吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

倒 果素分闽污按 长春外国语学校2025-2026学年第一学期第二次月考高二年级 敦品兼修向学笃行 Moral Cultivabion Persistent Endeavor 数学试卷 出题人：孙洁 审题人：于海君 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页.考试结束后，将答题卡交回 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效： 在草稿纸、试题卷上答题无效 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑， 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 第I卷 一，单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.抛物线y=-二x2的焦点坐标为() A.(-0) B.(（) c.(o,-) D.(o,-) 2.双曲线 --x2=1的渐近线方程为() A.y=±2 B.y=tv2x c.y=±x 21 D.y=土2x 3.已知直线1经过点(1，-2)，且与直线2x+3y-1=0平行，则1的方程为() A.2x+3y+4=0B.2x+3y-8=0 C.3x-2y-7=0 D.3x-2y-1=0 4.点R、乃，分别为椭圆￡十上=1左右两个焦点，过R的直线交椭圆于4B两点，则△4BR 167 试卷第1页 的周长为() A.32 B.16 C.8 D.4 5.己知椭圆+y =1的焦距等于2，则其离心率的值为() 4 A.或号 5 B.域 2 c.或9 D. 或号 5 6.已知点N(1,1),抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的动点，则PW+PF的最小值 为() B.2 C. 5-2 D.3 7.如果直线y=-2与双曲线x2-y2=4没有公共点，则k的取值范围是() A.(-V2,V2 B.【V2,V C.(-∞，-②U(2,+∞) D.（-∞，-V②U[V2,+∞) 8.已知M,N是椭圆©号+号1上关于原点对称的两点，P是稀圆C的右焦点，则”的 NE 取值范围是() A.[2,+0) B.[26 [8 c. D.[2,18] 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项 是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分 9.已知直线l:x-y+2k+1=0和圆O:x2+y2=8,则() A.直线1恒过定点(2,1) B.直线1与圆O相交 C.存在k使得直线1与直线l。:x-2y+4=0平行 D.直线1被圆O截得的最短弦长为23 共6硕 10.己知点P在双曲线-二=1上，月，R分别是左、右焦点，若△P四马，的面积为20，则下列 169 判断正确的有() 20 A.点P到x轴的距离为 B.IPR+- 0 C.△PFE为钝角三角形 D.∠RP明=胃 知椭圆C:工+b>0,R,乃分别为其左、石焦点，桶圆C的离心率为 9+ M在椭圆上，点N(2,√2)在椭圆内部，则以下说法正确的是() 15 A.离心率e的取值范围为 0, 5 B.不存在点M,使得M丽+M瓜，=0 。.当e=时，M四-的最大值为宁 M M 的最小值为1 第Ⅱ卷 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆C:x2+y2-4x-5=0与圆C2:x2+y2-2y-3=0相交于A、B两点，则两圆公共弦AB 所在直线的方程为 13.设M是双面线若-1上一点，R男分别是双商线的左、有焦点，若g-4,则 = 14。已知P为椭圆C:号+少-1的右焦点，P为C上一点，Q为圆Mx+0-4-1上一点， 则Pg-PF的最小值为 试卷第2页， 四.解答题：本题共5小题，总分共77分 15.己知圆心为C的圆经过点A(1,-1)和B(4,2),且圆心C在直线x-y+1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)求过点M(-2,1)的切线方程 16已期双曲线B:于茶-1aQ6~0)的左、右两焦点分别为R(60小、gNG0,。 为上点，g1g (1)求双曲线E的方程： (2)是否存在直线I,使1被E所截得的弦AB的中点坐标是M 若存在，求出直线的方 程，若不存在，请说明理由. 17.如图，在三棱柱ABC-ABC中，CC⊥平面ABC,D,E,F分别为AA,AC,AC 的中点，AB=BC=√5，AC=A4=2. B D B (1)求证：AC⊥平面BEF: (2)求二面角B-CD-C的正弦值. 共6页 18.己知抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,y),且点A到其准线的距离为4. (1)求抛物线的方程： (2)设直线1：y=2x+m与抛物线交于异于原点的P,Q两点。 ①当m=-2时，求△OPQ的面积SAOPQ: ②若0P1OQ,求实数m的值. 19已知点42,0)为插圆么：是器1ab>0)的有编点，桥圆E的离心幸为 ,不经过 点A的直线I:y=x+m与椭圆交于B、C两点，直线AB、AC分别与y轴交于MN两点， (1)求椭圆E的标准方程： (2)如果线段W的中点的纵坐标等于，，那么直线1是否经过定点？如果是，求出该定点的坐 标，如果不是，请说明理由， 试卷第3页，共6页 本外图污景按 长春外国语学校2025-2026学年第一学期月考高二年级 敦品兼修向学笃行 Moral Cultivation Persistent Endeavo 数学答案 一，单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B 7.c 8.c 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是 符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分 9.BD 10.BC 11.ABC 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2x-y+1=0 13.6 14.-7+2√6 四.解答题：本题共5小题，总分共77分 试卷第4页， 15.(1)(x-1)2+(y-2)2=9: (2)x+2=0或4x+3y+5=0 【详解】(1)由圆心C在直线x-y+1=0上，设圆心C(,+1), 由AC=BC,得Vm-1)2+0m+2)2=m-4)2+(0m-1)2,解得m=1, (3分) 因此圆心C12),半径r=V0-4)2+(2-2)2=3, (5分) 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9 (6分) (2)当切线斜率不存在时，圆心C到直线x=-2的距离为3，则切线可以为直线x=-2(8分) 当切线斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x+2),即k-y+1+2k=0, -21+2出-3，解得北=直线方程为4+3y+5=0, (12分) Vk2+1 所以切线方程为x+2=0或4x+3y+5=0 (13分) (2)不存在，理由见解析， 【详解】(1)因为(-6，)，(N6,0),所以RE=V6-V6+(0-0)=26,(2分) 由题意可知，PR1-P5-51K5×25=4长26. 所以2a=4,2c=2√6，解得a=2,c=√6， 所以b2=c2-d2=2, (4分) 故双曲线B的方程为上=1 (6分) 42 (2)(方法一) 因为M12 不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意， 设直线l的方程为y=c+n,A(,乃)，B(x2,y2),则 共6页 y=kx+n x2y21,消去y,整理得(1-2k2)x2-4x-2n2-4=0, 42 *1 因为直线1与双曲线E相交于A,B, 4a2 所以△=(4hm'+41-2k【2r+4≥0，且R≠名+为2 所以+y,=+n+,+n=k氏+x,片2= 4k'n 2n 1-2k2 21= 1-2k2 因为点M 是线段AB的中点， X+x2=」 2kn =1 2 所以 1-2k2 21=1-2k2 2-12,解得k=1n=号 即 (12分) +y2= 2 1-2k2=2 所以a=(4+40-2m+416x1x子4x421产}2x寻4=-14<0 所以不存在这样的直线 (15分) (方法二)点差法求出直线方程(12分)联立检验判别式小于零，故不存在.(15分) 17.(1)证明见解析；(2)2105 21 【详解】(1)依题意，AB=BC,E为中点，所以，AC⊥BE, 又因为CC,⊥平面ABC,.AC⊥CC,而CC IEF 又AC⊥EF,又EF∩BE=E 所以，AC⊥平面BEF (6分) (2)由(1)的证明知，以E为原点，如图，建立空间直角坐标系， 试卷第5页， B 则C(-1,0,2),C(-1,0,0),B(0,2,0),D1,0,1) .CD={2,0,1},CB=1,2,0},CC1={0,0,2 设平面BCD和平面CDC的法向量为和，夹角为8. 则取1=CDX CB={-2,1,4} 取2=CDxC℃={0，-4,0} (10分) →→ h· c0s0= -421 →→ V21.4 21: (13分) sin8=2v105 21 所以，二面角8-CD-G的正弦值为2105 (15分) 21 18.(1)y2=8:(2)①2W3:②-16. 【详解】解：(1)y2=2x(p>0)过点A(2,y),且点A到其准线的距离为4， 2+2=4, 2 共6页 即p=4, ∴.抛物线的方程为y2=8x: (4分) (2)①当m=-2时， ,2a2为 y2-4y-8=0,△=16+32>0， 设P(x,y),Qx22),则 y1+y2=4,y1y2=-8, (6分) SAoPQ-ly1-y21+y2)2-4y1y2=2V3. (10分) @,20y2-+4n=0 设P(,),2(x:2),则y1y2=4m (12分) 又OP⊥O2,x1x2+y1y2=0, 16 -+4m=0, 64 ∴.m=-16或m=0, (15分) 经检验，当=0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O重合，不符合题意， 当m=-16时，△=16-16×(-16)>0，符合题意. 综上，实数m的值为-16. (17分) 19.) (2)直线1经过定点(2,2). 【详解】1)由已知得a=2,离心率e=9-3 所以c=√3，b=√ad2-C2=√4-3=1， 试卷第6页， 所以精圆8的方程为号+1： (4分) 2②设B().8小，所直线8的方程为y产2-2，令=0得% -2 间理可得y气2·所以大=1 2-2,即w+yw=1, (6分) 所以2%+2当-1，（5-2飞-2+2x(飞-2+2(5-3-0， x-2x2-2 所以(5-2)(x2-2)+2(+m)(x2-2)+2(c2+m)(:-2)=0, 化简得(2-4h-2)(+x2)+(4k+1)xx,+4-8m=0,(*) (8分) 由4-0得+1r+8m+r--0, y=kx+m 由△>0，得64k22-16(42+100m2-1)>0,即m2<4k2+1, 所以+=纸 4m2-4 (10分) 代入等式(*)化简得42+4+m2-4k-2m=0,(2k+m)-2(2k+m)=0, 所以(2k+m)(2k+-2)=0,所以m=-2k或=2-2k, (15分) 当m=-2k时，直线1的方程为y=k(x-2),经过点A(2,0),不合题意， 当m=2-2k时，直线1的方程为y-2=k(x-2),经过定点(2,2)， 所以直线1经过定点(2,2). (17分) 共6页