内蒙古锡林郭勒盟第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

锡盟二中2024-2025学年下学期高二期中考试 数学试题 命题： 高二数学备课组 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题选出答案后用2B铅笔涂在答题卡上；非选择题用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2.在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（       ） A． 0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 3.在展开式中，的系数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．405 4．两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（    ）种． A．6 B．12 C．60 D．120 5．在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（    ） A． B． C．36 D．72 6．年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第二周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 7．数列的前n项和为，若，且是等比数列，则m＝（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 8．已知函数，，则的解集为 （    ） A． B． C． D． 2、 多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分） 9．数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．与等差中项为6 C． D． 10．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有一个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3、 填空题（每题5分，共15分） 12．已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ． 13．若随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是 . 14．根据“援疆支教”工作的要求，某学校决定派出五位骨干教师对新疆三个地区进行教学指导，每个地区至少派遣一位骨干教师，其中甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 （用数字作答）． 4、 解答题（15题13分，16.17题15分。18.19题17分，共77分） 15．盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 16．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 17．(1)．已知对任意给定的实数，都有求值： (2）求除以的余数. (3)7本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学.若其中一人分得2本，另一个人分得2本，第三人分得3本，共有多少种不同的分法. 18． 已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式和前项和； (3)记，求数列的前项和，并证明. 19．已知函数. (1)当时，求的解集； (2)若有极值，求实数的取值范围； (3)设，若，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B C A D A AD BC 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14．36 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用超几何分布求概率，再写分布列即可. 【详解】（1）; （2）因为两张卡片中取到偶数的个数的可能取值有， 所以，，， 即的分布列为： 16．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)1 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 17．（1）1（2） 【分析】(1)根据二项式展开式的通项公式代入运算即可. (2)通过对变形,得,再根据二项式展开式的特点运算即可. (2) 所以除以的余数为 （3）．630 18．(1)证明见解析 (2)； (3)；证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1），得到，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解； （3）由（2），求得，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. 【详解】（1）证明：因为数列满足， 可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）解：由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列， 可得，所以， 则数列的前项和为. （3）解：由（2）知：，可得， 所以， 所以， 当时，为单调递增数列， 当时，取得最小值，最小知为， 又因为，可得，所以. 19．(1) (2) (3)2 【分析】（1）时，可求得，配方发现其恒正，故在上单调递增，又，利用单调性即可求出的解集； （2）若有极值，则在上有变号零点，转化为二次函数在上有变号零点，发现二次函数的对称轴为，所以只需，由此可解得实数的取值范围； （3）由题干条件可得，设，利用导数找到的最小值，则，得到关于的不等式，构造新函数找到其零点范围，由此可求得的最大值. 【详解】（1）当时，因为， 所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，；当时，， 故的解集为............................................................................(4分) （2）因为有极值， 所以在上有变号零点， 即在上有变号零点， 因为的对称轴为，所以只需， 所以.............................................................................(8分) （3）由，得， 设， 则，.............(10分) 令，得（舍去），或， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 因为，所以，即，..................(13分) 令， 因为与在上都单调递减， 所以在上单调递减， 又， 所以在存在唯一的零点， ..................(15分) 当时，， 所以由可得，又，所以的最大值为2.........(17分) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $