专题7.2.1-7.2.2 平行线及其判定（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦平行线及其判定核心知识点，系统梳理平行线的定义、画法、平行公理及推论，以及同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定方法，构建从概念到公理再到判定应用的完整知识支架。 资料设计亮点突出，9个题型讲练覆盖平面与立体图形中的平行问题，中考真题演练衔接升学需求，分层训练满足基础夯实与培优拔高。通过易错点拨培养学生严谨思维，几何直观与推理意识在立体图形平行棱等题型中强化，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

专题7.2.1-7.2.2 平行线及其判定 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平行线的定义及画法 1 知识点梳理02：平行公理及推论 2 知识点梳理03：直线平行的判定 2 题型讲练 3 题型1：平面内两直线的位置关系 3 题型2：立体图形中平行的棱 4 题型3：用直尺、三角板画平行线 5 题型4：平行公理的应用 5 题型5：平行公理推论的应用 6 题型6：同位角相等两直线平行 6 题型7：内错角相等两直线平行 7 题型8：同旁内角互补两直线平行 8 题型9：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 9 中考真题 10 分层训练 11 基础夯实 11 培优拔高 13 知识点梳理01：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点梳理02：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【易错点拨】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点梳理03：直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 题型1：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京·月考）如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 题型2：立体图形中平行的棱 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 题型3：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 题型4：平行公理的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【变式训练1】（24-25七年级下·山东聊城·开学考试）a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 题型5：平行公理推论的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）若，，则与的位置关系是 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·山西朔州·月考）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【变式训练2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 题型6：同位角相等两直线平行 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 题型7：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 题型8：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 题型9：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·广东东莞·月考）下列说法错误的个数（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列说法错误的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有两条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 1．（2024·安徽芜湖·中考真题）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 2．（2024·北京·中考真题）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 4．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． 5．（2024·广东湛江·中考真题）如图，，平分，请说明：． 基础夯实 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 5．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 7．（24-25七年级下·浙江·假期作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 12．（24-25七年级下·北京·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在上，连接，下列条件： ； ； ； ； ．其中能判定的条件有 （填序号即可）． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2.1-7.2.2 平行线及其判定 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平行线的定义及画法 1 知识点梳理02：平行公理及推论 2 知识点梳理03：直线平行的判定 2 题型讲练 3 题型1：平面内两直线的位置关系 3 题型2：立体图形中平行的棱 5 题型3：用直尺、三角板画平行线 6 题型4：平行公理的应用 8 题型5：平行公理推论的应用 10 题型6：同位角相等两直线平行 11 题型7：内错角相等两直线平行 12 题型8：同旁内角互补两直线平行 14 题型9：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 16 中考真题 18 分层训练 21 基础夯实 21 培优拔高 27 知识点梳理01：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点梳理02：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【易错点拨】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点梳理03：直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 题型1：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【思路点拨】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【规范解答】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 【答案】，， 【思路点拨】本题考查网格中平行线的识别，熟记平行线的特征是解决问题的关键． 根据网格中各个线段的特征求解即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示： 由于是矩形的对角线，则图中也是矩形对角线的是， 即； 由于是正方形的对角线，图中正方形的对角线的是， 即； 由于是矩形的对角线，图中矩形对角线的是， 即； 综上所述，互相平行的线段有，，． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京·月考）如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【规范解答】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 题型2：立体图形中平行的棱 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【规范解答】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查认识立体图形，平行线的判定；解题的关键是理解题意．根据长方体的特征，即可得到与棱平行的棱． 【规范解答】解：由图可知，与棱平行的棱有棱、棱、棱， 故选：B． 【变式训练2】（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【思路点拨】（1）根据长方体的立体结构画出即可． （2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可． （3）因为线与面没有交点，所以平行． 【规范解答】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 题型3：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【答案】作图见详解 【思路点拨】本题考查了利用直尺和三角板作平行线的方法，解题的关键是掌握用直尺和三角板作平行线的具体操作步骤，易错点是在使用工具作图时，角度把握不准确，导致所作直线不平行；利用直尺和三角板，将三角板的一边与已知直线重合，直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺平移三角板到指定点，过该点沿三角板原边作直线，得到平行线． 【规范解答】 过点作直线平行于：把三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺平移三角板使它的边经过点，过点沿三角板的这条边画直线； 过点作直线平行于：将三角板一边与重合，用同样方法平移三角板至点，过点沿三角板边画直线． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查方格纸作平行线，掌握知识点是解题的关键． 根据方格纸作平行线的方法作图即可． 【规范解答】解：作图如图， ∴． 用直尺和三角板检验平行线即可，具体步骤如下： 1．固定直尺：将直尺的一条边与其中一条待检验直线（记为直线a）完全重合，并按住直尺使其固定不动． 2．贴合三角板：将三角板的一条直角边与直尺刚才重合的边紧密贴合，确保三角板的另一条直角边能与另一条待检验直线（记为直线b）接触． 3．平移与观察：按住三角板，使其沿着直尺的边平稳平移．若在平移过程中，三角板的直角边与直线b始终保持完全重合（无间隙、不分离），则直线a与直线b平行；若出现分离或无法重合，则两直线不平行． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了网格作图，作已知直线的平行线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格的性质，过点作的平行线，即可作答． （2）结合网格的性质，过点作的平行线，与直线交于点，即可作答． 【规范解答】（1）解：过点作的平行线，如图所示： （2）解：如图所示； 题型4：平行公理的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【思路点拨】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【规范解答】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东聊城·开学考试）a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行公理， 根据平行公理及推论求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴. 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【思路点拨】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【规范解答】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 题型5：平行公理推论的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）若，，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【思路点拨】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴则与的位置关系是是平行， 故答案为：平行． 【变式训练1】（24-25七年级下·山西朔州·月考）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【规范解答】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 【变式训练2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 【答案】平行 【思路点拨】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 题型6：同位角相等两直线平行 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【规范解答】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【规范解答】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 题型7：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐一判定即可． 【规范解答】A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故该选项错误，不符合题意； B、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； C、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【思路点拨】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【规范解答】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理添加条件，即可求解． 【规范解答】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或或．（答案不唯一） 题型8：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)2；3 (3)2；4 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行判定即可； （2）根据内错角相等，两直线平行，进行判定即可； （3）同旁内角互补，两直线平行，进行判定即可． 【规范解答】（1）证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． （2）证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）． （3）证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键. 【规范解答】解：当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（内错角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：或或或或 （答案不唯一）. 题型9：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·广东东莞·月考）下列说法错误的个数（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线、点到直线的距离等知识，注意平行公理是在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据平行公理、点到直线的距离，对选项逐一进行分析，即可得出答案． 【规范解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误； ④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误； 故说法错误的有个， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列说法错误的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有两条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，垂线的性质，垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据平行线的判定，垂线的性质，垂线段最短分别判断即可． 【规范解答】解：A、内错角相等，两直线平行，说法正确，故本选项不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，说法正确，故本选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，故本选项符合题意； D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据对顶角的定义，反向延长分别到点C和点D，则即为所求． （2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图即可． （3）根据平行线的性质解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：反向延长分别到点C和点D， ． 则即为所求． （2）解：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图如下： 则直线交于点N，直线交于点M； 则直线即为所求． （3）解：根据，， 故，， 则， 又， 故． 1．（2024·安徽芜湖·中考真题）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解：， ； ， ； ， ； ， ； 综上所述，能判定的有②③， 故选：B． 2．（2024·北京·中考真题）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【规范解答】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 3．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【答案】③④ 【思路点拨】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：③④． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． 【答案】或或或 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，此时停止运动， ，解得：； ④当时，此时停止运动， ，解得：， 综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行， 故答案为：或或或． 5．（2024·广东湛江·中考真题）如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 基础夯实 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【规范解答】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【规范解答】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【规范解答】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【规范解答】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【规范解答】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【规范解答】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意； ②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意； ③百米跑道线，是平行线，符合题意； ④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意； 综上：属于平行线的有①③④，三个． 故答案为：①③④． 7．（24-25七年级下·浙江·假期作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】 不是 同一平面 【思路点拨】本题考查直线的位置关系，长方体，解题的关键是熟练掌握长方体的性质． （1）根据长方形的性质，判断长方体两条棱之间的位置关系即可； （2）根据图形，写出答案即可． 【规范解答】（1）解：∵长方体的各个面均为长方形，长方形对边平行，邻边互相垂直， ∴，，，，， ∴，， 故答案为：①，②，③，④； （2）解：由图可知，与不是平行线， ∵与不在同一平面内，与所在的直线不相交，也不平行， ∴在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线， 故答案为：⑤不是，⑥同一平面． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【思路点拨】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【规范解答】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角板画平行线即可． 【规范解答】解：如图，、即为所求作的平行线． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 【答案】(1)，，同位角相等，两直线平行 (2)，，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【思路点拨】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是做题的关键． （1）根据平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据平行线的判定方法即可得出答案； （3）根据平行线的判定方法即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． （2）解：， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，，内错角相等，两直线平行． （3）解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【思路点拨】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【规范解答】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 12．（24-25七年级下·北京·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质逐项进行判定即可． 【规范解答】解：A. 一条直线的平行线有无数条，该选项说法错误，不符合题意； B. 该选项说法正确，符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，该选项说法错误，不符合题意； D. 过直线上一点能作无数条直线和这条直线相交，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【思路点拨】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【规范解答】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在上，连接，下列条件： ； ； ； ； ．其中能判定的条件有 （填序号即可）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一排除即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴； 由不能判定； ， ∴； ， ∴； 不能判定； 综上可知：能判定， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【思路点拨】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【规范解答】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【思路点拨】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路点拨】本题考查了画平行线，解答本题的关键是掌握平行线的画法； （1）将直尺与重合，三角尺与重合，然后将三角尺沿直尺向上平移，使之平移至E点，然后过E点画直线即可得到与平行的直线；利用同样的画法，画出经过点E与直线平行的直线； （2）将三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺移动三角板使一边经过点A，过点A沿这边画直线，此直线即为过点A且平行于的直线;把三角板一边与重合，按上述方法操作，画出过点B且平行于的直线;将三角板一边与重合，通过上述平移三角板的方法，画出过点C且平行于的直线 ． 【规范解答】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示： 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【规范解答】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $