专题1.7 直角三角形的边角关系（章节复习）（知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦直角三角形边角关系核心知识点，系统梳理锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形方法及应用，前承直角三角形性质与勾股定理，后接实际问题解决，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以23个分层考点为核心，涵盖概念辨析、求值计算及实际应用，搭配中考真题与难度分层练。通过典例精讲与变式训练，培养学生数学思维的推理与运算能力，如仰角俯角问题提升应用意识，助力课中高效教学与课后精准查漏补缺。

专题1.7 直角三角形的边角关系（章节复习） 【知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 2 知识点梳理02：特殊角的三角函数值 2 知识点梳理03：解直角三角形 2 知识点梳理04：三角函数的应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：正弦的概念辨析 3 考点2：求角的正弦值 4 考点3：已知正弦值求边长 6 考点4：求角的余弦值 8 考点5：余弦的概念辨析 9 考点6：已知余弦求边长 10 考点7：求角的正切值 14 考点8：正切的概念辨析 19 考点9：已知正切值求边长 20 考点10：特殊三角形的三角函数 23 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 23 考点12：用计算器求锐角三角函数值 25 考点13：根据特殊角三角函数值求角的度数 26 考点14：解直角三角形的相关计算 29 考点15：解非直角三角形 32 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 33 考点17：利用同角三角函数关系求值 36 考点18：互余两角三角函数的关系 38 考点19：三角函数综合 40 考点20：方位角问题(解直角三角形的应用) 49 考点21：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 51 考点22：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 54 考点23：其他问题(解直角三角形的应用) 56 中考真题 实战演练 59 难度分层 拔尖冲刺 66 基础夯实 66 培优拔高 69 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 知识点梳理02：特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 知识点梳理03：解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 知识点梳理04：三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义． 【规范解答】解：∵，， ∴． 故选：B．    【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【规范解答】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，则，利用勾股定理求出的长，在中利用正弦的定义即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∵， ∴， ∴在中，． 故选：C． 【变式训练】（（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可． 【规范解答】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·广东深圳·二模）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（   ）．（结果精确到） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了正弦的定义，设梯子的长度为L，根据正弦的定义得出，即可得出当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案． 【规范解答】解：设梯子的长度为L， 根据正弦的定义得出：， 随着α的增大，增大，L减小， 故当时，L取得最小值为：， 故选：B 【变式训练】（（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 根据正弦的定义可得，根据勾股定理计算，得到答案． 【规范解答】解：如图： ∵， ， 又∵，， ∴， 解得：，（负值已经舍去）． 故选：A． 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题意画出图形，由，则，设，，求出，再通过余弦定义即可求解，掌握三角函数概念是解题的关键． 【规范解答】解：如图，， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，，，则 【答案】/ 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得，再利用锐角三角函数求解即可． 【规范解答】解：如图，过点A作于点D， ∵，， ∴， ， 故答案为：． 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（2024·山东滨州·一模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是16，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据反比例函数值的几何意义计算出三角形的面积即可． 【规范解答】解：矩形的面积是16，， ，， ∵轴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴ ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 故答案为：． 【变式训练】（（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【规范解答】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·安徽宣城·一模）如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为（   ） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在上和上讨论，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵，， ∴，， ①当点P在上时，， ∴为等腰三角形时，只有， ∴， 过D作于Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，如图， ； 当时，如图，过P作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，如图，过D作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴； 综上，t的值为或18或19或， 故选：C． 【变式训练】（（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义可得，进而可得，；如图：过B作于G，运用勾股定理可得等面积法和勾股定理可得、，再根据等面积法可得，即，据此即可解答． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，即，解得：， ∴， ∴， 如图：过B作于G， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高相等， ∴， 如图：过D作， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（2025·江苏泰州·三模）如图，点，分别在反比例函数和的图象上，经过点、的直线与轴相交于点． (1)求、满足的等量关系； (2)若，求直线的函数关系式； (3)试求的面积用的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（）把点，分别代入和得关于的方程组，由方程组即可得到答案； （）分别过点，作轴于，轴于，根据已知条件求出，得到，，再根据待定系数法解答即可求解； （）根据待定系数法求出直线的解析式为，求得，即得，再根据解答即可求解． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的几何应用，锐角三角函数，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：把点，分别代入和得， ， ∴， 整理得，； （2）解：分别过点，作轴于，轴于， ∵，， ，，，， ，， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ，； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 由（）知， ， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ． 【变式训练】（（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，点在边上，，，，连接，，令． (1)证明：； (2)将绕点从如图位置顺时针旋转，两边分别与、相交于点、，当点与重合时停止． ①证明：的值是定值，并求出的正切值； ②求从开始到停止，线段的中点经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析，正切值为；② 【思路点拨】（1）根据已知条件可证得 ，可得，再根据可得答案； （2），作于，则，可证明 ，利用相似可得的正切值； 点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得，，则可判定点在线段的垂直平分线上，如图，点点与点重合时，点在的中点处；当点与点重合时，点在线段的中点处，所以线段的中点经过的路径长即为的长度，且可知为的中位线，利用勾股定理求出长度，则得到的长度，题目可解． 【规范解答】（1）证明：四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由旋转可知：； 如图，作于，则， ∵， ∴， ， ， 又， ∴ ， ， 的正切值， 为锐角， ∴的值是定值； 解：如图，取点为的中点，则，， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图，点与点重合时，由（1）知点与点重合，则点在的中点处； 如图5，当点与点A重合时， ∵，故， 则此时四边形为矩形， ∵点为线段的中点， ∴也为线段的中点， 故此时与的中点重合， ∴线段的中点经过的路径长即为的长度， 如图6， ，， ， ∵是的中点，为的中点， 为的中位线， ， 即线段的中点经过的路线长为． 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数的定义，根据一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到与的面积之比等于． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴与的面积之比等于． 故答案为：． 【变式训练】（（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【规范解答】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理求解边长，相似三角形的判定与性质，图形的翻折变换，锐角三角函数辅助求解问题．由翻折前后的长度相等且的正切值相等求解的长是解决本题的关键． 本题涉及到相似三角形的性质以及勾股定理，首先通过勾股定理求出的长度，再利用相似三角形的对应边成比例关系来建立等式求解． 【规范解答】解：在中，， ，则， 因为，， 所以， 那么， 设， 因为， 则，， 因为沿直线翻折得对应， 所以， 又因为， 所以，解得， 即， 在与中， ， 即，解得， ，可得， 可得，即， 解得． 故答案为：． 【变式训练】（（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用，先证明，进而得出，根据求出即可． 【规范解答】解：如图标注点．由题意可知，， 在中，由勾股定理，得． 由折叠，得，． ， ， ∵， ， ． 又，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 点的坐标为． 故选A． 考点10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2023·四川广安·二模）计算 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解决本题的关键．依次化简二次根式，绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，再计算乘法，最后再进行加减运算． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练】（（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值．先根据分式的混合运算法则对式子进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出x的值，代入式子求值即可． 【规范解答】解： ， 当时， 原式． 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 【变式训练】（（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算：； （2）解一元一次不等式组：． 【答案】（1）1；（2） 【思路点拨】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、立方根、一元一次不等式组的求解： （1）依次计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、立方根即可； （2）先求出两个一元一次不等式的解，从而可求不等式组的解． 【规范解答】解：（1）原式； （2）解得， 对于：， 去分母：， 即 解得， ∴不等式组的解集为． 考点12：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2024·上海·模拟预测）的值在（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了三角函数的计算，根据三角函数的计算求解即可． 【规范解答】解： ∴的值在． 故选：C． 【变式训练】（（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了计算器，根据正切的定义求出的表达式是解题的关键．根据正切的定义求出的表达式即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：D． 考点13：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，由正方形可得，，由折叠可得，，由等腰三角形可得或或，分情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∵是等腰三角形， ∴或或， ①当时，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作于，延长交于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，是等腰三角形， 此时点于点D重合，这种情况不存在， ∴等于或， 故答案为：或． 【变式训练】（（2025·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，点B在y轴上，点A的横坐标是，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】先求出，菱形旋转6次回到原来位置，则菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，和第三次位置重合， 过作轴于G，证明是等边三角形，得出，求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求出的坐标，即可求解． 【规范解答】解∶连接交于D， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形旋转6次回到原来位置， ∵， ∴菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，和第三次位置重合， 如图， 过作轴于G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵旋转三次， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标是， 故答案为∶ ． 考点14：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点依次在同一条直线上，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】（）由，则，，故有， 然后通过平行四边形的判定即可求证； （）连接交于，通过勾股定理可得，又四边形是菱形，则，，然后通过求出长即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于， ∵，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（（2025·上海松江·一模）在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 【答案】(1)4 (2) 【思路点拨】本题考查了三角函数，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过A点作，先根据面积求出，再根据三角函数求解即可； （2）过点C作，先根据三角函数求出，再证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据三角函数求出，再根据正切的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：过A点作，垂足为H， ， ， ， ， ； （2）解：过点C作，垂足为E， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 考点15：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【思路点拨】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【变式训练】（（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）中，，，，求边的长度． 【答案】 【思路点拨】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【规范解答】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·上海虹口·期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm． 【思路点拨】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出． 【规范解答】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为． 【变式训练】（（2024·湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 【答案】20 【思路点拨】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【规范解答】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 考点17：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2024·山西晋城·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解 【规范解答】过点作的垂线，交于点 是矩形 在与中， 故答案为： 【变式训练】（（2024·山东东营·三模）如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，过点作的垂线，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为（当，，三点共线时，不妨设），则能够反映与之间的函数关系的图象大致是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】C 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键． 先用勾股定理得出的长，分类讨论的取值范围，利用三角函数的比值关系得到各边的长表达出面积的函数式子求解即可． 【规范解答】解：∵以每秒1个单位长度的速度的运动，且时间为， ∴当点在上时， ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴时，函数为抛物线，故A，B错误； 当点在上时，则 ，如图：   ，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，函数是个抛物线，故C正确，D错误； 故选：C． 考点18：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【规范解答】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【变式训练】（（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【思路点拨】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【规范解答】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 考点19：三角函数综合 【典例精讲】（2025·重庆·模拟预测）在中，，于点D．点E 是线段上一点，点E 关于直线的对称点为点F，连接．在线段上取点G， 使得，的延长线与交于点H． (1)如图1，若，，求的度数（用含，的式子表示）； (2)如图2，若，用等式表示线段与 之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，当时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据题意，易得，推出，由已知得，即可求 的度数； （2）连接，过点作于点，延长交于点，设，，，先证明是等腰直角三角形，得，再由点E 关于直线的对称点为点F，得，，，易得是等腰直角三角形，四边形是矩形，得，接下来证明，，，进而证明，得，易得，即可证得； （3）如图所示，连接，过点作于点，连接，设，，由题意，易得是等边三角形，是的垂直平分线，，由点E 关于直线的对称点为点F，易得，，，推出，从而得到，当时，即，和均为等腰直角三角形，进而得到，，，设，求出，，，，即可求出答案． 【规范解答】（1）， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2），证明如下： 如图所示，连接，过点作于点，延长交于点， 设，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， 点E 关于直线的对称点为点F， ，，， ，，， ，是等腰直角三角形，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图所示，连接，过点作于点，连接， 设，， ，， ， ，， 是等边三角形，是的垂直平分线， ，， ， ， ， 点E 关于直线的对称点为点F， ，，， ，， ， ， ， ， ， 当时，，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 在中，， ， ． 【变式训练】（（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． (1)如图1，求直线BC的解析式； (2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题属于一次函数与几何综合问题，主要考查了一次函数的性质、旋转模型、特殊角的三角函数值等知识，构造合适的辅助线成为解答本题的关键． （1）先根据题意表示出点C和点B的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）过D作交AB于M，可得出，建立等式，即可求出的值； （3）过E作于点I，可得可求出，即可得到．设交于点R，过R作于N，根据三角函数可得，过H作轴于点K．再利用相似求出点H的坐标． 【规范解答】（1）解：令，则． ． 当时，． ． ， ． ． 设直线BC的解析式为． 由题意，得 ∴直线BC的解析式为． （2）过D作交AB于M． ， ． ． ． 即 ， ． ． ． ．即． ， ．即． （3） ． ． ． ． ． ． 过E作于点I．则． ． ．即． ． ． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 设交于点R，过R作于N，则 ． ． 设． ． ． ． ． ．在中， ． ． 过H作轴于点K． ． ． ． ． ． 考点20：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，小瑜家和小贤家分别位于点A和点B处，点A在点B的正北方向1200米处，为了增强体质，他们周末相约去体育馆D处打网球．经勘测，公交站点E在小瑜家正东方向400米处，点C在点B的东南方向，点C在点E的正南方向，体育馆公交站在点C的正东方向，在点E的南偏东方向．， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)周末，小瑜和小贤前往D处汇合，小瑜从点A出发步行到公交站点E，再乘坐公交车前往点D，假设小瑜步行的速度为60米每分钟，公交车匀速行驶且速度为200米每分钟，中途上下客耗时2分钟，小贤的步行路线为，步行速度为80米每分钟，请通过计算说明小瑜和小贤谁先到达体育馆． 【答案】(1)的长度约为566米 (2)小瑜先到达体育馆，见解析 【思路点拨】此题考查三角函数的实际应用，矩形的判定和性质 （1）由题意得：过点B作，得四边形是矩形，推出，进而利用正弦公式求出的长度； （2）由（1）得：四边形是矩形，由此得,，由结合三角函数求出，计算时间进行比较即可． 【规范解答】（1）解：由题意得： 过点B作， 四边形是矩形 ， 答：的长度约为566米； （2）由（1）得：四边形是矩形 , 小瑜花费时间： 小贤花费时间： 小瑜先到达体育馆．. 【变式训练】（（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某数学活动小组在一座山峰上测量东西走向的两处景点，之间的距离．经测量，点在点的南偏西方向上，点在点的南偏东方向上，已知山峰的高度为，求的长．（结果精确到；参考数据： 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，注意分析题意，构造直角三角形，利用三角函数求解．在中，根据，，，可求得，根据，，，可求得，再由即可得解． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 在中，，，， ∴，解得， 在中，，， ∴， ∴， 答：的长约为． 考点21：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·陕西西安·一模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用——俯角仰角问题．过点E作于点H，在中，解直角三角形求出，继而求出，在中，根据三角函数的定义求出，即可求出. 【规范解答】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得： ，，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴ 答：高层大楼的高度约为． 【变式训练】（（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F， 在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． （2）解：能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则， 在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 考点22：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么cosα= ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、坡角问题，由题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可得斜坡长度，再由余弦的定义求解即可． 【规范解答】解：如图，中，， 设，， 则， ， 故答案为： 【变式训练】（（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） (1)求B，D两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 【答案】(1) (2)40分钟 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数，解直角三角形，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作交于点C，利用直角三角形的性质求出，再证明四边形为矩形，可得，再求的长； （2）利用的正弦值，求出的长，再分段计算从山脚A处到达山顶D处需要的时间，相加即可． 【规范解答】（1）由题知，于点E，则， 如图，过点B作交于点C， 则， 又，， ， 由可得四边形是矩形， ， ， B，D两地的垂直高度． （2）攀登第一段斜坡所用的时间等于， ，， ， ， 攀登第二段斜坡所用的时间等于， ， 他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 答：他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 考点23：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）某消防队拟进行“消防技能”比赛，其中一项比赛项目为利用直梯攀爬越过高墙．在布置比赛场地时，要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角度一般要满足 (如图)．消防队准备的梯子长度均为． (1)当安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面的最大距离． (2)若现在有一堵高的墙，某消防员身高，双手举过头顶，在不起跳的情况下，摸高约为．第一次演练时，消防员将梯子底端放置在距离墙面处． ①此时消防员能否安全使用这架梯子？ ②在消防员向上攀爬到梯子顶端的过程中，梯子的底端沿方向滑动了，在保证安全且不起跳的情况下消防员站在梯子顶端双手是否能攀上墙？（参考数据：，) 【答案】(1)梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.88米 (2)①能安全使用②不能攀上墙 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握三角函数的知识是解题的关键． （1）根据α的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可； （2）①根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可． ②求出消防员可攀的高度，再与墙高比较即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴当时，取最大值， 在中，， ∴， ∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.88米； （2）解：设此时梯子与地面夹角为， ∴， ∴ ∵， 所以能安全使用； ②梯子底端滑动后距离墙面， 又， ∴， ∴， 消防员可攀高度为， 因为， 所以不能攀上墙． 【变式训练】（（2024·江西·模拟预测）图1 是斜式单面展架，图2是它的侧面示意图，表示画面支撑杆， 表示展架支撑杆， 表示底座，，垂足为D，点C在 上，，画面支撑杆可绕着点C 旋转．经测量，，，． (1)求展架的高度（即点 B 到底座 的距离）； (2)一般地，展架的标准高度为，画面支撑杆 要绕着点C 顺时针旋转多少度，展架才能达到标准高度？（参考数据：，，，，，，结果保留到小数点后一位） 【答案】(1)展架的高度约为 (2)顺时针旋转约 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，并作适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作 ，交的延长线于点 G，根据求解即可； （2）过点作 于点 P，则，根据，可得，即可求得答案． 【规范解答】（1）解：如图，过点B作 ，交的延长线于点 G， ， ∴点 B 到底座 的距离为， ， ， ，， ，，， ， ， 答：展架的高度约为； （2）解：如图，将线段绕着点 C 顺时针旋转到的位置， 此时到底座的距离为， 过点作 于点 P， 则，， ∵， ， ， ， ， 答：画面支撑杆要绕着点 C顺时针旋转，展架才能达到标准高度． 1．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 2．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点D为边中点，将绕A旋转，点B，C对应点分别为点E，F，若点F在射线上，则 【答案】 【思路点拨】过点A作于点H，设，利用勾股定理列出x的方程求得x，进而求得三角形的面积便可求得比值． 【规范解答】解：如图所示，过点A作 于点H， ∵，是斜边的中线，，， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 由旋转性质知，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连结，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】连接直线，由平移及菱形的性质可判定四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，作点关于直线的对称点，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，延长交的延长线于，过作交于，连接交于点，分别求出，，，则，在中，用勾股定理求． 【规范解答】解：根据平移可得，， ∵在菱形中，，， ∴，， 四边形是平行四边形， ， ， 连接直线， ，， 四边形是平行四边形， ， 作点关于直线的对称点，连接， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 延长交的延长线于，过作交于，连接交于点， ∵， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴， ， ∴， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 在中，， 故选：B． 4．（2024·河南郑州·中考真题）如图，正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】过点C作轴，过点作轴，则，连接，，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，再求得可得了，从而可得，由等腰直角三角形即可求解． 【规范解答】过点C作轴，过点作轴，则，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴点C的对应点的坐标为， 故选：D． 5．（2024·北京·中考真题）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 【答案】中央电视塔的高度为米． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解． 【规范解答】解：在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ ∵ ∴， 由图可知四边形是矩形，则 ∴（米）， 答：中央电视塔的高度为米． 基础夯实 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）计算的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握是解题关键 根据计算即可. 【规范解答】解：原式. 故选：D. 2．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到，求得，设， ，得到，求得，，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：在小正方形中，， ∴， ∵， ∴， ， ∴设， ， ∴， ∵小正方形的面积为9， ∴， ∴， ∴，， ， 故选：C． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了构造直角三角形和勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 【规范解答】解：如图； 延长 ，作的延长线交于点 ， 根据勾股定理得：，， ∴在中， 故答案为：. 4．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【思路点拨】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 5．（25-26九年级下·重庆长寿·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【思路点拨】本题考查了特殊三角函数的混合运算，有理数的四则混合运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先代入特殊角的三角函数值，化为有理数的四则混合运算计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，化为二次根式的四则混合运算计算． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 培优拔高 6．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【思路点拨】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，由菱形的性质可知，点与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的最小值为，在中，解直角三角形可得，，于是，，易证，，由相似三角形的性质分别求出和，易知，则为直角三角形．再根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，， 四边形为菱形，， 点在上，，， 垂直平分， ，， 当、、三点共线时，的最小值为 在中， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中， ， 的最小值为，即． 故选：C． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形中，，，等边三角形的边平分，交于点，边过点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，添加恰当辅助线是解题的关键．过点作于，由等腰直角三角形的性质可得，，，由直角三角形的性质可求，，，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 故选：A． 8．（2025·上海·二模）如图，中，，，．点在边上，将沿着翻折至的位置，射线交线段于点．当是等腰三角形时，的面积为 ． 【答案】或 【思路点拨】当时，过点E作于F，过点D作于G，利用勾股定理可得，解直角三角形得到；设，，则；可求出，，；由折叠的性质可得，则；由勾股定理得，解方程可推出，则，即可得到；当时，过点D作于H，设，则；解直角三角形得到，则，由勾股定理得，类似可得，解得或（舍去），再根据计算求解即可；可证明，则，据此可得答案． 【规范解答】解：如图1所示，当时，过点E作于F，过点D作于G， ∵在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设，，则； 在中，， ∴，； 由折叠的性质可得， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 在中，， ∴； 如图2所示，当时，过点D作于H，设， ∴； 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或 ． 9．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】过作，交于点 ，交于点，作于点，可得，，然后，再求，再证明，求出，最后在中根据勾股定理即可求解. 【规范解答】解：如图；过作，交于点 ，交于点，作于点， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵在中，， ∴ ∵正方形的边长为4 ∴， ∴在中， 在中， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵，正方形的边长为4 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴在中， 故答案为：. 10．（24-25九年级下·全国·单元测试）下面利用的正切求的值，方法如下： 解：如图，构造，其中，延长到点D，使，连接，则．设，则．又， ． 请你仿照此法求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，作辅助线构造含的直角三角形是解题的关键．延长到点D，使，连接，构造，再解直角三角形即可． 【规范解答】解：如图，构造，其中， 延长到点D，使，连接， 则． 设，则由构造的三角形，得， 则， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 直角三角形的边角关系（章节复习） 【知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 2 知识点梳理02：特殊角的三角函数值 2 知识点梳理03：解直角三角形 3 知识点梳理04：三角函数的应用 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：正弦的概念辨析 4 考点2：求角的正弦值 4 考点3：已知正弦值求边长 4 考点4：求角的余弦值 5 考点5：余弦的概念辨析 5 考点6：已知余弦求边长 6 考点7：求角的正切值 6 考点8：正切的概念辨析 8 考点9：已知正切值求边长 8 考点10：特殊三角形的三角函数 9 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 9 考点12：用计算器求锐角三角函数值 9 考点13：根据特殊角三角函数值求角的度数 10 考点14：解直角三角形的相关计算 10 考点15：解非直角三角形 11 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 12 考点17：利用同角三角函数关系求值 13 考点18：互余两角三角函数的关系 14 考点19：三角函数综合 14 考点20：方位角问题(解直角三角形的应用) 16 考点21：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 17 考点22：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 18 考点23：其他问题(解直角三角形的应用) 18 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 22 知识点梳理01：锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 知识点梳理02：特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 知识点梳理03：解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 知识点梳理04：三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式训练】（（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·广东深圳·二模）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（   ）．（结果精确到） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 【变式训练】（（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，则 ． 【变式训练】（（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，，，则 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（2024·山东滨州·一模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是16，，则 ． 【变式训练】（（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·安徽宣城·一模）如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为（   ） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 【变式训练】（（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（2025·江苏泰州·三模）如图，点，分别在反比例函数和的图象上，经过点、的直线与轴相交于点． (1)求、满足的等量关系； (2)若，求直线的函数关系式； (3)试求的面积用的代数式表示． 【变式训练】（（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，点在边上，，，，连接，，令． (1)证明：； (2)将绕点从如图位置顺时针旋转，两边分别与、相交于点、，当点与重合时停止． ①证明：的值是定值，并求出的正切值； ②求从开始到停止，线段的中点经过的路径长． 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 【变式训练】（（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是 ． 【变式训练】（（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2023·四川广安·二模）计算 【变式训练】（（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中． 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【变式训练】（（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算：； （2）解一元一次不等式组：． 考点12：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2024·上海·模拟预测）的值在（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 考点13：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ． 【变式训练】（（2025·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，点B在y轴上，点A的横坐标是，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是 ． 考点14：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点依次在同一条直线上，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时，求的长． 【变式训练】（（2025·上海松江·一模）在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 考点15：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【变式训练】（（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）中，，，，求边的长度． 考点16：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·上海虹口·期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 【变式训练】（（2024·湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 考点17：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2024·山西晋城·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 【变式训练】（（2024·山东东营·三模）如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，过点作的垂线，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为（当，，三点共线时，不妨设），则能够反映与之间的函数关系的图象大致是（    ）    A．    B．   C．   D．   考点18：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 考点19：三角函数综合 【典例精讲】（2025·重庆·模拟预测）在中，，于点D．点E 是线段上一点，点E 关于直线的对称点为点F，连接．在线段上取点G， 使得，的延长线与交于点H． (1)如图1，若，，求的度数（用含，的式子表示）； (2)如图2，若，用等式表示线段与 之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，当时，请直接写出此时的值． 【变式训练】（（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． (1)如图1，求直线BC的解析式； (2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 考点20：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，小瑜家和小贤家分别位于点A和点B处，点A在点B的正北方向1200米处，为了增强体质，他们周末相约去体育馆D处打网球．经勘测，公交站点E在小瑜家正东方向400米处，点C在点B的东南方向，点C在点E的正南方向，体育馆公交站在点C的正东方向，在点E的南偏东方向．， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)周末，小瑜和小贤前往D处汇合，小瑜从点A出发步行到公交站点E，再乘坐公交车前往点D，假设小瑜步行的速度为60米每分钟，公交车匀速行驶且速度为200米每分钟，中途上下客耗时2分钟，小贤的步行路线为，步行速度为80米每分钟，请通过计算说明小瑜和小贤谁先到达体育馆． 【变式训练】（（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某数学活动小组在一座山峰上测量东西走向的两处景点，之间的距离．经测量，点在点的南偏西方向上，点在点的南偏东方向上，已知山峰的高度为，求的长．（结果精确到；参考数据： 考点21：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·陕西西安·一模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【变式训练】（（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 考点22：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么cosα= ． 【变式训练】（（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） (1)求B，D两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 考点23：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）某消防队拟进行“消防技能”比赛，其中一项比赛项目为利用直梯攀爬越过高墙．在布置比赛场地时，要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角度一般要满足 (如图)．消防队准备的梯子长度均为． (1)当安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面的最大距离． (2)若现在有一堵高的墙，某消防员身高，双手举过头顶，在不起跳的情况下，摸高约为．第一次演练时，消防员将梯子底端放置在距离墙面处． ①此时消防员能否安全使用这架梯子？ ②在消防员向上攀爬到梯子顶端的过程中，梯子的底端沿方向滑动了，在保证安全且不起跳的情况下消防员站在梯子顶端双手是否能攀上墙？（参考数据：，) 【变式训练】（（2024·江西·模拟预测）图1 是斜式单面展架，图2是它的侧面示意图，表示画面支撑杆， 表示展架支撑杆， 表示底座，，垂足为D，点C在 上，，画面支撑杆可绕着点C 旋转．经测量，，，． (1)求展架的高度（即点 B 到底座 的距离）； (2)一般地，展架的标准高度为，画面支撑杆 要绕着点C 顺时针旋转多少度，展架才能达到标准高度？（参考数据：，，，，，，结果保留到小数点后一位） 1．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 2．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点D为边中点，将绕A旋转，点B，C对应点分别为点E，F，若点F在射线上，则 3．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连结，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·河南郑州·中考真题）如图，正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·中考真题）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 基础夯实 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）计算的值是（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    5．（25-26九年级下·重庆长寿·月考）计算： (1) (2) 培优拔高 6．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（    ） A． B． C． D．3 7．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形中，，，等边三角形的边平分，交于点，边过点，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海·二模）如图，中，，，．点在边上，将沿着翻折至的位置，射线交线段于点．当是等腰三角形时，的面积为 ． 9．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则 ． 10．（24-25九年级下·全国·单元测试）下面利用的正切求的值，方法如下： 解：如图，构造，其中，延长到点D，使，连接，则．设，则．又， ． 请你仿照此法求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $