专题12 函数的零点及函数应用（重点+二级结论+13题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题12 函数的零点及函数应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】函数的零点与方程的根 1、函数零点的定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点． 2、注意事项 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 【考点02】零点存在定理及其推论 1、零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【注意】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的． 2、重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 【考点03】二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【考点04】函数的应用 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，）； （2）二次函数模型：（为常数，）； （3）指数函数模型：（为常数，，且）； （4）对数函数模型：（为常数，，且）； （5）幂函数模型：（为常数，）； （6）分段函数模型：． 2、用函数模型解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 【二级结论1】复合方程的实数根问题 1．复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根． 第二步：分别探讨关于的方程的实数根的个数，各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． “口诀”：外层函数找零点，内层函数拉直线 2．复合方程的由内到外 探讨“已知关于的复合方程实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域（主要是单调性），如有必要画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，进而求出参数的取值范围． 【二级结论2】二次函数的零点分布 探讨“二次函数的零点分布”问题，我们可以运用函数的单调性与函数零点存在定理进行处理．主要需要考虑以下四个问题： ①二次函数图象的开口方向； ②对应一元二次方程根的判别式； ③二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系； ④二次函数在所给区间端点处函数值的正负． （1）一元二次方程根的基本分布——零分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且，所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 或 或 或 大致图象（） 得出的结论 综合结论 （不讨论） （2）一元二次方程的非零分布——分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下位置关系： 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） （3）一元二次方程的根在区间上的分布 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 【题型1 求函数的零点】 函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的零点是（    ） A．10 B．100 C． D． 2．（22-23高一上·江苏南京·期末）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2022·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 4．（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【题型2 函数零点所在区间问题】 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏南通·期末）函数，则的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数的零点在区间内，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由函数零点所在区间求参数】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 14．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 16．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 判断函数零点的个数】 函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 . 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 20．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）函数的图象与函数的图象交点个数为 . 21．【多选】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 22．（24-25高二下·江西·期末）若偶函数满足，且当时，，则函数有 个零点． 【题型5 根据函数零点的个数求参数】 根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 23．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知函数恰有1个零点，则实数的取值范围是（ ）． A．B． C． D． 24．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 25．（24-25高二下·福建·期末）已知函数有唯一零点，则负实数 26．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 27．（24-25高二下·天津·期末）函数，若恰有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 28．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 【题型6 求函数零点的和】 求函数零点的和的解题策略： 先将零点问题转化为方程的根的和，再分析函数性质： 1. 若函数有对称性（如关于点对称），则零点成对出现，每对和为；若为奇函数，零点和为0； 1. 分段函数分区间求各段零点，再直接求和； 1. 周期函数先求一个周期内的零点和，结合区间内周期数计算总各； 1. 利用函数对称关系（如），锁定零点的对称配对，再累加求和。 29．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 30．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 31．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．【多选】（24-25高二下·广西崇左·期末）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 33．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高三上·山东·月考）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 35．【多选】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（   ） A．函数的值域为 B．关于的方程的所有实数根之和为11 C．关于的方程有且只有两个不等的实根 D．当时，的解析式为 36．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型7 比较零点大小】 与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定. 37．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 38．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 42．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 43．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【题型8 二次函数的零点问题】 二次函数零点的分布问题 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若在区间[m，n]上，有f(m)≥0，f(n)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在[m，n]上)． 设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个不相等的实根，根的分布对照f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象，则其等价不等式组的关系如下： ①若x1<x2<m，则 ②若m<x1<x2，则 ③若x1<m<x2，则f(m)<0； ④若x1，x2∈(m1，m2)，则 ⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内且f(m1)·f(m2)≠0，则f(m1)·f(m2)<0. 44．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 45．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 46．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·安徽·期末）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是 ． 48．（24-25高一上·天津·月考）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 49．【多选】（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知二次函数 (1)若的一个零点在内，另一个零点在内，求a的取值范围； (2)求在区间的最小值． 【题型9 嵌套函数零点问题】 嵌套函数零点个数的判断问题求解的主要步骤如下：(1)换元解套，转化为求t＝g(x)与y＝f(t)的零点；(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． 求解时注意抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 51．（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 52．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于 . 53．（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 55．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 56．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是 . 57．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 58．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【题型10 对二分法概念的理解】 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 59．【多选】（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 60．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 ． 61．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 二分法在方程与函数的应用】 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 63．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 64．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 65．（21-22高一下·江苏南京·开学考试）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 66．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 67．（22-23高一下·重庆永川·开学考试）已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 68．（22-23高一上·江苏常州·期末）用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 69．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【题型12 指数与对数函数模型的应用】 根据实际问题情境，识别增长类型（指数增长、对数增长），建立对应函数模型。确定模型参数（代入已知数据求解），检验模型合理性，再用模型解决预测、求值等实际问题，注意定义域与实际意义匹配。 70．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ． 71．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 72．（24-25高二下·北京平谷·期末）一个容器装有细沙，细沙从容器底部匀速漏出，t min后剩余的沙量（单位：）．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的，若再经过 min，容器里的细沙只有开始时的，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 73．（24-25高二下·浙江·月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数，如果在前2h滤去了的污染物，那么再经4h后，废气中的污染物含量为过滤前的（    ） A． B． C． D． 74．（25-26高一上·全国·课后作业）历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（   ） A． B． C． D． 75．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 76．（22-23高一上·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 77．（24-25高一上·贵州毕节·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH来表示溶液的酸碱度pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔／升，则该溶液的pH约为 （结果保留2位小数，参考数据：） 78．（24-25高三下·云南德宏·月考）近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．35h B．30h C．25h D．20h 79．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 80．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（   ） A． B． C． D． 【题型13 根据增长率选择函数模型】 分析不同函数模型的增长特性——指数函数爆炸式增长，对数函数增长缓慢，幂函数增长介于两者之间。结合实际问题中增长率的快慢、数据变化趋势，对比模型特点，选择贴合题意的函数模型，验证拟合效果。 81．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 82．（23-24高一上·江苏常州·期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 83．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 84．（24-25高一上·广东·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 85．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 86．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州·期中）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 5．（25-26高一·全国·假期作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．取值范围为 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 二、多选题 14．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，其中为实数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数一定存在最小值 D．存在使得函数有个零点 15．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．恒成立 D．在区间上共672个零点 16．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．在上为增函数 D．方程仅有6个实数根 17．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为 18．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数的两个零点为，则（   ） A．当时，的取值范围为 B． C．当且仅当时，恒成立 D． 20．（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 22．（24-25高一上·江苏·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的常数大约为 .（精确到0.01） 23．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 24．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 25．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 四、解答题 26．（24-25高一上·江苏无锡·期末）校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 27．（23-24高一上·江苏南通·期末）南通市是驰名中外的“狼山鸡”的故乡，狼山鸡肉质鲜美、香气浓郁、致密嫩滑，用狼山鸡为原料烹制的菜肴，滋味美不胜收.通过调查某狼山鸡个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内（以30天计），每公斤的销售价格（单位：元）与时间（取整数，单位：天）的函数关系近似满足：，日销售量（单位：公斤）是时间（取整数，单位：天）的函数，统计得到以下五个点在函数的图象上：、、、、. (1)某同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①    ②    ③    ④结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式和定义域； (2)在（1）的条件下，设该狼山鸡个体销售点日销售收入为（单位：元），求的最大值. 28．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 29．（24-25高一上·江苏镇江·期末）某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系： (1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； (2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间． 30．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数的零点及函数应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】函数的零点与方程的根 1、函数零点的定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点． 2、注意事项 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 【考点02】零点存在定理及其推论 1、零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【注意】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的． 2、重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 【考点03】二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【考点04】函数的应用 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，）； （2）二次函数模型：（为常数，）； （3）指数函数模型：（为常数，，且）； （4）对数函数模型：（为常数，，且）； （5）幂函数模型：（为常数，）； （6）分段函数模型：． 2、用函数模型解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 【二级结论1】复合方程的实数根问题 1．复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根． 第二步：分别探讨关于的方程的实数根的个数，各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． “口诀”：外层函数找零点，内层函数拉直线 2．复合方程的由内到外 探讨“已知关于的复合方程实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域（主要是单调性），如有必要画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，进而求出参数的取值范围． 【二级结论2】二次函数的零点分布 探讨“二次函数的零点分布”问题，我们可以运用函数的单调性与函数零点存在定理进行处理．主要需要考虑以下四个问题： ①二次函数图象的开口方向； ②对应一元二次方程根的判别式； ③二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系； ④二次函数在所给区间端点处函数值的正负． （1）一元二次方程根的基本分布——零分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且，所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 或 或 或 大致图象（） 得出的结论 综合结论 （不讨论） （2）一元二次方程的非零分布——分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下位置关系： 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） （3）一元二次方程的根在区间上的分布 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 【题型1 求函数的零点】 高妙技法 函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的零点是（    ） A．10 B．100 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，零点的定义，对数函数的运算得出结果. 【详解】因为函数在上单调递增，故只有一个零点， 所以， 所以函数的零点是， 故选：B 2．（22-23高一上·江苏南京·期末）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由函数单调性及，求出答案. 【详解】在上单调递增，又， 故函数的零点为. 故选：A 3．（2022·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，根据零点的定义结合对数的运算求解即可. 【详解】由题意可得，解得，故的定义域为， 令，得，即， 因为函数在定义域内单调递增，所以， 整理得，解得或， 又，所以. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点. 【详解】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D 【题型2 函数零点所在区间问题】 高妙技法 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 6．（24-25高一上·江苏南通·期末）函数，则的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，判断函数单调性，结合零点存在定理，即可求得答案. 【详解】令，则化为， 即，该函数在上单调递增， ，， 即， 故的零点所在的区间为. 故选：D 7．（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数单调性及零点存在性定理可得答案. 【详解】因均在上单调递减，则在 上单调递减， 又， ，， ，. 注意到，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间为. 故选：C 8．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式求定义域并判断其单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】由解析式知，则，故函数的定义域为， 而在上均单调递增， 所以在上单调递增，而， 所以的零点所在大致区间为. 故选：C 9．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性以及零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 又因为， 所以函数的唯一零点所在区间为. 故选：C. 10．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数的零点在区间内，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为，， 所以函数在区间内有零点，所以. 故选：C. 11．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 【题型3 由函数零点所在区间求参数】 高妙技法 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理求解． 【详解】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 13．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解. 【详解】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： 14．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解. 【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 15．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 16．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得. 故选：C. 【题型4 判断函数零点的个数】 高妙技法 函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数． 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． 18．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 . 【答案】3 【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数. 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． 20．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）函数的图象与函数的图象交点个数为 . 【答案】3 【分析】在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象确定交点个数即可. 【详解】函数定义域为，最小正周期为，，当时，， 函数在定义域上是增函数，当时，，当时，， 因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间上， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图： 观察图象知，函数与函数的图象交点个数为3. 故选：3 21．【多选】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 22．（24-25高二下·江西·期末）若偶函数满足，且当时，，则函数有 个零点． 【答案】6 【分析】先根据函数的周期性、奇偶性及当时，作出函数的图象；再根据解析式的特点作出函数的图象；最后根据数形结合思想即可求解. 【详解】由函数满足可得：是函数的一个周期. 结合是偶函数，且当时，，作出函数的图象， 再作出函数的图象，如图所示：    由图象可知两个函数图象有6个交点， 所以函数有6个零点． 故答案为：6. 【题型5 根据函数零点的个数求参数】 高妙技法 根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 23．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知函数恰有1个零点，则实数的取值范围是（ ）． A．B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况进行讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【详解】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，符合题意； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C 24．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，可得函数为偶函数，结合已知可得，可求得的值. 【详解】因为，所以， 令，则， 又因为， 所以函数为偶函数，又函数有唯一零点， 则有唯一零点，所以，解得. 故选：D. 25．（24-25高二下·福建·期末）已知函数有唯一零点，则负实数 【答案】 【分析】设，证明为偶函数，由条件结合偶函数性质列方程求，检验所得结果即可. 【详解】因为， 则， 设， 因为函数的定义域为，故函数的定义域为， 函数的定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，函数的图象关于轴对称， 因为函数有唯一零点， 所以函数有唯一零点， 所以，所以，故， 又，解得. 当时，，， 当是，，，， 所以当时，，结合函数为偶函数，可得当时，， 所以函数只有一个零点，且零点为， 所以当时，函数只有一个零点. 故答案为：. 26．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上有2个零点，可得所满足的条件，求解即可. 【详解】令，得，所以在上有1个零点， 则在上有2个零点，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故答案为：. 27．（24-25高二下·天津·期末）函数，若恰有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别将两段函数的零点求出来，然后分情况讨论的范围和零点个数，最后可求出范围. 【详解】因为函数为分段函数，第一段函数为. 令，则，解得. 第二段函数为. 要使得第二段函数有零点，则. ①当时，第一段函数有两个零点，那么为了满足题目要求，第二段函数只有一个零点， 所以在上只有一个零点. 此时抛物线开口向下，对称轴为，所以，解得. 所以满足题意. ②当时，第一段函数只有一个零点，那么为了满足题目要求，第二段函数有两个零点， 此时在上有两个零点. 所以. 当时，，，解得，或者， 且满足，解得. 此时的范围为. 当时，，解得，或者， 此时的范围为空集. 综上，的范围为. 故答案为：. 28．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 【题型6 求函数零点的和】 高妙技法 求函数零点的和的解题策略： 先将零点问题转化为方程的根的和，再分析函数性质： 1. 若函数有对称性（如关于点对称），则零点成对出现，每对和为；若为奇函数，零点和为0； 1. 分段函数分区间求各段零点，再直接求和； 1. 周期函数先求一个周期内的零点和，结合区间内周期数计算总各； 1. 利用函数对称关系（如），锁定零点的对称配对，再累加求和。 29．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 30．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 31．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得，，和，方程的解，进而得到答案. 【详解】当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得， 如图所示，所以方程只有两个根，分别为和，所以两根之和为 故选：A.    32．【多选】（24-25高二下·广西崇左·期末）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 【答案】ABD 【分析】根据解析式及对数函数性质画出函数大致图象并确定函数的相关性质，进而得且，，进而判断各项的正误. 【详解】由解析式，在，上单调递减，在，上单调递增， ，，可得函数大致图象如下， 由，且，则， 所以，易知，且， 所以，， 综上，. 故选：ABD 33．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，结合图象知：且，，再由，利用对勾函数的性质求出的范围，即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，令，即，解得或， 方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象， 结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是. 不妨设， 结合图象知：且，， 由，即，所以，又， ， 故的取值范围是. 故选：C 34．（24-25高三上·山东·月考）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 35．【多选】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（   ） A．函数的值域为 B．关于的方程的所有实数根之和为11 C．关于的方程有且只有两个不等的实根 D．当时，的解析式为 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，有， 当时，，所以， 由于是定义在上的奇函数，所以. ， 由此画出的图象如下图所示， 由图可知的值域为，A选项正确. 当时，令，解得， 所以关于的方程的所有实数根之和为，B选项正确. 关于的方程的根为，所以C选项错误. 当时，，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛： 奇函数对称性的准确应用：奇函数的对称性是解题的基础，通过这种对称性可以有效判断函数的值域和方程根的性质. 函数图象的辅助分析：通过绘制函数图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常重要的辅助手段. 36．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 【题型7 比较零点大小】 高妙技法 与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定. 37．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 38．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 39．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 40．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【详解】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 41．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【详解】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题. 42．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 43．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 【题型8 二次函数的零点问题】 高妙技法 二次函数零点的分布问题 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若在区间[m，n]上，有f(m)≥0，f(n)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在[m，n]上)． 设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个不相等的实根，根的分布对照f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象，则其等价不等式组的关系如下： ①若x1<x2<m，则 ②若m<x1<x2，则 ③若x1<m<x2，则f(m)<0； ④若x1，x2∈(m1，m2)，则 ⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内且f(m1)·f(m2)≠0，则f(m1)·f(m2)<0. 44．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意， 综上所述有：. 故答案为：. 45．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【分析】首先判断二次函数的根是否为两个异根，再根据零点存在定理使，最后解不等式即可求解. 【详解】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 46．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得. 【详解】令，其图象对称轴为， 由方程 的两根都大于 1，等价于， 即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误. 故选：A. 47．（25-26高一上·安徽·期末）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】记，根据零点的分布列不等式求解即可. 【详解】记， 由题意，整理为，解得． 即a的取值范围是. 故答案为： 48．（24-25高一上·天津·月考）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的图象特征，列出不等式组求解即可． 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在点（2，0）的右侧， 如图． 根据图象可得，解得． 故答案为：． 49．【多选】（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可得，求出答案. 【详解】因为方程对应的函数为，开口向上，对称轴为， 所以方程有正实数根，则，即，解得. 故选：ACD. 50．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知二次函数 (1)若的一个零点在内，另一个零点在内，求a的取值范围； (2)求在区间的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的单调性与零点存在性定理得到不等式组，计算得到答案. （2）考虑的对称轴为的三种情况，求解即可. 【详解】（1）因为方程的一个根在内，另一个根在内， 结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得， 即a的取值范围为 （2）的对称轴为，开口向上， 若，则在区间上是增函数，所以最小值为 若最小值为 若，则在区间上是减函数，所以最小值为 综上，在区间上的最小值为 【题型9 嵌套函数零点问题】 高妙技法 嵌套函数零点个数的判断问题求解的主要步骤如下：(1)换元解套，转化为求t＝g(x)与y＝f(t)的零点；(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． 求解时注意抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 51．（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 52．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于 . 【答案】 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和-16，数形结合三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，得到答案. 【详解】画出的图象，如下：    令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 根据对勾函数性质得，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，其在定义域内单调递减， 令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和-16， 由图象可知，三个整数根中，必有一个小于2， 显然只有满足要求，此时，故， 令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为， 所以最大整数解和最小整数解之积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 53．（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式画出函数图象，令，则，结合函数图象可得与有个交点，则问题转化为，的解得个数，结合函数图象即可判断. 【详解】因为的图像如图所示： 令，则，因为，由图像可知，关于的方程有三个解分别为， ，从图像中可以看出，，令，所以， 所以方程无解，有两解，有两解，故关于的方程有四个解. 故选：C 54．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程和的根，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，关于的方程，即，解得：或， 作出函数的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得，故A正确. 故选：A. 55．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 【答案】或 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象，   时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 56．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先画出的图像，设，由关于的函数恰好有6个零点，得到有两个不同的根，则对应的值有个，对应的值有个，故，，数形结合列不等式组可求实数的取值范围. 【详解】的图像为： 设， 则转化为， 关于的函数恰好有6个零点， 有两个不同的根， 且，则对应的值有个，对应的值有个， ，， ，， ， 实数的取值范围是. 故答案为：. 57．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 关于x的方程有六个相异的实数根， 则方程在内有两个不同实数根，所以， 解得，因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 58．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合，把问题转化为方程在上有两个不同的解求的取值范围. 【详解】作出函数的草图如下： 由图可知：当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的实数解； 当时，方程有4个不同的实数解； 当时，方程有3个不同的实数解； 当时，方程有2个不同的实数解. 若关于的方程有8个不同的实数解， 则方程在上有两个不同的实数解. 所以. 故答案为： 【题型10 对二分法概念的理解】 高妙技法 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 59．【多选】（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据二分法的适用条件可得出合适的选项. 【详解】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 60．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 ． 【答案】9 【详解】由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得． 61．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 62．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 【题型11 二分法在方程与函数的应用】 高妙技法 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 63．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 64．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 65．（21-22高一下·江苏南京·开学考试）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B. 66．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可. 【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值. 故选：C. 67．（22-23高一下·重庆永川·开学考试）已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及表格得，从而可求解. 【详解】易知在上单调递增， 由表格得，且， ∴函数零点在， ∴一个近似值为0.57． 故选:B． 68．（22-23高一上·江苏常州·期末）用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】原来区间的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，利用这一特征进行计算判断. 【详解】区间的长度等于2，每经过一次二分区间的操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，区间长度变为 ， ∵用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0.01， 由，解得. 故选：D． 69．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【分析】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 【题型12 指数与对数函数模型的应用】 高妙技法 根据实际问题情境，识别增长类型（指数增长、对数增长），建立对应函数模型。确定模型参数（代入已知数据求解），检验模型合理性，再用模型解决预测、求值等实际问题，注意定义域与实际意义匹配。 70．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得当时，， 所以. 故答案为：. 71．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由条件列方程求，再求对应条件下的时间增加量即可. 【详解】由题意得， 所以，所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时， 训练时间增加为（小时）. 故选：C. 72．（24-25高二下·北京平谷·期末）一个容器装有细沙，细沙从容器底部匀速漏出，t min后剩余的沙量（单位：）．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的，若再经过 min，容器里的细沙只有开始时的，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得，解得，从而可求解. 【详解】由题意可得，即，两边取对数可得，解得， 再经过 min，容器里的细沙只有开始时的， 则，即，解得，故C正确. 故选：C. 73．（24-25高二下·浙江·月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数，如果在前2h滤去了的污染物，那么再经4h后，废气中的污染物含量为过滤前的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入给定的公式结合指数对数运算即可得，再代入求解. 【详解】由题知， 当时，解得， 当时，，解得：， 所以， 当时， 则有：， 所以废气中的污染物含量为过滤前的. 故选：B. 74．（25-26高一上·全国·课后作业）历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以． 75．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据条件得出，再利用对数的运算法则解不等式即可. 【详解】由题意可知，， 解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为. 故选：C 76．（22-23高一上·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，直接代入数值计算，即可得答案. 【详解】由可得， 即，则， 故选：C 77．（24-25高一上·贵州毕节·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH来表示溶液的酸碱度pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔／升，则该溶液的pH约为 （结果保留2位小数，参考数据：） 【答案】 【分析】直接将氢离子的浓度代入并利用对数运算性质计算即可. 【详解】易知 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将氢离子浓度代入后由对数运算法则计算并结合参考数据计算可得. 78．（24-25高三下·云南德宏·月考）近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．35h B．30h C．25h D．20h 【答案】D 【分析】根据题意，由求解. 【详解】由， 得． 故选：D 79．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，即，再分析求解即可. 【详解】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 80．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算求解出当耗氧量的单位数为时的值. 【详解】根据题意，， 则当耗氧量的单位数为时， . 故选：C 【题型13 根据增长率选择函数模型】 高妙技法 分析不同函数模型的增长特性——指数函数爆炸式增长，对数函数增长缓慢，幂函数增长介于两者之间。结合实际问题中增长率的快慢、数据变化趋势，对比模型特点，选择贴合题意的函数模型，验证拟合效果。 81．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得. 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 82．（23-24高一上·江苏常州·期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出散点图，对照四个选项即可得出结果. 【详解】由题，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系， 故选：C. 83．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 84．（24-25高一上·广东·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 【答案】(1)选②，理由见解析，函数解析式为 (2)分钟 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①③,代入数据②中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【详解】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以. （2）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 85．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 【答案】(1)答案见解析 (2)240 【分析】（1）结合各组数据发现对称性质选择模型，待定系数法求解可得； （2）依题意函数，分段求解范围并比较可得最值. 【详解】（1）选择模型②. 理由如下：由题意知，，且为正整数. 由表格数据可知，不恒为常数，在直线上， 其余三对数据点关于直线对称， 模型①，由已知数据可知，对称轴为轴， 当时，单调递增，不满足三对数据点关于直线对称； 模型③，当时，是增函数；当时，是减函数， 不论取何值，数据的对称性都不符合； 模型②，， 故的图象关于直线对称， 因此较模型①③，更适合题意，故选择此模型. ，代入两组数据对应点， 得，，解得. 则（，为正整数）， 验证知，其他组数据对应点也在此函数图象上. （2）由题意得， ， （i）当，且为正整数时，； 在单调递减，； （ii）当，且为正整数时， ， 在单调递增，； 又，所以当时，取最大值. 综上所述，第4天该景区国庆期间日营业收入最多，最大值为万元. 86．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适 (2)2031年 【分析】（1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可； （2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可. 【详解】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理求解. 【详解】由于函数为定义域内的单调递增函数， 且，， 故由零点存在定理可得零点位于区间， 故选：C 2．（24-25高一上·贵州·期中）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出、、与、，根据零点存在定理即可求解. 【详解】由题意知函数在R上单调递增， ，， ，，， 则函数的一个零点所在的区间是. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先得到函数的单调性，由零点存在性定理得到存在唯一的，使得，又，故零点个数为2. 【详解】定义域为， 由于在上单调递增， 故在上单调递增， 其中，， 由零点存在性定值可知，存在唯一的，使得， 又，故的零点个数为2. 故选：C 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【分析】由，，可得，再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故选：B. 5．（25-26高一·全国·假期作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数解析式化成分段函数形式，对分四种情况讨论，数形结合判断是否恰有三个零点，从而可得结果. 【详解】. ①当时，在上递减，在上递减，在上递增， 因为在处连续，所以在上递减，在上递增， 且,所以在，分别有一个零点，即不可能有三个零点，不合题意； ②当时，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， 且,作出两段抛物线的图象如图 此时只有两个零点不满足题意； ③当时，， 作出两段抛物线的图象如图： 此时恰有三个零点满足题意； ④当时，，在有两个零点， 且当时两段抛物线的函数值相等， 若要有三个零点，则，在有一个零点，两段抛物线的图象如图： 此时，满足题意， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理分析可知函数存在唯一零点，且，可得，即可得结果. 【详解】因为在内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 且， 可知函数存在唯一零点， 注意到，即， 且是函数的零点，可得，即， 结合选项可知的值所在的区间为. 故选：C. 8．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【详解】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 9．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 10．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．取值范围为 【答案】C 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点， 所以，故A错误； 对于B，结合选项A中分析可得， 所以，则，故B错误； 对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称， 所以，故C正确； 对于D，当时，， 令，得，所以，， 又由图像可知同增同减，所以，故D错误. 故选：C． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法， （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，将函数的零点转化为方程的个数对应的的取值的总和个数，结合图象可得结论. 【详解】令，由函数有7个不同的零点可知方程有两个不相等的实数根， 对应的的取值共有7个； 易知的图象如下所示： 显然，即的图象与的图象有4个交点，对应的的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即的图象与的图象有三个交点， 由图可知，当时满足题意. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数的零点个数转化为函数与函数交点个数的问题，画出对应图象可实现问题求解. 12．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果. 【详解】作出函数与的图象如下图所示：    由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题. 13．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】B 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由得， 在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 记，因此时，， 函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数， 即函数与函数的交点个数， 令，它在上是减函数，，，，，当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点， 所以的零点个数为3. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数的零点转化为函数的图象交点，并作出图象是求解的关键. 二、多选题 14．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，其中为实数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数一定存在最小值 D．存在使得函数有个零点 【答案】ACD 【分析】分别作出、、、、时的函数图象，数形结合即可逐一判断. 【详解】当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 对于A，因为， 无论为何值， ，故A正确； 对于B，当时，在上不单调，故B错误； 对于C，由图可知函数有最小值，故 C正确； 对于D，由图可知，当，时，函数有个零点，故D正确. 故选：ACD 15．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．恒成立 D．在区间上共672个零点 【答案】BC 【分析】根据给定条件，推导求出函数的周期，利用单调性定义确定函数在上的单调性，再逐项分析判断得解. 【详解】函数的定义域为，由，得， 则，因此函数的周期为12， 由都有，得函数在上单调递增， 则，因此6不是函数的周期，A错误； 由函数是偶函数，得函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，B正确； 显然，C正确； 在中，令，得，因此， 显然，因此在区间上函数有两个零点3和9， 而，函数在区间上的图象可由区间上的图象平移而得， 则函数在区间上有1个零点，于是在上的零点个数为， 由偶函数知，在上的零点个数为，所以在区间上共674个零点，D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 16．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．在上为增函数 D．方程仅有6个实数根 【答案】BCD 【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可判断A；推导可得，即可判断B；作出图象，结合图象即可判断C；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象即可判断D. 【详解】为奇函数，，即， 关于点对称， 为偶函数，，即， 关于对称， 由，得：， ，即是周期为的周期函数， 对于A，，A错误； 对于B，，即， 关于点成中心对称，B正确； 对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，    由图象可知：在上单调递增，C错误； 方程的解的个数，等价于与的交点个数， ，， 结合图象可知：与共有个交点， 即有个实数解，D正确. 故选：BCD. 17．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用函数过原点求出，又因为值域为，求出，A正确；利用函数的单调性判断B选项；利用不等式性质得到C选项正确；再利用换元法将函数转化为二次函数，即可求得的取值范围得到D选项正确. 【详解】对于选项A:因为函数过坐标原点，所以，即.因为函数的值域为，即在处取得最大值， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减；当x趋于无穷大时，趋于0，趋于，即，即，故A正确； 对于选项B:因为，又函数在上单调递减，所以，即，故B错误； 对于选项C：当时，， ,故C正确； 对于选项D:令，，当时，取最小值，当或时，值为0，所以方程有实数根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：ACD 18．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，再根据对称性和对数运算逐一判断即可. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 所以直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 选项A：因为关于对称，所以，A说法错误； 选项B：因为，由图象可得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由图象可得，所以，C说法正确； 选项D：由图象可知， 所以，D说法正确. 故选：AB 19．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数的两个零点为，则（   ） A．当时，的取值范围为 B． C．当且仅当时，恒成立 D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数的单调即可求解A，根据求根公式求解和，即可根据求解BCD. 【详解】对于A，的对称轴为，且， 故时，单调递减，则，即，A正确； 对于B，由于，则， 由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 故，故，故B正确； 对于C， ，由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增，则， 即，故当时，恒成立； 又，故时，也有恒成立， 即当或，均恒成立，故C错误； 对于D， 由于，故，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：由求根公式可得和，结合，根据函数的单调性求解. 20．（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】假设各选项中的函数具有性质，求对应的，若存在则判断该选项所给函数具有性质，反之则说明该函数不具有性质，由此确定正确选项. 【详解】A，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得，即， 该方程无解，即满足条件的不存在，矛盾，所以函数不具有性质，A错误； B，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得，即，解得， 所以函数具有性质，B正确； C，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得， 解得或， 所以函数具有性质，C正确； D，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得， 因为函数在单调递增， 所以函数在单调递增， 而，，当时，， 所以方程在内有解， 所以函数具有性质，D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题 21．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算性质结合关系求即可. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故答案为：. 22．（24-25高一上·江苏·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的常数大约为 .（精确到0.01） 【答案】 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解． 【详解】由题意知， 所以，两边取以10为底的对数，得， 所以. 故答案为：. 23．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的解析式，作出的图象，由题意得图象与图象有四个不同的交点，根据二次函数的对称性，可得，根据对数的性质，可得，分析可得的范围，代入所求，化简整理，即可得答案. 【详解】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为有四个不同的解， 所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示 根据二次函数的对称性可得，即， 又， 所以，解得， 又，所以， 当时，，解得，所以， 则所求， 因为在单调递减，则最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 24．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解： （1）若函数与的图象关于点对称，则； （2）若函数与的图象关于直线对称，则. 25．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 26．（24-25高一上·江苏无锡·期末）校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 【答案】(1)甲， (2)6月份 【分析】（1）根据三月底水生植物面积增量几乎是二月份的一倍，可确定甲同学的模型较合适，代值即得方程组，解之可得函数模型的解析式； （2）依题意列出不等式，通过取对数，将其化成，代值计算即得. 【详解】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即 ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上. 27．（23-24高一上·江苏南通·期末）南通市是驰名中外的“狼山鸡”的故乡，狼山鸡肉质鲜美、香气浓郁、致密嫩滑，用狼山鸡为原料烹制的菜肴，滋味美不胜收.通过调查某狼山鸡个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内（以30天计），每公斤的销售价格（单位：元）与时间（取整数，单位：天）的函数关系近似满足：，日销售量（单位：公斤）是时间（取整数，单位：天）的函数，统计得到以下五个点在函数的图象上：、、、、. (1)某同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①    ②    ③    ④结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式和定义域； (2)在（1）的条件下，设该狼山鸡个体销售点日销售收入为（单位：元），求的最大值. 【答案】(1)选第②种函数模型，，定义域为； (2) 【分析】（1）根据一次函数、指数函数、对数函数的图象与性质分析函数模型，利用待定系数法计算即可； （2）根据分段函数的性质及函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）由题可知，图象上五点关于对称，且不单调， 结合一次函数、指数函数与对数函数的图象与性质可知： ①、③、④都是单调函数， 故最合适的函数模型为②，此时， 将，及三点代入解析式中有： ，解得， 故，定义域为； （2）由题意及（1）可知： ， 当时，， 由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 故在或时取得最大值， 又，， 故此时； 当时，， 则为单调递增函数，故， 由， 故的最大值为. 28．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 【答案】(1) (2) (3)当为平方米时，取得最小值，最小值是万元 【分析】（1）由可得出关于的等式，即可解得的值； （2）分、两种情况讨论，根据可得出函数的解析式； （3）求出函数在、时的最小值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）依题意得，，所以，解得，故的值为. （2）依题意可知，又由（1）得，， 当时， ， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 又，故. 答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 29．（24-25高一上·江苏镇江·期末）某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系： (1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； (2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间． 【答案】(1) (2)耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时 【分析】（1）由题意列不等式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可. （2）当时，利用基本不等式求解最小值，当时，利用二次函数性质求解最小值，然后比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 由题意得，， 即，解得， 又，所以的取值范围为． （2）由题意得，设设备一天的耗电总量为 ， ①当时，， 当且仅当，即时，等号成立； ②当时，， 当时取得最小值15； 因为，所以最小值为． 答：设备一天的耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时． 30．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $