专题3.2 空间向量的坐标表示（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的坐标表示核心知识点，从正交分解与坐标表示切入，系统梳理共线（a=λb）、垂直（a·b=0）的坐标条件，延伸至数量积、模、夹角及距离的坐标运算公式，构建从概念到应用的递进学习支架。 资料通过“即学即练”随学随练与“题型分类”典例变式结合，如共线垂直判断题强化运算能力，斜坐标问题培养推理意识。课中助力教师分层教学，课后学生可借多样练习查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的应用能力。

专题3.2 空间向量的坐标表示 教学目标 1．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示空间向量的平行与垂直 2．了解空间向量的坐标运算，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3．掌握空间向量数量积的坐标表示，并能表示空间向量夹角的余弦 教学重难点 1.重点 空间向量的坐标表示和运算 2.难点 空间向量的坐标表示与空间向量基本定理的综合理解 知识点01 空间向量的共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)， a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量). 【即学即练】 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两向量平行的坐标关系，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B. 2．已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据向量加法的坐标运算求出，利用向量平行的性质建立等式求解. 【详解】. 因为，所以存在实数，使得，即. 所以，解得. 故选：A. 3．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 4．已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据空间向量的坐标表示，和空间向量数量积的坐标表示，求出结果即可. （2）根据空间向量垂直的性质，和空间向量数量积的坐标表示，列出方程，求出结果即可. （3）根据投影向量的概念，以及空间向量数量积的坐标表示，求出投影向量的模长即可. 【详解】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 知识点02 空间向量的数量积 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 向量的数量积的性质(e是单位向量)： 1 a·e＝|a| cos〈a，e〉； 2 a⊥ba·b＝0； 3 |a|2＝a·a＝a2； 4 |a·b|≤|a||b|. 向量的数量积满足如下运算律： a·b＝b·a (交换律)； a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)． 【即学即练】 1．已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的模的公式计算后可得正确的选项. 【详解】 在 上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A. 2．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的，然后即可根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】由可得，， 所以. 因为为钝角，所以，且不共线， 所以，即，且. 当时，有且，所以可取1，3，4，5，6； 当时，有且，可取2，3，4，5，6； 当时，有且，可取4，5，6； 当时，有且，可取6； 当或时，，此时无解. 综上所述，满足条件的有14种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点共36种， 所以为钝角的概率 故选：C. 3．已知与的夹角为，则 . 【答案】 【分析】由题知，进而根据模的公式计算即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以，故. 故答案为： 4．已知，，，则的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】，， 故， 故答案为： 知识点03 空间向量的模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝ . 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB＝||＝. 【即学即练】 1．在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据坐标求三角形的边长和夹角的余弦值和正弦值，最后代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题可知，且， ，故的面积为. 故选：A. 2．设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量的垂直和平行关系得到方程，求出，求得，利用坐标求其模即可. 【详解】由⊥，可得，解得， ，故可设，即， 则，解得，即， 则， 故. 故选：B 3．已知向量，且 ，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量平行求出，再由空间向量模的公式求解. 【详解】因为 ， 所以，解得， 所以, 故选：C 4．已知，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．平面ABC的一个法向量是 【答案】A 【分析】对于A，由两点间的距离公式验算即可；对于B，终点坐标减区起点坐标验算即可；对于C，验算是否等于0即可判断；对于D，直接验证所给向量与是否垂直即可. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，， 所以，于是有，故C正确； 对于D，因为，， ，， 所以是平面的一个法向量，故D正确， 故选：A． 5．已知 【答案】5 【分析】根据向量坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：5. 题型01 空间向量的坐标表示 【典例1】已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系中点的坐标的求法，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系中点的坐标表示，可得对应的坐标为. 故选：A. 【变式1】已知，，求=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用点坐标减去点坐标可得． 【详解】因为，，所以, 故选：D． 【变式2】设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. 【变式3】在长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标表示求解. 【详解】解：因为， 所以，所以， 故选：B. 【变式4】若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先根据坐标写成基底表示的形式，再利用待定系数法，列式求解. 【详解】由条件可知，， 设向量在基底下的坐标为， 所以， 所以，得，，， 所以向量在基底下的坐标为. 故答案为： 题型02 空间向量基本定理与向量坐标 【典例1】若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，设在基底下的斜坐标为，则，化简并联立，可得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】由空间向量在基底下的斜坐标为，得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 所以空间向量在基底下的斜坐标为. 故选：C. 【变式1】定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜坐标的定义直接计算可得. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 【变式2】如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量的加减法计算求解. 【详解】因为是平行四边形，所以点为与的中点， 则. 故选：A. 【变式3】如图，在四面体中，点为底面三角形的重心，为的中点，设，，则在基底下的有序实数组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接.由重心的性质可知，且三点共线. 因为，所以 .所以在基底下的有序实数组为. 故选： 【变式4】已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 . 【答案】5 【分析】由空间向量基本定理求解， 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则， 得，解得 故答案为：5 题型03 空间向量的坐标运算 【典例1】已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求. 【详解】由，则，所以. 故选：D 【变式1】已知空间向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，即可求解. 【详解】因为，，则， 又，则，所以， 解得， 故选：B. 【变式2】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 【变式3】在空间直角坐标系中，，，，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据空间向量垂直得出数量积为0，再应用空间向量数量积坐标运算公式求解. 【详解】在空间直角坐标系中，，，，则， 又因为，所以，所以. 故答案为：1. 【变式4】已知点，，向量，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】首先设点，再代入坐标运算，利用向量相等，即可求解. 【详解】设，，， 因为，所以，得，，， 所以点的坐标. 故答案为： 题型04 空间向量平行的坐标表示 【典例1】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量、的坐标，分析可知，结合空间向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为、、，所以，. 由、、三点共线，可得，可得，解得. 故选：B. 【变式1】设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 【变式2】与向量共线且方向相同的向量的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共线向量定理求解. 【详解】与向量共线且方向相同的向量可设为，， 只有B选项符合. 故选：B 【变式3】若，，三点共线，则 . 【答案】 【分析】三点共线可得到与共线，利用向量共线定理即可求出答案. 【详解】，， 若，，三点共线，则向量与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得， 故答案为：. 【变式4】已知向量，，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求得答案. 【详解】由，知，所以． 故答案为：4 题型05 空间向量垂直的坐标表示 【典例1】已知空间向量，若，其中，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示公式，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：B 【变式1】已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先求得的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 故选：D. 【变式2】若平面的法向量为，则下列各向量与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B. 【变式3】已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 故答案为： 【变式4】已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量夹角的坐标表示求解. （2）求出与的坐标，再利用空间向量垂直关系的坐标表示列式求解. 【详解】（1）由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. （2）依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 题型06 空间向量夹角余弦的坐标表示 【典例1】已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的定义和坐标运算可得，再结合即可得出，最后利用夹角公式求最值. 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 故选：A 【变式1】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 【变式2】已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的夹角公式计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：A. 【变式3】已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 【变式4】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由于， 故选：A. 1．设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由，∥，得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 2．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：B 3．已知点是点在平面内的射影，则（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】C 【分析】求得点的坐标，可求. 【详解】因为点是点在平面内的射影，所以， 所以，所以. 故选：C. 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据坐标平面中点的坐标定义及对称点的坐标特征易得. 【详解】因空间中的点的横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该点在轴上的投影的坐标， 故点关于平面对称的点的横坐标、纵坐标不变，竖坐标为原竖坐标的相反数， 故所求点坐标为. 故选：B. 5．点关于xOy平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间点关于平面的对称点特点即可得到答案. 【详解】点关于xOy平面的对称点是， 所以点关于xOy平面的对称点的坐标为． 故选：C． 6．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于平面对称求出点的坐标，再根据向量坐标运算求出的坐标. 【详解】由点与点关于平面对称，得，所以. 故选：A. 7．设x，，向量，向量，，且，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 8．已知，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B. 9．已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】应用空间向量数量积坐标公式计算得出，进而应用模长坐标公式计算求解. 【详解】由向量，，且，得，则， 则． 故选：C. 10．已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】A 【分析】由空间向量的坐标运算即可判断A；求出和即可判断B；假设，则存在实数使得，验证无解，即可判断C；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，假设，则存在实数使得，则，无解，所以假设错误，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误. 故选：A. 11．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】C 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A错误； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C、D，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：C 12．已知向量，，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量共线的充要条件列方程组求解. 【详解】因为，，且， 所以存在实数，使得，即， 所以，解得，所以. 故答案为：1. 13．如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则 .    【答案】 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【详解】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 14．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 . 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 15．已知向量，，若，则 . 【答案】2 【分析】根据向量垂直列式求值即可. 【详解】因为，所以 ，解得. 故答案为：2 16．已知，若四点共面，则实数 ． 【答案】 【分析】根据向量共面的性质得出向量间的线性关系，再根据向量坐标列方程组求解． 【详解】四点共面， 向量可由线性表示，即存在实数，使得， ，解得， ． 故答案为：． 17．若向量，且，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量平行的坐标计算可得，进而结合模的坐标公式求解即可. 【详解】由，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 18．已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标以及，则即为所求； （2）由题意可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】（1）由题意可得，则， 所以与同向的单位向量为. （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故. 19．已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算计算即可； （2）利用空间向量平行的充要条件及模长公式计算即可. 【详解】（1）由题意知， 所以． 又， 所以， 解得． （2）因为， 又， 设， 又，所以，解得， 当时，； 当时，， 所以向量的坐标为或． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 空间向量的坐标表示 教学目标 1．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示空间向量的平行与垂直 2．了解空间向量的坐标运算，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3．掌握空间向量数量积的坐标表示，并能表示空间向量夹角的余弦 教学重难点 1.重点 空间向量的坐标表示和运算 2.难点 空间向量的坐标表示与空间向量基本定理的综合理解 知识点01 空间向量的共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)， a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量). 【即学即练】 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 3．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 知识点02 空间向量的数量积 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 向量的数量积的性质(e是单位向量)： 1 a·e＝|a| cos〈a，e〉； 2 a⊥ba·b＝0； 3 |a|2＝a·a＝a2； 4 |a·b|≤|a||b|. 向量的数量积满足如下运算律： a·b＝b·a (交换律)； a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)． 【即学即练】 1．已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 2．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（   ） A． B． C． D． 3．已知与的夹角为，则 . 4．已知，，，则的余弦值是 . 知识点03 空间向量的模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝ . 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB＝||＝. 【即学即练】 1．在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 2．设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 3．已知向量，且 ，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D． 4．已知，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．平面ABC的一个法向量是 5．已知 题型01 空间向量的坐标表示 【典例1】已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式1】已知，，求=（ ） A． B． C． D． 【变式2】设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 题型02 空间向量基本定理与向量坐标 【典例1】若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在四面体中，点为底面三角形的重心，为的中点，设，，则在基底下的有序实数组为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 . 题型03 空间向量的坐标运算 【典例1】已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知空间向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】在空间直角坐标系中，，，，且，则 ． 【变式4】已知点，，向量，则点的坐标为 . 题型04 空间向量平行的坐标表示 【典例1】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2】与向量共线且方向相同的向量的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，，三点共线，则 . 【变式4】已知向量，，若，则 ． 题型05 空间向量垂直的坐标表示 【典例1】已知空间向量，若，其中，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式2】若平面的法向量为，则下列各向量与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知向量，且，则 ． 【变式4】已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 题型06 空间向量夹角余弦的坐标表示 【典例1】已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【变式1】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 1．设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 2．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知点是点在平面内的射影，则（   ） A． B．9 C． D．18 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．点关于xOy平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 7．设x，，向量，向量，，且，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 8．已知，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 10．已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 11．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 12．已知向量，，且，则 ． 13．如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则 .    14．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 . 15．已知向量，，若，则 . 16．已知，若四点共面，则实数 ． 17．若向量，且，则 . 18．已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 19．已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $