（温故知新-寒假专供）专题06 用字母表示数（知识回顾+四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共31题）-苏教版数学五年级上册

专题06 用字母表示数 （知识回顾+四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共31题） 【原卷版】 知识回顾 1 知识点01：用含有字母的式子表示数、数量关系 1 知识点02：用含有字母的式子表示计算公式 1 知识点03：求简单的含有字母式子的值 2 知识点04：化简含有字母的式子 2 题型讲练 2 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 2 重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 3 重点难点题型三：用字母表示稍复杂的数量关系 4 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 6 拔尖训练 7 知识点01：用含有字母的式子表示数、数量关系 用字母可以表示数。如：摆1个▲用3根小木棒，摆a个▲用3a根小木棒。 给出字母的值后，要求式子的值，只要将字母用相应值代替再进行计算即可。 含字母的式子既可以表示数量，又可以表示数量关系，还可以表示计算结果。字母和字母、数字和字母相乘时，乘号可以简写成“·”或省略不写（数字在前，字母在后） 知识点02：用含有字母的式子表示计算公式 计算公式中的大写字母是数学里已经规定的，不能随意用其他字母替换，如C表示周长，S表示面积等，数与字母、字母与字母中间的乘号可以省略不写，但数与字母中间省略乘号时，应把数字写在字母的前面。如果字母与1相乘，可写字母本身，如：a×1=a。 a×4和4×a通常可以写成4·a或4a；a×a可以写成a·a或a²。 a²读作a的平方。 a与1相乘，一般写作a。 用含有字母的式子表示计算公式： 如果正方形的边长用a表示，周长是C表示，面积用S表示，则C=a×4，S=a×a。式子中的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。在省略不写乘号的时候，要把数字写在字母或括号前面。 知识点03：求简单的含有字母式子的值 利用含有字母的式子表示常见数量关系式进行计算： 利用含有字母的式子表示常见数量关系式进行计算时，要先写出所用的数量关系式，然后把字母表示的数值带入数量关系式进行计算。计算的结果不必写出单位名称，只在答语中注明。 知识点04：化简含有字母的式子 化简形如“ax±bx”的式子 （1）ax+bx=(a+b)x 如：3x+4x=(3+4)x=7x （2）ax−bx=(a−b)x 如：8x−5x=(8−5)x=3x 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 【例】（24-25六年级下·江苏盐城·期末）下面是用半径1厘米的圆组成的图。 (1)第①幅图中阴影部分面积是πcm2，第②幅图中阴影部分面积是1.5πcm2。如果照这样的规律在第④幅图中涂一涂，阴影部分面积是( )cm2。 (2)照这样的规律，用含有字母的式子表示，第n幅图中阴影部分面积是( )cm2。 【变式1】（24-25五年级下·福建宁德·期中）如图，有甲、乙、丙三根绳子，丙绳的长度是（    ）分米。 A．45－x＋30 B．45－30＋x C．45－（30＋x） D．45－30－x 【变式2】（24-25五年级上·江苏淮安·期末）有一个三角形，第一次连接这个三角形三条边的中点得到，第2次连接中间一个三角形三条边的中点得到，……依次类推。 （1）请你算出每次操作后三角形的个数填入下表。 操作次数 最初 第1次 第2次 第3次 三角形的个数 1 5 （2）照这样操作n次，一共有（    ）个三角形。 【变式3】（25-26五年级上·江苏徐州·期中）如下图，1张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，3张餐桌可以坐14人，像这样4张餐桌可以坐( )人，张餐桌可以坐( )人。 重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 【例】（23-24五年级上·江苏·课后作业）应用面积公式计算各图形的面积。 【变式1】（23-24五年级上·江苏·课后作业）先写出公式，再把数值代入公式计算。 求长15米、宽8米的长方形的面积和周长。 【变式2】（23-24五年级上·江苏扬州·期末）如图，一块平行四边形空地的面积是600平方米，连接它的顶点A以及对面相邻两条边的中点E、F，得到一个阴影三角形AEF，阴影三角形AEF的面积是( )平方米。 【变式3】（24-25五年级上·广西防城港·期末）如图是丁丁家附近的公园示意图，如果丁丁绕公园走一圈，需要走（    ）米。 A． B． C． 重点难点题型三：用字母表示稍复杂的数量关系 【例】（25-26五年级上·全国·课后作业）看图回答问题。 （1）长方形A的周长是（    ）cm，面积是（    ）cm2。 （2）长方形B的周长是（    ）cm，面积是（    ）cm2。 （3）用含有字母的式子表示整个图形的面积。当a＝30，b＝16，c＝15时，整个图形的面积是多少平方厘米？ 【变式1】（24-25六年级下·江苏扬州·期末）数形结合是重要的数学思想方法之一，我们常常借助“形”来研究“数”的问题。乐乐在方格纸上将一个大正方形分成两个正方形和两个相同的长方形（如图①），她用两种不同方法表示出大正方形的面积，并得出等式：。 （1）乐乐又继续研究，得出。你知道她是怎么想的吗？请在图②中画一画。 （2）这样的例子能举得完吗？请你借助图想想试试，把你的发现用含有字母的式子表示出来：____________ （3）根据你的发现进行计算：______，______。 【变式2】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）如图，第1个图中有5枚棋子，第2个图中有9枚棋子，第3个图中有13枚棋子，第4个图中有17枚棋子，……，按照这样的规律摆下去，第( )个图中有85枚棋子。 【变式3】（23-24六年级下·全国·课后作业）某运输公司规定：办理托运，当一件物品称重后不超过16千克时，需付基础费30元和保险费b元；当一件物品称重后超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付c元超重费。（为限制过重物品的托运） （1）用含有字母的式子表示托运物品的质量a（a＞18）千克与支付费用y元之间的关系。 （2）甲、乙、丙三人各托运了一件物品，物品的质量与支付费用如下表： 物品质量/千克 12 18 25 支付费用/元 33 39 60 请根据上面提供的信息可以确定b＝（    ），c＝（    ）。 （3）在物品可拆分的情况下，用不超过105元的费用能否托运50千克物品？若能，请你设计出一种托运方案，并求出支付费用；若不能，请说明理由。 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 【例】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ （2）当，时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 【变式1】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）下面各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“O”代表窗纸上所贴的剪纸。 (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )，那么第4个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )。 (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是( )，当n＝25时，所贴剪纸“〇”的个数是( )。 【变式2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）有两个完全相同的梯形，上底长a厘米，下底长b厘米，高是h厘米。把这两个梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是( )厘米高是( )厘米。每个梯形的面积是( )平方厘米。 【变式3】（22-23五年级上·江苏盐城·期末）用小棒照下面的样子摆出三组图形。 (1)摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用( )根小棒，摆3个正方形要用( )根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用( )根小棒。摆6个正方形用( )根小棒。 (2)摆n个正方形需要( )根小棒；当n＝100时，一共需要( )根小棒。 1．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）下列说法正确的有（    ）个。 ①一个数不是正数，就是负数。 ②两个等底等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 ③2.70与2.7相比，大小相等，但2.70更精确些。 ④2a与都表示两个a相乘。 ⑤28个小朋友手拉手围成一个正方形，面积大约是1公顷。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25五年级上·江苏淮安·期末）下面几句话中，不正确的有（    ）句。 ①比0.5大，比0.6小的小数有无数个。 ②不可能等于。 ③我们所认识的数不是正数就是负数。 A．1 B．2 C．3 3．（2025五年级上·江苏盐城·专题练习）下面说法正确的有（    ）个。 ①正数都比0大，负数比0小。 ②法国数学家韦达是最早有意识地系统使用字母表示数的人。 ③大于0.1小于0.2的两位小数有无数个。 ④如图，1千克紫皮松子糖比1千克榛子巧克力的总价便宜。 A．1 B．2 C．3 4．（25-26五年级上·江苏淮安·期中）小青在计算□－（4.82＋5.18）时错误地将括号看漏了，算成了□－4.82＋5.18，这样计算出来的结果与正确结果相差（    ） A．5.18 B．10.36 C．0.36 D．9.64 5．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）如下图所示，用完全相同的正方形摆长方形。 摆第1个图形用4个涂色的正方形，摆第2个图形用7个涂色的正方形……摆第4个图形用( )个涂色的正方形，摆第n个图形用( )个涂色的正方形，摆第( )个图形用100个涂色的正方形。 6．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 30.9万( )0.0309亿    2.5×0.8( )2.5     3.54÷4( )3.54×0.25 30公顷( )0.03平方千米   6.8÷0.98( )6.8  9.9a( )10a－a 7．（24-25五年级上·山西临汾·期末）如下图中平行四边形的面积是( )平方米；如果高增加3米，面积是( )平方米；如果底增加3米，面积是( )平方米。 8．（2025五年级上·江苏南京·专题练习）用黑、白两种正六边形地砖按如图规律拼接，第4幅图案中白色地砖有( )块，第n幅图案中白色地砖有( )块。 9．（24-25五年级上·江苏·课后作业）因为5×x＝5x，所以3×10的乘号可以省略不写。( )（判断对错） 10．（24-25五年级上·江苏·单元测试）比a的4倍多5的数是4a＋5。( )（判断对错） 11．（24-25五年级上·江苏·课后作业）求下面式子的值。 当a＝5、b＝6时，2a＋3b的值。 12．（22-23五年级上·山西吕梁·期末）计算下面各图形的面积。 （1）（2） 13．（24-25五年级上·山西临汾·期末）摆1个正方形用4根小棒，增加1个正方形，多用3根小棒…… （1）填写下表。 增加的正方形个数 1 2 3 4 用小棒的根数 4＋3 4＋3×2 4＋3×（    ） 4＋3×（    ） （2）像这样摆下去，增加n个正方形需要（    ）根小棒。 （3）如果，共用多少根小棒？ 14．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）进入高铁时代的扬州，人们出行更便利了，张叔叔去上海出差，扬州到上海的铁路距离长约286千米，一列动车从扬州开往上海，每小时行v千米，已经行了t小时。 （1）用含有字母的式子表示这列动车距离上海还剩______千米。 （2）当v＝220，t＝1.2时，这列动车距离上海还剩多少千米？ 15．（2025五年级上·江苏南京·专题练习）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米？ （2）当m＝16，n＝12时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 用字母表示数 （知识回顾+四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共31题） 【解析版】 知识回顾 1 知识点01：用含有字母的式子表示数、数量关系 1 知识点02：用含有字母的式子表示计算公式 1 知识点03：求简单的含有字母式子的值 2 知识点04：化简含有字母的式子 2 题型讲练 2 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 2 重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 5 重点难点题型三：用字母表示稍复杂的数量关系 7 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 12 拔尖训练 15 知识点01：用含有字母的式子表示数、数量关系 用字母可以表示数。如：摆1个▲用3根小木棒，摆a个▲用3a根小木棒。 给出字母的值后，要求式子的值，只要将字母用相应值代替再进行计算即可。 含字母的式子既可以表示数量，又可以表示数量关系，还可以表示计算结果。字母和字母、数字和字母相乘时，乘号可以简写成“·”或省略不写（数字在前，字母在后） 知识点02：用含有字母的式子表示计算公式 计算公式中的大写字母是数学里已经规定的，不能随意用其他字母替换，如C表示周长，S表示面积等，数与字母、字母与字母中间的乘号可以省略不写，但数与字母中间省略乘号时，应把数字写在字母的前面。如果字母与1相乘，可写字母本身，如：a×1=a。 a×4和4×a通常可以写成4·a或4a；a×a可以写成a·a或a²。 a²读作a的平方。 a与1相乘，一般写作a。 用含有字母的式子表示计算公式： 如果正方形的边长用a表示，周长是C表示，面积用S表示，则C=a×4，S=a×a。式子中的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。在省略不写乘号的时候，要把数字写在字母或括号前面。 知识点03：求简单的含有字母式子的值 利用含有字母的式子表示常见数量关系式进行计算： 利用含有字母的式子表示常见数量关系式进行计算时，要先写出所用的数量关系式，然后把字母表示的数值带入数量关系式进行计算。计算的结果不必写出单位名称，只在答语中注明。 知识点04：化简含有字母的式子 化简形如“ax±bx”的式子 （1）ax+bx=(a+b)x 如：3x+4x=(3+4)x=7x （2）ax−bx=(a−b)x 如：8x−5x=(8−5)x=3x 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 【例】（24-25六年级下·江苏盐城·期末）下面是用半径1厘米的圆组成的图。 (1)第①幅图中阴影部分面积是πcm2，第②幅图中阴影部分面积是1.5πcm2。如果照这样的规律在第④幅图中涂一涂，阴影部分面积是( )cm2。 (2)照这样的规律，用含有字母的式子表示，第n幅图中阴影部分面积是( )cm2。 【答案】(1)2.5π (2)（0.5n＋0.5）π 【思路引导】（1）根据图可知，第①幅图中阴影部分面积是πcm2，第②幅图中阴影部分面积是1.5πcm2，第③幅图中阴影部分面积是2πcm2，由此可知，多一个圆，则阴影部分面积增加0.5πcm2； 第①幅阴影部分面积是πcm2，可以写成：（0.5×1＋0.5）πcm2； 第②幅阴影部分面积是1.5πcm2，可以写成：（0.5×2＋0.5）πcm2； 第③幅阴影部分面积是2πcm2，可以写成：（0.5×3＋0.5）πcm2； 第④幅阴影部分面积是（0.5×4＋0.5）πcm2。 （2）由此可知，第n幅阴影部分面积为：（0.5n＋0.5）πcm2。 【完整解答】（1）（0.5×4＋0.5）π ＝（2＋0.5）π ＝2.5π（cm2） 第①幅图中阴影部分面积是πcm2，第②幅图中阴影部分面积是1.5πcm2。如果照这样的规律在第④幅图中涂一涂，阴影部分面积是2.5πcm2。 （2）根据分析可知，第n幅图中阴影部分面积是（0.5×n＋0.5）π＝（0.5n＋0.5）πcm2。 照这样的规律，用含有字母的式子表示，第n幅图中阴影部分面积是（0.5n＋0.5）πcm2。 【变式1】（24-25五年级下·福建宁德·期中）如图，有甲、乙、丙三根绳子，丙绳的长度是（    ）分米。 A．45－x＋30 B．45－30＋x C．45－（30＋x） D．45－30－x 【答案】B 【思路引导】观察图形可知，丙绳子长度有两部分，一部分是x米，另一部分的长度等于甲绳子的长度减去乙绳子的长度，据此把两边的长度相加即可。 【完整解答】由分析可知： 丙绳子的长度是（45－30＋x）分米。 故答案为：B 【变式2】（24-25五年级上·江苏淮安·期末）有一个三角形，第一次连接这个三角形三条边的中点得到，第2次连接中间一个三角形三条边的中点得到，……依次类推。 （1）请你算出每次操作后三角形的个数填入下表。 操作次数 最初 第1次 第2次 第3次 三角形的个数 1 5 （2）照这样操作n次，一共有（    ）个三角形。 【答案】（1）见详解；（2） 【思路引导】（1）根据第1次操作后三角形个数是5个，比最初的1个三角形多4个，则第1次操作后三角形个数是1＋4＝5个，第2次操作后，三角形的个数是9个，可以写为1＋4＋4＝9（个），由此可以得出每增加1次操作，图形中就多出4个三角形，即第2次操作后图形中的三角形的个数就是：1＋2×4＝9（个）；所以第3次操作后三角形的个数是1＋3×4＝13（个）；由此可以完成表格。 （2）由（1）中的推理计算可得，操作多少次就在1的基础上增加多少个4，操作n次就增加n个4，即在1个三角形的基础上增加4n个三角形，所以当进行n次操作后图形中三角形的个数为（1＋4n）个。 【完整解答】（1）1＋2×4 ＝1＋8 ＝9（个） 1＋3×4 ＝1＋12 ＝13（个） 则第2次操作后三角形的个数是9个，第3次操作后三角形的个数是13个。填入表格如下图： 操作次数 最初 第1次 第2次 第3次 三角形的个数 1 5 9 13 （2）操作多少次就在1的基础上增加多少个4，操作n次就增加n个4，则照这样操作n次，一共有（1＋4n）个三角形。 【变式3】（25-26五年级上·江苏徐州·期中）如下图，1张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，3张餐桌可以坐14人，像这样4张餐桌可以坐( )人，张餐桌可以坐( )人。 【答案】 18 4n＋2 【思路引导】通过观察图形可知，1张桌子可以坐6人，6＝4＋2；2张桌子可以坐10人，10＝4×2＋2；3张桌子可以坐14人，14＝4×3＋2，……多一张桌子多坐4人，以此类推，4张餐桌可以坐4×4＋2，计算即可；n张桌子可以坐4n＋2人。据此解答。 【完整解答】4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（人） n张桌子可以坐（4n＋2）人。 如题图，1张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，3张餐桌可以坐14人，像这样4张餐桌可以坐18人，张餐桌可以坐（4n＋2）人。 【考点再现】主要考查了找规律，解答此题关键是首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 【例】（23-24五年级上·江苏·课后作业）应用面积公式计算各图形的面积。 【答案】224cm2；88dm2；36m2 【思路引导】（1）根据三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算即可求解。 （2）根据平行四边形的面积公式S＝ah，代入数据计算即可求解。 （3）根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，代入数据计算即可求解。 【完整解答】（1）S＝ah÷2 ＝28×16÷2 ＝224（cm2） 三角形的面积是224cm2。 （2）S＝ah ＝11×8 ＝88（dm2） 平行四边形的面积是88dm2。 （3）S＝（a＋b）h÷2 ＝（5＋7）×6÷2 ＝12×6÷2 ＝72÷2 ＝36（m2） 梯形的面积是36m2。 【变式1】（23-24五年级上·江苏·课后作业）先写出公式，再把数值代入公式计算。 求长15米、宽8米的长方形的面积和周长。 【答案】见详解 【思路引导】用a表示长方形的长，b表示长方形的宽，C表示长方形的周长，S表示长方形的面积；先写出长方形的周长和面积的字母公式，再把a＝15，b＝8代入式子中，算出长方形的面积和周长。 【完整解答】S＝ab ＝15×8 ＝120（平方米） C＝2（a＋b） ＝（15＋8）×2 ＝23×2 ＝46（米） 答：长方形的面积是120平方米，周长是46米。 【变式2】（23-24五年级上·江苏扬州·期末）如图，一块平行四边形空地的面积是600平方米，连接它的顶点A以及对面相邻两条边的中点E、F，得到一个阴影三角形AEF，阴影三角形AEF的面积是( )平方米。 【答案】225 【思路引导】设平行四边形的底为a，高为b，根据三角形面积公式分别表示出三角形ADE、ECF、ABF的面积，进而表示出阴影部分的面积；再根据平行四边形的面积是600平方米，求出具体的值。 【完整解答】设平行四边形的底为a，高为b， 则三角形ADE的面积是： 三角形ECF的面积是： 三角形ABF的面积的面积是： 阴影部分的面积是： ＝ ＝ 因为平行四边形的面积是600平方米，所以阴影部分的面积是： ＝225（平方米） 阴影三角形AEF的面积是（225）平方米。 【考点再现】本题主要考查阴影部分的面积，解题的关键是牢记三角形的面积公式。 【变式3】（24-25五年级上·广西防城港·期末）如图是丁丁家附近的公园示意图，如果丁丁绕公园走一圈，需要走（    ）米。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】 ，按照如图所示的形状，把左侧凹进去的两条边分别移动至虚线部分，即公园的一圈相当于长是a米，宽是b米的长方形，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，代入公式即可求解。 【完整解答】由分析可知： （a＋b）×2＝（2a＋2b）米。 如果丁丁绕公园走一圈，需要走（2a＋2b）米。 故答案为：B 重点难点题型三：用字母表示稍复杂的数量关系 【例】（25-26五年级上·全国·课后作业）看图回答问题。 （1）长方形A的周长是（    ）cm，面积是（    ）cm2。 （2）长方形B的周长是（    ）cm，面积是（    ）cm2。 （3）用含有字母的式子表示整个图形的面积。当a＝30，b＝16，c＝15时，整个图形的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）2（a＋c）；ac   （2）2（b＋c）；bc （3）整个图形的面积是（ac＋bc）cm2。整个图形的面积是690平方厘米。 【思路引导】（1）长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，将A的长和宽代入求解即可。 （2）长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，将B的长和宽代入求解即可。 （3）整个图形是长方形，长方形的长为a＋b，宽为c，根据长方形的面积公式表示出长方形的面积，再将a＝30，b＝16，c＝15代入计算即可。 【完整解答】（1）长方形A的周长是cm，面积是。 （2）长方形B的周长是cm，面积是。 （3）整个图形的面积为， 当a＝30，b＝16，c＝15时， （平方厘米） 答：整个图形的面积是690平方厘米。 【变式1】（24-25六年级下·江苏扬州·期末）数形结合是重要的数学思想方法之一，我们常常借助“形”来研究“数”的问题。乐乐在方格纸上将一个大正方形分成两个正方形和两个相同的长方形（如图①），她用两种不同方法表示出大正方形的面积，并得出等式：。 （1）乐乐又继续研究，得出。你知道她是怎么想的吗？请在图②中画一画。 （2）这样的例子能举得完吗？请你借助图想想试试，把你的发现用含有字母的式子表示出来：____________ （3）根据你的发现进行计算：______，______。 【答案】（1）见详解；（2）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（3）1225；100 【思路引导】（1）在图②中，将大正方形的边长看作（2＋4），将其分割成两个正方形（边长分别为2和4）和两个相同的长方形（长为4，宽为2），通过图形面积的不同计算方式得出等式。据此作图。 （2）根据前面的例子，可总结出对于边长为（a＋b）的正方形，其面积可以表示为a2＋2ab＋b2，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。 （3），根据发现的规律（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，把a＝30，b＝5，代入计算。 ，根据发现的规律a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，把a＝7.1，b＝2.9，代入计算。 【完整解答】 （1）如图： （2）对于边长为（a＋b）的正方形，其面积可以表示为a2＋2ab＋b2，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。 用含有字母的式子表示是（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。（表示不唯一） （3） ＝302＋2×30×5＋52 ＝900＋2×30×5＋25 ＝900＋300＋25 ＝1225 ＝（7.1＋2.9）2 ＝102 ＝100 1225，100。 【变式2】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）如图，第1个图中有5枚棋子，第2个图中有9枚棋子，第3个图中有13枚棋子，第4个图中有17枚棋子，……，按照这样的规律摆下去，第( )个图中有85枚棋子。 【答案】21 【思路引导】观察图形可知： 第1个图有5枚棋子，5＝4×1＋1； 第2个图中有9枚棋子，9＝4×2＋1； 第3个图中有13枚棋子，13＝4×3＋1； 第4个图中有17枚棋子，17＝4×4＋1； …… 按此规律摆下去，第n个图中有（4n＋1）枚棋子。 【完整解答】规律：第n个图中有（4n＋1）枚棋子。 4n＋1＝85 解：4n＝85－1 4n＝84 n＝84÷4 n＝21 按照这样的规律摆下去，第21个图中有85枚棋子。 【变式3】（23-24六年级下·全国·课后作业）某运输公司规定：办理托运，当一件物品称重后不超过16千克时，需付基础费30元和保险费b元；当一件物品称重后超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付c元超重费。（为限制过重物品的托运） （1）用含有字母的式子表示托运物品的质量a（a＞18）千克与支付费用y元之间的关系。 （2）甲、乙、丙三人各托运了一件物品，物品的质量与支付费用如下表： 物品质量/千克 12 18 25 支付费用/元 33 39 60 请根据上面提供的信息可以确定b＝（    ），c＝（    ）。 （3）在物品可拆分的情况下，用不超过105元的费用能否托运50千克物品？若能，请你设计出一种托运方案，并求出支付费用；若不能，请说明理由。 【答案】（1）y＝30＋b＋（a－16）c （2）3；3 （3）见详解 【思路引导】（1）已知一件物品重量不超过16千克时，需付基础费30元＋保险费b元；质量a＞18，则应付基础费＋保险费＋超重费，超了（18－16）千元，据此列出关系式即可。 根据当一件物品称重后不超过a（a＜16）千克时，需付基础费30元和保险费b元，所以12千克时需付30＋b＝33，即可得出：b＝33－30＝3元；又因为物品是25千克时，付了60元，超出重量为25－16＝9千克，超出的费用为60－（30＋3）＝27（元），用超重费除以超出的重量即可解答c的值。 （2）此题答案不唯一，只要符合不超过105元的费用能否托运50千克物品即可。 【完整解答】（1）y＝30＋b＋（a－16）c （2）33－30＝3（元） （60－33）÷（25－16） ＝27÷9 ＝3（元） b＝3，c＝3 （3）能够托运，将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，此时费用为： 16千克的托运费为30＋3＝33（元） 18千克的托运费为 33＋（18－16）×3 ＝33＋2×3 ＝33＋6 ＝39（元） 105千克的托运费为： 2×33＋39 ＝66＋39 ＝105（元） 答：能够托运，将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，此时费用为105元。 【考点再现】熟练掌握用字母表示数量关系是解决本题的关键。 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 【例】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ （2）当，时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 【答案】（1）最少：（2m＋4n）分米；最多：（4m＋2n）分米 （2）88分米 【思路引导】（1）当两个长方形拼在一起，减少的长度最多，则周长最少，把两个长方形的长重合在一起时周长最小；减少的长度最少，则周长最大，把两个长方形的宽重合在一起时周长最大；根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，据此求出大长方形的周长最少、最多，据此解答。 （2）把m＝16，n＝12代入（1）的算式，即可解答。 【完整解答】（1）周长最少，把两个长方形的长重合在一起。 长是m分米；宽是n×2＝2n（分米）。 周长： （m＋2n）×2 ＝（2m＋4n）分米 周长最多，把两个长方形的宽重合在一起。 长：m×2＝2m（分米），宽是n分米。 周长： （2m＋n）×2 ＝（4m＋2n）分米 答：大长方形的周长最少是（2m＋4n）分米，最多是（4m＋2n）分米。 （2）当m＝16，n＝12时： 周长最多是： 16×4＋12×2 ＝64＋24 ＝88（分米） 答：这个大长方形的周长最多是88分米。 【变式1】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）下面各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“O”代表窗纸上所贴的剪纸。 (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )，那么第4个图中所贴剪纸“〇”的个数为( )。 (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是( )，当n＝25时，所贴剪纸“〇”的个数是( )。 【答案】(1) 8 14 (2) 2＋3n/3n＋2 77 【思路引导】（1）观察可知，第1个图中所贴剪纸的个数是个，第2个图中所贴剪纸的个数是个，第3个图中所贴剪纸的个数是，所以第4个图中所贴剪纸的个数是，据此解答。 （2）用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸的个数是或3n＋2，当n＝25时，代入数据计算即可。 【完整解答】（1） （个） ＝ （个） 第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为8，那么第4个图中所贴剪纸“〇”的个数为14。 （2）由分析可知，用字母的式子表示第n个图中所贴剪纸的个数是或3n＋2 当n＝25时 用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是或3n＋2，当n＝25时，所贴剪纸“〇”的个数是77。 【变式2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）有两个完全相同的梯形，上底长a厘米，下底长b厘米，高是h厘米。把这两个梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是( )厘米高是( )厘米。每个梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】 a＋b h （a＋b）h÷2 【思路引导】两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和；平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积就是平行四边形面积的一半，根据平行四边形面积＝底×高求出平行四边形的面积再除以2即可得到一个梯形的面积，据此解答。 【完整解答】（a＋b）×h÷2＝（a＋b）h÷2（平方厘米） 有两个完全相同的梯形，上底长a厘米，下底长b厘米，高是h厘米。把这两个梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是（a＋b）厘米高是h厘米。每个梯形的面积是（a＋b）h÷2平方厘米。 【变式3】（22-23五年级上·江苏盐城·期末）用小棒照下面的样子摆出三组图形。 (1)摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用( )根小棒，摆3个正方形要用( )根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用( )根小棒。摆6个正方形用( )根小棒。 (2)摆n个正方形需要( )根小棒；当n＝100时，一共需要( )根小棒。 【答案】(1) 7 10 16 19 (2) 3n＋1 301 【思路引导】（1）观察图形可知，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，摆4个正方形要用13根小棒……发现：每增加一个正方形，小棒的数量增加3根，据此找到规律，按此规律解答。 （2）摆1个正方形要用4根小棒，4＝3×1＋1； 摆2个正方形要用7根小棒，7＝3×2＋1； 摆3个正方形要用10根小棒，10＝3×3＋1； 摆4个正方形要用13根小棒，13＝3×4＋1； …… 规律：摆n个正方形要用（3n＋1）根小棒；按此规律解答。 【完整解答】（1）摆1个正方形要用4根小棒； 摆2个正方形要用小棒：4＋3＝7（根） 摆3个正方形要用小棒：7＋3＝10（根） 摆4个正方形要用小棒：10＋3＝13（根） 摆到第4组时，即摆5个正方形要用小棒：13＋3＝16（根） 摆6个正方形要用小棒：16＋3＝19（根） 摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用16根小棒。摆6个正方形用19根小棒。 （2）摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒； 当n＝100时 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 一共需要301根小棒。 【考点再现】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并用含字母的式子表示规律，然后按规律解题。 1．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）下列说法正确的有（    ）个。 ①一个数不是正数，就是负数。 ②两个等底等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 ③2.70与2.7相比，大小相等，但2.70更精确些。 ④2a与都表示两个a相乘。 ⑤28个小朋友手拉手围成一个正方形，面积大约是1公顷。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】①根据正负数的认识知识，0既不是正数也不是负数，解答即可； ②根据两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，解答即可； ③小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变，根据小数的意义可知，2.70与2.7相比，大小相等，但2.70更精确些，据此解答即可； ④2a表示两个a相加，而表示两个a相乘，它们的意义不同；据此解答即可。 ⑤一个小朋友展开手臂大约长1米，28个小朋友可以围成一个边长是7个小朋友的正方形的面积，再判断是否是1公顷。 【完整解答】①0既不是正数也不是负数，所以原题说法错误； ②因为等底等高的三角形形状不一定一样，故组成的不一定是平行四边形；如：两个三角形，一个是直角的，一个是钝角的，并且等底等高，不能拼成平行四边形；关键是要两个三角形形状完全一样（全等），故说法错误； ③根据小数的基本性质可知，2.70＝2.7，根据小数的意义可知：2.70的计数单位是0.01，2.7的计数单位是0.1，故说法正确； ④根据用字母表示数的知识可知，2a表示2乘a，表示两个a相乘，所以原题说法错误。 ⑤28人围正方形，每边约7人（边长约7米），面积约49平方米，远小于1公顷（10000平方米）因此错误。 所以，只有③是正确的。即正确的说法有1个。 故答案为：A 2．（24-25五年级上·江苏淮安·期末）下面几句话中，不正确的有（    ）句。 ①比0.5大，比0.6小的小数有无数个。 ②不可能等于。 ③我们所认识的数不是正数就是负数。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】①比0.5大，比0.6小的小数，没有限制小数的数位，有无数个，比如0.51、0.511、0.5111等等，题干说法正确； ②，当x＝2或x＝0时，，此说法错误； ③我们所认识的数中，0既不是正数也不是负数，所以此说法错误。 【完整解答】根据分析，不正确的有②和③。 故答案为：B 3．（2025五年级上·江苏盐城·专题练习）下面说法正确的有（    ）个。 ①正数都比0大，负数比0小。 ②法国数学家韦达是最早有意识地系统使用字母表示数的人。 ③大于0.1小于0.2的两位小数有无数个。 ④如图，1千克紫皮松子糖比1千克榛子巧克力的总价便宜。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】比0大的是正数，比0小的是负数。 法国数学家韦达（1540－1603），是第一个系统使用符号表示数的人，被誉为“代数之父， 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看小数点后面一位，它大这个小数就大。如果相同就再看下一位，直至比较出小数的大小。 用各自总价除以克数算出紫皮松子糖和榛子巧克力每克各是多少元。再根据1千克＝1000克，再乘1000算出各自1千克是多少元。再比较。 据此分析四句话，找到正确的即可。 【完整解答】①根据正、负数的定义，正数都比0大，负数比0小。原句正确。 ②法国数学家韦达是最早有意识地系统使用字母表示数的人。是正确的。 ③根据小数的大小，大于0.1小于0.2的两位小数有0.11、0.12、0.13、0.14、0.15、0.16、0.17、0.18、0.19。一共有9个，原句错误。 ④5.1÷80×1000 ＝0.06375×1000 ＝63.75（元） 8.5÷200×1000 ＝0.0425×1000 ＝42.5（元） 63.75＞42.5，所以1千克紫皮松子糖比1千克榛子巧克力的总价贵。原句错误。 所以，正确的是①②，一共有2句。 故答案为：B 4．（25-26五年级上·江苏淮安·期中）小青在计算□－（4.82＋5.18）时错误地将括号看漏了，算成了□－4.82＋5.18，这样计算出来的结果与正确结果相差（    ） A．5.18 B．10.36 C．0.36 D．9.64 【答案】B 【思路引导】正确算式是□－（4.82＋5.18）＝□－4.82－5.18；错误算式是□－4.82＋5.18。用错误的算式减去正确的算式计算，即（□－4.82＋5.18）－（□－4.82－5.18），据此计算即可。 【完整解答】□－（4.82＋5.18）＝□－4.82－5.18 （□－4.82＋5.18）－（□－4.82－5.18） ＝□－4.82＋5.18－□＋4.82＋5.18 ＝□－□－4.82＋4.82＋5.18＋5.18 ＝5.18＋5.18 ＝10.36 计算结果与正确结果相差10.36。 故答案为：B 5．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）如下图所示，用完全相同的正方形摆长方形。 摆第1个图形用4个涂色的正方形，摆第2个图形用7个涂色的正方形……摆第4个图形用( )个涂色的正方形，摆第n个图形用( )个涂色的正方形，摆第( )个图形用100个涂色的正方形。 【答案】 13 3n＋1/1＋3n 33 【思路引导】从图中可知，摆第1个、第2个、第3个图形用涂色正方形的个数分别是：4个、7个、10个，发现，每增加一个图形，就增加3个涂色的正方形；据此得出规律，并按规律解答。 【完整解答】观察图形可知： 摆第1个图形用4个涂色的正方形，4＝3×1＋1； 摆第2个图形用7个涂色的正方形，7＝3×2＋1； 摆第3个图形用10个涂色的正方形，10＝3×3＋1； …… 规律：摆第n个图形用（3n＋1）个涂色的正方形。 当n＝4时 3n＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 由3n＋1＝100可得：n＝（100－1）÷3 （100－1）÷3 ＝99÷3 ＝33 填空如下： 摆第4个图形用（13）个涂色的正方形，摆第n个图形用（3n＋1）个涂色的正方形，摆第（33）个图形用100个涂色的正方形。 6．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 30.9万( )0.0309亿    2.5×0.8( )2.5     3.54÷4( )3.54×0.25 30公顷( )0.03平方千米   6.8÷0.98( )6.8  9.9a( )10a－a 【答案】 ＜ ＜ ＝ ＞ ＞ ＞ 【思路引导】第一小题：1亿＝10000万，根据高级单位换算低级单位，乘进率，据此把亿化为万，再进行比较； 第二小题：一个非0数，乘大于1的数，积大于这个数；一个非0数，乘小于1的数，积小于这个数； 第三小题：先计算出两边的结果，再进行比较； 第四小题：1平方千米＝100公顷，高级单位换算低级单位，乘进率；据此把平方千米化为公顷，再进行比较； 第五小题：一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数（0除外），商大于被除数； 第六小题：先化简右边的式子，再进行比较，据此解答。 【完整解答】30.9万和0.0309亿 0.0309亿＝309万 因为30.9万＜309万，所以30.9万＜0.0309亿； 2.5×0.8和2.5 因为0.8＜1，所以2.5×0.8＜2.5； 3.54÷4和3.54×0.25 3.54÷4＝0.885；3.54×0.25＝0.885 因为0.885＝0.885，所以3.54÷4＝3.54×0.25； 30公顷和0.03平方千米 0.03×100＝3（公顷） 因为30公顷＞3公顷，所以30公顷＞0.03平方千米； 6.8÷0.98和6.8 因为0.98＜1，所以6.8÷0.98＞6.8； 9.9a和10a－a 10a－a＝9a 因为9.9a＞9a，所以9.9a＞10a－a。 7．（24-25五年级上·山西临汾·期末）如下图中平行四边形的面积是( )平方米；如果高增加3米，面积是( )平方米；如果底增加3米，面积是( )平方米。 【答案】 4a 7a 4a＋12 【思路引导】根据平行四边形面积＝底×高，据此求出底是a米，高是4米的平行四边形面积； 高增加3米，则高是4＋3＝7（米），底是a米，据此求出高增加3米平行四边形面积； 底增加3米，则底是（a＋3）米，高是4米，据此求出底增加3米平行四边形面积。 【完整解答】a×4＝4a（平方米） a×（4＋3） ＝a×7 ＝7a（平方米） （a＋3）×4 ＝a×4＋3×4 ＝（4a＋12）平方米 平行四边形的面积是4a平方米；如果高增加3米，面积是7a平方米；如果底增加3米，面积是（4a＋12）平方米。 8．（2025五年级上·江苏南京·专题练习）用黑、白两种正六边形地砖按如图规律拼接，第4幅图案中白色地砖有( )块，第n幅图案中白色地砖有( )块。 【答案】 18 2＋4n/4n＋2 【思路引导】每幅图最左边的两块白色地砖是固定不变的，第1幅图中有6块白色地砖，可以看成是由“2＋4×1”得到的；第2幅图中增加了4块，有10块白色地砖，可以看成是由“2＋4×2”得到，第3幅图比第2幅图又增加了4块，可以看成是由“2＋4×3”得到的……所以第4幅图中的白色地砖有2＋4×4块；第n幅图中的白色地砖有（2＋4n）块。 【完整解答】2＋4×4 ＝2＋16 ＝18（块） 第4幅图案中白色地砖有18块；第n幅图案中白色地砖有2＋4n块。 【考点再现】本题主要考察了数与形以及用字母表示数量关系，要求学生从每相邻两幅图中找出增量，从而发现规律，并用字母表示出。 9．（24-25五年级上·江苏·课后作业）因为5×x＝5x，所以3×10的乘号可以省略不写。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】字母与数字相乘，省略乘号时，一般把数字写在字母前面；数字与数字相乘时，乘号不可以省略。据此判断。 【完整解答】由分析可知，5×x可以写成5x，但3×10不可以省略乘号。 所以原题说法错误。 故答案为：× 10．（24-25五年级上·江苏·单元测试）比a的4倍多5的数是4a＋5。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】先用乘法表示a的4倍，即a×4，数字和字母相乘时把数字写在字母的前面中间的乘号可以省略，含有字母的式子再加上5表示出比a的4倍多5的数，据此解答。 【完整解答】a×4＋5 ＝4a＋5 所以，比a的4倍多5的数是4a＋5。 故答案为：√ 11．（24-25五年级上·江苏·课后作业）求下面式子的值。 当a＝5、b＝6时，2a＋3b的值。 【答案】28 【思路引导】把a＝5、b＝6代入2a＋3b中进行计算即可解答。 【完整解答】当a＝5、b＝6时， 2a＋3b ＝2×5＋3×6 ＝10＋18 ＝28 则2a＋3b的值是28。 12．（22-23五年级上·山西吕梁·期末）计算下面各图形的面积。 （1）（2） 【答案】（1）260cm2；（2）1200dm2 【思路引导】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据即可解答。 （2）根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据即可解答。 【完整解答】（1）26×20÷2 ＝520÷2 ＝260（cm2） 三角形的面积是260cm2。 （2）40×30＝1200（dm2） 平行四边形的面积是1200 dm2。 13．（24-25五年级上·山西临汾·期末）摆1个正方形用4根小棒，增加1个正方形，多用3根小棒…… （1）填写下表。 增加的正方形个数 1 2 3 4 用小棒的根数 4＋3 4＋3×2 4＋3×（    ） 4＋3×（    ） （2）像这样摆下去，增加n个正方形需要（    ）根小棒。 （3）如果，共用多少根小棒？ 【答案】（1）3；4 （2）4＋3n （3）4＋3n＝4＋3×12＝40 【思路引导】（1）因为增加1个正方形多用3根小棒，增加2个正方形多用2个3根小棒，所以增加3个正方形多用3个3根小棒，即4＋3×3根小棒；增加4个正方形多用4个3根小棒，即4＋3×4根小棒； （2）由前面的规律可知，增加几个正方形多用几个3根小棒，所以小棒根数为（4＋3n）根； （3）将n＝12代入上面的规律表达式中即可求出一共用了多少根小棒。 【完整解答】（1）根据分析，填表如下： 增加的正方形个数 1 2 3 4 用小棒的根数 4＋3 4＋3×2 4＋3×（3） 4＋3×（4） （2）根据分析可知：像这样摆下去，增加n个正方形需要（4＋3n）根小棒。 （3）4＋3n ＝4＋3×12 ＝4＋36 ＝40（根） 答：如果，共用40根小棒。 14．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）进入高铁时代的扬州，人们出行更便利了，张叔叔去上海出差，扬州到上海的铁路距离长约286千米，一列动车从扬州开往上海，每小时行v千米，已经行了t小时。 （1）用含有字母的式子表示这列动车距离上海还剩______千米。 （2）当v＝220，t＝1.2时，这列动车距离上海还剩多少千米？ 【答案】（1） （2） 22千米 【思路引导】（1）根据路程＝速度×时间，已知每小时行v千米，行了t小时，行驶的路程就是（vt）千米，用总路程286千米减去已经行驶的路程求出剩下的路程。 （2）把v＝220，t＝1.2，代入式子即可求出剩下的路程。 【完整解答】（1）用含有字母的式子表示这列动车距离上海还剩286－vt千米； （2）286－220×1.2 ＝286－264 ＝22（千米） 答：这列动车距离上海还剩22千米。 15．（2025五年级上·江苏南京·专题练习）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米？ （2）当m＝16，n＝12时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 【答案】（1）（2m＋4n）分米 （2）88分米 【思路引导】（1）当长方形的长相重合拼成新的长方形，长、宽分别是m分米、2n分米；当长方形的宽相重合拼成新的长方形，长、宽分别是2m分米、n分米；长方形周长＝长×2＋宽×2，求出两个拼成的长方形的周长，结合m＞n，判断两种方式拼出的大长方形，哪个周长小，哪个周长大； （2）把m＝16，n＝12代入（1）所得的周长大的那个表达式，计算解答。 【完整解答】（1）当长方形的长相重合拼成新的长方形时： 周长：m×2＋2n×2 ＝（2m＋4n）分米 当长方形的宽相重合拼成新的长方形时： 周长：2m×2＋n×2 ＝（4m＋2n）分米 因为m＞n （4m＋2n）－（2m＋4n） ＝4m＋2n－2m－4n ＝2m－2n＞0 所以（4m＋2n）＞（2m＋4n） 即长方形的长相重合拼成新的长方形的周长小，长方形的宽相重合拼成新的长方形的周长大。 答：拼成的大长方形的周长最少是（2m＋4n）分米。 （2）长方形的宽相重合拼成新的长方形的周长大是（4m＋2n）分米。 当m＝16，n＝12时： 4m＋2n ＝4×16＋2×12 ＝64＋24 ＝88（分米） 答：这个大长方形的周长最多是88分米。 【考点再现】本题考查用字母表示式子及代入数据求式子的值。难点是应用作差法比较两个周长的大小，即若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $