第05讲 坐标平面上的直线（知识梳理+17大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第05讲 坐标平面上的直线单元复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. ②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 知识点2：直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 补充：斜率和倾斜角的特点 ①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； ③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 知识点3：直线斜率的坐标表示 公式：经过两点的直线的斜率公式为． 知识点4：直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线l的斜率为k 且直线过两点，的它的一个方向向量的坐标为=（），则 k=。 知识点5：直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 知识点6：直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 知识点7： 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 知识点8：直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 知识点9：中点坐标公式 若点的坐标分别为（）（），且线段的中点M的坐标为（x，y），则．此公式为线段的中点坐标公式． 知识点10：直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 知识点11：两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 知识点12：两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 知识点13：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 知识点14：直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 知识点15：两点间的距离 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 知识点16：对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 知识点17：点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 知识点18：点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【题型1 直线的倾斜角】 例1（25-26高二上·上海青浦·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C．arctan D． 例2（25-26高二上·上海·期中）直线的倾斜角为 ． 变式1（24-25高二上·上海·月考）直线的倾斜角是 变式2（24-25高二上·上海·月考）直线与直线的夹角大小为 . 变式3（24-25高二下·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    【题型2 直线的斜率】 例3（20-21高二上·上海黄浦·期中）直线(，)的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25高二上·上海·开学考试）已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 变式1（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 变式2（23-24高二下·上海·月考）直线的倾斜角是 ． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围． (1)； (2)． 【题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系】 例5（20-21高二上·上海嘉定·期中）若直线过点，，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6（24-25高二上·上海闵行·月考）经过点、两点的直线的倾斜角为 . 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 变式2（23-24高二上·上海·月考）已知，则直线的斜率为 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知，求经过、两点的直线的斜率． 【题型4 直线斜率与直线方向向量】 例7（高二上·上海静安·期中）直线的一个方向向量为，则的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 例8（高二下·上海·课后作业）设直线，其中且.给出下列结论：①的斜率是；②的倾斜角是；③的方向向量与向量平行；④的法向量与向量平行.其中真命题有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1（高二上·上海嘉定·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ． 变式2（高二下·上海徐汇·期末）已知直线的一个方向向量是，则它的斜率为 . 变式3（高二上·上海杨浦·期末）一个方向向量为的直线的倾斜角的大小是 ． 【题型5 直线的点斜式方程】 例9（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）过点斜率为3的直线的点斜式方程是 例10（20-21高二上·上海金山·期中）已知三角形的三个顶点是，则边上的高所在的直线方程为 ． 变式1（20-21高二上·上海浦东新·期中）与直线夹角为，且过点的直线的方程为 变式2（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是 ． 变式3（24-25高二上·上海·课后作业）一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【题型6 直线的斜截式方程】 例11（23-24高二上·上海青浦·月考）直线的倾斜角是 ． 例12（22-23高二上·上海浦东新·月考）直线的斜率为 ． 变式1（22-23高二上·上海浦东新·月考）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为且.求直线的方程. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线经过点. (1)求的倾斜角的大小； (2)求在轴上的截距. 【题型7 直线的两点式方程】 例13（20-21高二上·上海奉贤·期末）如图，平面上过点P(1，2)的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N.则满足的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 例14．（高二上·上海·期末）已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为 ． 变式1（20-21高二上·上海黄浦·期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为 . 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线过点且与坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求下列直线的方程： (1)的倾斜角是，在轴上的截距是； (2)在轴、轴上的截距分别是、4； (3)直线经过点、. 【题型8 直线的一般式方程】 例15（25-26高二上·上海·月考）如果，，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例16（24-25高二上·上海·月考）直线的倾斜角为 ． 变式1（25-26高二上·上海·月考）已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）在过点的所有直线中，求与点的距离最远的直线的方程． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线.若这两条直线的倾斜角互补，求的值. 【题型9 直线方程的综合应用】 例17（25-26高二上·上海·月考）若直线l经过点，且l的一个法向量，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 例18（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 变式1（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 ． 变式2（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 变式3（24-25高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点对称. (1)求边上的高所在直线的点法式方程； (2)已知过点的直线平分的面积，求直线的一般式方程. 【题型10 两条直线的平行关系】 例19（21-22高一下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 例20（24-25高二上·上海·月考）已知集合，，且，则实数的值为 变式1（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知集合，，且，求实数的值. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）是否存在实数，使直线与直线平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【题型11 两条直线的垂直关系】 例21（20-21高二上·上海黄浦·期末）两条直线的夹角的取值范围为 . 例22（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知直线与垂直，则实数 . 变式2（24-25高二上·上海·月考）已知直线与直线垂直，则 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）如图，设，与轴的夹角，试求直线、的倾斜角和斜率．    【题型12 根据直线的位置关系求参数】 例23（20-21高二下·上海浦东新·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 例24（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 变式1（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，，分别求实数的值，使得： (1)； (2). 变式2（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线：与直线：. (1)若与垂直，求实数m的值； (2)若与平行，求实数m的值. 变式3（20-21高二上·上海浦东新·月考）已知两条直线和，当t为何值时，与： （1）平行？ （2）重合？ （3）垂直？ 【题型13 两直线位置关系的应用】 例25（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，直线：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例26（25-26高二上·上海·期中）直线，直线，若，则实数 . 变式1（23-24高二下·上海·月考）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 变式2（21-22高二下·上海嘉定·月考）已知直线和互相垂直，则实数的值为 . 变式3（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线与直线． (1)若两条直线垂直，求实数a的值； (2)若两条直线的夹角为，求实数a的值． 【题型14 两点间的距离】 例27（20-21高二上·上海金山·期中）已知动直线恒过点，且到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．9 例28（21-22高二上·上海奉贤·月考）定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为 . 变式1（20-21高二上·上海嘉定·月考）已知，以及点，则的面积为 ． 变式2（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 . 【题型15 对称问题】 例29（20-21高二上·上海杨浦·期中）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 例30（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 变式1（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ． 变式2（20-21高二上·上海徐汇·期中）已知点及直线，为轴上的动点，为上的动点，则△的周长最小值为 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）一束光线经过点由直线反射后，经过点射出，求反射光线所在直线的方程. 【题型16 求点到直线的距离】 例31（24-25高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 例32（20-21高二上·上海黄浦·期中）若点到直线的距离为d，则d的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 变式1（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 变式2（23-24高二上·上海·月考）点到直线的距离是 ． 变式3（25-26高二上·上海·月考）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【题型17 综合应用】 例33（20-21高二上·上海浦东新·月考）当点到直线距离最大时，值为 ． 例34（20-21高二上·上海宝山·开学考试）已知实数，原点到动直线的距离的取值范围为________. 变式1（23-24高二上·上海·课后作业）已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，直角顶点为，求两条直角边所在直线的方程. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求下列每组两条直线的夹角： (1)与； (2)与. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知的三个顶点、、. (1)求的三个内角； (2)求的平分线所在直线的方程. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）直线过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的点法式方程是 ． 2．（25-26高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小是 .（用反三角表示） 3．（23-24高二上·上海虹口·月考）无论实数λ取何值，直线恒过定点 . 4．（25-26高二上·上海·月考）直线与直线的夹角大小为 ． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若点在直线l上的射影为，则直线l的方程为 ． 6．（25-26高二上·上海·期中）已知，直线经过点，则直线的倾斜角为 ．（结果用arctan表示） 7．（25-26高二上·上海嘉定·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 8．已知点到直线的距离为1，则 . 9．（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是 ． 10．（23-24高二上·上海虹口·月考）已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为 . 11．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 12．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ． 二、单选题 13．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·上海·月考）已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（    ）． A． B． C． D． 15．（25-26高二上·上海·期中）给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·上海·月考）已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（   ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（25-26高二上·上海松江·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 18．（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 19．（25-26高二上·上海·期中）已知直线过点，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点 (1)求当面积最小时直线的方程（其中为坐标原点）； (2)求的最小值及取得最小值时直线的方程． 20．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 21．（20-21高二上·上海浦东新·期中）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求外心（外接圆圆心）的坐标； （3）求顶点的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 坐标平面上的直线单元复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. ②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 知识点2：直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 补充：斜率和倾斜角的特点 ①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； ③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 知识点3：直线斜率的坐标表示 公式：经过两点的直线的斜率公式为． 知识点4：直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线l的斜率为k 且直线过两点，的它的一个方向向量的坐标为=（），则 k=。 知识点5：直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 知识点6：直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 知识点7： 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 知识点8：直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 知识点9：中点坐标公式 若点的坐标分别为（）（），且线段的中点M的坐标为（x，y），则．此公式为线段的中点坐标公式． 知识点10：直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 知识点11：两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 知识点12：两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 知识点13：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 知识点14：直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 知识点15：两点间的距离 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 知识点16：对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 知识点17：点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 知识点18：点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【题型1 直线的倾斜角】 例1（25-26高二上·上海青浦·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C．arctan D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的定义可得答案 【详解】由题意得直线的斜率不存在，即倾斜角的正切值不存在， 又因为倾斜角的取值范围是，所以. 故选：D 例2（25-26高二上·上海·期中）直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】直线可化为， 所以直线的斜率为，故倾斜角为. 故答案为： 变式1（24-25高二上·上海·月考）直线的倾斜角是 【答案】 【分析】根据直线方程及倾斜角的定义得解. 【详解】直线，即，表示垂直轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故答案为： 变式2（24-25高二上·上海·月考）直线与直线的夹角大小为 . 【答案】 【分析】分别计算出两直线的倾斜角后即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，即， 又直线的倾斜角为， 故直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 变式3（24-25高二下·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    【答案】 【分析】根据内角和定理得出直线的倾斜角. 【详解】直线的倾斜角为． 故答案为：. 【题型2 直线的斜率】 例3（20-21高二上·上海黄浦·期中）直线(，)的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据直线方程求出斜率，利用反正切函数可表示出倾斜角. 【详解】设直线(，)的倾斜角是， 由斜率，即倾斜角为钝角，则 因为，所以 故选：D 例4（24-25高二上·上海·开学考试）已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得. 【详解】记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 变式1（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 变式2（23-24高二下·上海·月考）直线的倾斜角是 ． 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，再利用反正切函数即可求解. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为， 直线为可化简为 ， 则， 所以倾斜角. 故答案为： 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角之间的关系，并结合正切函数单调性及值域，可得斜率； （2）当倾斜角为钝角时，斜率为负值，由正切函数值域可得. 【详解】（1）根据斜率与倾斜角之间的关系， 利用正切函数单调性可知，正切函数在上单调递增， 又， 所以时，斜率， 即斜率的取值范围是. （2）由正切函数性质可知，时，单调递增， 且趋近于时，趋近于，易知； 所以当时，斜率， 即斜率的取值范围是 【题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系】 例5（20-21高二上·上海嘉定·期中）若直线过点，，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为，则，由，可得，从而可求出直线的倾斜角取值范围 【详解】解：设直线的倾斜角为，则 ， 因为，所以，即， 因为，所以或， 所以直线的倾斜角取值范围是， 故选：D 例6（24-25高二上·上海闵行·月考）经过点、两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据两点的坐标求得斜率，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案. 【详解】由题意可得直线的斜率，则，解得. 故答案为：. 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和，求出倾斜角的取值范围. 【详解】由题意知，当时，， 当时，轴，此时倾斜角为， 所以． 故答案为： 变式2（23-24高二上·上海·月考）已知，则直线的斜率为 . 【答案】/ 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知，求经过、两点的直线的斜率． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系可知，分别讨论斜率是否存在，并计算时的斜率即可. 【详解】根据题意可知， ①当时，， 即，此时直线的倾斜角为，斜率不存在； ②当时，利用两点间的斜率公式可得，直线的斜率为； 综上可知，当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率为. 【题型4 直线斜率与直线方向向量】 例7（高二上·上海静安·期中）直线的一个方向向量为，则的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，利用反正切函数表示出倾斜角即可. 【详解】由题：直线的一个方向向量为，设直线倾斜角为 所以直线的斜率，， 所以， 所以 所以 故选：C 【点睛】此题考查直线方向向量与斜率的关系，通过斜率求倾斜角，其中用到反三角函数表示角，注意考虑反三角函数定义域和值域. 例8（高二下·上海·课后作业）设直线，其中且.给出下列结论：①的斜率是；②的倾斜角是；③的方向向量与向量平行；④的法向量与向量平行.其中真命题有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据直线方程确定直线斜率（可判断①）、方向向量以及法向量，再根据斜率与倾斜角关系、向量平行坐标表示依次判断②③④. 【详解】因为直线，其中， 所以的斜率是；所以①对； 的倾斜角满足，但不一定有，所以②错； 的方向向量为，因为，所以③错； 的法向量为，因为，所以④对； 故选：B. 【点睛】本题考查由直线方程确定直线斜率、方向向量以及法向量，考查斜率与倾斜角关系、考查向量平行坐标，考查基本分析判断能力，属基础题. 变式1（高二上·上海嘉定·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是. 故答案为：. 变式2（高二下·上海徐汇·期末）已知直线的一个方向向量是，则它的斜率为 . 【答案】2 【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线的一个方向向量是，则直线的斜率为： 故答案为：2 【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 变式3（高二上·上海杨浦·期末）一个方向向量为的直线的倾斜角的大小是 ． 【答案】 【解析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的大小是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 【题型5 直线的点斜式方程】 例9（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）过点斜率为3的直线的点斜式方程是 【答案】 【分析】由点斜式方程的定义和特征即可求解. 【详解】由题意知：斜率为3，点为，故点斜式方程为： 故答案为： 例10（20-21高二上·上海金山·期中）已知三角形的三个顶点是，则边上的高所在的直线方程为 ． 【答案】 【解析】利用垂直求出边上的高所在的直线的斜率，根据点斜式可求出边上的高所在的直线方程. 【详解】，所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线的方程为，即. 故答案为： 变式1（20-21高二上·上海浦东新·期中）与直线夹角为，且过点的直线的方程为 【答案】或 【解析】先利用已知直线倾斜角求直线的倾斜角、斜率，再利用点斜式写方程即可. 【详解】直线的斜率，即倾斜角是，直线与直线夹角为，故直线的倾斜角是0或，故斜率为或，故过点的直线的方程为或. 故答案为：或. 变式2（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是 ． 【答案】或 【解析】分析可得已知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线的斜率，所以倾斜角为， 因为直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或， 当倾斜角为时,直线为，即为； 当倾斜角为时,直线为， 故答案为：或. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线的倾斜角得到l的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想. 变式3（24-25高二上·上海·课后作业）一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】． 【分析】先求出A关于x轴的对称点，再根据两点求斜率，最后应用点斜式求方程即可. 【详解】点关于轴的对称点为， 则反射光线经过、两点，， 由点斜式得反射光线所在直线方程为，化简为一般式方程为． 【题型6 直线的斜截式方程】 例11（23-24高二上·上海青浦·月考）直线的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】将直线方程化成斜截式，求得其斜率，再求倾斜角. 【详解】由可得：，则得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，故得：. 故答案为：. 例12（22-23高二上·上海浦东新·月考）直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】将直线化简为斜截式，即可写出答案. 【详解】所以 所以 所以直线的斜率. 故答案为：. 变式1（22-23高二上·上海浦东新·月考）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为且.求直线的方程. 【答案】 【分析】根据三角函数的转换求出直线的斜率，带入点斜式即可求解. 【详解】解：由题意得： ， ， 设斜截式方程为 ， 故直线方程为 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线经过点. (1)求的倾斜角的大小； (2)求在轴上的截距. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先带入点坐标求得斜率，计算倾斜角即可； （2）利用直线方程计算其与横轴的交点即可. 【详解】（1）由题意可得，设倾斜角为，则， 即的倾斜角为； （2）由（1）可知，令，即在轴上的截距为2. 【题型7 直线的两点式方程】 例13（20-21高二上·上海奉贤·期末）如图，平面上过点P(1，2)的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N.则满足的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设直线AB为y=k(x-1)+2，分别令x=0，y=0，求得点A，B的坐标， 然后由求解. 【详解】因为过点P(1，2)，且斜率存在， 设直线AB为y=k(x-1)+2， 令x=0，y=2-k； 令y=0，x= ， ， ， 即， ， 所以k的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B 例14．（高二上·上海·期末）已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出边中点坐标，后由两点式写出直线方程并化为一般式即可． 【详解】解：∵的中点， ∴边上的中线所在的直线方程为： ， 整理，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查直线方程的两点式，属于基础题． 变式1（20-21高二上·上海黄浦·期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为 . 【答案】 【解析】设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，点、. 由已知条件可得，解得. 的面积为. 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线过点且与坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】或 【分析】由题意可得的斜率存在且不为零，设为，分别求出直线在轴及轴上的截距，由截距的绝对值相等求出，从而可得直线的方程. 【详解】因为直线与坐标轴围成等腰直角三角形， 所以直线与两条坐标轴不垂直，所以的斜率存在且不为零，设为， 则直线的方程是. 令，则在轴上的截距为；令，则在轴上的截距为. 由题意，，解得或. 所以，直线的方程是或. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求下列直线的方程： (1)的倾斜角是，在轴上的截距是； (2)在轴、轴上的截距分别是、4； (3)直线经过点、. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由点斜式计算即可； （2）由斜截式计算即可； （3）由两点式计算即可. 【详解】（1）因为在轴上的截距是，所以经过点. 又因为的斜率， 所以由点斜式可得的方程是：. （2）因为在轴上的截距为4，则可设的方程为（是常数）， 又因为经过点，所以，解得. 所以的方程是. （3）直接把点A、的坐标代入直线的两点式方程，得， 即. 【题型8 直线的一般式方程】 例15（25-26高二上·上海·月考）如果，，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 例16（24-25高二上·上海·月考）直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】化一般式为斜截式，结合斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】由直线化为斜截式得，该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，即. 故答案为： 变式1（25-26高二上·上海·月考）已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【分析】结合图形分析两点到直线距离相等的情况，根据直线方程的求法，求出结果即可. 【详解】    如图所示，当、到直线的距离相等时有两种情况， 情况一，直线经过中点，由点，可知点, 则直线为，化简得； 情况二，直线和直线平行，由点，可知， 则直线为，化简得； 故答案为：或 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）在过点的所有直线中，求与点的距离最远的直线的方程． 【答案】 【分析】先设点再根据所求直线与过点和的直线垂直，根据垂直求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设,, 当AB为B到所求直线的距离为距离最大，其他情况距离为以AB为斜边的直角边， 由题意可知所求直线与过点和的直线垂直，, 故所求直线的斜率是，所以所求直线方程为，即． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线.若这两条直线的倾斜角互补，求的值. 【答案】 【分析】 根据题意分类讨论斜率是否存在的情况，再根据斜率存在的情况下，斜率互为相反数求解即可. 【详解】若的斜率不存在，则， 此时直线，斜率为，不符合题意，舍去. 若的斜率不存在，则， 此时直线，斜率为，不符合题意，舍去. 当，的斜率都存在时，因为这两条直线的倾斜角互补 所以，即，解得或. 当时，，的斜率都为0，不符合题意，舍去. 综上， 【题型9 直线方程的综合应用】 例17（25-26高二上·上海·月考）若直线l经过点，且l的一个法向量，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的点法式方程可得直线方程，即可得解. 【详解】因为直线l经过点，且的一个法向量， 故直线的点法式方程为， 即直线的一般方程为. 故选：B 例18（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 【答案】 【分析】根据法向量设出直线方程，再将点代入求值即可. 【详解】因为直线的法向量，所以设， 又直线过点，则，得， 则的方程为. 故答案为： 变式1（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据方向向量求出直线的斜率，再点斜式写出方程，最后化简为一般方程即可. 【详解】根据直线l的方向向量可得直线的斜率为，又因为, 所以直线l的方程为,即得. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将直线方程化为点斜式，画出图形，由题中的几何关系结合两点斜率公式求解即可. 【详解】    由已知，直线：， ∴直线过定点，且斜率为， 由已知，直线的斜率，直线的斜率， ∵直线与线段相交， ∴直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 变式3（24-25高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点对称. (1)求边上的高所在直线的点法式方程； (2)已知过点的直线平分的面积，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得的斜率，从而得到边上高所在直线的法向量，进而得解； （2）先判断出直线l经过边AC的中点，进而求得直线的方程. 【详解】（1）因为B，C关于原点O对称，， 所以，则， 所以边上高所在直线的法向量为，又， 所以BC边上高所在直线的点法式方程为， （2）因为过点的直线平分的面积，又， 所以直线l经过边AC的中点， 又，所以直线l的方程，即. 【题型10 两条直线的平行关系】 例19（21-22高一下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论. 【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件， 故选：C. 例20（24-25高二上·上海·月考）已知集合，，且，则实数的值为 【答案】1 【分析】将两集合交集为空集转化为两直线无公共点，即两直线平行，列出关系式求解即可. 【详解】由，可得直线与平行， 故，解得， 故答案为： 变式1（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 【答案】 【分析】运用一般式下的平行判定计算即可. 【详解】将直线化成一般式，， 根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知集合，，且，求实数的值. 【答案】 【分析】根据条件得到直线与直线平行且不重合，结合两条直线的平行的关系即可求解. 【详解】由题意知：， 所以直线与直线平行且不重合， 则，即，解得：或， 经检验，当时，， ， 即，所以， 故实数的值为. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）是否存在实数，使直线与直线平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，或. 【分析】利用两条直线不相交的等价条件求出，再验证作答. 【详解】依题意，直线与直线不相交， 则，解得或， 当时，直线与直线平行， 当时，直线与直线平行， 所以存在实数满足条件，或. 【题型11 两条直线的垂直关系】 例21（20-21高二上·上海黄浦·期末）两条直线的夹角的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用两条直线的夹角的定义，求出两条直线的夹角的最小值和最大值即可. 【详解】当两条直线平行时，它们的夹角最小值为0， 当两条直线垂直时，它们的夹角最大值为， 故两条直线的夹角的取值范围. 故答案为： 例22（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知直线与垂直，则实数 . 【答案】或 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 变式2（24-25高二上·上海·月考）已知直线与直线垂直，则 . 【答案】1 【分析】根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果. 【详解】当时，， 由知，斜率为1， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：1． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）如图，设，与轴的夹角，试求直线、的倾斜角和斜率．    【答案】的倾斜角为，斜率为，的倾斜角为，斜率为 【分析】根据图及已知求的倾斜角，进而确定其斜率，结合两直线的垂直关系求的斜率和倾斜角. 【详解】由直线的倾斜角的范围是， 由图知：的倾斜角为，则斜率为； 又，则的斜率为，故对应倾斜角为. 【题型12 根据直线的位置关系求参数】 例23（20-21高二下·上海浦东新·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程整理得直线的一般方程. 【详解】设所求直线的斜率为 直线可化为，斜率为. 因为直线与直线垂直， 所以，. 又直线过点， 故直线的方程为：， 整理得. 故答案为：. 例24（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【详解】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 变式1（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，，分别求实数的值，使得： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）按照m是否为0讨论，根据直线平行的充要条件即可得解； （2）根据直线垂直的充要条件即可得解. 【详解】（1）当时，，，所以； 当时，由两条直线与平行的充要条件，解得； 所以，当或时，； （2）由两条直线互相垂直的充要条件，得，解得或， 所以当或时， 变式2（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线：与直线：. (1)若与垂直，求实数m的值； (2)若与平行，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线垂直的充要条件计算即可； （2）利用直线平行的充要条件计算即可. 【详解】（1）由两直线垂直的充要条件可知：； （2）由两直线平行的充要条件可知：且，解方程得或. 变式3（20-21高二上·上海浦东新·月考）已知两条直线和，当t为何值时，与： （1）平行？ （2）重合？ （3）垂直？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】运用两直线平行、重合、垂直的条件，列出关系式解方程即可求得. 【详解】解：（1）若两直线平行，则，解得：或. 检验：当时，直线，直线，两直线重合； 当时，直线，直线，两直线平行，所以. （2）由（1）可知，当时，两直线重合. （3）两直线垂直时：，解得：. 【点睛】知识点点睛：设两直线为：，则 （1）两直线平行时利用，求出参数代入直线方程检验是否重合； （2）两直线垂直时需满足：. 【题型13 两直线位置关系的应用】 例25（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，直线：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】因为直线：，：， 当时，解得， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 例26（25-26高二上·上海·期中）直线，直线，若，则实数 . 【答案】 【分析】利用两线平行时对应的系数关系解方程并检验可得答案. 【详解】根据题意可知若两直线平行可得，即; 解得或； 经检验可知，当时，两直线均为，此时两直线重合，不合题意； 因此可得. 故答案为： 变式1（23-24高二下·上海·月考）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 【答案】 【分析】 根据得到方程和不等式，得到答案. 【详解】 因为，，整理可得，， 因为四边形为平行四边形，故，则，且， 解得. 故答案为： 变式2（21-22高二下·上海嘉定·月考）已知直线和互相垂直，则实数的值为 . 【答案】或/或 【分析】两条直线与互相垂直的充要条件是，由此建立关于的方程，解之即可得到实数的值．由此即可求出结果. 【详解】因为直线和互相垂直， 所以，化简整理，可得，解得或. 故答案为：或. 变式3（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线与直线． (1)若两条直线垂直，求实数a的值； (2)若两条直线的夹角为，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）就参数分类讨论，利用两直线垂直的充要条件即可求得； （2）结合图象分类讨论验证，得出时符合题意，再运用到角公式计算即得另一值. 【详解】（1）当时，直线与直线显然不垂直， 由可得：，即直线斜率为：， 由知直线斜率为，因两条直线垂直， 则得，即：. （2） 设两直线的夹角为，依题意，， ①当时，直线， 如图，设直线的倾斜角为，则，即， 因是锐角，故，即有，符合题意； ②当时，由可得其斜率为：， 又直线的斜率为， 由可得：， 由到角公式：，即：，解得：. 综上，或. 【题型14 两点间的距离】 例27（20-21高二上·上海金山·期中）已知动直线恒过点，且到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】由直线恒过点得，根据得，得，将变形后，根据基本不等式可求得结果. 【详解】因为恒过点， 所以， 因为到动直线l的最大距离为3， 所以，所以，得， 所以，， 所以，当且仅当时，等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例28（21-22高二上·上海奉贤·月考）定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为 . 【答案】2 【分析】设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值. 故答案为：2 变式1（20-21高二上·上海嘉定·月考）已知，以及点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】,, , , ， 故答案为：3 变式2（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 . 【答案】3 【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答. 【详解】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3. 故答案为：3. 【题型15 对称问题】 例29（20-21高二上·上海杨浦·期中）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解． 【详解】设对称点为，则，解得．即对称点为． 故选：B． 例30（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为. 故答案为： 变式1（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，， 故点M关于直线的对称点的坐标是， 故答案为： 变式2（20-21高二上·上海徐汇·期中）已知点及直线，为轴上的动点，为上的动点，则△的周长最小值为 . 【答案】 【分析】、与A分别关于y轴、直线l对称，则△的周长，求出对称点，再由两点距离公式即可求最小值 【详解】由题，、与A分别关于y轴、直线l对称，则△的周长， 为，设，则，即，解得， 故，即△的周长最小值为. 故答案为： 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）一束光线经过点由直线反射后，经过点射出，求反射光线所在直线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，反射光线经过点关于对称的点，又过点，从而利用两点式即可得解. 【详解】因为点关于对称的点为， 所以反射光线过和两点， 故直线方程为：，即. 【题型16 求点到直线的距离】 例31（24-25高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 例32（20-21高二上·上海黄浦·期中）若点到直线的距离为d，则d的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】利用点到直线距离公式求出距离化简得，利用辅助角公式和三角函数的性质即可求最值. 【详解】点到直线的距离为 ， 当时， 故选：A 变式1（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】 【分析】根据题意代入点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：到直线的距离是. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海·月考）点到直线的距离是 ． 【答案】/2.4 【分析】 利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】由题意点到直线的距离是. 故答案为： 变式3（25-26高二上·上海·月考）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线垂直斜率乘积为得到直线斜率，然后写出直线方程，联立方程即可解得点的坐标； （2）由点所在直线方程设出点坐标，然后写出中点坐标，代入中点所在直线方程，求得点坐标，结合（1）中直线方程，用点到直线距离公式即可求得结果. 【详解】（1）由题意可知直线，即， 直线，则， ∴，则直线，即， 联立方程组得，解得， 即得. （2）点在直线上，设点， 则中点在直线上， 则，解得，即， ∴由（1）可得点到直线的距离.    【题型17 综合应用】 例33（20-21高二上·上海浦东新·月考）当点到直线距离最大时，值为 ． 【答案】1 【分析】依据直线过定点,当两点的连线与题干中直线垂直时满足题意，计算即可. 【详解】由题可知：直线过定点 当点与点所成直线与题干已知直线垂直时， 点到直线距离最大 所以 故答案为：1 例34（20-21高二上·上海宝山·开学考试）已知实数，原点到动直线的距离的取值范围为________. 【答案】 【分析】先整理方程求得直线恒过的定点P，则间的距离是原点到动直线的最大距离，又根据，得，即得结果. 【详解】依题意，设原点到动直线的距离为d， 动直线，即， 联立得，故动直线过定点, 故d的最大值为间的距离，而，故， 当时，需满足，此方程无解，所以 又，则不在直线上，故，即， 所以d的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线外一点到动直线的距离范围问题，属于中档题. 变式1（23-24高二上·上海·课后作业）已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，直角顶点为，求两条直角边所在直线的方程. 【答案】和 【分析】先讨论斜率存在不存在，再利用待定系数法求出直线方程. 【详解】设所求直线为l. 当l的斜率不存在时，l: 与所成的角不是45°，不能构成等腰直角三角形，不合题意，舍去. 当l的斜率存在时，设其为k，则直线l：，. 因为等腰直角三角形，所以，由夹角公式可得：， 解得：或. 所以两直角边所在直线的方程为和， 即和.    变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求下列每组两条直线的夹角： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到和的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解； （2）先求得与的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解 【详解】（1）由得，则该直线的斜率， 又由得，则该直线的斜率， 设与的夹角为（）， 则，则，. 故与的夹角为. （2）直线的斜率， 直线的斜率， 设与的夹角为，（）， 则，则，， 故与的夹角为. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知的三个顶点、、. (1)求的三个内角； (2)求的平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点之间的距离公式结合余弦定理、反三角函数即可得求得内角大小； （2）根据图形分析角度关系，得斜率关系式，由题意可得直线和的斜率，代入求解，即可得结论． 【详解】（1）的三个顶点、、 所以，， 由余弦定理可得， ， 由于，所以 （2）如图，设之下与轴交于点，的平分线交于点，设直线的斜率为，    因为，所以 则 所以，即 由题意可得直线的斜率， 同理可得直线的斜率， 所以，化简得， 解得，结合图象可得， 所求直线方程为． 故的平分线所在直线的方程为． 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）直线过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的点法式方程是 ． 【答案】 【分析】由正切的二倍角公式求得直线的斜率，然后由点斜式得直线方程转化为点法式方程． 【详解】设直线的倾斜角是，则， ， 所以所求直线方程为，即． 故答案为：． 2．（25-26高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小是 .（用反三角表示） 【答案】 【分析】先根据直线得出斜率，再结合倾斜角及斜率的关系求出倾斜角即可. 【详解】设直线即的倾斜角为. 由直线方程可知，该直线的斜率，所以. 因为，所以. 故该直线的倾斜角为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海虹口·月考）无论实数λ取何值，直线恒过定点 . 【答案】 【分析】 将直线方程化为，进而分析求解. 【详解】由，可得， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·月考）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】先求出两条直线的倾斜角，进而求得它们的夹角. 【详解】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若点在直线l上的射影为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据两点求斜率，再因为两直线垂直得出l的斜率，最后写出直线方程即可. 【详解】设, 若点在直线l上的射影为，则直线与直线垂直， 又因为,所以, 所以直线为,即. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·期中）已知，直线经过点，则直线的倾斜角为 ．（结果用arctan表示） 【答案】 【分析】代入，求出，得到直线的倾斜角. 【详解】将代入中得，解得， 故直线的倾斜角为. 故答案为： 7．（25-26高二上·上海嘉定·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】由直线化成斜截式为， 故与直线垂直的直线方程的斜率为， 因所求直线经过点，由点斜式可得：， 即：. 故答案为： 8．已知点到直线的距离为1，则 . 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 9．（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据所过象限得到不等式，求出答案. 【详解】经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限， 则，故直线， 由题意得，解得. 故答案为： 10．（23-24高二上·上海虹口·月考）已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为 . 【答案】 【分析】确定两直线经过的定点，求出直线与y轴的交点的坐标和直线与x轴的交点的坐标，进而表示出围成的四边形面积，结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为， 所以由， 因此直线恒过点，且该直线的斜率 所以由， 因此直线也恒过点，且该直线的， 设直线与纵轴的交点为，直线与横轴的交点为， 点为点， 所以，与两坐标轴围成的四边形为四边形， 如图所示：   ， 当时，有最小值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是判断两直线所过的定点. 11．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 【答案】 【分析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况. 【详解】已知直线与直线平行，则，解得：， 当时，直线方程为：，即与直线不重合，且平行，满足条件； 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ． 【答案】或 【分析】设直线斜率为，依题意可得，求出的值，再由点斜式写出直线方程即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 依题意直线的斜率存在，设斜率为， 所以，整理得，可得或， 又直线过点，则或， 整理得或. 故答案为：或 二、单选题 13．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 14．（24-25高二上·上海·月考）已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，为最小，可求解． 【详解】不妨设两点均在x轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：C. 15．（25-26高二上·上海·期中）给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线BC的斜率，再通过点斜式写出该直线的方程，最后将选项中的点代入方程验证，确定符合条件的点. 【详解】，设过点且与直线垂直的直线斜率为， 由，得， 过点A(1,0)、斜率为1的直线方程是，即. 对A：代入：，不满足； 对B：代入：，满足； 对C：代入：，不满足； 对D：代入：，不满足. 故选：B 16．（25-26高二上·上海·月考）已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，取最小，可求解． 【详解】因为，，所以两点均在轴同侧， 不妨设两点均在轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：B. 三、解答题 17．（25-26高二上·上海松江·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再设直线为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以，解得或； （2）将点代入中，，解得，则， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零）， 设直线为，代入，可得，解得， 所以直线为，即. 18．（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑即可. 【详解】（1）由，可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为，，到直线的距离分别为4和2，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时，到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 19．（25-26高二上·上海·期中）已知直线过点，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点 (1)求当面积最小时直线的方程（其中为坐标原点）； (2)求的最小值及取得最小值时直线的方程． 【答案】(1) (2)最小值为12，直线方程为 【分析】（1）根据直线的截距式方程，结合基本不等式即可求解， （2）根据向量的坐标运算结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意设直线的截距式方程为， 因为直线过，所以， 所以，所以， 当且仅当即且时取等号， 的面积， 所以面积的最小值为12，此时直线l的方程为， 即直线l的方程为. （2），，则 故， 由于， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为25， 因此的最小值为12，此时直线方程为，即. 20．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把直线的方程化为，进而求出点的坐标. （2）确定点到直线的距离最大时直线的位置，再求出直线的方程. 【详解】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 21．（20-21高二上·上海浦东新·期中）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求外心（外接圆圆心）的坐标； （3）求顶点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）线段的中垂线经过中点，与直线垂直，故求出中点和中垂线斜率点入点斜式化简即可； （2）联立线段的中垂线方程，的欧拉线方程即可求出外心坐标； （3）设出点坐标，将重心用表示代入欧拉线方程，再结合（2）中的外心坐标，外心到三个顶点距离相等，得到方程组求出顶点的坐标. 【详解】解：（1）由题意可得：线段的中点为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为 所以线段的垂直平分线方程为，即； （2）由，解得， 所以外心F（外接圆圆心）的坐标为； （3）设，由重心坐标公式得重心为， 代入欧拉线的方程，得  ①， 由，得  ②， 由①②解得或， 当时，点B，C重合，所以， 所以顶点的坐标为． 【点睛】1.求解直线方程的2种方法： （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程. 2.谨防3种失误: （1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在； （2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0； （3）应用一般式确定直线的斜率时注意讨论是否为0. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $