数学一模提分卷02（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A]B][C]D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 数学一模提分卷02（广东专用）学易金卷： 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，那么（    ） A． B． C． D． 2．已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 3．某中学共有名学生，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（    ） A．阅读量的众数估值为 B．阅读量的中位数估值为 C．阅读量的平均数估值为 D．第百分位数为 4．已知，都是第二象限角，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 5．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．8 D．16 6．已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若函数有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为复数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C．是的极小值点 D．存在实数，使得直线与的图象恰有1个公共点 11．如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（    ）   A．曲线有4条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 D．四叶草面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则关于的不等式的解集为 ． 13．如图，已知台体的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为.若，，，则该台体的外接球的表面积为 .    14．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某智能翻译软件在研发过程中加入了新的算法，它能够更准确地翻译多种语言．该软件的改进主要运用NMT（神经机器翻译）技术和语言模型融合技术．在测试时，如果输入的语句词汇量在个以内，翻译结果被认可的概率为，当输入语句词汇量超过个时，翻译结果被认可的概率为. (1)在一次测试中输入了个语句，翻译结果有个被认可，现从这个语句中抽取个，以X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的语句词汇量超过个的概率为，若翻译结果被认可的概率为，求的值． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当取得最小值时，求二面角的余弦值． 17．（15分） 已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且. （i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由， （ii）求面积的取值范围. (3)设，判断三棱锥外接球的球心O与B所连线段和平面是否有交点，并求此外接球的半径. 19．（17分） 双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为. (1)求双曲余弦函数在处的切线方程； (2)令，请讨论在的单调性； (3)证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学一模保分卷02（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，先求出集合U，根据并集运算的概念，可得，根据补集运算的概念，即可得答案. 【详解】由题意，集合，且， 所以. 故选：D 2．已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 3．某中学共有名学生，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（    ） A．阅读量的众数估值为 B．阅读量的中位数估值为 C．阅读量的平均数估值为 D．第百分位数为 【答案】D 【分析】根据众数，中位数，平均数，百分位数相关知识可逐一求解． 【详解】对于，众数估值为，故错误； 对于，设中位数为，则在内，所以，解得，故错误； 对于，平均数，故错误； 对于，设第百分位数为，则在内，所以，解得，故正确． 故选：． 4．已知，都是第二象限角，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系和余弦和角公式得到，结合角的范围，得到. 【详解】，即， 所以，， 又，都是第二象限角，故， ，故， 所以 故选：A 5．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】由化简得到公比，则. 【详解】由，则，即，即公比 又，所以， 故选：B 6．已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，根据双曲线的定义以及性质可得，再利用离心率的式子即可求解． 【详解】作图，设， 则有 解得，因为是双曲线左支上的一点， 所以， 即，解得， 故选：． 7．若函数有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的关系，求出三个角的范围，根据边的关系和正弦定理，用三角函数表示出边长，换元法构造函数，求出函数的最小值，判断结果. 【详解】因为，，所以，，且. 由正弦定理得，所以. 因为，所以，所以. 因为， ，， 所以 . 令，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以a的最小值为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为复数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过反例可说明BD错误；设，，根据复数和运算与共轭复数的定义可知A正确；根据复数乘法、共轭复数定义和模长运算可求得C正确. 【详解】对于A，设，， 则，； ，，A正确； 对于B，若，则，，则，B错误； 对于C，设，则， ，，C正确； 对于D，若，，则， ，，D错误. 故选：AC. 10．已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C．是的极小值点 D．存在实数，使得直线与的图象恰有1个公共点 【答案】BC 【分析】将自变量代入求函数值判断A，利用偶函数的性质求函数区间解析式判断B，应用导数研究函数的极值点判断C，根据C的分析判断的性质，结合偶函数的对称性判断D. 【详解】由题设，若，则，故， 由为偶函数，则，A错， 而，B对， 由上时，，则， 令，即在上单调递增， 又，故在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，C对， 由C分析，或时，且， 所以、上，又为偶函数，则、上， 所以直线与的图象恒有2个交点，D错. 故选：BC 11．如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（    ）    A．曲线有4条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 D．四叶草面积小于 【答案】ACD 【分析】利用之间的代换判断出对称轴的条数判断A；利用基本不等式求解出到原点的距离最大值判断B；将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值判断C；根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.判断D. 【详解】对于A，当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有4条对称轴，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以，取等号时， 所以曲线上的点到原点的最大距离为，故B错误； 对于C，设任意一点，所以围成的矩形面积为，因为， 所以，所以，取等号时， 所以围成矩形面积的最大值为，故C正确； 对于D，由B可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为，所以四叶草的面积小于，故D正确； 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】， 因为式子对任意都有意义， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为上奇函数， 所以， 所以不等式可化为， 又，，都在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，可得， 故不等式的解集为． 故答案为： 13．如图，已知台体的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为.若，，，则该台体的外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】根据台体的结构特征可求得，作出截面，设，利用勾股定理可构造关于和的方程组，解方程组可求得，代入球的表面积公式即可. 【详解】由台体的结构特征知：，， ，； 设台体的外接球球心为，半径为，中点分别为，作出截面如下图所示，    设，则， 在和中，，解得：，即球心为中点， 该台体的外接球表面积. 故答案为：. 14．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 【答案】 【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一步，从1号或3号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽1号卡片， 第二步，从3号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第三步，从2号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽2号卡片， 第四步，从4号或5号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种； （2）第一步，抽5号卡片， 第二步，从1、3、4号卡片抽取一张，有3种情况，比如先抽1号卡片， 第三步，从3、4号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第四步，从2、4号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种. 而从5张卡片随意抽取，不同的抽法种数为， 因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某智能翻译软件在研发过程中加入了新的算法，它能够更准确地翻译多种语言．该软件的改进主要运用NMT（神经机器翻译）技术和语言模型融合技术．在测试时，如果输入的语句词汇量在个以内，翻译结果被认可的概率为，当输入语句词汇量超过个时，翻译结果被认可的概率为. (1)在一次测试中输入了个语句，翻译结果有个被认可，现从这个语句中抽取个，以X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的语句词汇量超过个的概率为，若翻译结果被认可的概率为，求的值． 【详解】（1）解：已知输入个语句，翻译结果有个被认可，则有个未被认可．从个语句中抽取个，表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，则的可能取值为、、、、，可得 ，， ，， ，(5分) 根据数学期望公式可得：.(6分) （2）解：设“输入语句词汇量超过个”为事件，则 ，， 设事件表示“翻译结果被认可”，则 ，，，（9分） 由全概率公式知 ， 则， 即， 解得.（13分） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当取得最小值时，求二面角的余弦值． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为四边形为菱形，所以 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面．（5分） （2）由（1）知平面， 因为平面，所以，， 又，平面平面，所以即为二面角的平面角，（7分） 当取得最小值时，有， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，（9分） 又因为在菱形ABCD中，，， 所以，， 又因为，所以， 又因为在中，，解得,（13分） 则在中，， 所以二面角的余弦值为．（15分） 解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直， 又当取得最小值时，有，（9分） 以为原点，分别为轴建空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，，， 所以，为等边三角形，易得，， 则，，，，， 易知为平面的法向量，（11分） 又由（1）得平面，平面， 所以，又因为，，平面，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量，（13分） 又， 所以二面角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 则，又，所以为等比数列， 故，则，得.（5分） （2）（i）由（1）可得， 因为， 则， 得， 化简得，（9分） （ii）原不等式化简可得， 记， 则. 记，知是关于的增函数，（11分） 其中. 故时，，又，所以. 原不等式成立，则存在，使得.(13分) 则当为奇数时，此时， 故，即，此时无解，不等式恒不成立； 当为偶数时，即， 解得或， 故的取值范围为.（17分） 18．（17分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且. （i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由， （ii）求面积的取值范围. 【详解】（1）由已知，，点， 则，， 则， 又点在椭圆上，所以，，则， 所以椭圆方程为；（4分） （2） （i）当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时， 由椭圆的对称性不妨设，， 则，，， 又直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 则由可知，即， 解得；（6分） 当直线与斜率均存在时， 不妨设，则，得，则， 则，同理可得， 则， 则， 则， 即； 综上所述，存在，使圆与直线相切；（10分） （ii）由（i）得，当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时， 则，， 此时； 当直线与斜率均存在时， ，， 则，（14分） 设，， 则， 又， 所以， 即， 综上所述.（17分） 19．（17分） 双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为. (1)求双曲余弦函数在处的切线方程； (2)令，请讨论在的单调性； (3)证明：. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以在处的切线方程为.（3分） （2）因为，， 则， 令，，则，（5分） ，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增. （8分） （3）先证：当时，； 令，，则， 令，，则， 令，， 则， 所以在单调递增，∴，即在单调递增， ，即，即在单调递增， ，即当时，.（12分） 由（2）知当时，即， 因为，则，即， 所以，即（）；（14分） 令， 则， 当时，则有：， ，，； 相加可得： ， 其中 ， 所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 数学一模提分卷02（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 D D D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC BC ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(0,2) 13.128π 14. .7 30 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)解：己知输入10个语句，翻译结果有6个被认可，则有4个未被认可.从10个语句中抽取5个， X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，则X的可能取值为1、2、3、4、5，可得 C。25242,PX=2)=CxC-15x45 P(X-1)-CxCi-6_1 Ci。25221' PX=)=CxC-20x6.10 P(X=4= C6×C4_15×4_5 252-21' Ci。 252-21' P(X=5)= 6×11 25242,(5分) X 1 2 3 5 P(X) 1 5 10 5 1 42 21 21 21 42 根据数学期望公式可得：E(X)=1× +2x5+3 1 10 2121 42 =3.(6分) (2)解：设“输入语句词汇量超过10个”为事件A,则 1/8 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P(A)=q,P(A=1-9, 设事件B表示“翻译结果被认可”，则 P(B)=0.7,P(B|A)=0.6,P(B|A=0.75,(9分) 由全概率公式知 P(B)=P(BIA)P(A)+P(BA)P(A), 则P(B)=0.6q+0.751-q)=0.6q+0.75-0.75q=0.7, 即0.15q=0.05, 解得g=写13分》 16.(15分) 【详解】(1)因为P0⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以P0⊥AC, 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD 又因为BD∩PO=O,BDc平面PBD,POc平面PBD, 所以AC⊥平面PBD, 又因为ACc平面ACE,所以平面ACE⊥平面PBD,(5分) (2)由(1)知AC⊥平面PBD, 因为OE,PDC平面PBD,所以AC⊥OE,AC⊥PD, 又P0⊥AC,平面PAC∩平面ACE=AC,所以∠POE即为二面角P-AC-E的平面角，(7分) 当CE取得最小值时，有CE⊥PD, 又因为CE∩AC=C,CE,ACC平面CEA,所以PD⊥平面CEA, 又因为OEc平面CEA,所以PD⊥OE,(9分) 又因为在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2, 所以BDl=AB+AD-2 4BAD cos120°=2N5,0D=V3, 又因为P0=2,所以PD=VP0+0D=22+(=万， 又因为在P0D中，5 PDE-×OrxO0,解得O=2.13分 7 则在△POE中，cos∠POE= 0E21 OP 7 所以二面角P-4C-E的余弦值为V.(15分) 7 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解法二：由PO⊥底面ABCD,AC,BDc底面ABCD,且底面ABCD为菱形可知OB,OD,OP两两垂直， 又当CE取得最小值时，有CE⊥PD,(9分) 以0为原点，0B,0C,0P分别为x,y,z轴建空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2, 所以∠ABC=60°，ABC为等边三角形，易得OB=V3,OC=1, 则P(00,2),A(0,-1,0,B5,0,0,C(01,0),D-5,0,0, 易知OB=(1,0,0)为平面PAC的法向量，(11分) 又由(I)得AC⊥平面PBD,PDc平面PBD, 所以AC⊥PD,又因为CE⊥PD,AC∩CE=C,ACC平面ACE,CEc平面ACE, 所以PD⊥平面ACE, 所以PD=-V3,0,-2为平面ACE的法向量，(13分) 又cos(OB,PD OB.PD -√5√21 OB PD √7 7 所以二面角P-AC-E的余弦值为2 .(15分) 17.(15分) 【详解】D由a三+，可得。 1=+1-11+1 an+2a 2 a 2 -.(5分) 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)(1)由(1)可得bn= (1-a)nn a 2n 123 因为Tn= n-1,n +++…+ 2分， 则2Tn= 123,n-1n +2+2++2+2 得工111 11n 2++2+…+。 2-22-2 化简9无-20)2-2.9分) (①原不等式化简可得a-列+子+2-2cos)s0, 记c,=a-引+子， 则c-c,=a+a-2+品-aa-列-子=2-2-品 记)=2-2-品，知f是关于aaeN)的塔函数，(1分) 其中f(1)(0,f(2》0 31 故n≥2时，c-c,>0,又6=-l.6=29=4所以4，<G<G<…<0<…(k23,keN) 原不等式成立，则存在n∈N,使得c.)。n+2-元'cosn≤0.(I3分) 则当n为奇数时，此时(c,n=G=-1, 故c+22+2≤0，即1+2≤0，此时元无解，不等式恒不成立； 当n为偶数时，(c.+2≤2即6，+2≤， 解得≥5或元≤-5 2 故入的取值范围为 (17分) 18.(17分) 【解1由已数F-10,50,点号 则r停3--空--9 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则AF+AE=2√2， 又点A在椭圆上，所以a=√2，c=1,则b=√a2-c2=1, 所以椭图方程为号+广=1；(4分) (2) (i)当直线0M与ON中一个斜率不存在，一个斜率为0时， 由椭圆的对称性不妨设M(0,1)，N(V2,0), OMI=1,ION=2,MNI=JoMP+lONP 3, 又直线MN与圆相切，则圆心O到直线MN的距离d=r, 则由8oa可知oMov-MNd,即x1x万-x5r, 6分 解得，=6 当直线OM与ON斜率均存在时， y=kx 不妨设OM:y=,则x2 -21+去是 则0N:y=,同理可得O-2+2 k2+2 61+k2)2 则MN=+2k2R+2 传oMHM-wr 2k2+22k2+2 则r-o0r.2-4 MN 61+2)月 6, 1+2k2)k2+2)】 5/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即r=6 综上所达，存在，=6，使圆与直线相切：(10分) (i)由(1)得，当直线0M与ON中一个斜率不存在，一个斜率为0时， 则0M=1,|OW=2, t时5amw-ow1loN= 2 当直线OM与ON斜率均存在时， lOMP=2k2+2 420, 0N-=2k2+2 k2+2 (k2+12 则sam-oM,of+2吧+4分 设t=k2+1,te(1,+oo）, 12 1 1 则3.0m=2P+1-1+2 21 又e(0,1, 所以.ow 综上所述SOwN∈ 22 3’2 (17分) 19.(17分) 【详】D因为ca-.所以em= 所以cosh'10)=e°-e -=0, 2 又cosh(0)=1,所以cosh(x在x=0处的切线方程为y=1.(3分) 6/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)因为f(y)=cosh()x-cosr=e+e -cosx,xe0,+o0）, 2 则f"(x)=e-e sinx, 2 令m到=f=2+r,e0,则m=e+e+eoe,5分y 2 :e+e≥2√ee=2,当且仅当e=er,即x=0时，等号成立， 所以my=e+e+cosr>1+cosr20, 2 所以m(x)即f'(x)在(0，+o)上单调递增，所以f'(x)>f'（0)=0, 所以f(x)在(0，+o)上单调递增.(8分) (3)先证：当xe∈(0,1)时，sinx>x 6 令gx)=sinx-x +,xe0,1,则g=cor-1+ 6 令F国=g=eosr-1+号，xe0,测r1-ir+ 令H(x)=F'(x=-sinx+x,x∈(0，l, 则H'x=-cosx+1>0, 所以H(x在(0,1)单调递增，.H(x)>H(0)=0,即F(x)在(0,1)单调递增， F(x>F(0)=0,即g'x)>g'(0)=0,即gx)在(0,1)单调递增， 8(>g0)=0,即当xe0,1时，sir>x-父.(12分) 6 由(2)知当xe(0,l时f(x)=cosh(x-cOSX>f(0),即cosh(x)>cosx, 因为tanx>0,则tan x.cosh (x>tan x.cosx,即tanx.cosh(x>sinx, 所以anco,simx,即taxcosh(,simr>1-。（xe(0,l,（14分) 6 令x=-,n≥2，neN', tan cosh1） 则ntan cosh=n (n 1 6n(n-1）6n-1n 7/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当n≥2时， 则有：2o}1-名引 o得>1-君是引，mcm日}1-》 相加可得： 2noa[-am写matg+nem。oah君a-1君-e>taev)- 英1-引1-沿引1别 所以2mo分)3er写ou得+ama日>a名e>lneN分) 8/8 ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 数学一模提分卷02（广东专用）学易金卷： 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，那么（    ） A． B． C． D． 2．已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 3．某中学共有名学生，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（    ） A．阅读量的众数估值为 B．阅读量的中位数估值为 C．阅读量的平均数估值为 D．第百分位数为 4．已知，都是第二象限角，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 5．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．8 D．16 6．已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若函数有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为复数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C．是的极小值点 D．存在实数，使得直线与的图象恰有1个公共点 11．如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（    ）   A．曲线有4条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 D．四叶草面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则关于的不等式的解集为 ． 13．如图，已知台体的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为.若，，，则该台体的外接球的表面积为 .    14．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某智能翻译软件在研发过程中加入了新的算法，它能够更准确地翻译多种语言．该软件的改进主要运用NMT（神经机器翻译）技术和语言模型融合技术．在测试时，如果输入的语句词汇量在个以内，翻译结果被认可的概率为，当输入语句词汇量超过个时，翻译结果被认可的概率为. (1)在一次测试中输入了个语句，翻译结果有个被认可，现从这个语句中抽取个，以X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的语句词汇量超过个的概率为，若翻译结果被认可的概率为，求的值． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当取得最小值时，求二面角的余弦值． 17．（15分） 已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且. （i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由， （ii）求面积的取值范围. (3)设，判断三棱锥外接球的球心O与B所连线段和平面是否有交点，并求此外接球的半径. 19．（17分） 双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为. (1)求双曲余弦函数在处的切线方程； (2)令，请讨论在的单调性； (3)证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ · 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $