专题4.1 等差数列及其前n项和（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦等差数列及其前n项和核心知识点，从概念（定义、等差中项）到通项公式、前n项和公式，再到常用性质及前n项和性质，结合即学即练构建递进式学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 资料特色在于知识点与题型紧密结合，即学即练即时巩固，题型变式分层设计。通过木梯横梁等实际问题培养数学眼光，证明数列是等差数列等题型发展数学思维，公式应用强化数学语言。课中助力教师高效授课，课后学生可回顾练习，查漏补缺。

专题4.1 等差数列及其前n项和 教学目标 1.理解等差数列的概念。 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用数列性质的有关知识解决相应的问题。 教学重难点 1.重点 等差数列的通项公式与前n项和公式 2.难点 数列前n项和的性质应用 知识点01 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 【即学即练】 1．x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项的定义，即可求解. 【详解】因为1、x、2成等差数列，则． 故选：A. 2．在等差数列中，则等于（    ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式，代入数据，即可求出值. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得. 故选：B. 3．等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由，解得. 故选：D. 4．在等差数列中，若，求公差的值是 ． 【答案】1 【分析】利用等差数列的性质及通项公式，结合已知条件列式计算求解． 【详解】是等差数列，设首项是，公差为，， ，解得． 故答案为：1． 知识点02 等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 【即学即练】 1．已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知， ， 故选：C. 2．设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 【答案】C 【分析】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则. 故选：C 3．记为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】25 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质计算得解. 【详解】在等差数列中，由，，得. 故答案为：25 4．设数列，，，，的前项和为，则 ． 【答案】 【分析】设，的前项和为，得出，再根据分组求和即可求解． 【详解】由题可知，， 设，的前项和为， 对累加求和， 得， 化简得， 因为， 所以 ， 故答案为：． 知识点03 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差， （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． 【即学即练】 1．若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【详解】因为，所以, 解得 故选：B 2．在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质得到，结合题目信息即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 又，所以， 则. 故选：A. 3．若等差数列的前三项和为7，且，则该等差数列的公差为 ． 【答案】3 【分析】由题意，求出和的值，进而可求得公差d. 【详解】设公差为d，由题意，所以， 又，所以， 所以，则该等差数列的公差为3. 故答案为：3 4．已知等差数列中，公差，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 知识点04 等差数列前n项和的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1），…也成等差数列，公差为． （2）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （3）若项数为偶数， 则；； ． （4）若项数为奇数，则； ； ． （5）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （6）若与为等差数列，且前项和为与，则． （7）当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. （8）在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 【即学即练】 1．已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 2．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 3．各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用等差数列基本量的关系列出方程，用基本不等式或二次函数性质求最值. 【详解】解法一：因为，所以， 所以，因为， 所以，当且仅当时取等号． 解法二：因为， 所以，所以， 则， 故当时，取得最大值64． 解法三：（基本量思想）：设数列的公差为， 因为，所以，即， 所以， 当时，取得最大值64． 故答案为： 4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 【答案】20 【分析】由题意可得，，两式相加，且由等差数列的性质可求的值，代入等差数列的前项和公式，结合已知条件可求的值． 【详解】由题意可得： 前4项之和为①， 后4项之和为②， 根据等差数列的性质①②可得： ， 由等差数列的前项和公式可得：， 所以． 故答案为：20. 题型01 判断、证明数列是等差数列 【典例1】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设易得，可得数列是以为首项，公差为的等差数列，进而求出，进而求解即可. 【详解】对两边取倒数，所以， 则，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，则，所以. 故选：C. 【变式1】在数列中，，，若，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义可得数列为等差数列，再由等差数列的通项公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以数列为等差数列，公差为3， 因为，所以. 故选：. 【变式2】已知数列中，，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】首先将原等式进行变形，然后进行化简可判断数列为等差数列，最后根据等差数列的通项公式求得，从而得到的通项公式. 【详解】. 因为，所以， 所以数列为公差为2，首项为的等差数列， 那么，所以. 故答案为：. 【变式3】已知正项数列满足，，且，则 . 【答案】 【分析】根据得 ，由此判断数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而求出，即可求解. 【详解】因为，两边同除以得： ， 即 ，又因为，， 所以满足上式，由此可知：数列是等差数列， 其公差和首项都是，所以，所以， 从而； 故答案为： 【变式4】已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题设易得，即可得到，结合等差数列的定义即可求证； （2）结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 题型02 等差中项的求解和应用 【典例1】做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质可得，，利用可得结果. 【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列， 由题意得，，， ∴，，故，， ∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是. 故选：B. 【变式1】已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式2】在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】C 【分析】利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 所以. 故选：C 【变式3】方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差中项的定义，即可求解. 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 【变式4】在等差数列中，若，，则的值为 . 【答案】28 【分析】由等差中项可得，，结合等差数列通项公式求出和，再求出即可. 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 题型03 求等差数列的通项公式 【典例1】已知数列，，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】对于数列，，则，， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 同理可知，数列是首项为，公差为的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为，公差为的等差数列， 故. 故选：D. 【变式1】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义求解即可. 【详解】设的公差为，则，， 故. 故选：B. 【变式2】数列中， ， ，则 ． 【答案】 【分析】等式平方得，再利用等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】，两边平方得，则， 又因为，则数列是以4为首项，公差为3的等差数列， 则，则. 故答案为：. 【变式3】在数列中，若，则 . 【答案】 【分析】由题设可得，进而得到数列是以3为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，得，而， 则数列是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 【变式4】等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 【答案】(1) (2) (3)195 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及首项即可. （2）利用等差中项的意义求解. （3）利用等差数列性质求解. 【详解】（1）在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得和的等差中项为. （3）由（1）得. 题型04 利用等差数列的性质计算 【典例1】已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质可得，再由即可求. 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B 【变式1】已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式计算即可求解. 【详解】已知是等差数列， ， 由等差数列的性质可得，. 因此， ， 又因为，， 所以. 故选：B. 【变式2】已知等差数列的各项均为正数，若，则 . 【答案】 【分析】设公差，借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，即， 化简得，解得或， 又等差数列的各项均为正数，故，故， 则. 故答案为：. 【变式3】在等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】40 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故， 则， 故答案为：40 【变式4】在等差数列中，若，，求. 【答案】84 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列， 所以，， 所以， 解得. 题型05 求等差数列前n项和 【典例1】记等差数列的前n项和为,,,则（   ） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式计算即可. 【详解】 故选：D. 【变式1】已知等差数列中，前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，及等差数列的性质直接求解. 【详解】因为等差数列中，前项和为，， 所以. 故答案为： 【变式2】已知数列的前n项和为，且满足，则 ． 【答案】49 【分析】由递推公式，结合等差数列的定义和前项和公式计算即可求解. 【详解】由，得，又， 所以数列是以2为公差，以1为首项的等差数列， 则. 故答案为：49 【变式3】已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设数列的公差为，由已知列式求出公差和首项，求出通项公式； （2）由，先解出的范围，然后根据是正整数，可得其最小值. 【详解】（1）设数列的公差为，由，即，得， 所以，所以， 即. （2）由（1）可得， 所以，即，即，即， 解得或， 又，故当时，成立，所以的最小值为7. 【变式4】已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，说明理由. (2)若，求数列的通项公式，并求. 【答案】(1)是，证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用等差数列的性质验证即可； （2）先由等差数列的基本量法求出通项，再由求和公式可得. 【详解】（1）是； 证明：， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）若仍为等差数列， 所以. 题型06 求等差数列前n项和的最值 【典例1】设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 【变式1】在等差数列中，，且，则使数列的前项和取得最小值的等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先利用已知条件找出等差数列首项与公差，然后写出等差数列的通项公式，根据等差数列的性质分析得出等差数列前项和取得最小值的. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，即， 又因为即解得，则. 又因， 由，又，则； 由，则， 又，即数列是递增数列， 所以时，等差数列的前项和取得最小值. 故选：A. 【变式2】已知数列的通项公式为，则其前项和的最大值为 . 【答案】 【分析】利用及等差数列的定义得到是等差数列，利用等差数列的前项和公式求出，利用二次函数的图象求的最大值. 【详解】，，， 是等差数列，公差，首项， ， 对称轴为， 当或时，取最大值，且最大值为. 故答案为：. 【变式3】已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】借助等差数列及其前项和的基本量计算可得其通项公式，结合等差数列单调性求出满足的即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，即， 又，解得， 即该数列为递减的等差数列，其通项公式为， 则当满足时，取得最大值， 即，解得， 即当或时，的最大值为． 故答案为：. 【变式4】已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：数列为等差数列； (3)令，的前项和为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）先根据等差数列的前项和公式求出，即可求出数列的通项公式，再根据等差数列的定义即可得证； （3）先求出数列的通项公式，再求出数列符号的分布情况，进而可得出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由， 得，解得， 所以； （2）由（1）得， 所以， 则， 所以数列是以为公差的等差数列； （3）由（1）可知， 所以， 由二次函数性质可知当或时，取得最大值，最大值为. 题型07 等差数列前n项和的性质应用 【典例1】已知等差数列的前项和为，若，则下列选项不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质逐个分析即可得到答案. 【详解】等差数列的前项和满足，，则，，所以，，故A，B正确； 由，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：D. 【变式1】等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 【答案】10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和 ①， 偶数项和 ②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 【变式2】设公差不为0的等差数列的前项和为，已知，则 ． 【答案】7 【分析】根据等差数列的前n项和的性质及等差数列通项公式，化简可得答案. 【详解】根据等差数列的前n项和的性质得， 又因为， 所以， 所以， 设等差数列的首项为，公差为， 则， 所以，且， 所以，得. 故答案为：7 【变式3】已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 . 【答案】 【分析】设等差数列的奇数项的和为，偶数项之和为，可得出，再由可求出、的值，即为所求结果. 【详解】设，， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得，， 所以. 故答案为：. 【变式4】设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据也是等差数列，得到，从而可求的值； （2）利用等差数列的性质以及求和公式可得 ，再利用基本不等式可证明题中不等式． 【详解】（1）在等差数列中，成等差数列， ，． （2）是等差数列，且，正整数p，q，m互不相等, ，即. 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．11 C．15 D．20 【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式将已知条件转化为的表达式，结合等差数列性质求出前15项和. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，，，代入， 得， 化简得，即，故. 等差数列前项和，由等差数列性质， 得. 故选：C 2．已知数列满足，的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义可知数列是以为公差的等差数列，利用等差数列前项和公式结合等差数列的定义可得是以为公差的等差数列，从而得所求. 【详解】因为，所以数列是以为公差的等差数列， 所以， 所以是以为公差的等差数列，则. 故选：B. 3．设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列性质与前n项和公式，推导关键项的符号，再分析数列项的正负变化，判断数列的增减性，最后结合前n项和的变化规律，确定最大值即可. 【详解】因为为等差数列， 由，根据性质得， 由，代入前项和公式： ，因此， 所以，所以等差数列是递减数列，前7项为正，从第8项开始为负， 所以时，的最大值为. 故选：C. 4．各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 【答案】B 【分析】当时，，进而结合题意得即可判断B；再结合时得，最后根据等差数列通项公式与前项和公式计算判断CD. 【详解】因为①， 所以当时，②， 因为等差数列的各项均不为零 所以，得，即， 所以公差，故B正确； 当时，，即 所以，整理得，解得或， 当时，，，满足条件， 当时，，与条件矛盾. 所以首项，故A错误； 所以等差数列的通项公式为，故C错误； 所以，故D错误. 故选：B 5．已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 6．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 7．记数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】首先根据等差数列求和公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 8．已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】56 【分析】利用等差数列前项和的性质结合等差中项即可求解 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 9．已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质求解即可； 【详解】因为数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且 所以. 故答案为： 10．设等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据等差数列与下标和的性质及等差数列求和公式即可求解． 【详解】∵是等差数列，且， ∴，∴，∴，∴， 即， 故答案为：1． 11．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ． 【答案】14或15 【分析】方法1：根据等差数列的前项和公式将展开，判断公差的正负，然后解不等式组即可求得结果；方法2：根据等差数列的前项和公式将展开，得到，然后代入中得到关于n的二次函数，进而可求得结果. 【详解】方法1： 由，得，即． 由可知，解不等式组 即得． 又，故当或时，最大． 方法2：由，可得，所以． 由并结合对应的二次函数的图象知，当或时，最大． 方法3：由，得，即． 由可知，故当或时，最大． 故答案为：14或15. 12．在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 【答案】16 【分析】通过求出部分项数值，发现奇数项的规律，进而求值即可. 【详解】数列首项为，通项公式为. 当时，，满足通项公式. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为. 令，则，所以. 故答案为：16. 13．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 14．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证； （2）利用裂项法来求和，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 15．已知数列为等差数列，其前项和为，若. (1)求数列的前100项和的值. (2)设数列的前项和为，求的最小值. 【答案】(1)100 (2) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可得的值，再根据通项关系可得公差的值，从而可得，结合并项求和可得数列的前100项和的值； （2）求解前项和为，从而可得为等差数列，从而根据等差数列求和公式可得前项和为，由二次函数的性质即可得的最小值. 【详解】（1）设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 所以数列的前100项和 . （2）由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 16．（1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组计算即可. （2）利用为等差数列求出表达式，利用求出表达式，进而求出的通项公式. 【详解】（1）设的公差为． 由题意知，解得， 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 又，得， 所以，也符合该式． 此时． 17．记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 【答案】(1)； (2)的最大值为，取得最大值时的或； (3). 【分析】（1）结合与可计算出公差，再结合，即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合二次函数的性质即可得解； （3）分与两种情况讨论即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 故； （2），是关于的二次函数，对称轴为， 在或时取得最大值，，的最大值为； （3）， . ①当时，； ②当时， . 因此，. 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 等差数列及其前n项和 教学目标 1.理解等差数列的概念。 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用数列性质的有关知识解决相应的问题。 教学重难点 1.重点 等差数列的通项公式与前n项和公式 2.难点 数列前n项和的性质应用 知识点01 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 【即学即练】 1．x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，则等于（    ） A． B．15 C．25 D． 3．等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 4．在等差数列中，若，求公差的值是 ． 知识点02 等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 【即学即练】 1．已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 2．设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 3．记为等差数列的前项和，若，，则 . 4．设数列，，，，的前项和为，则 ． 知识点03 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差， （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． 【即学即练】 1．若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．若等差数列的前三项和为7，且，则该等差数列的公差为 ． 4．已知等差数列中，公差，且，则 ． 知识点04 等差数列前n项和的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1），…也成等差数列，公差为． （2）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （3）若项数为偶数， 则；； ． （4）若项数为奇数，则； ； ． （5）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （6）若与为等差数列，且前项和为与，则． （7）当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. （8）在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 【即学即练】 1．已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 2．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 3．各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 题型01 判断、证明数列是等差数列 【典例1】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】在数列中，，，若，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】已知数列中，，且，则数列的通项公式 ． 【变式3】已知正项数列满足，，且，则 . 【变式4】已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 题型02 等差中项的求解和应用 【典例1】做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 【变式3】方程的两根的等差中项为 . 【变式4】在等差数列中，若，，则的值为 . 题型03 求等差数列的通项公式 【典例1】已知数列，，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】数列中， ， ，则 ． 【变式3】在数列中，若，则 . 【变式4】等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 题型04 利用等差数列的性质计算 【典例1】已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 【变式1】已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【变式2】已知等差数列的各项均为正数，若，则 . 【变式3】在等差数列中，若，则的值为 ． 【变式4】在等差数列中，若，，求. 题型05 求等差数列前n项和 【典例1】记等差数列的前n项和为,,,则（   ） A．120 B．130 C．140 D．150 【变式1】已知等差数列中，前项和为，若，则 ． 【变式2】已知数列的前n项和为，且满足，则 ． 【变式3】已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 【变式4】已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，说明理由. (2)若，求数列的通项公式，并求. 题型06 求等差数列前n项和的最值 【典例1】设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在等差数列中，，且，则使数列的前项和取得最小值的等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】已知数列的通项公式为，则其前项和的最大值为 . 【变式3】已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 【变式4】已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：数列为等差数列； (3)令，的前项和为，求的最大值． 题型07 等差数列前n项和的性质应用 【典例1】已知等差数列的前项和为，若，则下列选项不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 【变式2】设公差不为0的等差数列的前项和为，已知，则 ． 【变式3】已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 . 【变式4】设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．11 C．15 D．20 2．已知数列满足，的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 5．已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 6．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．记数列的前项和为，若，则 . 8．已知等差数列的前项和为，若，则 . 9．已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 . 10．设等差数列的前项和分别为．若，则 ． 11．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ． 12．在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 13．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 14．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 15．已知数列为等差数列，其前项和为，若. (1)求数列的前100项和的值. (2)设数列的前项和为，求的最小值. 16．（1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 17．记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $