专题8.2 函数与数学模型（知识解读）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读•专题训练》（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

专题8.2 函数与数学模型（知识解读） 【学习目标】 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型； 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义，能根据具体问题选择合适函数模型； 3.能利用已知函数模型求解实际问题，能自建确定性函数模型解决实际问题； 4.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性。 【知识点梳理】 考点1　三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 图象的变化 随x的增大逐渐变“ ” 随x的增大逐渐趋于 随x的增大匀速 增长速度 y＝ax的增长快于 的增长，y＝kx的增长快于y＝ 的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有 考点2　几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ (a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ (k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ (a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝ (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝ (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝ (a，b为常数，a≠0) 考点3　应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． 3．求模——求解数学模型，得出数学模型． 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 【解题思路】 【典例分析】 【考点1 指数函数模型的应用】 【典例1】在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.指数增长率与、近似满足，其中为病毒基本再生数，为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（    ）（参考数据：） A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 【变式1-1】火箭在发射时会产生巨大的噪音，假设所有声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足，若火箭发射时的声强级约为，人交谈时的声强级约为，则火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】当生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物体内的碳14至少经过的“半衰期”个数是（参考数据：）（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【变式1-3】经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（）（    ） A．3.2 B．3.5 C．2.2 D．0.8 【考点2 对数函数模型的应用】 【典例2】每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数（单位：），其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 【变式2-1】酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（    ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，） A． B． C． D． 【变式2-2】牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一