专题3.4 简单几何体的表面展开图（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦简单几何体的表面展开图核心知识点，系统梳理直棱柱（含正方体11种展开图及易错类型）、圆柱、圆锥的展开图特征，推导侧面积与全面积公式，构建从几何体概念到展开图应用的完整学习支架。 资料以9类题型分层讲练（典例精讲+变式训练）为主线，融合中考真题与基础夯实、培优拔高分层训练，通过圆锥实际问题（如粮仓表面积计算）培养数学眼光，借助最短路径推理提升数学思维，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺。

专题3.4 简单几何体的表面展开图 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：直棱柱的表面展开图 1 知识点梳理02：圆柱的表面展开图 3 知识点梳理03：圆锥的表面展开图 3 题型讲练 4 题型1：已知三视图求边长 4 题型2：已知三视图求侧面积或表面积 6 题型3：求小立方块堆砌图形的表面积 8 题型4：求圆锥侧面积 10 题型5：求圆锥底面半径 11 题型6：求圆锥的高 13 题型7：求圆锥侧面展开图的圆心角 15 题型8：圆锥的实际问题 16 题型9：圆锥侧面上最短路径问题 18 中考真题 21 分层训练 24 基础夯实 24 培优拔高 30 知识点梳理01：直棱柱的表面展开图 1. 几何体的表面展开图：将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. 2. 直棱柱的表面展开图 直棱柱的表面展开图有以下特征： （1）两个底面的展开图全等； （2）侧面展开图均为矩形，且各个矩形有一条边相等. 3. 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 正方体展开图共11种： 【易错点拨】 不能作为正方体表面展开图的常见情况: 1. 四个以上的正方形排成一排，或四个正方形排成一排且另两个在这一排的同侧，如 或 或 等; 2.出现“田”字形，如 等; 3.出现“凹”字形，如等. 知识点梳理02：圆柱的表面展开图 1. 圆柱的概念 如图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（ BC ）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体. AB , CD 旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆. AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面， AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线. 2. 圆柱的表面展开图 如果沿圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展 开图.一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆柱的表面展开图如图所示. 3. 圆柱的侧面积和全面积 圆柱的侧面积 S侧=2πr l ；圆柱的全面积S全＝S侧＋S底＝2πrl＋πr2 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2（其中 r 为底面半径， l为高）. 知识点梳理03：圆锥的表面展开图 1. 圆锥的概念 如图，圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边 BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边 AB 旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边 AB 不论转动到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. 2. 圆锥的表面展开图 一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长 l ，弧长为底面圆周长 2πr 的扇形.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，如图. 【易错点拨】 （1）扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长； （2）扇形的面积等于圆锥的侧面积. 3. 圆锥的侧面积、全面积和侧面展开图扇形的圆心角度数 如图，圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 θ，则 圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2 圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数： θ=⋅360^ . 题型1：已知三视图求边长 【典例精讲】（2023·江苏南京·三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）    A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【思路点拨】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解． 【规范解答】解：如图，    由主视图和左视图可得： ，，， ，， ，， 连接，则有， 为等边三角形， ， ， ， ． 故选：D． 【变式训练1】（2024·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【思路点拨】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 【规范解答】过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到，    ∵，， ∴． 故选A． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北邢台·期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径． 【答案】 【思路点拨】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图， ∵底面直径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即这条线路的最短路径为． 题型2：已知三视图求侧面积或表面积 【典例精讲】（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键． 首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求． 【规范解答】解：观察三视图发现该几何体为圆锥， 其底面直径为，母线长为， 所以其侧面积为：，底面积为：， 所以全面积为：． 故答案为：． 【变式训练1】（2025·广东广州·一模）一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积． 【规范解答】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为， ∴圆锥的母线为：， ∴圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， ∴该几何体的全面积为：． 故答案为． 【变式训练2】（2025·山东东营·一模）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （    ） A．12 π B．15 π C．20 π D．30 π 【答案】B 【思路点拨】此题考查了三视图、圆锥的侧面积等知识．根据三视图判断几何体为圆锥，再进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥， ∴圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积． 故选：B． 题型3：求小立方块堆砌图形的表面积 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏连云港·期末）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，其俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数． (1)请在下图的方格中画出该几何体的主视图和左视图； (2)若每个小正方体的棱长为，则该几何体表面积（包含底面）为______． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查几何体的三视图，由三视图求解几何体的表面积，解题关键是理解三视图的定义，表面积的定义，难度不大． （1）根据俯视图，结合主视图和左视图的定义可画出图形； （2）根据三视图和表面积的定义即可求得该几何体表面积． 【规范解答】（1）解：如图所示， （2）解：根据题意可知小正方体的每个面的面积为：， 该几何体的上下面的个数为个，左右面的个数为个，前后面的个数为个， 该几何体的表面积为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·河南郑州·期末）若干个棱长为的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的表面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了由三视图判断几何体，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中小正方形数字中最大数字． 由已知条件可知，这个几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2，还有两个列夹的空列也出现了两个面，每个面有1个正方形，据此可得这个几何体的表面积． 【规范解答】解：根据题意可得：这个几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2，还有两个列夹的空列也出现了两个面，每个面有1个正方形， 这个几何体的表面积为：， 故答案为：32． 【变式训练2】（24-25九年级下·山西太原·月考）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1cm．       (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：______，体积为______； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】(1)，； (2)画图见解析． 【思路点拨】本题考查作图——从不同方向看几何体，几何体的表面积，体积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可； （）利用三视图的画法画出图形即可． 【规范解答】（1）解：几何体的表面积：，体积为， 故答案为：，； （2）解：根据三视图的画法，画出相应的图形如下： 题型4：求圆锥侧面积 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 【答案】 【思路点拨】根据题意，得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，解答即可． 本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握公式是解题的关键． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于． 【变式训练1】（24-25九年级下·云南昆明·月考）正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为24，篓高（圆锥高）为16，则这个竹篓的侧面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆锥侧面积公式及勾股定理．先根据勾股定理求出圆锥的母线，再利用圆锥侧面积公式即可求解． 【规范解答】解：圆锥的底面直径为24，圆锥高为16， 圆锥的母线， 这个竹篓的侧面积为：， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海宝山·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么这个圆锥的表面积为 （保留）． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是求解圆锥的表面积，先求解底面积，再求解侧面积，最后求和即可． 【规范解答】解：圆锥的底面半径为，母线长为， 它的底面积为，侧面积为， 这个圆锥的表面积为， 故答案为：． 题型5：求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·期末）用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 【答案】A 【思路点拨】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【规范解答】解：设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面半径是6． 故选：A． 【变式训练1】（2025·云南昆明·三模）将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是求解圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，结合已知条件直接求解底面半径即可. 【规范解答】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长（即展开后扇形的半径），题目中给出扇形的面积为，母线长，代入公式得： 解得， 因此，圆锥的底面半径为， 故选：D 【变式训练2】（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 【规范解答】解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 题型6：求圆锥的高 【典例精讲】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求圆锥的高，求圆锥底面圆半径，勾股定理，，设这个圆锥体的底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【规范解答】解：设这个圆锥体的底面圆半径为r， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥体的高为， 故答案为：． 【变式训练1】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【规范解答】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 【变式训练2】（2025·江苏南京·二模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【规范解答】解：设侧面展开图的半径为r， ， 解得， 设圆锥的高为h， 则， 故答案为：． 题型7：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【规范解答】解：∵底面圆的周长是， ∴圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数为n度，母线长是，则， 解得：； 故答案为：． 【变式训练1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 【答案】160 【思路点拨】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算． 【规范解答】解：根据弧长的公式得到： ， 解得． 即侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为：160． 【变式训练2】（2025·云南楚雄·模拟预测）活动课上，李老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为，将帽子展开得到的扇形的圆心角，则制作这种帽子需要的材料面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了求扇形面积．根据题意得：扇形弧长是：，设扇形的半径是，根据弧长公式求出，再根据扇形面积公式计算，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得扇形的弧长为． 设扇形的半径是，则， 解得， 制作这种帽子需要的材料面积为． 故选：B． 题型8：圆锥的实际问题 【典例精讲】（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 【变式训练1】（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【规范解答】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北荆州·月考）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【答案】(1)5m (2)63m2 【思路点拨】（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【规范解答】（1）如图，圆锥的轴截面为， 为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长， 由题意可知，m，m， ∴母线长m； （2）顶部圆锥的底面圆周长为m， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是m2． 题型9：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【规范解答】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【变式训练1】（23-24九年级下·湖北鄂州·月考）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【规范解答】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【思路点拨】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【规范解答】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 1．（2024·山东威海·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可求得这个几何体的侧面积为（  ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【规范解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是3， 所以该几何体的侧面积为． 故选：C． 2．（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（   ） A．20π B．18π C．16π D．14π 【答案】C 【思路点拨】本题考查利用三视图还原几何体，求圆柱体的表面积，根据三视图可知，几何体为底面半径为2，高为2的圆柱体，根据圆柱体的表面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：由图可知：几何体为底面半径为2，高为2的圆柱体， ∴几何体的表面积为：； 故选C． 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查弧长公式和圆锥的概念，设，则，根据弧长公式和圆锥的概念列出方程式求解即可． 【规范解答】解：设，则， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 4．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径为，，长为，则纸杯的表面积为 （结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查的是求解扇形的面积，先计算纸杯的底面积为，再结合展开图可得纸杯的侧面积是；进一步可得答案． 【规范解答】解：如图，纸杯的底面积为， 纸杯的侧面积是； 设展开图圆心角， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴纸杯的侧面积是 ； ∴纸杯的表面积为． 故答案为： 5．（2024·广东梅州·中考真题）如图是一个几何体的三视图，求该几何体的表面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查由三视图判断几何体和几何体的表面积，掌握几何体的形体特征是正确计算的前提． 根据三视图及相应的数据，得出几何体形状以及底面、侧面形状和大小，进而计算出面积即可． 【规范解答】解：由三视图可知，该几何体是三棱柱， 其表面积为：， 答：该几何体的表面积为． 基础夯实 1．（2024·广东清远·二模）如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积公式． 先根据圆锥底面直径求出底面周长，再结合圆锥母线长，利用圆锥侧面积公式计算侧面积． 【规范解答】解：已知圆锥底面直径为6cm，则底面半径，底面周长． 圆锥母线长， 圆锥的侧面积公式为， 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）用一个圆心角为，半径为9的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查求圆锥的底面直径．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【规范解答】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：D． 3．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 4．（2024·云南曲靖·模拟预测）用一个圆心角为，半径为8的扇形制作一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【规范解答】解：依题意， 解得： 故答案为：． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形的外角和、弧长公式、圆锥的侧面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【规范解答】解：∵正六边形的边长为6， ∴，， ∴弧的长为： ， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高 ． 故答案为：． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）直角三角形的两直角边长分别为，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积等知识点，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 先利用勾股定理求出斜边长，再利用圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为， ∴由勾股定理得斜边长为， 以边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周， ∴侧面积为． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，从直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线连接，如图，先求出，则可判断为等边三角形，所以，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：连接，如图， ∵O点为扇形的弧的中点， ， ， 为等边三角形， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ，解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为． 8．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及求几何体的侧面积，解题的关键是根据三视图确定几何体的形状，并明确其侧面展开图的特征。 （1）根据主视图、左视图和俯视图的形状来判断几何体的名称； （2）先明确三棱柱侧面展开图的形状，再根据已知条件求出侧面积。 【规范解答】（1）解：主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，符合三棱柱的三视图特征，所以这个几何体是三棱柱； （2）解：三棱柱的侧面展开图是三个长方形，长方形的长为三棱柱的高 3 cm ，长方形的宽为俯视图中三角形的边长 2 cm ， 一个侧面长方形的面积为， 三棱柱有三个侧面， 侧面积为。 这个几何体的侧面积为 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【思路点拨】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积； （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以扇形面积公式计算即可得到圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得•2π•3•R＝15π，解得R＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【规范解答】解：（1）圆锥的表面积； （2）圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的高． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆的占地面积是15平方米，高4米，把这堆沙子铺在宽8米的路上，平均铺5厘米厚，能铺路多少米？ 【答案】50米 【思路点拨】本题是等积变形问题，“沙”由原来的圆锥形变成后来的长方体只是形状变了，体积没变，等量关系式：圆锥的体积长方体的体积，圆锥的体积，长方体的体积长宽高，设能铺米长，根据等量关系式再列式计算即可求出结果． 【规范解答】解：（米， 答：能铺路50米． 培优拔高 11．（25-26九年级下·北京·月考）如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【规范解答】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 12．（2025九年级下·云南昆明·学业考试）小米给过生日的弟弟做了一顶圆锥形的生日帽，经过测量这顶圆锥形帽的母线长度为30厘米，底面圆的半径为15厘米，则该圆锥帽的侧面积为（    ） A．225平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆锥的有关计算，利用圆锥侧面积公式为，即可求出答案． 【规范解答】解：根据题意，母线长，底面圆的半径， 该圆锥形帽的侧面积为， 故选：D． 13．（23-24九年级下·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为．根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，可建立方程求出母线长．再利用扇形弧长等于底面周长，即可求出圆心角． 【规范解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意，得： ∴． 又∵，将代入得： ∴； 故选D． 14．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【思路点拨】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径，利用勾股定理求解即可． 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 【规范解答】解：由圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是， 得底面圆的周长为， 设扇形的半径为， 故， 解得， 故圆锥的母线长为， 故它的侧面积是， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·湖南永州·月考）如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中，，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，先证明为等腰直角三角形得到，再证明为等边三角形得到，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下圆锥的侧面积． 【规范解答】解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故答案为：． 16．（23-24九年级下·江苏淮安·月考）已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图面积为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【思路点拨】先根据圆锥底面半径求出底面圆周长，此周长等于侧面展开图扇形的弧长，再结合侧面展开图面积公式求出母线长，最后利用圆锥的母线、底面半径和高的关系（勾股定理）求出圆锥的高． 本题主要考查了圆锥的性质（底面圆周长与侧面展开图扇形弧长的关系）、扇形面积公式以及勾股定理在圆锥中的应用，熟练掌握圆锥各部分之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：设圆锥母线长为， ∵ 圆锥底面圆半径， ∴ 底面圆周长， 又∵ 圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长，侧面展开图面积（为弧长，为母线长），且侧面展开图面积为， ∴ ， 解得， ∴ 圆锥的高． 故答案为： ． 17．（2025·贵州铜仁·三模）某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为 （结果保留）． 【答案】平方米 【思路点拨】本题考查圆锥侧面积的计算，关键是先求母线长，再用侧面积公式： 先根据圆锥底面半径与高，利用勾股定理算出母线长；再代入圆锥侧面积公式，求出覆盖侧面所需防尘布的最小面积 ． 【规范解答】解：根据题意知：圆锥底面半径米，高米， 由勾股定理米 ． 圆锥侧面积公式，代入，，得 （平方米）； 故答案为：平方米 18．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，是的直径． (1)尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可． （2）根据弧长公式，圆锥的展开图性质解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，圆锥的展开图，弧长公式，熟练掌握基本作图，弧长公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示， 则直线为所求． （2）解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线，的半径是4； ∴； ∴； ∴；                            ∵； ∴； ∴； ∵的长为； 又∵扇形围成圆锥的侧面时，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长是． 19．（24-25九年级下·上海青浦·期末）如图，已知圆锥形石膏像的底面直径，母线长，求它的表面积（结果保留）和侧面展开图的圆心角． 【答案】表面积为；侧面展开图的圆心角为 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，根据圆的面积，圆锥的侧面积公式以及根据弧长的公式进行计算，即可求解． 【规范解答】解：∵圆锥形石膏像的底面直径，母线长， ∴表面积为： 根据弧长的公式得到：， 解得度． 侧面展开图的圆心角为度． 20．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 (1)求剪下的扇形的半径． (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接，过点O作于H， ∵扇形的圆心角为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴剪下的扇形的半径为； （2）解：， ∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 简单几何体的表面展开图 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：直棱柱的表面展开图 1 知识点梳理02：圆柱的表面展开图 2 知识点梳理03：圆锥的表面展开图 3 题型讲练 4 题型1：已知三视图求边长 4 题型2：已知三视图求侧面积或表面积 5 题型3：求小立方块堆砌图形的表面积 6 题型4：求圆锥侧面积 7 题型5：求圆锥底面半径 7 题型6：求圆锥的高 8 题型7：求圆锥侧面展开图的圆心角 8 题型8：圆锥的实际问题 8 题型9：圆锥侧面上最短路径问题 10 中考真题 10 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 14 知识点梳理01：直棱柱的表面展开图 1. 几何体的表面展开图：将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. 2. 直棱柱的表面展开图 直棱柱的表面展开图有以下特征： （1）两个底面的展开图全等； （2）侧面展开图均为矩形，且各个矩形有一条边相等. 3. 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 正方体展开图共11种： 【易错点拨】 不能作为正方体表面展开图的常见情况: 1. 四个以上的正方形排成一排，或四个正方形排成一排且另两个在这一排的同侧，如 或 或 等; 2.出现“田”字形，如 等; 3.出现“凹”字形，如等. 知识点梳理02：圆柱的表面展开图 1. 圆柱的概念 如图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（ BC ）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体. AB , CD 旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆. AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面， AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线. 2. 圆柱的表面展开图 如果沿圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展 开图.一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆柱的表面展开图如图所示. 3. 圆柱的侧面积和全面积 圆柱的侧面积 S侧=2πr l ；圆柱的全面积S全＝S侧＋S底＝2πrl＋πr2 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2（其中 r 为底面半径， l为高）. 知识点梳理03：圆锥的表面展开图 1. 圆锥的概念 如图，圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边 BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边 AB 旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边 AB 不论转动到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. 2. 圆锥的表面展开图 一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长 l ，弧长为底面圆周长 2πr 的扇形.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，如图. 【易错点拨】 （1）扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长； （2）扇形的面积等于圆锥的侧面积. 3. 圆锥的侧面积、全面积和侧面展开图扇形的圆心角度数 如图，圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 θ，则 圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2 圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数： θ=⋅360^ . 题型1：已知三视图求边长 【典例精讲】（2023·江苏南京·三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）    A． B．4 C．2 D． 【变式训练1】（2024·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【变式训练2】（24-25九年级下·河北邢台·期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径． 题型2：已知三视图求侧面积或表面积 【典例精讲】（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为 ． 【变式训练1】（2025·广东广州·一模）一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留） 【变式训练2】（2025·山东东营·一模）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （    ） A．12 π B．15 π C．20 π D．30 π 题型3：求小立方块堆砌图形的表面积 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏连云港·期末）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，其俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数． (1)请在下图的方格中画出该几何体的主视图和左视图； (2)若每个小正方体的棱长为，则该几何体表面积（包含底面）为______． 【变式训练1】（24-25九年级下·河南郑州·期末）若干个棱长为的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的表面积为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·山西太原·月考）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1cm．       (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：______，体积为______； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 题型4：求圆锥侧面积 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 【变式训练1】（24-25九年级下·云南昆明·月考）正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为24，篓高（圆锥高）为16，则这个竹篓的侧面积为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海宝山·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么这个圆锥的表面积为 （保留）． 题型5：求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·期末）用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 【变式训练1】（2025·云南昆明·三模）将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 题型6：求圆锥的高 【典例精讲】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【变式训练1】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·江苏南京·二模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为 ． 题型7：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【变式训练1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 【变式训练2】（2025·云南楚雄·模拟预测）活动课上，李老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为，将帽子展开得到的扇形的圆心角，则制作这种帽子需要的材料面积为（   ） A． B． C． D． 题型8：圆锥的实际问题 【典例精讲】（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【变式训练1】（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北荆州·月考）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 题型9：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【变式训练1】（23-24九年级下·湖北鄂州·月考）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 1．（2024·山东威海·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可求得这个几何体的侧面积为（  ） A．12 B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（   ） A．20π B．18π C．16π D．14π 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ． 4．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径为，，长为，则纸杯的表面积为 （结果保留） 5．（2024·广东梅州·中考真题）如图是一个几何体的三视图，求该几何体的表面积． 基础夯实 1．（2024·广东清远·二模）如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）用一个圆心角为，半径为9的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·云南曲靖·模拟预测）用一个圆心角为，半径为8的扇形制作一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）直角三角形的两直角边长分别为，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ． 7．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，从直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ． 8．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆的占地面积是15平方米，高4米，把这堆沙子铺在宽8米的路上，平均铺5厘米厚，能铺路多少米？ 培优拔高 11．（25-26九年级下·北京·月考）如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 12．（2025九年级下·云南昆明·学业考试）小米给过生日的弟弟做了一顶圆锥形的生日帽，经过测量这顶圆锥形帽的母线长度为30厘米，底面圆的半径为15厘米，则该圆锥帽的侧面积为（    ） A．225平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 13．（23-24九年级下·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 15．（24-25九年级下·湖南永州·月考）如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中，，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ． 16．（23-24九年级下·江苏淮安·月考）已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图面积为，则该圆锥的高为 ． 17．（2025·贵州铜仁·三模）某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为 （结果保留）． 18．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，是的直径． (1)尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 19．（24-25九年级下·上海青浦·期末）如图，已知圆锥形石膏像的底面直径，母线长，求它的表面积（结果保留）和侧面展开图的圆心角． 20．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 (1)求剪下的扇形的半径． (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $