第10章 三角恒等变换（单元自测·提升卷）数学苏教版必修第二册

2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第10章 三角恒等变换·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A C A B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为，，是钝角，所以. 由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，. . （2）因为，所以. . 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为函数最小正周期为，且， 所以由，得， 又因为是奇函数， 所以，而，所以， 因此， 在时，令， 当或时，函数单调递增， 所以时，的递增区间是和； （2）因为函数最小正周期为，且， 所以由，得，即， 即， 把点代入，得， 即，因为，所以， 因此有，得， ． 17．（本小题满分15分） 【解】（1）， 由图知，过点，即，则， 由图得，，解得． 所以． （2）由题得，， 由，得，则， 所以， 解得， 因此，使成立的的取值集合是． 18．（本小题满分17分） 【解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）因为， 所以， 令，，可得，， 所以函数的对称轴方程为，； （2）由（1）， 故当，，即， 时， 函数取得最大值，最大值为； （3）函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再将函数向右平移个单位，得到的图象， ， 故函数的最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第10章 三角恒等变换·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为，所以，得，则．故选：B 2．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】 .故选：D. 3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（   ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【解析】由题意，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍， 又标杆在地面上的影长与表高满足关系：，所以， 又因为第二次测量时太阳天顶距为，且满足，解得， 则第二次测量时影长， 即第二次测量时影长是表高的1倍.故选：A. 4．已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以.故选：C 5．在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】因为， ， 所以，，即， 因为，所以 所以，即为等腰三角形.故选：A． 6．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 【答案】B 【解析】因为， 当，即时，， 所以的最大值为2.故选：B 7．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，即，因为，所以， 则的取值范围是.故选：C 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则， 因为与的图象关于点对称，所以， 而， 则， 即对于任意恒成立， 所以，或（舍去）， 则，又，则的最小值为. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为、， 所以，故D正确. 故选：BD 10．已知函数则（    ） A．函数为偶函数 B．的最大值为 C．在区间单调递增 D．曲线关于对称 【答案】AC 【解析】. 对于A，设，函数的定义域关于原点对称，由，可得函数为偶函数，故A正确； 对于B，由于的最大值为，因此，故B错误； 对于C，当时，因单调递增，故在上单调递增，故C正确； 对于D，由于曲线关于 对称，因此曲线关于对称，故D错误. 故选：AC. 11．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 【答案】ACD 【解析】． 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，，故直线不是曲线的一条对称轴，故错误： 对于C，，故在上单调递增，故正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则 ． 【答案】 【解析】因为角与角的终边关于轴对称， 所以， 所以， 13．若函数，且对任意的满足，则实数 . 【答案】/ 【解析】函数， 因为，所以该函数的对称轴为， 因此有，于是有， 14．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得， 令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1）因为，，是钝角，所以. 由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，. . （2）因为，所以. . 16．（本小题满分15分）已知函数，它们的最小正周期为． (1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间； (2)若的一个零点为，求的最大值． 【解】（1）因为函数最小正周期为，且， 所以由，得， 又因为是奇函数， 所以，而，所以， 因此， 在时，令， 当或时，函数单调递增， 所以时，的递增区间是和； （2）因为函数最小正周期为，且， 所以由，得，即， 即， 把点代入，得， 即，因为，所以， 因此有，得， ． 17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 【解】（1）， 由图知，过点，即，则， 由图得，，解得． 所以． （2）由题得，， 由，得，则， 所以， 解得， 因此，使成立的的取值集合是． 18．（本小题满分17分）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 【解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 19．（本小题满分17分）已知函数 (1)求函数的对称轴方程； (2)求函数的最大值及相应的值； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间. 【解】（1）因为， 所以， 令，，可得，， 所以函数的对称轴方程为，； （2）由（1）， 故当，，即， 时， 函数取得最大值，最大值为； （3）函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再将函数向右平移个单位，得到的图象， ， 故函数的最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第10章 三角恒等变换·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 2．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（   ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 6．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 7．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数则（    ） A．函数为偶函数 B．的最大值为 C．在区间单调递增 D．曲线关于对称 11．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则 ． 13．若函数，且对任意的满足，则实数 . 14．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 16．（本小题满分15分）已知函数，它们的最小正周期为． (1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间； (2)若的一个零点为，求的最大值． 17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 18．（本小题满分17分）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 19．（本小题满分17分）已知函数 (1)求函数的对称轴方程； (2)求函数的最大值及相应的值； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第10章 三角恒等变换·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 2．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（   ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 6．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 7．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数则（    ） A．函数为偶函数 B．的最大值为 C．在区间单调递增 D．曲线关于对称 11．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则 ． 13．若函数，且对任意的满足，则实数 . 14．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 16．（本小题满分15分）已知函数，它们的最小正周期为． (1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间； (2)若的一个零点为，求的最大值． 17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 18．（本小题满分17分）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 19．（本小题满分17分）已知函数 (1)求函数的对称轴方程； (2)求函数的最大值及相应的值； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $