专题3.5 三视图与表面展开图（章节复习）（知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题）-浙教版数学九年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理“三视图与表面展开图”知识体系，涵盖投影（中心投影、平行投影、正投影）、视图（三视图关系、画法、还原）等核心内容，用对比表格呈现中心投影与平行投影的区别联系，标注易错点强化关键区别，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于23个分层题型设计，从基础的平行投影计算到综合的由三视图求小立方体个数，结合中考真题演练，培养空间观念与推理能力。分层训练（基础夯实、培优拔高）适配不同学生，教师可精准教学，助力学生自主复习提升。

专题3.5 三视图与表面展开图（章节复习） （知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：投影 2 知识点梳理02：中心投影与平行投影的区别与联系 4 知识点梳理03：视图 4 题型讲练 6 题型1：平行投影 6 题型2：中心投影 7 题型3：正投影 8 题型4：视点、视角和盲区 10 题型5：判断简单几何体的三视图 11 题型6：判断简单组合体的三视图 12 题型7：已知一种或两种视图，判断其他视图 13 题型8：画简单几何体的三视图 15 题型9：画简单组合体的三视图 16 题型10：画小立方块堆砌图形的三视图 17 题型11：由三视图还原几何体 18 题型12：已知三视图求体积 19 题型13：求几何体视图的面积 20 题型14：由三视图，判断小立方体的个数 21 题型15：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 22 题型16：已知三视图求侧面积或表面积 24 题型17：求小立方块堆砌图形的表面积 25 题型18：求圆锥侧面积 27 题型19：求圆锥底面半径 28 题型20：求圆锥的高 29 题型21：求圆锥侧面展开图的圆心角 30 题型22：圆锥的实际问题 31 题型23：圆锥侧面上最短路径问题 32 中考真题 34 分层训练 39 基础夯实 39 培优拔高 41 知识点梳理01：投影 1. 投影现象 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面. 2. 中心投影 　手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影. 相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 3.平行投影 　　1.平行投影的定义 太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影. 相应地，我们会得到两个结论： 　　①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 　　②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 　　2. 物高与影长的关系 ①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. ②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【易错点拨】 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 4、正投影 　　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影. 【易错点拨】 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. 知识点梳理02：中心投影与平行投影的区别与联系 1. 区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 2.联系： （1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 【易错点拨】 在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 知识点梳理03：视图 1.三视图 （1）视图 　　 用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图. （2）三视图 　　在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 　　一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 【易错点拨】 三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 3.画几何体的三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： (1)确定主视图的位置，画出主视图； (2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； (3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线. 【易错点拨】 画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 4.由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【易错点拨】 由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析： (1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线； (2)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助； (3)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 题型1：平行投影 【典例精讲】（24-25九年级下·吉林长春·期末）在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 m． 【答案】60 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成比例即可得出结论． 【规范解答】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为， 解得． 答：这栋楼的高度为， 故答案为：60 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【思路点拨】本题考查视图与投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影． 【规范解答】解：太阳光线下形成的投影是平行投影． 故答案为：平行． 题型2：中心投影 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】A 【思路点拨】本题考查了中心投影的性质，根据题意作图分析是解题的关键． 根据中心投影的性质“物体的影子长度与物体和光源的距离有关，当物体与光源的距离变小时，影子会变短；方物体与光源的距离变大时，影子会变长”，由此作图分析即可． 【规范解答】解：根据题意，作图如下， 表示小颖在点的位置，表示小颖在点的位置，点表示路灯， 当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，，， 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐减小，影子逐渐变短； 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐增大，影子逐渐变长； ∴小颖在地上的影子先变短后变长， 故选：A ． 【变式训练】（24-25九年级下·河北保定·期末）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【思路点拨】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 依据，即可得到，再依据，即可得到长． 【规范解答】解：， ， ，即， 解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：C． 题型3：正投影 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（    ）    A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环 【答案】C 【思路点拨】根据正投影的定义“是指平行投射线垂直于投影面”分析即可． 【规范解答】根据题意，圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形， 故选：C． 【变式训练】（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【思路点拨】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【规范解答】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 题型4：视点、视角和盲区 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）有一个高大的五棱柱形建筑物，人站在地面上，不可能同时看到的是（ ） A．个侧面 B．个侧面 C．个侧面 D．个侧面 【答案】D 【思路点拨】根据视点，视角和盲区的定义，画图解决问题. 【规范解答】由图我们可以看出，无论怎么看，都无法同时看到五棱柱的四个侧面. 故选：. 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在房子外的屋檐处装有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌． 监视器的盲区在哪一部分？ 已知房子上的监视器离地面高，广告牌高，广告牌距离房子，求盲区在地面上的长度． 【答案】米． 【思路点拨】（1）根据盲区的定义，作出盲区，即可得出监控器监控不到的区域． （2）根据盲区的定义可确定监视器盲区的长度为BC的长度，然后利用比例关系可求出BC的长度． 【规范解答】（1）把墙看做如图的线段，则如图，ABC所围成的部分就是监控不到的区域： （2）由题意结合图形可得：BC为盲区， 设BC=x，则CD=x+5， ∴， 解得：x=5． 答：盲区在地面上的长度是5米． 题型5：判断简单几何体的三视图 【典例精讲】（2025·山东聊城·三模）如图是正三棱柱，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查的是几何体三视图．根据左视图的定义：从物体左面所看到的平面图形，即可得出结论． 【规范解答】 解：根据左视图的定义，它的左视图是． 故选：B． 【变式训练】（2025·江西宜春·三模）榫卯（sǔn mǎo）结构是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，特点在于不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中凸出部分叫做榫，凹进部分叫做卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据三视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【规范解答】 解：该几何体的左视图为, 故选：B． 题型6：判断简单组合体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北黄石·月考）下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟知俯视图是从上边看得到的图形．根据俯视图的定义解答即可． 【规范解答】解：俯视图为： 故选：B． 【变式训练】（2025·吉林长春·三模）如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了简单组合体的三视图，逐项分析各个选项的图形的俯视图，即可得解，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：A、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有一个小正方形，下层有两个小正方形，故符合题意； B、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有两个小正方形，下层有一个小正方形，故不符合题意； C、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有两个小正方形，下层有一个小正方形，故不符合题意； D、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有两个小正方形，下层有一个小正方形，故不符合题意； 故选：A． 题型7：已知一种或两种视图，判断其他视图 【典例精讲】（2023·四川凉山·中考真题）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】B 【思路点拨】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答． 【规范解答】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成． 故选：B． 【变式训练】（2023·河南驻马店·三模）用9个完全相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【思路点拨】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案． 【规范解答】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列2个，中间一列2个，右边一列3个， 所以该几何体的主视图是    故选：A． 题型8：画简单几何体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西榆林·期末）从棱长为的正方体的一角，挖去一个棱长为的小正方体，得到如图所示的几何体，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【思路点拨】根据三视图的定义，即可． 【规范解答】解：所画三视图如图所示： 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）画出下图物体的三视图． 【答案】见解析 【规范解答】 解：                         主视图               左视图                俯视图 题型9：画简单组合体的三视图 【典例精讲】（2023·浙江·一模）如图所示的几何化由6个小正方体组合而成，其三视图中为轴对称图形的是（    ）    A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．均不是 【答案】B 【思路点拨】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解． 【规范解答】解：如图所示：   是轴对称图形的是左视图． 故选：． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）画出实物图（如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱）的三视图．    【答案】见解析 【思路点拨】认真观察实物，可得主视图是上面一个长方形，下面一个小长方形，左视图是上面一个正方形，下面一个小长方形，俯视图是一个长方形，中间是有虚线的圆． 【规范解答】解：如下图所示：    题型10：画小立方块堆砌图形的三视图 【典例精讲】（2025·湖北襄阳·二模）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看到的图形即为左视图，可得答案．正确记忆从左边看得到的图形是左视图是解题关键． 【规范解答】解：从左边看，底层是2个小正方形，上层1个小正方形，且小正方形在右边位置． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．在下面网格中画出从三个方向看这个几何体得到的形状图．    【答案】见解析 【思路点拨】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．分从正面，上面，左面三个方向统计正方形的个数即可． 【规范解答】解：如图所示：    题型11：由三视图还原几何体 【典例精讲】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了几何体三视图，解题的关键是能够通过三视图判断符合条件的几何体．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此分析判断即可． 【规范解答】解：该几何体的三视图可知该几何体为一个圆柱体中间凹下去一个圆柱形， 所以，选项D符合题意． 故选：D． 【变式训练】（2025·河北邢台·三模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由主视图和左视图确定是有3列，2层，再由俯视图确定具体形状，即可得到答案． 【规范解答】解：观察几何体的三视图可知，该几何体有3列，2层，再由俯视图可以知道这个几何体可能是 故选：A． 题型12：已知三视图求体积 【典例精讲】（24-25九年级下·山东青岛·期中）如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 （结果保留）． 【答案】 【思路点拨】本题考查几何体的三视图，根据三视图得到几何体是圆柱，以及圆柱的底面半径和高，进而利用圆柱的体积等于底面积乘以高求解即可． 【规范解答】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图所示的是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题考查观察几何体的三视图还原几何体，求几何体体积．根据题意可知几何模型底部有4个小正方体块，中间部分有2个正方体块，最上边有1个正方体块，共计7个正方体块，即可求得体积． 【规范解答】解：由题意得： 几何模型底部有4个小正方体块，中间部分有2个正方体块，最上边有1个正方体块，共计7个正方体块， ∴体积为：， 故选：C． 题型13：求几何体视图的面积 【典例精讲】（24-25九年级下·广东佛山·期中）一个长方体从左面和上面看到的图形及相关数据如图所示，则从正面看到的图形的面积为 ． 【答案】15 【思路点拨】先根据左视图和俯视图可得这个长方体的长为5、宽为4、高为3，再根据主视图看到的是一个长为5，宽为3的长方形，利用长方形的面积公式即可得． 【规范解答】解：由左视图和俯视图可知，这个长方体的长为5、宽为4、高为3， 则从正面看到的图形是一个长为5，宽为3的长方形， 所以从正面看到的图形的面积为， 故答案为：15． 【变式训练】（24-25九年级下·山西太原·月考）一个长方体,从左面、上面看得到的图形及相关数据如图,则从正面看该几何体所得到的图形的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．9 【答案】B 【思路点拨】先根据从左面、从上面看到的形状图的相关数据可得，从正面看到的形状图是长为4宽为2的长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． 【规范解答】根据从左面、从上面看到的形状图的相关数据可得： 从正面看到的形状图是长为4宽为2的长方形， 则从正面看到的形状图的面积是4×2=8； 故选B． 题型14：由三视图，判断小立方体的个数 【典例精讲】（23-24九年级下·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查由三视图判断几何体，在俯视图小正方形上标记主视图两列的个数，再分析即可． 【规范解答】解：综合俯视图和主视图，可得下图： ∴这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列两层都是2个小正方体时，组成这个几何体的小正方块最多， 所以组成这个几何体的小正方块最多有块． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·山西太原·月考）在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是 个． 【答案】8 【思路点拨】本题意在考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【规范解答】解：综合三视图可知长方体的个数为： ∴这个几何体的底层应该有个小正方体，第二层应该有个小正方体，共有（个）， ∴搭成这个几何体的货箱个数是8个． 故答案为：8． 题型15：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【典例精讲】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题考查根据三视图判断由小正方体堆砌的几何体中小正方体的个数，先确定位置，再根据主视图和左视图，确定个数即可． 【规范解答】解：观察物体的主视图和左视图可知：该几何体有两层，下面一层最少要有2个小正方体，上面一层最少要有1个小正方体，其俯视图如下： 故组成该几何体所需小正方体的个数最少是； 故选：A． 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）数学思想·分类讨论用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，搭成这个几何体最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 【答案】最少是10个，最多是16个 【思路点拨】本题主要考查了三视图的知识，掌握三视图的观察方法是解题的关键． 根据主视图和俯视图首先确定每一层最少和最多的小正方体的个数即可解答． 【规范解答】解：这样的几何体不唯一． 层数（从下往上数） 需要小立方块的个数 最少 最多 第一层 7 7 第二层 2 6 第三层 1 3 总计 10 16 由上表可知，需要的小立方块个数最少是10个，最多是16个． 题型16：已知三视图求侧面积或表面积 【典例精讲】（2024九年级下·全国·专题练习）已知下图为一几何体的三视图 (1)写出这个几何体的名称； (2)任意画出它的一种表面展开图； (3)若主视图的长为，俯视图中三角形的边长为，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查根据三视图判断几何体，画简单几何体的展开图，求几何体的侧面积，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图． （1）根据三棱柱的三视图可得； （2）三棱柱的展开图侧面是长方形、上下底面是等边三角形，据此画图即可； （3）根据长方形的面积公式计算可得． 【规范解答】（1）解：由三视图知该几何体是：三棱柱； （2）解：其展开图如下： （3）解：． 【变式训练】（2025·四川自贡·模拟预测）如图是某工件的三视图．则此工件的表面积为 ． 【答案】 【思路点拨】先由三视图判断几何体为圆锥，再确定圆锥的底面直径和高，算出母线长，最后根据圆锥表面积公式（侧面积 + 底面积）计算． 本题主要考查了由三视图判断几何体及圆锥表面积的计算，熟练掌握圆锥的母线、底面半径与高的关系以及表面积公式是解题的关键． 【规范解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，底面直径，则底面半径，圆锥的高． 根据勾股定理得母线 ． ∴圆锥侧面积，底面积， ∴表面积 ， 故答案为：． 题型17：求小立方块堆砌图形的表面积 【典例精讲】（2024·山东青岛·一模）如图，用24块棱长分别为，，的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可是搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键． 【规范解答】根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：将三块长方体按，面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为，，，再用两个大长方体(即个小长方体) 按, 面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为m的大长方体. 此时大长方体的表面积为： 将两块块长方体按面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为. 再用三个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体 (即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 此时大长方体的表面积为： 因为 所以搭成大长方体表面积的最小值为， 故选: B. 【变式训练】（23-24九年级下·山东东营·期末）在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为acm，如图所示． (1)请画出这个几何体A的三视图． (2)若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用含a的代数式表示）； (3)若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)4 【思路点拨】本题主要考查了三视图： （1）根据三视图的定义，画出三视图即可； （2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的喷上红漆的面积； （3）在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加一个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体，所以最多可以添加的是三个小正方体； 【规范解答】（1）解：如图， （2）解：露出表面的一共有30个，每个的面积都是， 则这个几何体的总面积为：； 故答案为： （3）解：由题意可得，在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加两个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体；即要保持主视图和左视图不变，最多可以添加四个小正方体． 故答案为：4 题型18：求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·月考）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图面积为，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【规范解答】解：设圆锥的母线长为， 圆锥的底面周长， 则， 解得 故答案为：6 【变式训练】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6，则圆锥的侧面积是 （结果保留）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．根据圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【规范解答】解：圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6， 则圆锥的侧面积是， 故答案为：． 题型19：求圆锥底面半径 【典例精讲】（2025·浙江温州·三模）如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长计算解答． 【规范解答】解：设这个圆锥形容器的底面半径为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（2025·浙江舟山·三模）用半径为，圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，勾股定理，这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理可求出高． 【规范解答】解：这个圆锥的底面圆半径为， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥的高为， 故答案为：． 题型20：求圆锥的高 【典例精讲】（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理． 先利用弧长公式得到圆心角为，半径为6的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【规范解答】解：圆心角为，半径为的扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥的底面圆的半径为2， 圆锥的高为． 故答案为：． 【变式训练】（2023·云南临沧·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【规范解答】解：，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故选：A． 题型21：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（2025·山东潍坊·一模）一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆锥侧面积与底面积的关系，以及侧面展开图的圆心角计算，设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角为，根据求出，再由计算即可得解． 【规范解答】解：设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 由题意可得：， ∴， 解得：， 由弧长公式可得：， 解得：， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是， 故选：A． 【变式训练】（2025·江苏徐州·一模）已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】150 【思路点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设圆心角的度数为，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出的值即可． 【规范解答】解：设圆心角的度数为， 由题意得，， 解得：， 扇形的圆心角的度数为． 故答案为：150． 题型22：圆锥的实际问题 【典例精讲】（24-25九年级下·山东威海·月考）在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③ 【思路点拨】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ①错误，不符合题意； ， ②正确，符合题意； ， ， ， ， ③正确，符合题意； 综上所述， 故答案为：②③． 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期末）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可． 【规范解答】解：设底面圆的半径为，母线长为， 由题意，得：， ∴； 故选A． 题型23：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【思路点拨】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【规范解答】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【变式训练】（24-25九年级·全国·课后作业）如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 【答案】cm 【思路点拨】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【规范解答】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180°， 则∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 如图， 由勾股定理得：BP＝， 答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm． 1．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 先证明为等边三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，再利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下面圆锥的侧面积． 【规范解答】， 而， ∴为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故选：D． 2．（2024·云南文山·中考真题）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积求解，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面半径，再由圆锥的侧面积公式（为底面圆半径，为母线）求解即可． 【规范解答】解：∵高与底面垂直， ∴高，母线，半径组成的三角形的是直角三角形， ∴底面半径为：， ∴圆锥的侧面积为， 故选：D． 3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正方形的边长为，以点为圆心，的长为半径画圆，则正方形的中心在 （填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为 ． 【答案】 内 【思路点拨】连接，，交于点，由四边形是正方形，可得，，，，由勾股定理可得，则，即可得出正方形的中心在内；设圆锥的底面直径为，则，解得． 【规范解答】解：如图，连接，，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点在内， 即正方形的中心在内， 设圆锥的底面直径为， ∴，解得， ∴圆锥的底面直径为， 故答案为：内，． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 【答案】120 【思路点拨】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【规范解答】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 【答案】(1)2，1 (2)见解析 (3)3.6米 【思路点拨】 本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解． 【规范解答】 解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影． 故答案为：，； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图1，过点作于点，设米，O米． ∵，， ∴∽△， ∴， ∴①， 同法可得， ∴②， 由①②解得， 经检验是分式方程组的解， 同法可得， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解． 即的影长为米． 基础夯实 1．（2025·广东深圳·三模）如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是解题的关键． 首先明确左视图的定义，再根据几何体从左面看到的正方形数量与位置关系，最后对比得出正确的选项即可． 【规范解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：B． 2．（2024·广东清远·二模）下列四个几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查三视图． 根据三视图的相关知识，对各选项中的几何体的主视图和俯视图进行分析比较即可． 【规范解答】解：A．主视图和俯视图不相同，不符合题意； B．主视图和俯视图不相同，不符合题意； C．主视图和俯视图相同，符合题意； D．主视图和俯视图不相同，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级下·广东中山·期中）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆锥的侧面展开图相关知识，涉及圆锥底面周长公式（r为底面半径）以及圆锥侧面展开图扇形的面积公式（l为弧长，r为母线长）．解题关键是明确圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，易错点是混淆圆锥底面半径、母线长与扇形弧长、半径的对应关系． 要计算圆锥侧面展开图的面积，首先得知道侧面展开图扇形的弧长和半径．根据圆锥的性质，扇形的半径就是圆锥的母线长，这里母线长为12；扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用底面半径4，通过圆的周长公式算出底面周长为，也就是扇形弧长．最后把弧长和母线长代入扇形面积公式，就能求出侧面展开图的面积． 【规范解答】解：，， ． 又， ． 故答案为：． 4．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）现有一圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】2 【思路点拨】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【规范解答】解：圆锥的底面周长是：． 设圆锥底面圆的半径是，则． 解得：． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·安徽芜湖·期末）如图所示是由五个小立方体构成的立体图形，请你分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了作三视图，解答本题的关键是掌握三视图的作法． 主视图是从正面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有，，个小正方形；左视图是从左面看所得到的图形，从左往右有二列，分别有，，个小正方形；俯视图是从上面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有，，个小正方形． 【规范解答】解：如图所示： ． 培优拔高 6．（2025·河北保定·模拟预测）如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三视图的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据三视图的知识，左视图即视线在左侧看几何体，然后即可求解． 【规范解答】解：根据如图所示的几何体的左视图应该为： ， 故选：D． 7．（2025·云南楚雄·三模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，根据勾股定理得，根据勾股定理逆定理得出，再求出扇形面积即可． 【规范解答】解：由勾股定理得，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：D． 8．（2024·青海西宁·模拟预测）圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质、圆锥的侧面积公式、扇形的面积公式，掌握理解圆锥的侧面展开图为扇形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得圆锥的底面半径和母线长，再根据圆锥的侧面积公式和扇形的面积公式即可得答案． 【规范解答】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为度， 圆锥的主视图是边长为的等边三角形， 圆锥的底面直径和母线长均为， 由圆锥的侧面积公式得：， 又圆锥的侧面展开图是扇形， ， 解得， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角为180度， 故答案为：． 9．（2024·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 10．（23-24九年级下·江苏盐城·月考）如图，是由若干个棱长为1的小正方体组成的一个几何体． (1)请用粗实线在虚线网格中顺次画出这个几何体主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上拿掉一些小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以拿掉 个小正方体； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． (4)如果给原来这个几何体表面喷上漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)4 (4)32 【思路点拨】本题考查作图-三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． （1）根据三视图的定义作出图形即可； （2）可在第二层第一列第二行拿掉1个； （3）可在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，相加即可求解； （4）根据几何体的表面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：在第二层第一列第二行拿掉1个， 故最多可以拿掉1个， 故答案为：1； （3）解：在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个， （个）； 故最多可以再添加4个小正方体， 故答案为：4； （4）解： ． 故这个几何体喷漆的面积是32． 故答案为：32． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 三视图与表面展开图（章节复习） （知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：投影 2 知识点梳理02：中心投影与平行投影的区别与联系 4 知识点梳理03：视图 4 题型讲练 6 题型1：平行投影 6 题型2：中心投影 6 题型3：正投影 7 题型4：视点、视角和盲区 8 题型5：判断简单几何体的三视图 8 题型6：判断简单组合体的三视图 9 题型7：已知一种或两种视图，判断其他视图 9 题型8：画简单几何体的三视图 10 题型9：画简单组合体的三视图 11 题型10：画小立方块堆砌图形的三视图 11 题型11：由三视图还原几何体 12 题型12：已知三视图求体积 13 题型13：求几何体视图的面积 13 题型14：由三视图，判断小立方体的个数 14 题型15：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 14 题型16：已知三视图求侧面积或表面积 15 题型17：求小立方块堆砌图形的表面积 15 题型18：求圆锥侧面积 16 题型19：求圆锥底面半径 16 题型20：求圆锥的高 17 题型21：求圆锥侧面展开图的圆心角 17 题型22：圆锥的实际问题 17 题型23：圆锥侧面上最短路径问题 18 中考真题 19 分层训练 21 基础夯实 21 培优拔高 22 知识点梳理01：投影 1. 投影现象 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面. 2. 中心投影 　手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影. 相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 3.平行投影 　　1.平行投影的定义 太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影. 相应地，我们会得到两个结论： 　　①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 　　②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 　　2. 物高与影长的关系 ①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. ②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【易错点拨】 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 4、正投影 　　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影. 【易错点拨】 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. 知识点梳理02：中心投影与平行投影的区别与联系 1. 区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 2.联系： （1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 【易错点拨】 在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 知识点梳理03：视图 1.三视图 （1）视图 　　 用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图. （2）三视图 　　在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 　　一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 【易错点拨】 三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 3.画几何体的三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： (1)确定主视图的位置，画出主视图； (2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； (3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线. 【易错点拨】 画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 4.由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【易错点拨】 由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析： (1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线； (2)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助； (3)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 题型1：平行投影 【典例精讲】（24-25九年级下·吉林长春·期末）在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 m． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于 投影．（填“中心”或“平行”） 题型2：中心投影 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【变式训练】（24-25九年级下·河北保定·期末）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 题型3：正投影 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（    ）    A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环 【变式训练】（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 题型4：视点、视角和盲区 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）有一个高大的五棱柱形建筑物，人站在地面上，不可能同时看到的是（ ） A．个侧面 B．个侧面 C．个侧面 D．个侧面 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在房子外的屋檐处装有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌． 监视器的盲区在哪一部分？ 已知房子上的监视器离地面高，广告牌高，广告牌距离房子，求盲区在地面上的长度． 题型5：判断简单几何体的三视图 【典例精讲】（2025·山东聊城·三模）如图是正三棱柱，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·江西宜春·三模）榫卯（sǔn mǎo）结构是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，特点在于不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中凸出部分叫做榫，凹进部分叫做卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的左视图是（   ） A． B． C． D． 题型6：判断简单组合体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北黄石·月考）下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·吉林长春·三模）如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（   ） A． B． C． D． 题型7：已知一种或两种视图，判断其他视图 【典例精讲】（2023·四川凉山·中考真题）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．    B．   C．   D．   【变式训练】（2023·河南驻马店·三模）用9个完全相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型8：画简单几何体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西榆林·期末）从棱长为的正方体的一角，挖去一个棱长为的小正方体，得到如图所示的几何体，请画出该几何体的三视图． 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）画出下图物体的三视图． 题型9：画简单组合体的三视图 【典例精讲】（2023·浙江·一模）如图所示的几何化由6个小正方体组合而成，其三视图中为轴对称图形的是（    ）    A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．均不是 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）画出实物图（如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱）的三视图．      题型10：画小立方块堆砌图形的三视图 【典例精讲】（2025·湖北襄阳·二模）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．在下面网格中画出从三个方向看这个几何体得到的形状图．    题型11：由三视图还原几何体 【典例精讲】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·河北邢台·三模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 题型12：已知三视图求体积 【典例精讲】（24-25九年级下·山东青岛·期中）如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 （结果保留）． 【变式训练】（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图所示的是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型13：求几何体视图的面积 【典例精讲】（24-25九年级下·广东佛山·期中）一个长方体从左面和上面看到的图形及相关数据如图所示，则从正面看到的图形的面积为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·山西太原·月考）一个长方体,从左面、上面看得到的图形及相关数据如图,则从正面看该几何体所得到的图形的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．9 题型14：由三视图，判断小立方体的个数 【典例精讲】（23-24九年级下·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练】（24-25九年级下·山西太原·月考）在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是 个． 题型15：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【典例精讲】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）数学思想·分类讨论用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，搭成这个几何体最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 题型16：已知三视图求侧面积或表面积 【典例精讲】（2024九年级下·全国·专题练习）已知下图为一几何体的三视图 (1)写出这个几何体的名称； (2)任意画出它的一种表面展开图； (3)若主视图的长为，俯视图中三角形的边长为，求这个几何体的侧面积． 【变式训练】（2025·四川自贡·模拟预测）如图是某工件的三视图．则此工件的表面积为 ． 题型17：求小立方块堆砌图形的表面积 【典例精讲】（2024·山东青岛·一模）如图，用24块棱长分别为，，的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24九年级下·山东东营·期末）在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为acm，如图所示． (1)请画出这个几何体A的三视图． (2)若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用含a的代数式表示）； (3)若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体． 题型18：求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·月考）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图面积为，则该圆锥的母线长为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6，则圆锥的侧面积是 （结果保留）． 题型19：求圆锥底面半径 【典例精讲】（2025·浙江温州·三模）如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 【变式训练】（2025·浙江舟山·三模）用半径为，圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为 ． 题型20：求圆锥的高 【典例精讲】（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 【变式训练】（2023·云南临沧·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 题型21：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（2025·山东潍坊·一模）一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·江苏徐州·一模）已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 题型22：圆锥的实际问题 【典例精讲】（24-25九年级下·山东威海·月考）在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是 ．（填写序号） 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期末）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 题型23：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【变式训练】（24-25九年级·全国·课后作业）如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 1．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 2．（2024·云南文山·中考真题）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正方形的边长为，以点为圆心，的长为半径画圆，则正方形的中心在 （填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为 ． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 基础夯实 1．（2025·广东深圳·三模）如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东清远·二模）下列四个几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东中山·期中）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 4．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）现有一圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ． 5．（24-25九年级下·安徽芜湖·期末）如图所示是由五个小立方体构成的立体图形，请你分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形． 培优拔高 6．（2025·河北保定·模拟预测）如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·云南楚雄·三模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·青海西宁·模拟预测）圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数 ． 9．（2024·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 10．（23-24九年级下·江苏盐城·月考）如图，是由若干个棱长为1的小正方体组成的一个几何体． (1)请用粗实线在虚线网格中顺次画出这个几何体主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上拿掉一些小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以拿掉 个小正方体； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． (4)如果给原来这个几何体表面喷上漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积为 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $