精品解析：河北省石家庄市 赵县兴华学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025−2026学年第一学期阶段性学业检测三 九年级数学人教版 〔九下第二十六章~第二十七章〕 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由，可得，不符合已知条件，原式子不成立，不符合题意； B．由，可得，符合已知条件，原式子成立，符合题意； C．由，可得，不符合已知条件，原式子不成立，不符合题意； D．由，可得，不符合已知条件，原式子不成立，不符合题意． 故选：B． 2. 一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间成反比例关系，当时，．则y与x的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 设，根据当时，可求出k的值，即可得出y与x的函数图像，进而完成解答． 【详解】解：设， ∵时，， ∴， ∴，则y与x的函数图像大致是C． 故选：C． 3. 图1是一个三角形纸片，其底边长和高度如图所示，沿与底边平行的方向裁掉一部分（如图2所示），则剩余小三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得出，根据两三角形高的比等于相似比列出比例式，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意， ∴ ∴ 解得： 故选：D． 4. 在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截、所得的对应线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由平行线间对应线段的部分与整体的比例相等，即成立，不符合题意； B．由平行线间对应线段成比例，即成立，不符合题意； C．由平行线间整体与整体、部分与部分的比例相等，即成立，不符合题意； D．由平行线分线段成比例可得，即不成立，符合题意． 故选D． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数及一次函数图像，掌握反比例函数、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 分别根据k的符号判断反比例函数和一次函数的图像即可解答． 【详解】解：A．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，与矛盾，不符合题意； B．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即与矛盾，不符合题意； C．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即与矛盾，不符合题意； D．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，符合题意． 故选：D． 6. 如图，已知，则下列图形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 直接利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知C选项符合题意． 故选C． 7. 有一块等腰三角形的木板余料，其中底边，高．如图，甲同学用这块余料竖着裁出3个正方形，边长为acm；乙同学用这块余料横着裁出3个正方形，边长为bcm．则a，b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由等腰三角形的性质可得，对应甲同学易得，再证明易得，即，解得：；同理可求得b的值． 【详解】解：∵有一块等腰三角形的木板余料，其中底边，高， ∴， 对应甲同学：， 由题意可得：， ∴， ∴，即，解得：； 对应乙同学：， 由题意可得：， ∴， ∴，即，解得：． 故选A． 8. 某无人机执行航拍任务，固定电量下，飞行路程不变．若此无人机充满电，飞行速度v满足，当飞行速度为时，飞行小时，消耗了的电量．下列说法正确的是（ ） A. 无人机飞行速度与时间的关系为 B. 无人机最多飞行 C. 当速度为时，已经飞行了，还可以飞行 D. 无人机飞行的最大航程是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、有理数的乘除运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键. 由题意，固定电量下飞行路程不变，根据速度为时，飞行小时，消耗了电量，可求出总航程为，进而判断各选项正误． 【详解】解：∵飞行路程不变，且速度为时，飞行小时，消耗了电量， ∴飞行距离为，对应电量， ∴满电量对应总航程为． A．速度v与时间t的关系应为，而非，故A错误，不符合题意； B．当速度最小为时，飞行时间，故B正确，符合题意； C．速度为时飞行，已飞距离，剩余航程，故C错误，不符合题意； D．无人机充满电的最大航程为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 9. 如图，已知，AB的6等分点为，，，，，连接并延长交BC于点E，连接并延长恰好经过点C，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得，再证明可得进而得到，即，最后代入求比例即可． 【详解】解：∵的6等分点为，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，点，，，若反比例函数经过点B，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 设点B的坐标为，易得，，，进而得到，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵，，， ∴，，， ∵的顶点C在x轴上， ∴， ∴，即， ∴，解得：或， ∵反比例函数在第一象限的一支， ∴，即． 故选B． 11. 如图，在正方形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，连接交于点P，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由正方形的性质以及勾股定理可得，再结合折叠的性质可得，再说明是等腰直角三角形，即进而得到，再根据相似三角形的判定与性质以及比例线段求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 12. 反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取，进而求得k的值即可． 【详解】解：由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取， 则． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在边长为的正方形网格中，A，B，C，D都在格点上，交于点O，连接，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得，再证明可得，进而得到求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，是的位似三角形，位似中心为且，则点的坐标为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求位似图形的对应坐标． 根据位似变换的性质，结合已知即可得点的坐标． 【详解】解：∵是的位似三角形，位似中心为且，，，， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 15. 如图，已知在平面直角坐标系中，与直线和直线在第一象限内分别交于点，，连接．则的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，与三角形的高相关的计算． 由已知可得点，的坐标，作轴于点，交于点，作轴于点，利用图形的面积公式，即可得的面积． 【详解】解：由可得， ∴， 由可得， ∴， 作轴于点，交于点，作轴于点， ∵点，在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，已知线段，为上一点，且． （1）若，求线段的长度； （2）若，求线段的长度． 【答案】（1）线段的长度为； （2）线段的长度为． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）由已知可得，代入，即可得线段的长度； （2）由已知可得，代入，即可得线段的长度． 【小问1详解】 解：∵为上一点，， ∴， ∵线段， ∴， ∴ ∴， ∴线段的长度为． 【小问2详解】 解：线段，为上一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或（与“”矛盾，舍去）， ∴线段的长度为． 17. 函数是反比例函数，点在该函数图像上． （1）求，的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质． （1）函数是反比例函数，因此指数为，且系数不为零；点在图像上，代入可求和； （2）求出函数解析式后，根据且，分和讨论的取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数是反比例函数，，解得 系数， 代入点：， 解得 经检验，，符合要求 ， 【小问2详解】 由（1）得函数解析式为 且 当时， 当时，，且随的增大而增大， 当时， ∴ 综上，或 18. 如图，在中，，．点为上一点且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求证：平分． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，进而得到、，再证明，根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）由（1）可得、，由平行线的性质可得，由，利用等边对等角可得，再运用等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，． ∴，，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分． 19. 学校电扇开关为可调节旋钮，其原理是当电压恒定时，通过滑动变阻器控制电流变化，从而改变电扇的转速．电扇的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，图像如图所示． （1）当电流为时，滑动变阻器的电阻是多少？ （2）若该电扇工作的最小电流为，最大电流为，求滑动变阻器的电阻R的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设I关于R的函数解析式为，利用待定系数法可求得函数解析式，求出,时，电阻R的值即可； （2）先求出最大电流和最小电流对应的电阻的值，即可滑动变阻器的电阻R的取值范围． 【小问1详解】 解：设I关于R的函数解析式为， 将代入函数解析式可得，解得：， ∴I关于R的函数解析式为； 当时，，解得：. 【小问2详解】 解：当时，，此时; 当时，，此时， ∴该电扇的电阻R的取值范围为． 20. 如图，已知反比例函数的图像与直线交于点，，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，且与反比例函数的图像交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点（横、纵坐标都是整数，不包含边界），求b的取值范围； （3）若直线与x轴交于点D，且，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）将点代入反比例函数求得k的值即可解答； （2）先列举出比例函数的整数点，直线绕点B顺时针旋转扫过的整数点（不包含边界）为，再分别求得边界点b的值即可解答； （3）由勾股定理可得，则，即；再求得直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，然后运用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数可得：，解得：， 所以反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：反比例函数的整数点有：等， ∵直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点， ∴扫过了反比例函数图像上的两个整数点是， ∴直线经过两个边界点， 当直线过点和， 则，解得：； 当直线过点和， 则，解得：. 综上，． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍去）， ∴， ∵，，， ∴如图：的面积 ． 21. 综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． （1）请画出两竹竿在灯光下的影长； （2）经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）灯柱的高为米 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的性质与判定； （1）连接 并延长交地面于，连接并延长交地面于则为竹竿的影长，为竹竿的影长； （2）依题意，，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，进而解比例式即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 依题意，，米， ∴， ∴，， 设米， ∴，， 解得， 答：灯柱的高为米． 22. 某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． （1）求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； （2）结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； （3）农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 【答案】（1）函数图像的段解析式：，自变量取值范围：；函数图像的段的解析式：，自变量取值范围： （2）当 时， ；当  时， ． （3） 或 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、求自变量的取值范围、一次函数的应用、反比例函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分函数图像的段和段分别运用待定系数法求出函数解析式并结合函数图像确定自变量的取值范围即可； （2）①分别求出和的函数值即可；②根据一次函数、反比例函数的增减性解答即可； （3）由题意可得，然后分别在函数图像的段和段求得自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：函数图像的段是正比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ， 解得： ． ∴函数图像的段解析式：，自变量取值范围：． 函数图像的段是反比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ：， 解得： ． ∴函数图像的段的解析式：，自变量取值范围：． 【小问2详解】 解：①当 时，代入 ，得： ； 当 时，代入，得 ． ② 变化趋势：函数图像段，，y 随 x 的增大而增大； 函数图像段，，y 随 x 的增大而减小． 【小问3详解】 解：由题意可知：符合规定的时间范围要求 ， 当处于段：代入，得：，解得： ； 当处于段：代入，得 ，解得： ． 综上，符合规定的时间范围是 或． 23. 如图，在，，，，点，分别是，的中点，连接，，动点以的速度从点向点运动，过点作，交边或于点，连接，设点的运动时间是． （1）当时，求的长； （2）的周长能否等于？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）当为何值时，的长度为？ 【答案】（1）当时，的长为； （2） 的周长不能等于， 理由： ∵在，，点是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴的周长， ∴的周长不能等于． （3）当为或时，的长度为． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可得，由运动过程可得，由，即可得的长； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，由三角形三边之间的关系，可得，即可求解； （3）按照点在线段上和点在线段上进行分类讨论，结合运动过程，即可得的值． 【小问1详解】 解：∵在，，，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，的长为． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：若点在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若点在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当为或时，的长度为． 【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数，三角形三边之间的关系，直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第一学期阶段性学业检测三 九年级数学人教版 〔九下第二十六章~第二十七章〕 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间成反比例关系，当时，．则y与x的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 3. 图1是一个三角形纸片，其底边长和高度如图所示，沿与底边平行的方向裁掉一部分（如图2所示），则剩余小三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 4. 在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，则下列图形与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 有一块等腰三角形的木板余料，其中底边，高．如图，甲同学用这块余料竖着裁出3个正方形，边长为acm；乙同学用这块余料横着裁出3个正方形，边长为bcm．则a，b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 某无人机执行航拍任务，固定电量下，飞行路程不变．若此无人机充满电，飞行速度v满足，当飞行速度为时，飞行小时，消耗了的电量．下列说法正确的是（ ） A. 无人机飞行速度与时间的关系为 B. 无人机最多飞行 C. 当速度为时，已经飞行了，还可以飞行 D. 无人机飞行的最大航程是 9. 如图，已知，AB的6等分点为，，，，，连接并延长交BC于点E，连接并延长恰好经过点C，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，点，，，若反比例函数经过点B，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 11. 如图，在正方形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，连接交于点P，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 12. 反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 13. 如图，在边长为的正方形网格中，A，B，C，D都在格点上，交于点O，连接，则线段的长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，是的位似三角形，位似中心为且，则点的坐标为____． 15. 如图，已知在平面直角坐标系中，与直线和直线在第一象限内分别交于点，，连接．则的面积是____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，已知线段，为上一点，且． （1）若，求线段的长度； （2）若，求线段的长度． 17. 函数是反比例函数，点在该函数图像上． （1）求，的值； （2）若，求的取值范围． 18. 如图，在中，，．点为上一点且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求证：平分． 19. 学校电扇开关为可调节旋钮，其原理是当电压恒定时，通过滑动变阻器控制电流变化，从而改变电扇的转速．电扇的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，图像如图所示． （1）当电流为时，滑动变阻器的电阻是多少？ （2）若该电扇工作的最小电流为，最大电流为，求滑动变阻器的电阻R的取值范围． 20. 如图，已知反比例函数的图像与直线交于点，，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，且与反比例函数的图像交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点（横、纵坐标都是整数，不包含边界），求b的取值范围； （3）若直线与x轴交于点D，且，求的面积． 21. 综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． （1）请画出两竹竿在灯光下的影长； （2）经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 22. 某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． （1）求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； （2）结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； （3）农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 23. 如图，在，，，，点，分别是，的中点，连接，，动点以的速度从点向点运动，过点作，交边或于点，连接，设点的运动时间是． （1）当时，求的长； （2）的周长能否等于？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）当为何值时，的长度为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $