第05讲 余弦函数的图像与性质 （寒假预习讲义）高一数学沪教版

第05讲 余弦函数的图像与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：余弦函数的图像 1.1余弦函数的定义 对于任意实数，都有唯一确定的实数与之对应，称函数（）为余弦函数. 易错辨析 易错点：混淆余弦函数的定义域与三角函数线中角的范围.辨析：余弦函数的定义域是全体实数，而三角函数线中角通常在单位圆中研究（），但这并不意味着余弦函数的定义域受限，任意实数都可对应单位圆上的角（终边重合的角三角函数值相等）. 概念比较 与正弦函数定义比较：两者定义域均为，核心区别在于函数表达式的核心符号不同（vs），本质是单位圆上点的横、纵坐标对应关系不同（余弦对应横坐标，正弦对应纵坐标）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数的定义域为，对应关系是“实数（弧度制角）→单位圆上对应点的横坐标”.常考结论：当时，（余弦函数的最大值点）；当时，（余弦函数的最小值点）. 1.2余弦函数图像的绘制 1.描点法：先取上的关键点，如下表： | 0 1 0 -1 0 1 2.图像特征：余弦函数的图像叫做余弦曲线，是一条关于轴对称的周期性平滑曲线，在上呈现“先降后升”的趋势，以为起点，经过、、，最后回到. 3.平移法：余弦函数图像可由正弦函数图像平移得到，即，故将的图像向左平移个单位长度，即可得到的图像. 易错辨析 易错点1：描点时忽略“平滑连接”，绘制出折线.辨析：余弦函数是连续光滑的三角函数，各关键点之间需用平滑曲线连接，不能用直线段拼接.易错点2：平移方向错误，将向右平移得到.辨析：三角函数图像平移遵循“左加右减”原则（针对本身），是对加上，故应向左平移个单位；若向右平移，得到的是，与余弦函数图像关于轴对称. 概念比较 与正弦曲线比较：两者均为周期性平滑曲线，形状相同但位置不同.正弦曲线关于原点对称，过点；余弦曲线关于轴对称，过点，本质是相位差导致的平移关系. 重点记忆+常考结论 重点记忆：1.在上的5个关键points坐标必须熟练掌握；2.平移规律“左加右减”（针对的变换）.常考结论：余弦曲线的对称轴为（），对称中心为（）（可通过图像直观记忆）. 知识点2：余弦函数的性质 2.1定义域与值域 1.定义域：（全体实数）；2.值域：，其中：-最大值：当（）时，；-最小值：当（）时，. 易错辨析 易错点：误将“”当作余弦函数取最大值的条件.辨析：当时，（为偶数时取1，为奇数时取-1），并非都是最大值.正确的最大值条件是（），最小值条件是（）. 概念比较 与正弦函数值域比较：两者值域均为，但取最值的自变量取值不同.正弦函数最大值在（），最小值在（），与余弦函数的最值点相差，呼应两者的相位差关系. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数的值域范围及取最值的精确自变量条件.常考结论：1.若，则（）；2.若，则（）；3.对于任意实数，，可用于判断相关函数的值域范围（如的值域为）. 2.2周期性 1.定义：对于函数，若存在非零常数，使得对任意，都有，则称为余弦函数的周期.2.最小正周期：余弦函数的周期有无数个，其中最小的正数周期为，即. 易错辨析 易错点1：认为余弦函数的周期只有.辨析：所有非零常数（且）都是余弦函数的周期，是最小的正周期，解题中若无特殊说明，“周期”通常指最小正周期.易错点2：误将当作余弦函数的周期.辨析：验证可知，故不是余弦函数的周期，而、的最小正周期才是. 概念比较 与正弦函数周期性比较：两者的最小正周期均为，周期性质完全一致（周期都是，且），这是正弦、余弦函数的共性，源于三角函数的周期性本质（终边相同的角三角函数值相等）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数的最小正周期为，周期通式为（且）.常考结论：1.若函数（，），则其最小正周期为（提前铺垫余弦型函数周期公式，方便后续衔接）；2.利用周期性可将任意角的余弦值转化为内角的余弦值计算（如）. 2.3奇偶性 1.判定：对于任意，都有，故是偶函数.2.图像特征：偶函数的图像关于轴对称，这与余弦曲线的图像特征一致（前文已提及）. 易错辨析 易错点：混淆“奇偶性的定义域前提”与余弦函数的奇偶性.辨析：奇偶性的前提是函数定义域关于原点对称，余弦函数定义域为，满足关于原点对称，再结合才判定为偶函数.若将定义域限制为，则函数不再是偶函数（定义域不关于原点对称）. 概念比较 与正弦函数奇偶性比较：正弦函数是奇函数（），图像关于原点对称；余弦函数是偶函数，图像关于轴对称.两者奇偶性的差异源于单位圆上横、纵坐标的对称性不同（横坐标关于轴对称，纵坐标关于原点对称）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：1.余弦函数是偶函数，核心关系式；2.奇偶性的定义域前提是“关于原点对称”.常考结论：1.利用偶函数性质化简：；2.若函数是偶函数，则必为偶函数（奇偶性的运算性质：偶+偶=偶，偶+奇=奇）. 2.4单调性 余弦函数的单调性以最小正周期为周期重复，在一个周期内的单调性如下：1.单调递减区间：，即当时，函数值从1单调递减到-1；2.单调递增区间：，即当时，函数值从-1单调递增到1.推广到全体实数域，单调区间通式为：-单调递减区间：（）；-单调递增区间：（）. 易错辨析 易错点1：单调区间书写时遗漏“”，或区间端点错误（如写成）.辨析：余弦函数在区间端点处有定义，且单调性包含端点（单调区间是闭区间）；“”是区间通式的必要条件，遗漏则仅表示一个周期内的区间，不完整.易错点2：误将“”当作余弦函数的递减区间.辨析：该区间是正弦函数的递减区间，余弦函数的递减区间核心是，可通过图像区分：余弦曲线在到之间下降，在到之间上升，与正弦曲线的升降区间错开. 概念比较 与正弦函数单调性比较：正弦函数的单调递增区间为（），递减区间为（）.两者的单调区间恰好相差，这是由两者的相位差决定的，体现了三角函数的对称性规律. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数单调区间的通式（含），可结合图像“先降后升”的特征记忆（到降，到升）.常考结论：1.比较两个余弦值大小：若两个角均在递减区间，则角越大，余弦值越小（如）；若均在递增区间，则角越大，余弦值越大（如）；2.求余弦函数在闭区间上的最值时，需先判断区间与单调区间的关系，再取端点或最值点的函数值（如在上的最大值为，最小值为）. 知识点3：余弦型函数的图像与性质 余弦型函数的一般形式为：（其中，，、、、均为常数）.核心是通过对基本余弦函数进行“伸缩、平移”变换得到，各参数决定变换方式，进而影响函数的图像与性质. 3.1参数的几何意义与图像变换 1.振幅：决定函数图像的“纵向伸缩”程度，表示振幅（最大值与最小值的差的一半）.-当时，图像纵向伸长为原来的倍；-当时，图像纵向压缩为原来的倍；-当时，图像关于轴对称翻折（先伸缩再翻折，或先翻折再伸缩，结果一致）.2.角频率：决定函数图像的“横向伸缩”程度，进而影响周期.-当时，图像横向压缩为原来的倍；-当时，图像横向伸长为原来的倍；-当时，图像关于轴对称翻折，周期仍由决定.3.相位：决定函数图像的“横向平移”（左加右减，针对的变换）.-平移量为，方向：若，则，图像向左平移个单位（）或向右平移个单位（）；-若，建议先将化为正数（提取负号），再判断平移方向（如，图像向右平移个单位）.4.纵向平移量：决定函数图像的“上下平移”，不改变函数的周期、奇偶性、单调性，仅改变值域.-当时，图像向上平移个单位；-当时，图像向下平移个单位. 易错辨析 易错点1：横向平移时，直接将当作平移量（如认为是向左平移个单位）.辨析：横向平移的核心是“对本身进行变换”，必须将提取出来，平移量为.正确变换：，是向左平移个单位，而非个单位.易错点2：忽略或对图像的影响，直接按、判断单调性或平移方向.辨析：会使函数图像关于轴对称，单调性与原函数相反（如的递增区间是，对应的递减区间）；可通过诱导公式转化为正数（），再分析变换，避免方向错误. 概念比较 与正弦型函数的图像变换比较：两者的变换规律完全一致（振幅、角频率、相位、纵向平移量的作用相同），核心区别仅在于“基础函数”不同（一个是，一个是），故最终图像的初始位置不同（正弦型函数过平移后的“零点”，余弦型函数过平移后的“最大值点”或“最小值点”，取决于的符号）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：1.余弦型函数图像变换的顺序：“先横向平移（针对），再横向伸缩（），或先横向伸缩，再横向平移”（纵向伸缩和上下平移的顺序不影响结果）；2.横向平移量的计算：，方向遵循“左加右减”（针对提取后的）.常考结论：图像变换的逆向应用——若将的图像先向右平移个单位，再横向压缩为原来的，最后纵向伸长为原来的3倍，得到的函数解析式为（逆向变换需反向操作，如“压缩为”逆向是“伸长为2倍”，但正向变换需按顺序推导）. 3.2余弦型函数的性质（以为例，，） 1.定义域与值域 定义域：（与基础余弦函数一致，伸缩平移不改变定义域）；-值域：，其中：-最大值：当时，；-最小值：当时，. 易错辨析 易错点：值域计算时忽略的符号（如认为的值域是）.辨析：值域的核心是，与的符号无关，只需用计算.正确值域：中，，故值域为（此处结果正确，但逻辑需注意：无论正负，最大值都是，最小值都是）；若，值域同样是，仅取最值的条件不同. 重点记忆+常考结论 重点记忆：值域公式，无需考虑和的符号.常考结论：若余弦型函数的值域为，则，（利用最大值与最小值的和差求和）. 2.周期性 最小正周期：（周期仅与的绝对值有关，与、、无关）；-周期通式：（且）. 易错辨析 易错点1：误将周期公式记为，忽略的绝对值.辨析：周期是正数，的正负仅影响函数图像的左右翻折，不影响周期大小，故必须取的绝对值，正确公式为.例如的最小正周期是，而非.易错点2：认为或会影响周期.辨析：决定纵向伸缩，决定上下平移，两者均不改变函数的周期，周期仅由的绝对值决定. 概念比较 与正弦型函数周期性比较：正弦型函数的最小正周期同样是，与余弦型函数的周期公式完全一致.这是因为正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，经过相同的横向伸缩变换后，周期变化规律相同. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦型函数最小正周期公式，牢记“周期与的绝对值成反比，与、、无关”.常考结论：1.若的周期为，则；2.复合函数的周期：若，则，，故周期仍为，符合公式计算结果. 3.奇偶性 判定条件：余弦型函数为偶函数的充要条件是（），且定义域关于原点对称；为奇函数的充要条件是（），且定义域关于原点对称.-推导：若为偶函数，则对任意成立，即.由余弦函数性质可得（），化简得（）；奇函数推导类似，最终得（）. 易错辨析 易错点1：忽略定义域关于原点对称的前提，直接根据的取值判断奇偶性.辨析：奇偶性的首要前提是定义域关于原点对称，若定义域不满足该条件，无论取何值，函数都不是奇函数或偶函数.例如（，满足偶函数条件），若定义域限制为，则不是偶函数.易错点2：误将当作偶函数的唯一条件.辨析：（）均满足偶函数条件，如时，，仍是偶函数. 概念比较 与正弦型函数奇偶性比较：正弦型函数为奇函数的充要条件是（），为偶函数的充要条件是（），与余弦型函数的奇偶性条件恰好互换，这源于正弦函数和余弦函数的奇偶性差异及相位关系. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦型函数奇偶性的充要条件（的取值）及定义域前提.常考结论：1.若是偶函数，则是奇函数（时，，为奇函数）；2.若，则余弦型函数一定不是奇函数或偶函数（常数项破坏奇偶性，如，？此处纠正：当时，若满足，仍可为偶函数，如是偶函数，之前结论错误.正确结论：时，函数仍可能是偶函数或奇函数，关键看的取值，常数项不影响奇偶性的判定，仅影响函数图像的上下平移）. 4.单调性 余弦型函数的单调性由的符号和的符号共同决定，核心是将代入基础余弦函数的单调区间，解出的范围：-当，时：单调递减区间：解不等式（），得（）；单调递增区间：解不等式（），得（）.-当，时：单调性与上述相反（因为相当于图像关于轴对称翻折），即单调递增区间为（），单调递减区间为（）.-当时：先将化为正数（提取负号），再按上述规则判断，例如（利用），再分析单调性. 易错辨析 易错点1：解单调区间时，两边同时除以忽略的正负，导致不等号方向错误.辨析：解不等式时，若，不等号方向不变；若，不等号方向必须反转.例如求的递减区间，先化为（），解，得，即（）.易错点2：未考虑的符号对单调性的影响，直接按求解.辨析：时，函数图像关于轴对称，单调性与时相反，例如的递增区间，对应的递减区间. 概念比较 与正弦型函数单调性比较：两者求解单调区间的方法一致（“整体代换法”，将代入基础函数的单调区间），核心区别在于基础函数的单调区间不同（正弦函数的递增区间是余弦函数的递减区间，反之亦然）.例如正弦型函数（，）的递增区间是解，而余弦型函数的递增区间是解. 重点记忆+常考结论 重点记忆：求解余弦型函数单调区间的“整体代换法”步骤：1.确保（若，利用诱导公式转化）；2.确定的符号（判断单调性与基础余弦函数是否一致）；3.将代入基础余弦函数的对应单调区间，解出的范围.常考结论：1.若（，）在区间上单调，则（单调区间长度不超过半个周期，因为余弦函数的单调区间长度为半个周期）；2.比较两个余弦型函数值的大小，需先判断自变量所在的单调区间，再结合的符号判断大小（如时，递增区间内自变量大则函数值大，递减区间内自变量大则函数值小）. 5.对称性 对称轴：余弦型函数的对称轴垂直于轴，且过函数图像的最高点或最低点，求解方法是令（），解得（）.-对称中心：余弦型函数的对称中心是函数图像与直线的交点，求解方法是令（），解得（），故对称中心坐标为（）. 易错辨析 易错点1：误将对称中心的纵坐标当作0，忽略的影响.辨析：基础余弦函数的对称中心纵坐标为0，但余弦型函数经过上下平移个单位，对称中心的纵坐标变为，横坐标仍由求解.例如的对称中心纵坐标为1，横坐标为（）.易错点2：求解对称轴时，令（混淆对称轴与对称中心的求解条件）.辨析：对称轴过最高点或最低点，此时，对应（）；对称中心对应，对应（），两者条件不可混淆. 概念比较 与正弦型函数对称性比较：正弦型函数的对称轴求解条件是（），对称中心求解条件是（），与余弦型函数的对称性条件恰好互换.这是因为正弦函数的最高点/最低点对应（），零点对应（），与余弦函数的对应条件相反. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦型函数对称轴和对称中心的求解条件：1.对称轴：（）；2.对称中心：（），对称中心纵坐标为.常考结论：1.若函数的图像关于直线对称，则（）；2.若函数图像关于点对称，则且（）. 【题型1 五点作余弦型函数图像】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，试画出的图像. 变式1．（23-24高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 变式2．（24-25高一下·上海·月考）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【题型2 含绝对值的余弦函数图像】 例1．（24-25高三上·山东淄博·期中）在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型3 解余弦不等式（定义域问题）】 例1．（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为 . 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）在内，求使成立的x的取值范围. 变式1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是 ． 变式2．（23-24高一下·河北承德·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 余弦型函数的单调性】 例1．（23-24高一下·上海·期中）求下列函数的单调区间． (1)； (2) 例2．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 变式2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 【题型5 比较余弦值大小】 例1．（24-25高一下·上海闵行·月考）在中，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）三个数，，的大小关系是 . 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 变式2．（23-24高一下·浙江·期末）已知是锐角三角形，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型6 余弦型函数的值域最值及求参数】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的单调区间和值域． 例2．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 变式1．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 变式2．（24-25高三上·上海·月考）对任意均有恒成立，则的最大值为 【题型7 换元法求余弦型函数最值问题】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为 . 例2．（24-25高一下·上海·月考）函数，则的最小值为 ． 变式1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【题型8 求余弦型函数的奇偶性】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 例2．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数 . 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说理. 【题型9 由奇偶性求参数】 例1．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 例2．（23-24高一下·上海·月考）函数是奇函数，则实数 . 变式1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 变式2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【题型10 求余弦型函数的周期性】 例1．（24-25高一下·上海·月考）函数的最小正周期为 ． 例2．（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2). 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 【题型11 求余弦型函数的对称轴对称中心】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 例2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 变式2．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【题型12 余弦型函数的综合问题】 例1．（2025·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 例2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及单调减区间. (2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 变式1．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 变式2．（24-25高一下·上海黄浦·月考）已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 一、核心基础：余弦函数（） 1.定义与图像 定义：对应单位圆上点的横坐标，定义域 关键图像特征：关于轴对称的周期性平滑曲线；内5个关键点：、、、、 图像变换：由向左平移个单位得到（） 2.核心性质（必记） 值域：；最值点：最大值1（）、最小值-1（）， 周期性：最小正周期，周期通式（） 奇偶性：偶函数（），图像关于轴对称 单调性：增区间，减区间， 对称性：对称轴，对称中心， 二、拓展应用：余弦型函数（） 1.参数意义与图像变换 ：振幅（纵向伸缩，决定最值差）；时图像关于轴对称 ：角频率（横向伸缩，决定周期，越大周期越小） ：相位（横向平移，平移量，左加右减，需提取） ：纵向平移（不改变周期、奇偶性，改变值域上下界） 2.核心性质（推导与应用） 值域：；周期：（仅与有关） 奇偶性：偶函数；奇函数（，定义域关于原点对称） 单调性：整体代换法——令，结合、符号，代入单调区间求解 对称性：对称轴；对称中心（纵坐标为）， 三、高频考点与易错提醒 1.高频考点 图像变换：根据变换规则求解析式，或根据解析式描述变换过程 性质应用：求最值、周期、单调区间、对称轴/对称中心 奇偶性判定：结合取值与定义域判断 2.易错提醒 平移量计算：需提取，平移量为，非 周期公式：勿忘的绝对值， 单调性：解不等式时注意正负对不等号方向的影响；时单调性反转 对称性：对称中心纵坐标为，非0；对称轴与对称中心的求解条件不可混淆 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 3．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 5．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 三、填空题 6．（2025·上海·三模）函数，的零点是 ． 7．（25-26高三上·上海·期中）设，且为奇函数，则 . 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 9．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，函数的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ． 10．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若关于的方程在上有两解，则的取值范围是 . 12．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是 ． 13．（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 四、解答题 14．（23-24高一·上海·课堂例题）已知和的图像的连续三个交点A、B、C构成，求的面积． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 17．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 18．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. 19．（24-25高三上·上海·月考）已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 20．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)已知，求的最值，并写出取得最值时x的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 余弦函数的图像与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：余弦函数的图像 1.1余弦函数的定义 对于任意实数，都有唯一确定的实数与之对应，称函数（）为余弦函数. 易错辨析 易错点：混淆余弦函数的定义域与三角函数线中角的范围.辨析：余弦函数的定义域是全体实数，而三角函数线中角通常在单位圆中研究（），但这并不意味着余弦函数的定义域受限，任意实数都可对应单位圆上的角（终边重合的角三角函数值相等）. 概念比较 与正弦函数定义比较：两者定义域均为，核心区别在于函数表达式的核心符号不同（vs），本质是单位圆上点的横、纵坐标对应关系不同（余弦对应横坐标，正弦对应纵坐标）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数的定义域为，对应关系是“实数（弧度制角）→单位圆上对应点的横坐标”.常考结论：当时，（余弦函数的最大值点）；当时，（余弦函数的最小值点）. 1.2余弦函数图像的绘制 1.描点法：先取上的关键点，如下表： | 0 1 0 -1 0 1 2.图像特征：余弦函数的图像叫做余弦曲线，是一条关于轴对称的周期性平滑曲线，在上呈现“先降后升”的趋势，以为起点，经过、、，最后回到. 3.平移法：余弦函数图像可由正弦函数图像平移得到，即，故将的图像向左平移个单位长度，即可得到的图像. 易错辨析 易错点1：描点时忽略“平滑连接”，绘制出折线.辨析：余弦函数是连续光滑的三角函数，各关键点之间需用平滑曲线连接，不能用直线段拼接.易错点2：平移方向错误，将向右平移得到.辨析：三角函数图像平移遵循“左加右减”原则（针对本身），是对加上，故应向左平移个单位；若向右平移，得到的是，与余弦函数图像关于轴对称. 概念比较 与正弦曲线比较：两者均为周期性平滑曲线，形状相同但位置不同.正弦曲线关于原点对称，过点；余弦曲线关于轴对称，过点，本质是相位差导致的平移关系. 重点记忆+常考结论 重点记忆：1.在上的5个关键points坐标必须熟练掌握；2.平移规律“左加右减”（针对的变换）.常考结论：余弦曲线的对称轴为（），对称中心为（）（可通过图像直观记忆）. 知识点2：余弦函数的性质 2.1定义域与值域 1.定义域：（全体实数）；2.值域：，其中：-最大值：当（）时，；-最小值：当（）时，. 易错辨析 易错点：误将“”当作余弦函数取最大值的条件.辨析：当时，（为偶数时取1，为奇数时取-1），并非都是最大值.正确的最大值条件是（），最小值条件是（）. 概念比较 与正弦函数值域比较：两者值域均为，但取最值的自变量取值不同.正弦函数最大值在（），最小值在（），与余弦函数的最值点相差，呼应两者的相位差关系. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数的值域范围及取最值的精确自变量条件.常考结论：1.若，则（）；2.若，则（）；3.对于任意实数，，可用于判断相关函数的值域范围（如的值域为）. 2.2周期性 1.定义：对于函数，若存在非零常数，使得对任意，都有，则称为余弦函数的周期.2.最小正周期：余弦函数的周期有无数个，其中最小的正数周期为，即. 易错辨析 易错点1：认为余弦函数的周期只有.辨析：所有非零常数（且）都是余弦函数的周期，是最小的正周期，解题中若无特殊说明，“周期”通常指最小正周期.易错点2：误将当作余弦函数的周期.辨析：验证可知，故不是余弦函数的周期，而、的最小正周期才是. 概念比较 与正弦函数周期性比较：两者的最小正周期均为，周期性质完全一致（周期都是，且），这是正弦、余弦函数的共性，源于三角函数的周期性本质（终边相同的角三角函数值相等）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数的最小正周期为，周期通式为（且）.常考结论：1.若函数（，），则其最小正周期为（提前铺垫余弦型函数周期公式，方便后续衔接）；2.利用周期性可将任意角的余弦值转化为内角的余弦值计算（如）. 2.3奇偶性 1.判定：对于任意，都有，故是偶函数.2.图像特征：偶函数的图像关于轴对称，这与余弦曲线的图像特征一致（前文已提及）. 易错辨析 易错点：混淆“奇偶性的定义域前提”与余弦函数的奇偶性.辨析：奇偶性的前提是函数定义域关于原点对称，余弦函数定义域为，满足关于原点对称，再结合才判定为偶函数.若将定义域限制为，则函数不再是偶函数（定义域不关于原点对称）. 概念比较 与正弦函数奇偶性比较：正弦函数是奇函数（），图像关于原点对称；余弦函数是偶函数，图像关于轴对称.两者奇偶性的差异源于单位圆上横、纵坐标的对称性不同（横坐标关于轴对称，纵坐标关于原点对称）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：1.余弦函数是偶函数，核心关系式；2.奇偶性的定义域前提是“关于原点对称”.常考结论：1.利用偶函数性质化简：；2.若函数是偶函数，则必为偶函数（奇偶性的运算性质：偶+偶=偶，偶+奇=奇）. 2.4单调性 余弦函数的单调性以最小正周期为周期重复，在一个周期内的单调性如下：1.单调递减区间：，即当时，函数值从1单调递减到-1；2.单调递增区间：，即当时，函数值从-1单调递增到1.推广到全体实数域，单调区间通式为：-单调递减区间：（）；-单调递增区间：（）. 易错辨析 易错点1：单调区间书写时遗漏“”，或区间端点错误（如写成）.辨析：余弦函数在区间端点处有定义，且单调性包含端点（单调区间是闭区间）；“”是区间通式的必要条件，遗漏则仅表示一个周期内的区间，不完整.易错点2：误将“”当作余弦函数的递减区间.辨析：该区间是正弦函数的递减区间，余弦函数的递减区间核心是，可通过图像区分：余弦曲线在到之间下降，在到之间上升，与正弦曲线的升降区间错开. 概念比较 与正弦函数单调性比较：正弦函数的单调递增区间为（），递减区间为（）.两者的单调区间恰好相差，这是由两者的相位差决定的，体现了三角函数的对称性规律. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦函数单调区间的通式（含），可结合图像“先降后升”的特征记忆（到降，到升）.常考结论：1.比较两个余弦值大小：若两个角均在递减区间，则角越大，余弦值越小（如）；若均在递增区间，则角越大，余弦值越大（如）；2.求余弦函数在闭区间上的最值时，需先判断区间与单调区间的关系，再取端点或最值点的函数值（如在上的最大值为，最小值为）. 知识点3：余弦型函数的图像与性质 余弦型函数的一般形式为：（其中，，、、、均为常数）.核心是通过对基本余弦函数进行“伸缩、平移”变换得到，各参数决定变换方式，进而影响函数的图像与性质. 3.1参数的几何意义与图像变换 1.振幅：决定函数图像的“纵向伸缩”程度，表示振幅（最大值与最小值的差的一半）.-当时，图像纵向伸长为原来的倍；-当时，图像纵向压缩为原来的倍；-当时，图像关于轴对称翻折（先伸缩再翻折，或先翻折再伸缩，结果一致）.2.角频率：决定函数图像的“横向伸缩”程度，进而影响周期.-当时，图像横向压缩为原来的倍；-当时，图像横向伸长为原来的倍；-当时，图像关于轴对称翻折，周期仍由决定.3.相位：决定函数图像的“横向平移”（左加右减，针对的变换）.-平移量为，方向：若，则，图像向左平移个单位（）或向右平移个单位（）；-若，建议先将化为正数（提取负号），再判断平移方向（如，图像向右平移个单位）.4.纵向平移量：决定函数图像的“上下平移”，不改变函数的周期、奇偶性、单调性，仅改变值域.-当时，图像向上平移个单位；-当时，图像向下平移个单位. 易错辨析 易错点1：横向平移时，直接将当作平移量（如认为是向左平移个单位）.辨析：横向平移的核心是“对本身进行变换”，必须将提取出来，平移量为.正确变换：，是向左平移个单位，而非个单位.易错点2：忽略或对图像的影响，直接按、判断单调性或平移方向.辨析：会使函数图像关于轴对称，单调性与原函数相反（如的递增区间是，对应的递减区间）；可通过诱导公式转化为正数（），再分析变换，避免方向错误. 概念比较 与正弦型函数的图像变换比较：两者的变换规律完全一致（振幅、角频率、相位、纵向平移量的作用相同），核心区别仅在于“基础函数”不同（一个是，一个是），故最终图像的初始位置不同（正弦型函数过平移后的“零点”，余弦型函数过平移后的“最大值点”或“最小值点”，取决于的符号）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：1.余弦型函数图像变换的顺序：“先横向平移（针对），再横向伸缩（），或先横向伸缩，再横向平移”（纵向伸缩和上下平移的顺序不影响结果）；2.横向平移量的计算：，方向遵循“左加右减”（针对提取后的）.常考结论：图像变换的逆向应用——若将的图像先向右平移个单位，再横向压缩为原来的，最后纵向伸长为原来的3倍，得到的函数解析式为（逆向变换需反向操作，如“压缩为”逆向是“伸长为2倍”，但正向变换需按顺序推导）. 3.2余弦型函数的性质（以为例，，） 1.定义域与值域 定义域：（与基础余弦函数一致，伸缩平移不改变定义域）；-值域：，其中：-最大值：当时，；-最小值：当时，. 易错辨析 易错点：值域计算时忽略的符号（如认为的值域是）.辨析：值域的核心是，与的符号无关，只需用计算.正确值域：中，，故值域为（此处结果正确，但逻辑需注意：无论正负，最大值都是，最小值都是）；若，值域同样是，仅取最值的条件不同. 重点记忆+常考结论 重点记忆：值域公式，无需考虑和的符号.常考结论：若余弦型函数的值域为，则，（利用最大值与最小值的和差求和）. 2.周期性 最小正周期：（周期仅与的绝对值有关，与、、无关）；-周期通式：（且）. 易错辨析 易错点1：误将周期公式记为，忽略的绝对值.辨析：周期是正数，的正负仅影响函数图像的左右翻折，不影响周期大小，故必须取的绝对值，正确公式为.例如的最小正周期是，而非.易错点2：认为或会影响周期.辨析：决定纵向伸缩，决定上下平移，两者均不改变函数的周期，周期仅由的绝对值决定. 概念比较 与正弦型函数周期性比较：正弦型函数的最小正周期同样是，与余弦型函数的周期公式完全一致.这是因为正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，经过相同的横向伸缩变换后，周期变化规律相同. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦型函数最小正周期公式，牢记“周期与的绝对值成反比，与、、无关”.常考结论：1.若的周期为，则；2.复合函数的周期：若，则，，故周期仍为，符合公式计算结果. 3.奇偶性 判定条件：余弦型函数为偶函数的充要条件是（），且定义域关于原点对称；为奇函数的充要条件是（），且定义域关于原点对称.-推导：若为偶函数，则对任意成立，即.由余弦函数性质可得（），化简得（）；奇函数推导类似，最终得（）. 易错辨析 易错点1：忽略定义域关于原点对称的前提，直接根据的取值判断奇偶性.辨析：奇偶性的首要前提是定义域关于原点对称，若定义域不满足该条件，无论取何值，函数都不是奇函数或偶函数.例如（，满足偶函数条件），若定义域限制为，则不是偶函数.易错点2：误将当作偶函数的唯一条件.辨析：（）均满足偶函数条件，如时，，仍是偶函数. 概念比较 与正弦型函数奇偶性比较：正弦型函数为奇函数的充要条件是（），为偶函数的充要条件是（），与余弦型函数的奇偶性条件恰好互换，这源于正弦函数和余弦函数的奇偶性差异及相位关系. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦型函数奇偶性的充要条件（的取值）及定义域前提.常考结论：1.若是偶函数，则是奇函数（时，，为奇函数）；2.若，则余弦型函数一定不是奇函数或偶函数（常数项破坏奇偶性，如，？此处纠正：当时，若满足，仍可为偶函数，如是偶函数，之前结论错误.正确结论：时，函数仍可能是偶函数或奇函数，关键看的取值，常数项不影响奇偶性的判定，仅影响函数图像的上下平移）. 4.单调性 余弦型函数的单调性由的符号和的符号共同决定，核心是将代入基础余弦函数的单调区间，解出的范围：-当，时：单调递减区间：解不等式（），得（）；单调递增区间：解不等式（），得（）.-当，时：单调性与上述相反（因为相当于图像关于轴对称翻折），即单调递增区间为（），单调递减区间为（）.-当时：先将化为正数（提取负号），再按上述规则判断，例如（利用），再分析单调性. 易错辨析 易错点1：解单调区间时，两边同时除以忽略的正负，导致不等号方向错误.辨析：解不等式时，若，不等号方向不变；若，不等号方向必须反转.例如求的递减区间，先化为（），解，得，即（）.易错点2：未考虑的符号对单调性的影响，直接按求解.辨析：时，函数图像关于轴对称，单调性与时相反，例如的递增区间，对应的递减区间. 概念比较 与正弦型函数单调性比较：两者求解单调区间的方法一致（“整体代换法”，将代入基础函数的单调区间），核心区别在于基础函数的单调区间不同（正弦函数的递增区间是余弦函数的递减区间，反之亦然）.例如正弦型函数（，）的递增区间是解，而余弦型函数的递增区间是解. 重点记忆+常考结论 重点记忆：求解余弦型函数单调区间的“整体代换法”步骤：1.确保（若，利用诱导公式转化）；2.确定的符号（判断单调性与基础余弦函数是否一致）；3.将代入基础余弦函数的对应单调区间，解出的范围.常考结论：1.若（，）在区间上单调，则（单调区间长度不超过半个周期，因为余弦函数的单调区间长度为半个周期）；2.比较两个余弦型函数值的大小，需先判断自变量所在的单调区间，再结合的符号判断大小（如时，递增区间内自变量大则函数值大，递减区间内自变量大则函数值小）. 5.对称性 对称轴：余弦型函数的对称轴垂直于轴，且过函数图像的最高点或最低点，求解方法是令（），解得（）.-对称中心：余弦型函数的对称中心是函数图像与直线的交点，求解方法是令（），解得（），故对称中心坐标为（）. 易错辨析 易错点1：误将对称中心的纵坐标当作0，忽略的影响.辨析：基础余弦函数的对称中心纵坐标为0，但余弦型函数经过上下平移个单位，对称中心的纵坐标变为，横坐标仍由求解.例如的对称中心纵坐标为1，横坐标为（）.易错点2：求解对称轴时，令（混淆对称轴与对称中心的求解条件）.辨析：对称轴过最高点或最低点，此时，对应（）；对称中心对应，对应（），两者条件不可混淆. 概念比较 与正弦型函数对称性比较：正弦型函数的对称轴求解条件是（），对称中心求解条件是（），与余弦型函数的对称性条件恰好互换.这是因为正弦函数的最高点/最低点对应（），零点对应（），与余弦函数的对应条件相反. 重点记忆+常考结论 重点记忆：余弦型函数对称轴和对称中心的求解条件：1.对称轴：（）；2.对称中心：（），对称中心纵坐标为.常考结论：1.若函数的图像关于直线对称，则（）；2.若函数图像关于点对称，则且（）. 【题型1 五点作余弦型函数图像】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，试画出的图像. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，在同一坐标系中分别画出正余弦函数图像，即可得到结果. 【详解】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图像，上方的画成实线，下方的画成虚线，则实线部分即为的图像. 变式1．（23-24高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 【答案】见解析 【分析】先根据的范围，求出的范围，再根据找到端点，最大最小值和对称中心，对应的的值,列表作图. 【详解】 根据五点法作图列表得： 画图像得： 变式2．（24-25高一下·上海·月考）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【答案】4 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 【题型2 含绝对值的余弦函数图像】 例1．（24-25高三上·山东淄博·期中）在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图象即可求解. 【详解】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 变式1．（24-25高一上·广东佛山·期末）函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，结合图象可得的最小值和最大值. 【详解】画出的图象如图 画出图象如图 将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图， 根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为， 故选：B. 【题型3 解余弦不等式（定义域问题）】 例1．（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】结合对数函数的定义和三角函数的性质即可解得定义域. 【详解】由对数函数的定义可知底数大于0且不为1，且真数大于0，结合三角函数的性质可得： . 故答案为：. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）在内，求使成立的x的取值范围. 【答案】 【分析】画出函数，利用图象求解即可. 【详解】当时，由，得，解得或. 函数在的图象如下图所示：    由图可知，该不等式的解集为. 变式1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，，对、、、、分别求出的取值范围，从而求出需满足的条件，再根据周期性即可得解. 【详解】由，可得，， 又，当时，均满足题意； 当时，均满足题意； 当时，均满足题意； 当时，此时需，即； 当时，此时需，即； 由的最小正周期，所以之后会重复前面的取值， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 变式2．（23-24高一下·河北承德·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得. 【详解】函数的意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 【题型4 余弦型函数的单调性】 例1．（23-24高一下·上海·期中）求下列函数的单调区间． (1)； (2) 【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减 (2)在上单调性递增，在上单调递减． 【分析】（1）利用正弦函数的性质可求单调区间； （2）利用整体法结合余弦函数的性质可求单调区间. 【详解】（1）与的单调性相同， 故的递增区间为， 递减区间为. （2）令，则， 令，则， 故的减区间为，增区间为， 而，故在上单调性递增，在上单调递减． 例2．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为 ， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 变式2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 【题型5 比较余弦值大小】 例1．（24-25高一下·上海闵行·月考）在中，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大角对大边，再利用正弦定理化边为角即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；根据二倍角的余弦公式即可判断D. 【详解】设三边所对的角分别为， 对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，由A知，，所以， 又，，，故D正确． 故选：C． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）三个数，，的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用诱导公式及余弦函数的性质判断即可. 【详解】∵，， ∵，，， ∴. 又∵在上是减函数， ∴，即. 故答案为： 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【分析】结合诱导公式，再利用三角函数的单调性即可逐一判断 【详解】对于①，因为， 因为在上单调递增，所以，所以 即，故①正确； 对于②，因为在上单调递减，所以，故②错误； 对于③，因为，， 所以，故③错误； 对于④，， 因为在上单调递减，且，所以， 即，故④正确， 故答案为：①④. 变式2．（23-24高一下·浙江·期末）已知是锐角三角形，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由是锐角三角形，则，结合诱导公式及正弦、余弦函数的性质判断即可得结果． 【详解】由已知得 因为余弦函数在上单调减，所以，则A，C错； 因为是锐角三角形，所以，则， 所以，故B正确，D错． 故选：B 【题型6 余弦型函数的值域最值及求参数】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的单调区间和值域． 【答案】答案见解析 【分析】由复合函数单调性、余弦函数单调性求单调区间，进一步得值域. 【详解】当时，， 而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知， 函数，的单调递增区间为，单调递减区间为， 注意到， 所以函数，的值域为. 例2．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 变式1．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过换元，问题转换成在可取到，进而可求解； 【详解】由，可得：， 令 由题意可知：在可取到， 结合余弦函数的性质可知需满足：， 解得， 所以的最小值为， 故答案为： 变式2．（24-25高三上·上海·月考）对任意均有恒成立，则的最大值为 【答案】2 【分析】一方面令可以得到，另一方面取满足题意，由此即可得解. 【详解】令，则， 设，则， 因为恒成立，所以①，若①， 由①②可得， 此时恒成立， 所以的最大值为2. 故答案为：2. 【题型7 换元法求余弦型函数最值问题】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的值域即可得到结果. 【详解】， 令，则， 则， 当时，有最小值为. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·月考）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 变式1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解. 【详解】， 令， 则， 当时，取最大值，此时，由于，则或， 当时，取最小值，此时，由于，则， 综上可得，当或时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，根据余弦函数的性质即可求解； （2）根据二倍角公式可得，令，，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令， 则，. ①当时，y取最大值4； ②当或时，y取最小值. 故函数，的值域为. （2），. 令，， 则，， ∴当时，y取最小值； 当时，y取最大值3. 故函数，的值域为. 【题型8 求余弦型函数的奇偶性】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数 【分析】（1）根据偶函数的定义分析判断； （2）根据奇偶性的定义和性质举反例说明即可； （3）根据奇函数的定义分析判断. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 所以为偶函数. （2）因为的定义域为， 当，，可知不为奇函数； 当，，当，， 可知不为偶函数； 综上所述：为非奇非偶函数. （3）令，即，解得， 可知的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 例2．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 变式1．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解. 【详解】定义域为， ， 所以， 故， 故答案为： 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说理. 【答案】偶函数，理由见解析 【分析】求出，分k为偶数、k为奇数讨论可得答案. 【详解】偶函数，理由如下， 由题意知中，， ，， ①当k为偶数时，，，故为偶函数； ②当k为奇数时，，，故为偶函数. 综上，为偶函数. 【题型9 由奇偶性求参数】 例1．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 例2．（23-24高一下·上海·月考）函数是奇函数，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得，结合，即得答案. 【详解】由题意知函数是奇函数， 则，结合，可得， 故答案为： 变式1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解. 【详解】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 变式2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而 、、均不可能. 故选：C 【题型10 求余弦型函数的周期性】 例1．（24-25高一下·上海·月考）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 例2．（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图象变换作出的图象求解即可. 【详解】的图象如图所示，    由图象可知最小正周期为. 故选：B. 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由周期公式直接计算即可； （2）由即可计算，结合图象验证结论. 【详解】（1）由周期公式得. （2）因为， 图象如下图所示， 所以函数的周期为. 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解； （2）先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】（1）由题意知， 作出函数图象如图所示： 由图知周期为； （2） （其中，）， 由，知，即. 【题型11 求余弦型函数的对称轴对称中心】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可. 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 例2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心. 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 变式1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 变式2．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【答案】D 【分析】求的最小正周期可判断A；由的对称中心的性质可判断B；求出的单调递减区间可判断C；求出的对称轴方程可判断D． 【详解】的最小正周期为，A错误； 由，B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，C错误； 由的图象关于直线对称， 得的最小值为，D正确． 故选：D． 【题型12 余弦型函数的综合问题】 例1．（2025·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【答案】(1)2；. (2). 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递减区间； （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求得的值域. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得. 所以. 要求的单调递减区间，令， 解得，即的单调递减区间为. （2）因为，所以， 所以 . 由得， 由正弦函数的性质可得，所以， 所以函数在区间上的值域为． 例2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及单调减区间. (2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）利用余弦函数的周期公式及单调性列式求解. （2）利用三角函数恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由，得， 所以函数单调减区间为. （2）依题意， 所以， 由，得，则当，即时，函数取得最大值2， 所以最大值为2，此时. 变式1．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)或或. 【分析】（1）求证即可得证； （2）利用换元法结合二次函数性质进行求解即可； （3）根据绝对值性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦函数性质进行求解即可. 【详解】（1）证明：函数， 则， 所以是函数的一个周期； （2）当，时，， 令，因为， 所以，所以， 又，故， 所以， 所以当，单调递增， 所以有. （3）当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递减， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递增， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或. 变式2．（24-25高一下·上海黄浦·月考）已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知恒成立且，由此算出周期为，再根据周期公式就能求出 （2）先确定时表达式，根据范围求出范围，进而得到范围，算出值域.再根据条件得到值域，由范围求出范围，结合确定.最后根据列不等式组求解范围. 【详解】（1）由题意，， 因为对任意的恒成立，且， 所以函数的最小正周期为，        所以，得. （2）当时，， 当时，，所以， 所以函数的值域为， 因为对任意，存在，使得成立，即成立， 设在上的值域为， 当时，，所以，       因为，所以的值域， 根据题意，，      则有，解得，又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 一、核心基础：余弦函数（） 1.定义与图像 定义：对应单位圆上点的横坐标，定义域 关键图像特征：关于轴对称的周期性平滑曲线；内5个关键点：、、、、 图像变换：由向左平移个单位得到（） 2.核心性质（必记） 值域：；最值点：最大值1（）、最小值-1（）， 周期性：最小正周期，周期通式（） 奇偶性：偶函数（），图像关于轴对称 单调性：增区间，减区间， 对称性：对称轴，对称中心， 二、拓展应用：余弦型函数（） 1.参数意义与图像变换 ：振幅（纵向伸缩，决定最值差）；时图像关于轴对称 ：角频率（横向伸缩，决定周期，越大周期越小） ：相位（横向平移，平移量，左加右减，需提取） ：纵向平移（不改变周期、奇偶性，改变值域上下界） 2.核心性质（推导与应用） 值域：；周期：（仅与有关） 奇偶性：偶函数；奇函数（，定义域关于原点对称） 单调性：整体代换法——令，结合、符号，代入单调区间求解 对称性：对称轴；对称中心（纵坐标为）， 三、高频考点与易错提醒 1.高频考点 图像变换：根据变换规则求解析式，或根据解析式描述变换过程 性质应用：求最值、周期、单调区间、对称轴/对称中心 奇偶性判定：结合取值与定义域判断 2.易错提醒 平移量计算：需提取，平移量为，非 周期公式：勿忘的绝对值， 单调性：解不等式时注意正负对不等号方向的影响；时单调性反转 对称性：对称中心纵坐标为，非0；对称轴与对称中心的求解条件不可混淆 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断. 【详解】函数， 对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确； 对于②：由于，，，， 故函数在上不是单调增函数，故②错误； 对于③：函数的最大值为1，若， 则， 所以，，， 故；故③正确； 对于④：当时，， 由于，即，解得或， 所以函数有两个零点，故④错误． 故选：B. 3．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，结合余弦型函数的性质，求得函数的单调区间，结合选项，即可求解. 【详解】由函数， 令，解得， 令，解得， 所以函数的递增区间为，递减区间为 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为， 结合选项，可得选项B正确. 故选：B. 三、填空题 6．（2025·上海·三模）函数，的零点是 ． 【答案】， 【分析】令即可求出函数的零点. 【详解】令，则，， 当时，；当时，. 函数，的零点是，. 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·期中）设，且为奇函数，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意为奇函数，且定义域为， 则，则， 又，则. 当时，是奇函数， 故得. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 【答案】1 【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 9．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，函数的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据求出，再根据，可求出 ，即可求得其最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 又为的零点，即， 所以 ，解得 ， 又，所以当取得最小值，此时. 故答案为：. 10．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若关于的方程在上有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先化简方程，再令，结合三角函数在上的单调性可将方程有解问题分三种情况讨论，方程在内存在两个相等根、方程两个不等实根都在上、两个不等实根一个在上，一个取，分类讨论即可. 【详解】因， 则方程在上有两解， 令，且其在上单调递增，在上单调递减， ①若方程存在两个相等根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在内存在两个相等根， 因一元二次函数对称轴， 则方程在内不可能存在两个相等根； ②若方程存在两个不相等实根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在上存在两个不相等实根， 若方程两个不等实根都在上， 则，解得； 若方程两个不等实根一个在上，一个取， 则，得， 则，两根分别为，不符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是 ． 【答案】（3）（4） 【分析】化简函数后作出函数在一个周期内的图象，根据函数图象求出函数的值域和周期判断（1）（2），结合函数图象及周期性判断（3），根据诱导公式和同角三角函数基本关系，分段化简求值即可判断（4）. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 即，所以， 综上，，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，故（1）不正确； 该函数是以为最小正周期的周期函数，故（2）不正确； 该周期内的区间为， 故恒有，故（3）正确； 当时， 当时， 当时， ； 综上，任意恒成立，故（4）正确． 故答案为：（3）（4） 13．（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【答案】 ②⑤ 【分析】应用诱导公式及二倍角公式，同角三角函数关系，正弦及余弦函数的周期判断各个选项即可. 【详解】① ① 不正确； ② ，函数周期为 ，②正确； ③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确； ④ ④不正确 ； ⑤ ，函数周期为 ，⑤正确. 故答案为：②⑤. 四、解答题 14．（23-24高一·上海·课堂例题）已知和的图像的连续三个交点A、B、C构成，求的面积． 【答案】 【分析】作出图象，结合图象可得相应的点，进而可得面积. 【详解】作出正、余弦函数的图象： 不妨取， 可知底边长，高为， 所以的面积. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）先用列表，然后五点法画出函数的图，然后再利用偶函数的对称性，画出的完整的图即可. 【详解】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）将看成整体角，结合正弦函数的图象和函数值，即可求得的范围； （2）将方程变形后，把看成整体角，结合余弦函数的图象和函数值，即可求得的范围. 【详解】（1）由题意得， 结合正弦函数在上的图象可得，或， 再利用正弦函数的周期性，可得：或，， 解得或， 故满足条件的角x的集合为或 （2）由变形得，， 结合余弦函数在上的图象可得，或， 再利用余弦函数的周期性，可得：或，， 解得或 故满足条件的角x的集合为或. 17．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）, 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 18．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. 【答案】(1)； (2)； (3)或或或. 【分析】（1）结合二倍角公式化简函数解析式可得，结合正弦函数性质求结论； （2）根据函数的偶函数定义列关系式，结合三角形的函数的性质化简即可求出； （3）先求出的值，化简方程，结合特殊值的三角函数解方程可得结论． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上的取值范围为， （2）因为， 所以， 因为为偶函数，所以， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，，或，， 所以，，或，， 因为， 所以或或或. 19．（24-25高三上·上海·月考）已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的对称性求出，再根据余弦函数的性质求出其单调递减区间. （2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解. 【详解】（1）因为函数的图象关于轴对称， 所以，解得， 又，所以或； 当时，， 所以的单调减区间为，； 当时，， 所以的单调减区间为，； 综上可得：当时的单调减区间为，； 当时的单调减区间为，. （2）当时， 因为，所以， ，， 所以，令，， 则等式成立等价为在上成立， ， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 故的取值范围是 20．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)已知，求的最值，并写出取得最值时x的值． 【答案】(1)，严格增区间为，严格减区间 (2)时取得最小值，时取得最大值1 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简整理函数的表达式为，然后即可求出周期和单调区间； （2）由（1）知，当时，，结合余弦函数的图象与性质，即可求得的最值，及取得最值时x的值． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间为. （2）当时，， 当，即时， ， 当，即时，， 即时取得最小值，时取得最大值1. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $