第15讲 轴对称及其性质 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级下册寒假预习

第15讲 轴对称及其性质 一、核心知识点 （一）轴对称的相关概念 1. 轴对称图形 定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。 核心特征： 研究对象是一个图形（自身的对称关系）； 对称轴是直线（非线段、射线），折叠后两侧部分完全重合； 一个轴对称图形可能有一条或多条对称轴。 示例： 单条对称轴：等腰三角形、等腰梯形、角； 多条对称轴：正方形（4条）、圆（无数条）、等边三角形（3条）。 2. 两个图形成轴对称 定义：如果两个图形沿一条直线折叠后，能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 核心特征： 研究对象是两个图形（图形间的位置对称关系）； 两个图形的形状、大小完全相同（全等关系）； 对称轴是直线，对应点分别在两个图形上。 示例：两个完全相同的等腰三角形沿底边的垂直平分线折叠后重合，这两个三角形关于该直线成轴对称。 3. 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 对称关系 自身对称 图形间对称 对应点位置 同一图形上 两个图形上 联系 ① 都沿某条直线折叠后完全重合；② 对称轴都是直线；③ 两个图形成轴对称可看作一个轴对称图形被对称轴分成的两部分，轴对称图形可看作两个成轴对称的图形重合后的整体 （二）轴对称的基本性质（核心考点） 1. 对应点的性质：成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 符号表述：若点与点是对应点，对称轴为直线，则，且平分（即是的垂直平分线）。 推论：对称轴上的任意一点到两个对应点的距离相等（如对称轴上一点，则）。 1. 对应线段与对应角的性质：成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）中，对应线段相等，对应角相等。 符号表述：若线段与线段是对应线段，与是对应角，则，。 延伸：对应线段所在直线的交点在对称轴上（若对应线段不平行）。 （三）线段的垂直平分线（轴对称的重要应用） 1. 定义 既垂直于一条线段，又平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 核心条件：① 垂直于线段；② 平分线段；③ 是直线（非线段）。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 符号表述：若直线是线段的垂直平分线，点在上，则。 应用：证明线段相等，构造等腰三角形。 3. 性质定理的逆定理（判定定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号表述：若，则点在线段的垂直平分线上。 推论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 （四）轴对称的作图依据与基本思路 1. 作图依据：轴对称的性质（对应点所连线段被对称轴垂直平分）。 1. 基本思路： 作一个图形关于某直线的对称图形：先确定图形的关键点（如顶点、端点），再分别作每个关键点关于对称轴的对称点，最后按原图形顺序连接对称点，得到对称图形。 二、常见易错知识 1. 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称” 错误表现： 认为“轴对称图形是两个图形” “两个图形成轴对称是一个图形”； 描述时遗漏研究对象的数量，如将“正方形是轴对称图形”说成“正方形成轴对称”； 误将两个全等图形当作成轴对称的图形（全等不一定对称，对称一定全等）。 正确分析： · 关键区分研究对象的数量：轴对称图形是“一个图形自身对称”，两个图形成轴对称是“两个图形位置对称”；成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称。 2. 对“对称轴”的概念理解错误 错误表现： 把对称轴当作线段或射线（如认为等腰三角形的对称轴是底边上的高线段）； 认为一个轴对称图形只有一条对称轴（如忽略正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴）； 找对称轴时仅靠视觉判断，未通过“折叠重合”验证（如误将平行四边形当作轴对称图形，认为其对角线是对称轴）。 正确分析： · 对称轴的核心是直线，需满足“折叠后两侧完全重合”；判断对称轴数量时，需逐一验证可能的直线，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形（无对称轴）。 3. 轴对称性质应用错误（对应点、对应线段） 错误表现： 认为“对应点所连线段被对称轴平分但不垂直”或“垂直但不平分”； 找对应线段时凭直观乱找，如将非对应线段当作对应线段，导致线段相等的结论错误； 忽略“对应线段所在直线的交点在对称轴上”的性质，在复杂图形中无法确定对称轴位置。 正确分析： · 轴对称的核心性质是“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，二者缺一不可；找对应线段/角的关键是先确定对应点，再按点的对应关系确定线段/角的对应关系。 4. 线段垂直平分线的概念与性质错误 错误表现： 把线段垂直平分线当作线段或射线（如认为“线段的垂直平分线是连接线段中点且垂直于线段的线段”）； 应用性质时遗漏“点在垂直平分线上”的前提，如直接说“”，未说明点在垂直平分线上； 逆定理应用错误，如认为“到线段两端点距离相等的点的连线是线段的垂直平分线”（正确应为“这些点的集合是垂直平分线”）。 正确分析： · 线段垂直平分线是直线，性质定理的前提是“点在垂直平分线上”，逆定理是判定点在垂直平分线上的依据，而非直接判定垂直平分线本身。 5. 误判轴对称图形 错误表现： 把中心对称图形当作轴对称图形（如平行四边形、长方形（特殊情况，长方形是轴对称图形）、菱形（是轴对称图形），但一般平行四边形不是）； 认为“有对称轴的图形就是轴对称图形”（正确，但需注意对称轴的定义，如角的对称轴是角平分线所在直线，而非角平分线）； 遗漏某些轴对称图形的对称轴，如认为等腰三角形只有一条对称轴（正确，非等边的等腰三角形只有一条，等边三角形有三条）。 正确分析： · 判断一个图形是否为轴对称图形，唯一标准是“沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能否完全重合”；中心对称图形与轴对称图形是不同的对称类型，二者无必然联系（如正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形）。 6. 作图时的常见错误 错误表现： 作对称点时，只保证对应点到对称轴的距离相等，但未保证连线与对称轴垂直； 遗漏图形的关键点，如作三角形的对称图形时，只作顶点的对称点，遗漏边的中点（实际无需中点，顶点是关键点）； 连接对称点时顺序错误，导致对称图形形状错误。 正确分析： · 作对称点的正确方法是“过点作对称轴的垂线，延长垂线到对称轴另一侧，使两侧距离相等，得到对称点”，需同时满足“垂直”和“等距”；作图的关键是确定关键点（顶点、端点、交点等），普通点无需单独作对称点。 三、核心速记与易错警示 1. 核心速记 轴对称概念：“一个图形轴对称，两个图形成轴对称，折叠重合是关键，对称轴是直线”； 轴对称性质：“对应点连线，垂直平分对称轴；对应线段角，相等是必然”； 垂直平分线：“垂直且平分，点到两端等；等距点在哪，就在中垂线上”。 2. 易错警示 两区分：区分“一个图形”与“两个图形”的对称，区分“对称轴”与“线段/射线”； 两牢记：牢记对应点连线的“垂直平分”性质，牢记垂直平分线的“点到两端等距”前提； 一判断：判断轴对称图形，必用“折叠重合”标准，勿凭视觉直观。 【知识点结合练】 一、单选题 1．下列图片中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A．   B．   C．   D．   2．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（   ） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 3．如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 5．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 7．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 10．如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ． 11．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． ． 12．如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是 ． 13．如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标 ；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标 ． 14．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    15．如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 16．如图，在中，，，D、E分别在、上，将三角形沿折叠得到三角形，且满足，则 °． 三、解答题 17．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴． 18．如图，在正方形中，E，F，P，H分别为四边的中点．请分别在图①②③中画一个以A，B，C，D，E，F，P，H中的三点为顶点的三角形，所画三角形要求与成轴对称（三个三角形的位置要有区别），并画出对称轴． 19．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高及其角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合． 20．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，直线l与网格线重合，点A，C，均在网格点上，和关于直线l对称（点A，B的对应点为点）． (1)在图中把和补充完整； (2)以过点的水平线为x轴，以直线l为y轴建立平面直角坐标系． ①点C关于x轴的对称点的坐标为 ； ②点在的内部，点M关于y轴对称的点的坐标为 ． 21．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 22．下列各图中的小正方形的边长都等于，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有条对称轴且阴影部分面积等于的图形． 23．有一幅长方形的图案是轴对称图形，分割成下面四个部分．请把图片的序号写在右边图中相应的位置上，还原成原来的图案．你认为原来这是一幅什么图案？ 24．下图是由四个小正方形组成的L形图．在图中添加两个小正方形，将其补成轴对称图形，并画出相应的对称轴．请至少写出三种方案． 试卷第2页，共15页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 轴对称及其性质 一、核心知识点 （一）轴对称的相关概念 1. 轴对称图形 定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。 核心特征： 研究对象是一个图形（自身的对称关系）； 对称轴是直线（非线段、射线），折叠后两侧部分完全重合； 一个轴对称图形可能有一条或多条对称轴。 示例： 单条对称轴：等腰三角形、等腰梯形、角； 多条对称轴：正方形（4条）、圆（无数条）、等边三角形（3条）。 2. 两个图形成轴对称 定义：如果两个图形沿一条直线折叠后，能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 核心特征： 研究对象是两个图形（图形间的位置对称关系）； 两个图形的形状、大小完全相同（全等关系）； 对称轴是直线，对应点分别在两个图形上。 示例：两个完全相同的等腰三角形沿底边的垂直平分线折叠后重合，这两个三角形关于该直线成轴对称。 3. 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 对称关系 自身对称 图形间对称 对应点位置 同一图形上 两个图形上 联系 ① 都沿某条直线折叠后完全重合；② 对称轴都是直线；③ 两个图形成轴对称可看作一个轴对称图形被对称轴分成的两部分，轴对称图形可看作两个成轴对称的图形重合后的整体 （二）轴对称的基本性质（核心考点） 1. 对应点的性质：成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 符号表述：若点与点是对应点，对称轴为直线，则，且平分（即是的垂直平分线）。 推论：对称轴上的任意一点到两个对应点的距离相等（如对称轴上一点，则）。 1. 对应线段与对应角的性质：成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）中，对应线段相等，对应角相等。 符号表述：若线段与线段是对应线段，与是对应角，则，。 延伸：对应线段所在直线的交点在对称轴上（若对应线段不平行）。 （三）线段的垂直平分线（轴对称的重要应用） 1. 定义 既垂直于一条线段，又平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 核心条件：① 垂直于线段；② 平分线段；③ 是直线（非线段）。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 符号表述：若直线是线段的垂直平分线，点在上，则。 应用：证明线段相等，构造等腰三角形。 3. 性质定理的逆定理（判定定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号表述：若，则点在线段的垂直平分线上。 推论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 （四）轴对称的作图依据与基本思路 1. 作图依据：轴对称的性质（对应点所连线段被对称轴垂直平分）。 1. 基本思路： 作一个图形关于某直线的对称图形：先确定图形的关键点（如顶点、端点），再分别作每个关键点关于对称轴的对称点，最后按原图形顺序连接对称点，得到对称图形。 二、常见易错知识 1. 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称” 错误表现： 认为“轴对称图形是两个图形” “两个图形成轴对称是一个图形”； 描述时遗漏研究对象的数量，如将“正方形是轴对称图形”说成“正方形成轴对称”； 误将两个全等图形当作成轴对称的图形（全等不一定对称，对称一定全等）。 正确分析： · 关键区分研究对象的数量：轴对称图形是“一个图形自身对称”，两个图形成轴对称是“两个图形位置对称”；成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称。 2. 对“对称轴”的概念理解错误 错误表现： 把对称轴当作线段或射线（如认为等腰三角形的对称轴是底边上的高线段）； 认为一个轴对称图形只有一条对称轴（如忽略正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴）； 找对称轴时仅靠视觉判断，未通过“折叠重合”验证（如误将平行四边形当作轴对称图形，认为其对角线是对称轴）。 正确分析： · 对称轴的核心是直线，需满足“折叠后两侧完全重合”；判断对称轴数量时，需逐一验证可能的直线，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形（无对称轴）。 3. 轴对称性质应用错误（对应点、对应线段） 错误表现： 认为“对应点所连线段被对称轴平分但不垂直”或“垂直但不平分”； 找对应线段时凭直观乱找，如将非对应线段当作对应线段，导致线段相等的结论错误； 忽略“对应线段所在直线的交点在对称轴上”的性质，在复杂图形中无法确定对称轴位置。 正确分析： · 轴对称的核心性质是“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，二者缺一不可；找对应线段/角的关键是先确定对应点，再按点的对应关系确定线段/角的对应关系。 4. 线段垂直平分线的概念与性质错误 错误表现： 把线段垂直平分线当作线段或射线（如认为“线段的垂直平分线是连接线段中点且垂直于线段的线段”）； 应用性质时遗漏“点在垂直平分线上”的前提，如直接说“”，未说明点在垂直平分线上； 逆定理应用错误，如认为“到线段两端点距离相等的点的连线是线段的垂直平分线”（正确应为“这些点的集合是垂直平分线”）。 正确分析： · 线段垂直平分线是直线，性质定理的前提是“点在垂直平分线上”，逆定理是判定点在垂直平分线上的依据，而非直接判定垂直平分线本身。 5. 误判轴对称图形 错误表现： 把中心对称图形当作轴对称图形（如平行四边形、长方形（特殊情况，长方形是轴对称图形）、菱形（是轴对称图形），但一般平行四边形不是）； 认为“有对称轴的图形就是轴对称图形”（正确，但需注意对称轴的定义，如角的对称轴是角平分线所在直线，而非角平分线）； 遗漏某些轴对称图形的对称轴，如认为等腰三角形只有一条对称轴（正确，非等边的等腰三角形只有一条，等边三角形有三条）。 正确分析： · 判断一个图形是否为轴对称图形，唯一标准是“沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能否完全重合”；中心对称图形与轴对称图形是不同的对称类型，二者无必然联系（如正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形）。 6. 作图时的常见错误 错误表现： 作对称点时，只保证对应点到对称轴的距离相等，但未保证连线与对称轴垂直； 遗漏图形的关键点，如作三角形的对称图形时，只作顶点的对称点，遗漏边的中点（实际无需中点，顶点是关键点）； 连接对称点时顺序错误，导致对称图形形状错误。 正确分析： · 作对称点的正确方法是“过点作对称轴的垂线，延长垂线到对称轴另一侧，使两侧距离相等，得到对称点”，需同时满足“垂直”和“等距”；作图的关键是确定关键点（顶点、端点、交点等），普通点无需单独作对称点。 三、核心速记与易错警示 1. 核心速记 轴对称概念：“一个图形轴对称，两个图形成轴对称，折叠重合是关键，对称轴是直线”； 轴对称性质：“对应点连线，垂直平分对称轴；对应线段角，相等是必然”； 垂直平分线：“垂直且平分，点到两端等；等距点在哪，就在中垂线上”。 2. 易错警示 两区分：区分“一个图形”与“两个图形”的对称，区分“对称轴”与“线段/射线”； 两牢记：牢记对应点连线的“垂直平分”性质，牢记垂直平分线的“点到两端等距”前提； 一判断：判断轴对称图形，必用“折叠重合”标准，勿凭视觉直观。 【知识点结合练】 一、单选题 1．下列图片中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据概念正确判断图形是解题关键． 2．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（   ） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故②③正确， ∴，故①正确， 所以正确的一共有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等，熟记轴对称的性质是解题的关键． 4．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，此时点P的位置即为所求，据此可得答案． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 5．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．设，根据平行线的性质可得，，结合折叠的性质可得，进而可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：设， 根据题意，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴，解得， ∴． 故选：D． 6．社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 7．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，平行线的性质，求出的度数，折叠的性质，得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出结果． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选D． 8．小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 二、填空题 9．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查成轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据成轴对称的两条图形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， 故答案为：． 10．如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ． 【答案】共 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解． 【详解】解：由题意可得这个字是共， 故答案为：共． 11．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，规律探索，根据给出的图形得出一般规律，是解题的关键．根据图形得出这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现，得出答案即可． 【详解】解：由题意得这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现， ∴第3个图形的图案为： 故答案为：． 12．如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，根据折叠性质得，根据全的三角形的性质，的周长就等于的周长，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：根据题意得，， ∴的周长就等于的周长， ∵， ∴的周长为：， ∴的周长为， 故答案为：． 13．如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标 ；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标 ． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出对应点坐标即可；连接交x轴于P，点P即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； ∴ 如图所示，∵AB长度不变，的周长， ∴只要最小即可． ∴连接交x轴于点P， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴结合网格小正方形的特点可得： 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 【详解】∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 16．如图，在中，，，D、E分别在、上，将三角形沿折叠得到三角形，且满足，则 °． 【答案】76 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据邻补角的定义可得，根据折叠的性质可得，最后由得到 ． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， 根据折叠的性质可知， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 17．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴． 【答案】都是轴对称图形，见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，画对称轴等知识点，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可得出答案，然后画出轴对称图形的对称轴即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，这四幅图都是轴对称图形， 画对称轴如下所示： 18．如图，在正方形中，E，F，P，H分别为四边的中点．请分别在图①②③中画一个以A，B，C，D，E，F，P，H中的三点为顶点的三角形，所画三角形要求与成轴对称（三个三角形的位置要有区别），并画出对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查与轴对称有关的知识，熟记定义是关键． 根据轴对称的定义可知，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称；接下来，根据上述定义，结合题目所给的图形，画图再找出对称轴即可解答． 【详解】解：如图（图①中对称轴答案不唯一）． 19．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高及其角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的中线、高、角平分线，轴对称的性质，一般的三角形不是轴对称图形，只有等腰三角形是轴对称图形，分别讨论即可． 【详解】解：对于一般三角形，沿中线对折只有内部的一部分能够重合；沿高对折，底的一部分可以重合；沿角平分线对折，这个角的两边其中的一边和另一边的一部分可以重合； 对于等腰三角形，沿底上的中线、高、顶角角平分线对折，两边的部分可以完全重合． 20．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，直线l与网格线重合，点A，C，均在网格点上，和关于直线l对称（点A，B的对应点为点）． (1)在图中把和补充完整； (2)以过点的水平线为x轴，以直线l为y轴建立平面直角坐标系． ①点C关于x轴的对称点的坐标为 ； ②点在的内部，点M关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握轴对称的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，结合图中的已知点，画出关于直线l对称的和即可； （2）①根据关于x轴对称的点的坐标特征求解即可；②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】（1）解：补全和，如图为所求： （2）解：①建立直角坐标系如上图所示： 由坐标系可得，点C的坐标为， 点C关于x轴的对称点的坐标为； 故答案为：； ②点， 点M关于y轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 21．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了格点作图、轴对称作图等知识点，掌握轴对称图形的定义成为解题的关键． 根据轴对称的性质可直接画出图①图②；在图③中，先取点A关于直线l的对称点C，连接BC交直线l于点O，连接AO并延长与网格线交于点D，连接CD即可． 【详解】解：分别如图①②③所示． 22．下列各图中的小正方形的边长都等于，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有条对称轴且阴影部分面积等于的图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图，（部分答案不唯一） 23．有一幅长方形的图案是轴对称图形，分割成下面四个部分．请把图片的序号写在右边图中相应的位置上，还原成原来的图案．你认为原来这是一幅什么图案？ 【答案】见解析，这是一幅中国结的图案． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，生活中的轴对称现象，根据对称图形的性质即可求解，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 原来这是一幅中国结的图案． 24．下图是由四个小正方形组成的L形图．在图中添加两个小正方形，将其补成轴对称图形，并画出相应的对称轴．请至少写出三种方案． 【答案】图见解析 【分析】本题考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的概念、对称轴的性质是解题的关键．利用轴对称图形的定义添加两个小正方形，使之成为轴对称图形，然后画出对称轴． 【详解】解：如图． 试卷第2页，共15页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $