8.2函数与数学模型（2课时）（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的比较及实际应用，通过买奶茶、气温变化等生活情境导入，以问题链衔接函数概念与模型构建，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于融合数学建模与数据分析，通过“指数爆炸”计算、函数图象比较等活动培养数学思维，结合成本利润、冷却规律等实例落实模型意识。学生在探究中提升应用能力，教师可依托案例开展高效教学。

8.2函数与数学模型（两课时） 8.2.1 几个函数模型的比较 苏教版2019必修第一册·高一 情景引入 数学建模就是“用数学解决实际问题”.函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题. 比如我们想知道买x杯奶茶要花多少钱，就会自然想到用公式 y = 10x 来计算。y = 10x 就是一个最简单的函数模型。今天，我们就来学习如何为更复杂的问题，建立这样的函数模型. 数学建模在各行业的应用 学习目标 教学重点：认识几个函数模型的增长差异； 教学难点：能选取恰当的函数模型解决问题. 了解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 能区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的不同. 能根据函数模型分析和解决一些实际问题. 教学目标 学科素养 数学建模：将实际问题转化为数学问题，并用数学方法求解，最终回归实际进行检验. 数据分析：在求解模型参数、计算预测值等过程中，巩固和提升学生的的数据分析和运算能力. 情景引入 问题1：例如，要研究气温的变化规律，从气象台温度记录仪上收集到如下信息 (图 8-2-1)，怎样来研究气温的变化状况呢? (1)分别用数(数量) T(单位：℃)，(单位：h) 来刻画温度和时间的状态，就得到两个数集，例如,t的范围为[0，24]，T的范围为[－2，9]. (2)将温度与时间之间的关系，抽象为数集之间元素的对应关系,从而建立起刻画事物现象的一种数学模型. (3)借助数学方法来研究这个模型的数学性质,进一步认识这一现象的变化过程,从而给出气温的变化规律. 情景引入 追问1-1：不同的数学模型之间有什么区别? 不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同. 对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深我们对自然现象的理解. 花圃面积一定长和宽的关系 汽车匀速行驶里程数与时间的关系 新知探究 1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994. 猜测一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少? 例1 (1)用计算器或计算机计算下列各值： (2)用计算器或计算机计算下列各值： 1.12，1.13，1.14，0.9，0.92，0.94. 猜测一下，大概是多少?大概是多少? 解：， ， 1.12＝1.21， 0.92＝0.81 ， 1.013＝1.030301， 0.993＝0.970299， ， 1.014＝1.04060401， 0.994＝0.96059601. ， 1.1100≈13781， 0.9100≈2.656×10－5 (3)用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解. 解：1.01365≈37.8， 0.99365≈0.03， 1.1100≈13781， 0.9100≈2.656×10－5， 1.1260≈57 822 669 934， 0.91000≈1.748×10 －46. 指数爆炸 当>1时,指数函数y=随着x的增大而增大,且增大的速度越来越快,呈“爆炸”的趋势;当0<<1时,指数函数y= 随着x的增大而减小，并逐步趋向于0. 新知探究 情景引入 问题1-2：怎样建立函数模型去解决实际问题? ①设元翻译：从实际问题中找出变量，设自变量 x 和因变量 y. ②建模搭建：根据变量关系，选择函数类型（如一次、二次函数等），列出关系式 y=f(x). ③求解演算：用数学方法（如求最值）解这个模型. ④还原检验：把数学解翻译回实际答案，并检验是否合理. 例2 (1) 在同一个直角坐标系中画出下列 4 个函数在区间(0，＋∞) 上的图象： y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝ log2x. 问题2：结合这 4 个函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出：当x 的值足够大(x＞16)的时候，这4 个函数的值的大小关系； 可以发现：当 x 的值足够大(x＞16)时，这 4 个函数值的大小关系是 2x＞x2＞x0.5＞log2x. 新知探究 新知探究 因此，我们可以得到更一般的猜想： 对于指数函数y=，总有 问题3：画出常见函数图象，观察他们的增长速度是？ 指数函数爆炸增长，一次函数直线增长， 幂函数缓慢增长，对数函数缓慢增长 课堂练习 2. 利用图形计算器或计算机，在同一个直角坐标系中画出下列各组两个函数在区间 (0， ＋∞) 上的图象，并结合函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出当 x 的值足够大的时候，这两个函数值的大小关系. (1) y＝10x，y＝x100； (2) y＝x0.6，y＝log1.5x； (3) y＝1.01x，y＝x2； (4) y＝x－2，y＝2－x. 8.2.2 函数的实际应用 苏教版2019必修第一册·高一 8.2　函数与数学模型 学习目标 教学重点：会选择函数模型并解决实际问题.； 教学难点：能建立函数模型解决实际问题. 在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 能初步理解并应用数学建模的步骤 教学目标 学科素养 数学建模：将实际生活问题转化为数学问题，并利用数学知识求解. 数据分析：在实施数学建模的过程中，需要进行大量的数据分析，锻炼了学生的分析能力. 复习回顾 常见函数模型 复习回顾 数学建模的一般步骤 ①设元翻译：从实际问题中找出变量，设自变量 x 和因变量 y. ②建模搭建：根据变量关系，选择函数类型（如一次、二次函数等），列出关系式 y=f(x). ③求解演算：用数学方法（如求最值）解这个模型. ④还原检验：把数学解翻译回实际答案，并检验是否合理. 例3：某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元，生产每台计算机的可变成本为元，每台计算机的售价为元.分别写出总成本(单位：万元)单位成本(单位：万元)、销售收入(单位：万元)以及利润(单位：万元)关于总产量(单位：台)的函数关系式. 解：总成本与总产量的关系为. 单位成本与总产量的关系为. 销售收入与总产量的关系为. 利润与总产量的关系为. 固定成本 万元 可变成本 元/台 售价 元/台 问题1：请同学们从实际问题提取关键数据. 典例分析 追问1-1：总成本，销售收入与利润有什么关系？ 利润=销售收入-总成本 例4：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述设物体的初始温度是，经过一定时间后的温度是，则，其中 表示环境温度，称为半衰期. 现有一杯用 热水冲的速溶咖啡，放在 的房间中，如果咖啡降温到 需要，那么降温到，需要多长时间(结果精确到)? 解：由题意知40－24 ＝ (88－24)， 即 ＝. 解得，故 ＝(88 － 24)·， 当时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝. 两边取对数，用计算器求得 t≈25.4. 因此，约需要咖啡可降温到 35℃. 典例分析 问题1：请同学们从实际问题提取关键数据. 初始温度 环境温度 温度 时间 ？ 追问1-1：关系式里还有哪个量未知？ 半衰期 例5：在经济学中，函数的边际函数定义为 . 某公司每月最多生产台报警系统装置，生产台的收入函数 (单位：元)，其成本函数为0(单位：元)，利润是收入与成本之差. (1) 求利润函数及边际利润函数； (2) 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值? 解：（1）由题意知，，且. 典例分析 变式训练 例5： ， (2) 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值? 解：（2）， 当 或 时，的最大值为(元). 因为是减函数， 所以，当时，的最大值为(元). 因此，利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值. 典例分析 变式训练 练习1：某企业于2021年在基地投入200万元研发资金用于养殖业发展，并计划今 后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 ． （1）写出第年（2022年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）与的函数关系式 （2）该企业从第几年开始投入的研发资金将超过400万元？ （参考数据：，，， ， ） 解：（1）第1年投入的研发资金为 万元，第2年投入的研发资金为 （万元）， 则第年（2022年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）与 的函数关系式为 ，其定义域为 ． 典例分析 变式训练 练习1：， （2）该企业从第几年开始投入的研发资金将超过400万元？ （参考数据：，，， ， ） 解：（2）由（1）得，所以，即 ， 因为，且，所以 ， 故该企业从第5年开始投入的研发资金将超过400万元． 典例分析 变式训练 反思总结 函数的实际应用 用数学模型解决问题 几个函数模型的增长差异 这节课我们按照顺序学习了哪些内容呢？掌握了什么数学方法？ 数学建模 常见函数模型 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 Lavf58.46.101 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) $