此； 对于①，当时，，取得最大值， 所以是的一个对称轴，即①正确； 对于②，当时，， 所以不是的一个对称中心，即②错误； 对于③，当时，可得，又在上不单调， 所以在上不是单调递增的，所以③错误； 对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期， 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍， 由的周期为可得，，即④正确； 所以正确的个数只有①和④共2个. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再由检验法或整体代换法判断结论是否正确. 变式1．（24-25高三上·上海徐汇·月考）已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得，设的对称轴，由条件求得，可得，从而求得答案. 【详解】把函数 的图象向左平移 个单位后， 得到函数的图象, 再根据 的图象上各最高点到点 的距离的最小值为 1 , 设 的对称轴 , 则最高点的坐标为 , 它与点 的距离的最小值为 1 ,即 , 求得 , 可得 , 即 , , 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 【题型6 三角函数图像变换的综合题型】 例1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数的表达式为． (1)求函数的最小正周期及图象的对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调增区间和值域． 【答案】(1)； (2)增区间：，值域： 【分析】（1）化简，根据正弦型函数的性质即可求解； （2）根据图象平移求出，将看作整体，结合正弦函数的图象性质即可求解． 【详解】（1）由已知 ， 则函数的最小正周期为， 令，得， 即对称轴方程为； （2）由（1）知， 则， ， 即在上的值域为． 由，得， 即在上的单调增区间为． 例2．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）利用函数的平移变换求出，按的正负分情况讨论的取值范围，结合题意利用集合的包含关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以. （2）由（1）可知，当时，，    方程有两个不同的解，由正弦函数的图象可知. （3）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 可得， 纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度， 可得，即， 当时，，则， 当，，则， 因为 ①当时，， 由题意可得， 则，解得，所以； ②当时，， 由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，． 变式1．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知函数 (1)写出的单调增区间. (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)令，即可得出答案； (2)利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最大值和最小值，由参变量分离法可得出，即可求得实数m的取值范围； (3)利用三角函数图象变换求出函数的解析式，分析可知直线与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）令， 所以的单调增区间. （2）因为，则， 所以，， 所以，， 因为不等式对任意恒成立， 所以，对任意恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是 （3）将的图象向左平移个单位，可得到函数 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)， 可得到函数的图象， 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示:    由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 【题型7 三角函数的实际应用】 例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】(1)； (2)4分钟． 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【详解】（1）中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m． 例2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 【答案】 【分析】由，得到，求得，得到或，又由时，求得，此时是函数的一个周期，不符合图象，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数的图象过点，可得， 即，可得，即，即， 因为，所以为的倍数，所以或， 当时，可得， 则， 此时是函数的一个周期，不符合图象； 当时，可得， 则 此时是函数的一个周期，符合函数的图象，所以. 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 【答案】(1)4 (2)，合理解释见解析 【分析】（1）首先利用代入法求函数的最大值和最小值，再根据条件列不等式，即可求解；（2）根据题意求解不等式的解集，并根据三角函数的图象变换和性质进行解释. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以的最大值为4. （2）因为，所以. ①当时，令，即， 所以，解得，， 又，所以，所以. ②当时，，即， 所以，解得，， 又，所以，所以，所以. 解释：函数， 可以由向左平移12个单位得到.从实际意义来看， 可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变. 变式2．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 一、核心概念 一般形式： 正弦型：；余弦型：（） 参数意义：（振幅）、（周期）、（初相）、（纵向平移量） 二、图像变换（4类） 变换类型 规则（以正弦型为例） 易错提醒 相位变换 平移量，左加右减 需提取，勿直接用作平移量 周期变换 横向伸缩倍，周期 周期公式必取 振幅变换 纵向伸缩倍，振幅为 仅翻折，不改变振幅 上下平移 平移个单位，值域变为 不影响周期/奇偶性 三、核心应用（2类高频考点） 1.由图像求解析式（步骤） 1.求：； 2.求：； 3.求：由周期得 4.求：代入“五点法”点（如正弦型的起点/最高点） 2.性质结合（整体代换法） 令，转化为基本正（余）弦函数： 单调区间：代入基本函数区间，注意正负对不等号的影响 对称性： 正弦型：对称轴，对称中心 余弦型：对称轴，对称中心（） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】C 【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍； 【详解】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到， 故选：C． 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可求解． 【详解】由题可知，， ，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 当时，， 因为在单调递增，所以④错误； 故选：C． 4．（23-24高一下·上海普陀·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】 将函数向左平移个单位得： 故选：B 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①计算的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算的范围，结合正弦函数的零点，即可求解． 【详解】①当时，，因为，则， 此时不是单调递增函数，故①不正确； ②若，则函数关于对称， 则，得，且， 则正整数的最小值为1，故②不正确； ③若，的图象向右平移个单位长度后，得到， 所以是奇函数，故③正确； ④时，， 在上有且仅有个零点，则，得，故④不正确． 综上，正确的是③，个数为1个. 故选：A. 6．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 二、填空题 7．（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位. 【答案】 右 【分析】,再根据三角函数的图象变换即可求解. 【详解】， 故要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位. 故答案为:右；. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到的图象，只要将的图象向 平移 个单位长度. 【答案】 左； . 【分析】利用诱导公式将化为正弦函数，再由三角函数平移规则即可得出结果. 【详解】， 若设， 则， ∴应向左平移个单位长度. 故答案为：左；. 9．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为 . 【答案】 【分析】根据的物理意义求解． 【详解】由题意，，，， 所以解析式为． 故答案为：． 10．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：， 11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于的表达式，即可解出正实数的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 由题意可知，函数的图象与函数的图象重合， 所以，可得， 因为，故当时，取最小值. 故答案为：. 三、解答题 12．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1).理由见解析 (2) (3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时； 【分析】（1）结合散点图即可判断； （2）结合散点图即可求解； （3）由（2）求解即可求解. 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， （2）由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （3）由题意可得，则，， 所以，解得， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 13．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知函数的部分图像如图所示: (1)求函数的表达式； (2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标； (3)当时，求方程的所有根的和. 【答案】(1)； (2)对称轴方程为，对称中心为； (3). 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）根据正弦函数的对称轴公式和对称中心公式整体代入计算即可； （3）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. （2）因为，则令， 解得，则其对称轴方程为， 令，解得，则其对称中心为. （3）由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 14．（24-25高三上·上海·月考）设． (1)若，求函数的严格增区间； (2)某同学用“五点法”画函数的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 ▲ 0 1 ▲ 0 请将上表▲处的数据补充完整，并求出函数的解析式； (3)设，，，求函数值域． 【答案】(1)； (2)补充见表格，函数解析式为； (3). 【分析】(1)将代入函数，整体代入正弦函数的严格增区间即可求； (2)根据五点法表格中的已知数据，联立方程组，求出函数解析式； (3)由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令,解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由题意，解得， 所以函数解析式为， 令，则, 令,则，, 所以将表格补充完整为： 0 （3）若，, 则，因此 因为，所以    ，进而， 所以    , 所以函数值域为. 15．（2025·陕西·模拟预测）已知函数的最小正周期为π． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间； （2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期为，所以， 所以． 令，，得，， 故的单调递减区间为，． （2）由题可知将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 得函数，再将所得图象向左平移个单位长度， 得到函数， 令， 令，，则， 因为， 所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数m的取值范围为． 16．（25-26高二上·四川资阳·开学考试）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． 因为，所以． 因为，则，则， 所以 ． 17．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 根据表格，直接写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可补全表格数据，并求函数的解析式； （2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点； （3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明. 【详解】（1）由表格数据可知，，得， 由时，，可知， 所以； （2） 将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像， 由，可得，所以或， 或则函数的零点所组成的集合为或； （3）若，即， 则可得， 因为， 所以对任意的，都存在正整数，使得， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 18．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为， (3) 【分析】（1）根据二倍角公式化简后求周期即可； （2）利用正弦型函数的最值的求法得解； （3）根据图象变换得到，再由正弦型函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的周期为. （2）函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 . （3）函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立． 19．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 20．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可； （2）令，求得该不等式在内的解即可； （3）利用图象变换求得解析式，再根据第100个最值点列不等式求解即可. 【详解】（1） （2）对于，令， 求得， 可得函数的单调减区间为，， 故函数在区间上的单调减区间为，． （3）将函数的图象向右移动个单位，可得的图象； 再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值， 根据当时，在区间上正好有100个最大值， ，求得，故实数的取值范围为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：正（余）弦型函数 一般形式： 正弦型：（） 余弦型：（） 其中（振幅）、（角频率）、（相位）、（纵向平移量）为常数. 易错辨析 易错点：混淆“相位”与“初相” 辨析：相位是，初相是时的相位（即），需注意时，初相仍为，与无关. 概念比较 与基本正（余）弦函数比较：基本函数是的特殊情况；正（余）弦型函数是基本函数经“伸缩、平移”变换后的一般形式，性质由参数共同决定. 重点记忆 正（余）弦型函数是基本正（余）弦函数的“变换版”，参数对应不同的图像变换方式. 知识点2：图像变换及解析式特征 1.相位变换（横向平移） 规则：，向左（）/右（）平移个单位； 推广到：需提取，即，平移量为. 易错辨析 易错点：直接用作为平移量（如误判为向左平移个单位） 辨析：平移是对“本身”的变换，需提取，正确平移量为（即）. 重点记忆+常考结论 平移量公式：，方向遵循“左加右减”（针对提取后的）. 2.上下平移变换 规则：，向上（）/下（）平移个单位. 易错辨析 易错点：认为上下平移会改变函数的周期、奇偶性 辨析：上下平移仅改变函数值域的上下界，不影响周期、奇偶性、单调性等核心性质. 常考结论 上下平移后，函数的最值为：最大值，最小值. 3.周期变换（横向伸缩） 规则：，图像横向伸缩为原来的倍； 周期公式：（绝对值越大，周期越小）. 易错辨析 易错点：周期公式遗漏的绝对值（如误算周期为） 辨析：周期是正数，故公式中需取的绝对值，的周期为. 概念比较 与振幅变换的区别：周期变换是“横向伸缩”，影响的系数；振幅变换是“纵向伸缩”，影响的绝对值，两者互不影响. 重点记忆+常考结论 周期仅与有关，与均无关；若，则. 4.振幅变换（纵向伸缩） 规则：，图像纵向伸缩为原来的倍； 振幅定义：（最大值与最小值的差的一半）. 易错辨析 易错点：认为会改变振幅大小 辨析：振幅是，仅使图像关于轴对称，不改变振幅的数值（如的振幅仍为2）. 常考结论 若函数值域为，则振幅，纵向平移量. 知识点3：图像变换的综合应用 1.描述变换过程（以为例） 步骤（两种顺序）： 顺序1：相位变换→周期变换→振幅变换→上下平移； 顺序2：周期变换→相位变换（注意平移量变为）→振幅变换→上下平移. 易错辨析 易错点：先周期变换后相位变换时，平移量未除以 辨析：若先将横向压缩为，再向左平移个单位，得到（平移量需除以）. 2.由图像求解析式 步骤： 1.求：； 2.求：； 3.求：由周期（通过图像相邻最值点/零点距离求）； 4.求：代入图像上的已知点（优先选“五点法”中的点，如正弦型的起点、最高点）. 易错辨析 易错点：求时忽略的符号 辨析：若，可先利用诱导公式将化为正数（如），再求，避免符号错误. 重点记忆 “五点法”选点：正弦型函数的五点为对应的点；余弦型为对应的点（起点为最大值点）. 知识点4：图像与性质的结合应用 核心方法：“整体代换法”——令，将正（余）弦型函数转化为基本正（余）弦函数（或），再结合基本函数的性质求解. 常考结论 1.单调区间：代入基本函数的单调区间，解关于的不等式（注意正负对不等号方向的影响）； 2.对称轴/对称中心：正弦型对称轴为，对称中心为（）；余弦型对称轴为，对称中心为（）. 【题型1 根据图像变换求解析式】 例1．（25-26高二上·上海·期中）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数解析式为 ． 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 变式2．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 【题型2 描述正余弦函数的变换过程】 例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 例2．（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 变式1．（24-25高二上·上海·月考）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 变式2．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）由的图象变换得到（，）的图象的流程： 方法1： 方法2： （1）上面的两种三角函数的图象变换的流程图中，向左（右）平移多少个单位长度？ （2）上面的两种三角函数的图象变换的流程有什么不同？ 【题型3 振幅相位变换求解析式】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 变式2．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数的初相是 【题型4 由图像求解析式】 例1．（25-26高二上·上海·开学考试）函数的部分图像如图所示，则 ．    例2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 变式1．（2025高三·上海·专题练习）已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则 .    变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数的部分图像如图所示，则 . 【题型5 由图像变换求三角函数的性质】 例1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 例2．（23-24高三上·天津·期末）已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25高三上·上海徐汇·月考）已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为 ． 变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 【题型6 三角函数图像变换的综合题型】 例1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数的表达式为． (1)求函数的最小正周期及图象的对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调增区间和值域． 例2．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知函数 (1)写出的单调增区间. (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【题型7 三角函数的实际应用】 例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 例2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 变式2．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 一、核心概念 一般形式： 正弦型：；余弦型：（） 参数意义：（振幅）、（周期）、（初相）、（纵向平移量） 二、图像变换（4类） 变换类型 规则（以正弦型为例） 易错提醒 相位变换 平移量，左加右减 需提取，勿直接用作平移量 周期变换 横向伸缩倍，周期 周期公式必取 振幅变换 纵向伸缩倍，振幅为 仅翻折，不改变振幅 上下平移 平移个单位，值域变为 不影响周期/奇偶性 三、核心应用（2类高频考点） 1.由图像求解析式（步骤） 1.求：； 2.求：； 3.求：由周期得 4.求：代入“五点法”点（如正弦型的起点/最高点） 2.性质结合（整体代换法） 令，转化为基本正（余）弦函数： 单调区间：代入基本函数区间，注意正负对不等号的影响 对称性： 正弦型：对称轴，对称中心 余弦型：对称轴，对称中心（） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 4．（23-24高一下·上海普陀·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 二、填空题 7．（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到的图象，只要将的图象向 平移 个单位长度. 9．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为 . 10．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 三、解答题 12．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 13．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知函数的部分图像如图所示: (1)求函数的表达式； (2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标； (3)当时，求方程的所有根的和. 14．（24-25高三上·上海·月考）设． (1)若，求函数的严格增区间； (2)某同学用“五点法”画函数的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 ▲ 0 1 ▲ 0 请将上表▲处的数据补充完整，并求出函数的解析式； (3)设，，，求函数值域． 15．（2025·陕西·模拟预测）已知函数的最小正周期为π． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 16．（25-26高二上·四川资阳·开学考试）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 17．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 根据表格，直接写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 18．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 19．（24-25高一下·上海·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 20．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $