专题11 三角函数图象变换及实际应用（重点+二级结论+8题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题11 三角函数图象变换及实际应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 1、A、φ、ω的含义 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 【考点02】三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【考点03】三角函数的应用 1、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 2、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案。 3、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 【二级结论1】平移后为奇偶函数的相位条件 函数（）的图象向左平移个单位后为奇函数，等价于（）；为偶函数，等价于（）。 【二级结论2】横向伸缩与平移的顺序等价性 将先横向伸缩为原来的（），再左移个单位，等价于先左移个单位，再横向伸缩为原来的，最终解析式均为。 证明：顺序1：先伸缩后平移。伸缩后为，左移个单位得，顺序2：先平移后伸缩。左移个单位得，横向伸缩为原来的（），得，两者解析式一致，故等价。 【题型1 “五点法”作正（余）弦型函数图象】 “五点法”画函数，的图象的步骤 （1）列表：令，依次得到相应的的值，列表如下： x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 （2）描点：在直角坐标系中描出各点； （3）连线：用干光滑的曲线连接这些点，得到函数，在一个周期内的图象. 1．（25-26高一上·吉林·期末）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 2．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知函数 (1)用“五点法”作出 在 上的简图； (2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合. 0 1 2 1 0 1 3．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 4．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 5．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 【题型2 根据图象求三角函数解析式】 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 6．（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A．B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的单调减区间. 8．【多选】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 9．【多选】（24-25高一上·江苏·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在单调递减 B．函数图象关于中心对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若，求的值. 11．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）．    A．函数的单调增区间为 B．若，则的最小值为 C．函数在区间内有个零点 D．函数在 上的值域为 12．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 13．【多选】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 14．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图，则（    ）    A． B． C． D． 【题型3 同名三角函数图象变换过程】 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）要得到函数的图像，只要把函数图像（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 16．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 17．【多选】（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 18．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 19．（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 20．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 21．（24-25高一下·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 22．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 23．（24-25高一下·四川巴中·期末）为了得到函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 24．（24-25高一下·河南南阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 异名三角函数图象变换过程】 三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 25．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 26．（2016高一·全国·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 27．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 28．【多选】（24-25高一下·内蒙古包头·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 29．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【题型5 求图象变换前后的解析式】 三角函数图象变换求解析式的核心是区分“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种顺序，抓住相位变换、周期变换、振幅变换的本质，遵循“针对的变换只作用于本身，整体变换作用于整个函数式”的原则。 一、核心变换类型（以为基础函数） 设目标函数为（） 变换类型 变换规则 对解析式的影响 振幅变换（纵向伸缩） 纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 周期变换（横向伸缩） 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 相位变换（横向平移） 向左平移个单位（左移，右移） 上下平移（纵向平移） 向上平移个单位（上移，下移） 二、两类核心题型的解题策略 题型1：已知初始解析式+变换过程，求最终解析式 解题步骤： 1. 明确初始函数形式（如） 2. 按变换顺序逐次改写解析式，牢记2个关键： - 横向变换（平移、伸缩）只对单独操作，不能作用于外的其他系数； - 纵向变换（平移、伸缩）对整个函数式操作。 3. 化简得到最终解析式。 易错点：若先伸缩后平移，平移单位会变化。如先横坐标缩短为得，再向左平移个单位，才得到。 结论：先平移个单位再伸缩，等价于先伸缩再平移个单位。 题型2：已知最终解析式+变换过程，求初始解析式 解题策略：逆向变换——将变换过程倒序，变换规则反向。 正向变换 逆向变换 向左平移个单位 向右平移个单位 横坐标缩短为原来的 横坐标伸长为原来的倍 纵坐标伸长为原来的倍 纵坐标缩短为原来的 向上平移个单位 向下平移个单位 解题步骤： 1. 设初始解析式为，明确最终解析式。 2. 按变换的逆顺序，对逐次进行反向变换。 3. 化简得到。 三、通用技巧总结 1. 所有变换中，只影响横坐标伸缩和平移单位的换算，只影响纵坐标伸缩，只影响上下平移，三者互不干扰。 1. 遇到复杂变换，分步写，不跳步，避免因变换顺序混乱出错。 1. 检验：得到解析式后，按正向变换过程再推一遍，看是否与目标式一致。 30．（22-23高一下·北京顺义·月考）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（    ） A．B． C． D． 31．（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A．B． C． D． 32．（24-25高一上·江苏连云港·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·江苏徐州·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·陕西西安·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 36．（24-25高一下·河北承德·期末）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 38．（21-22高三上·陕西咸阳·期中）把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（    ） A．2 B．2 C．2 D．2 【题型6 图象变换前后的重合问题】 1.基础周期：基础周期；、基础周期。 2.平移规则： （1）左移个单位：（给加）； （2）右移个单位：（给减）。 3.同名函数（如均为、均为） 步骤1：写平移后的解析式 根据“左加右减”，把原函数的替换为（左移）或（右移），得到平移后的函数式。 步骤2：列“角度差=基础周期×整数倍”的方程 同名函数重合“平移后角度”与“目标角度”的差基础周期（）： - 类：角度差； - 类：角度差。 步骤3：解，求最小正数 化简方程，结合，取合适的，得最小。 4.不同名函数（如变） 步骤1：写平移后的解析式（左移/右移按规则替换）。 步骤2：统一函数名 用三角恒等变换（如），将平移后的函数化为与目标函数同名的形式。 步骤3：列“角度差=基础周期×整数倍”的方程（同同名函数步骤2）。 步骤4：解，求最小正数（同同名函数步骤3）。 39．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象与的图象完全重合，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 40．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 41．（23-24高一下·河南·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．7 B．5 C．9 D．11 42．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 44．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（    ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【题型7 由图象变换研究函数性质及其综合应用】 由图象变换研究函数性质的解题策略 先通过图象变换的步骤，从已知函数（如）推导出目标函数的解析式，再基于解析式分析性质（周期、单调性、最值等）。核心是“先得解析式，再析性质”： 1. 按变换顺序写解析式：根据平移、伸缩等变换规则，逐步推导目标函数的表达式（如）； 2. 用解析式分析性质： - 周期：由得； - 单调性：解不等式（增区间）； - 最值：由和得最大值、最小值； - 对称性：令得对称中心，令得对称轴。 45．（24-25高二下·安徽合肥·期末）函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上的最小值为 . 46．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 47．（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 48．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 49．【多选】（23-24高一上·安徽宣城·期末）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（    ） A．是的一条对称轴 B．在上单调递增 C．的一个对称中心为 D．是偶函数 50．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 51．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域. (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 52．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知函数，在同一个周期内，当时，取得最大值2，当时，取得最小值. (1)求的解析式，并求在上的单调递增区间. (2)将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在上有2个零点，求的取值范围. 53．（22-23高一下·江西赣州·期末）已知函数． (1)用“五点法”作出函数在区间上的图像； (2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围． 54．（22-23高一上·河北唐山·期末）设函数的图像上一个最高点，离最近的一个对称中心． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求函数的单调减区间； (3)求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的的值． 【题型8 三角函数的实际应用】 应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 55．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 56．【多选】（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 57．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 58．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 59．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 60．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 61．【多选】（23-24高三上·江苏常州·期末）对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（   ） A． B．当天下午3：00温度最高 C．温度为是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 2．（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏·期末）函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（   ） A．10min B．12min C．14min D．16min 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）． A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的表达式可以写成 C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 D．若方程在上有且只有6个根，则 11．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的图象关于点对称 B．在上单调递增 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 12．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 D．若，则 13．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．为偶函数 D．在区间的最小值为 15．（2022·河北邯郸·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（    ） A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面米时用时25秒 16．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 三、填空题 17．（23-24高一上·江苏·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是 . 18．（22-23高一上·江苏泰州·期末）将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 . 19．（22-23高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为 . 20．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 21．（23-24高三上·江苏常州·期末）将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 22．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且是函数图象的最高点. (1)求； (2)将的图象上的每一个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调区间. 23．（21-22高一上·江苏徐州·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足． (1)求函数的解析式； (2)当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间． 24．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 25．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，其中，．从下列三个条件中选择两个作为已知条件，使得函数存在且唯一确定． ①函数的图象关于点对称； ②函数的图象关于直线对称； ③函数在上的最小值为． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在上的单调性． 26．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调增区间和对称中心. 27．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 28．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 29．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 30．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 三角函数图象变换及实际应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 1、A、φ、ω的含义 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 【考点02】三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【考点03】三角函数的应用 1、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 2、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案。 3、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 【二级结论1】平移后为奇偶函数的相位条件 函数（）的图象向左平移个单位后为奇函数，等价于（）；为偶函数，等价于（）。 【二级结论2】横向伸缩与平移的顺序等价性 将先横向伸缩为原来的（），再左移个单位，等价于先左移个单位，再横向伸缩为原来的，最终解析式均为。 证明：顺序1：先伸缩后平移。伸缩后为，左移个单位得，顺序2：先平移后伸缩。左移个单位得，横向伸缩为原来的（），得，两者解析式一致，故等价。 【题型1 “五点法”作正（余）弦型函数图象】 高妙技法 “五点法”画函数，的图象的步骤 （1）列表：令，依次得到相应的的值，列表如下： x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 （2）描点：在直角坐标系中描出各点； （3）连线：用干光滑的曲线连接这些点，得到函数，在一个周期内的图象. 1．（25-26高一上·吉林·期末）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果； （2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点； （3）根据五点法作图完善表格. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 2．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知函数 (1)用“五点法”作出 在 上的简图； (2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合. 【答案】(1)作图见解析; (2)最大值为 2， . 【分析】（1）根据 的范围求出 的取值范围，然后按照 “列表、描点、连线” 的步骤画出函数的图象. （2）将 作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解. 【详解】（1）由 ，得 ， 列表如下: 0 1 2 1 0 1 画出函数 的图象，如图: （2）当 ，即 时， ， 所以函数 的最大值为 2，此时 的集合为 . 3．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的递增区间为 (2)表格见解析，函数图像见解析 (3) 【分析】（1）根据正弦函数的周期性求解最小正周期，根据正弦函数的单调性求解单调递增区间. （2）完善表格，描点连线即可利用“五点作图法”画图. （3）由已知可得，结合（2）的图象即可求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 令，解得， 所以的递增区间为； （2）因为，当时，， 列表如下： 0 1 4 6 1 2 0 0 1 作图如下： （3）因为，所以， 又，由（2）的图象，且，可知， 所以的取值范围是． 4．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）利用最小正周期可求再利用求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出图象即可； （3）由（1）得，原不等式化为，再由余弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴． ∵， 则，因为，∴． （2）由（1）知，列表如下： 0 0 2 0 －2 0 在上的图象如图所示： （3）∵，即， ∴， 则， 即． ∴的取值范围是 5．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 【答案】(1). (2)答案见解析. 【分析】（1）利用余弦函数的单调性可得单调递减区间； （2）填写表格，画出函数图像得到答案. 【详解】（1）令，，，， ，， 即的单调递减区间为. （2） 0 【题型2 根据图象求三角函数解析式】 高妙技法 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 6．（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期可得或，对进行讨论，结合时，函数取最小值，求出，即可得函数表达式判断ABC；结合诱导公式即可判断D． 【详解】根据图象可得最小正周期为， 所以，故或， 由图可知当时，函数取最小值， 当时，可得，， 所以，，此时， 当时，可得，， 所以，，取可得，， 故函数的解析式可能为，B、C错； 由，D错误． 故选：A． 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的单调减区间. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据图象求振幅、周期，由公式求出，代入点求出即可得出函数解析式； （2）由正弦型函数求出函数的单调递减区间，取适当得出在上的单减区间. 【详解】（1）由图可知， 所以. 因为的图象经过点， 所以，即. 因为，所以， 故. （2）令， 得， 所以的减区间为， 仅当时，单调递减区间， 所以在上的减区间为. 8．【多选】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数经过的特殊点，结合正弦型的对称性、单调性、周期性、图象平移的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的图象可知，且图象的最高点坐标为，与它相邻的零点为， 设函数的最小正周期为，则有，故A正确； 因为，由. 又由， 因为，所以时，，因此. 因为，故函数的图象不关于点中心对称，即B错误； 当时，设，因在没有单调性， 故函数在不是单调递减函数，故C错误； 该图象向右平移个单位可得，故D正确； 故选：AD 9．【多选】（24-25高一上·江苏·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在单调递减 B．函数图象关于中心对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】由图象可得，且，故即， 而，故， 因为，故，故， 对于A，当，， 而在上为减函数，故在为减函数，故A正确. 对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误. 对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确. 对于D，当时，， 因为函数的值域为，故， 故，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若，求的值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）结合函数图象及周期性求出，再由函数在处取得最大值，求出，即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再由诱导公式计算可得. 【详解】（1）由函数图象可知函数图象关于对称， 又，即函数关于对称， 所以，则，又，所以，解得， 又函数在处取得最大值， 所以，则，解得， 又，所以，所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）因为，即， 所以 . 11．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）．    A．函数的单调增区间为 B．若，则的最小值为 C．函数在区间内有个零点 D．函数在 上的值域为 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可. 【详解】由图象可得，，，又，故， 所以. 对于A：令，故A正确； 对于B项，若，即分别对应最大值和最小值，则的最小值为 ，故B正确； 对于C项， 令，可得：即， 由，得，由，得，由，得，由，得， 可知函数在区间内有个零点，故C错误； 对于D项，，则， 当，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD 12．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 【答案】C 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 可得，所以， 又由，可得，因为，可得， 又因为，即， 因为，可得，解得，所以， 对于A中，由，不是函数的最值，所以A错误； 对于B中，由，所以点不是函数的对称中心，所以B错误； 对于C中，由，可得， 根据正弦函数的性质，可得在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，所以C正确； 对于中，由，可得， 当时，即时，可得， 又由，所以函数在的值域为，所以D错误. 故选：C. 13．【多选】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：，，得，或， 因为，所以， 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以，所以，故A正确； 对B，， 因为， ， 故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误； 对C，， 由可得， 因此，函数的对称中心为，故C正确； 对D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第个根为，，故D正确． 故选：ACD. 14．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切型函数的图像得出，再算出，从而得解. 【详解】由图像可知：，所以， 把代入解析式得：， 因为，取得， 所以，则. 故选：B. 【题型3 同名三角函数图象变换过程】 高妙技法 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）要得到函数的图像，只要把函数图像（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】变形，利用三角函数图像平移变换法则求解即可. 【详解】， 把函数图像向左平移个单位， 可得的图像， 所以要得到函数的图像，只要把函数图像向左平移个单位， 故选：D. 16．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】由得到，利用左加右减的平移规律，得到答案. 【详解】，故向右平行移动个单位长度， 得到，故D正确，其他选项不正确. 故选：D. 17．【多选】（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 【答案】AB 【分析】根据选项中的平移单位和平移方向，进行验证即可. 【详解】，； 因为，所以将函数的图象右移个单位可得的图象，A正确； 因为，所以将函数的图象左移个单位可得的图象，B正确； 将函数的图象右移个单位, 得到的图象，C不正确； 将函数的图象左移个单位， 得到的图象，与目标函数的图象不符，D不正确； 故选：AB 18．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意分析判断即可. 【详解】把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得， 再将图象向左平移个单位长度，得. 故选：B 19．（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 20．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】应用三角函数伸缩的规则判断即可. 【详解】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象； 故选：A. 21．（24-25高一下·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数平移规则得出选项. 【详解】因为，所以要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 22．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论． 【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍， 纵坐标不变，得到函数的图象． 故选：A 23．（24-25高一下·四川巴中·期末）为了得到函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】由解析式确定函数图象的平移过程即可. 【详解】将向右移动个单位得. 故选：C 24．（24-25高一下·河南南阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求得答案. 【详解】依题意，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度， 再将所得函数的图象横坐标缩短到原来的得到（纵坐标不变）， 所以. 故选：B 【题型4 异名三角函数图象变换过程】 高妙技法 三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 25．（24-25高一下·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 【答案】C 【分析】根据平移变换求出相应解析式一一与比对得解· 【详解】因为向左平移个单位可得， 向左平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 故C正确，ABD错误. 故选：C 26．（2016高一·全国·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】由诱导公式，三角函数图象平移变换可得答案. 【详解】，又， 则将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：B 27．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A 28．【多选】（24-25高一下·内蒙古包头·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】BC 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解. 【详解】对于A，将先向右平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故A错误； 对于B，将先向左平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故B正确； 对于C，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故C正确； 对于D，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故D错误. 故选：BC. 29．（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再根据平移变换的规律即得. 【详解】因， 故可以将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：A. 【题型5 求图象变换前后的解析式】 高妙技法 三角函数图象变换求解析式的核心是区分“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种顺序，抓住相位变换、周期变换、振幅变换的本质，遵循“针对的变换只作用于本身，整体变换作用于整个函数式”的原则。 一、核心变换类型（以为基础函数） 设目标函数为（） 变换类型 变换规则 对解析式的影响 振幅变换（纵向伸缩） 纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 周期变换（横向伸缩） 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 相位变换（横向平移） 向左平移个单位（左移，右移） 上下平移（纵向平移） 向上平移个单位（上移，下移） 二、两类核心题型的解题策略 题型1：已知初始解析式+变换过程，求最终解析式 解题步骤： 1. 明确初始函数形式（如） 2. 按变换顺序逐次改写解析式，牢记2个关键： - 横向变换（平移、伸缩）只对单独操作，不能作用于外的其他系数； - 纵向变换（平移、伸缩）对整个函数式操作。 3. 化简得到最终解析式。 易错点：若先伸缩后平移，平移单位会变化。如先横坐标缩短为得，再向左平移个单位，才得到。 结论：先平移个单位再伸缩，等价于先伸缩再平移个单位。 题型2：已知最终解析式+变换过程，求初始解析式 解题策略：逆向变换——将变换过程倒序，变换规则反向。 正向变换 逆向变换 向左平移个单位 向右平移个单位 横坐标缩短为原来的 横坐标伸长为原来的倍 纵坐标伸长为原来的倍 纵坐标缩短为原来的 向上平移个单位 向下平移个单位 解题步骤： 1. 设初始解析式为，明确最终解析式。 2. 按变换的逆顺序，对逐次进行反向变换。 3. 化简得到。 三、通用技巧总结 1. 所有变换中，只影响横坐标伸缩和平移单位的换算，只影响纵坐标伸缩，只影响上下平移，三者互不干扰。 1. 遇到复杂变换，分步写，不跳步，避免因变换顺序混乱出错。 1. 检验：得到解析式后，按正向变换过程再推一遍，看是否与目标式一致。 30．（22-23高一下·北京顺义·月考）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有的点 向左平移个单位长度得到. 故选：B 31．（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得， 再将图象向右平移个长度单位，得. 故选：A 32．（24-25高一上·江苏连云港·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，即可求出结果. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得到， 故选：A. 33．（24-25高一上·江苏徐州·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得：， 再将得到的图象向左平移个单位长度可得：， 故选：C 34．（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象横坐标缩短到原来的 倍，就是变为原来的2倍进行变换，即可得到答案． 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变， 就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：. 故选：D. 35．（24-25高一上·陕西西安·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象变换的知识来确定正确答案. 【详解】将函数图象上的所有点向右平移个单位长度， 得到函数图象解析式：， 再向下平移1个单位长度后， 得到函数图象解析式：. 故选：D. 36．（24-25高一下·河北承德·期末）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数平移伸缩变换法则求解即可. 【详解】把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 则. 故选：B. 37．（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 38．（21-22高三上·陕西咸阳·期中）把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（    ） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【分析】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度即得解. 【详解】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到，再把函数的图象向左平移个单位长度， 得到. 故选：B 【题型6 图象变换前后的重合问题】 高妙技法 1.基础周期：基础周期；、基础周期。 2.平移规则： （1）左移个单位：（给加）； （2）右移个单位：（给减）。 3.同名函数（如均为、均为） 步骤1：写平移后的解析式 根据“左加右减”，把原函数的替换为（左移）或（右移），得到平移后的函数式。 步骤2：列“角度差=基础周期×整数倍”的方程 同名函数重合“平移后角度”与“目标角度”的差基础周期（）： - 类：角度差； - 类：角度差。 步骤3：解，求最小正数 化简方程，结合，取合适的，得最小。 4.不同名函数（如变） 步骤1：写平移后的解析式（左移/右移按规则替换）。 步骤2：统一函数名 用三角恒等变换（如），将平移后的函数化为与目标函数同名的形式。 步骤3：列“角度差=基础周期×整数倍”的方程（同同名函数步骤2）。 步骤4：解，求最小正数（同同名函数步骤3）。 39．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象与的图象完全重合，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合三角函数周期计算即可得. 【详解】由题知，是函数周期的整数倍，所以， 所以，所以正数的最小值为4. 故选：B. 40．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据函数向左平移个单位长度后，可得，结合与图像重合，则与终边相同，得到即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到 又与函数的图象重合， 所以，即，， 即，，取，得到，， 故选：D. 41．（23-24高一下·河南·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．7 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【分析】求出，根据可得ω，从而可求其最小值. 【详解】， ，， 由题可知，，，解得，， 又，当时，取得最小值11． 故选：D． 42．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数的图象与的图象重合，得即可求得答案. 【详解】将的图象向左平移个单位长度， 得，其图象与的图象重合， 则，解得，的值不可能为1，3，4，可以为2. 故选：B 43．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】先求出平移后的函数图象，再依据图象重合列出方程求解即可. 【详解】的图象向左平移得到, 因为图象重合，所以, 即, 因为,所以的最小值为3. 故答案为：3. 44．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（    ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据图象的平移及诱导公式求解即可. 【详解】经过时间， 平移后可得， 平移后可得， 由两函数图象重合知，， 所以，即，由，可知. 故选：B 【题型7 由图象变换研究函数性质及其综合应用】 高妙技法 由图象变换研究函数性质的解题策略 先通过图象变换的步骤，从已知函数（如）推导出目标函数的解析式，再基于解析式分析性质（周期、单调性、最值等）。核心是“先得解析式，再析性质”： 1. 按变换顺序写解析式：根据平移、伸缩等变换规则，逐步推导目标函数的表达式（如）； 2. 用解析式分析性质： - 周期：由得； - 单调性：解不等式（增区间）； - 最值：由和得最大值、最小值； - 对称性：令得对称中心，令得对称轴。 45．（24-25高二下·安徽合肥·期末）函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意可知平移得到的图象对应的解析式为，再根据正弦型三角函数的奇偶性可求的值，进而利用正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象， 所以平移得到的图象对应的解析式为， 因为为偶函数， 所以，其中，即，， 因为， 所以，可得， 当时，， 所以， 即则函数在上的最小值为 故答案为： 46．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由单调区间的长度小于等于半个周期可求出的取值范围，根据正弦函数图象向左平移个单位之后与原图象关于轴对称可求出的表达式，根据的范围进行判断即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为函数在上单调， 则，可得，又，所以，， 因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称． 则，即， 因为，所以或6，满足条件，A正确． 故选：A 47．（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，进而，结合正弦函数的图象与性质建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为： 48．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象和正弦函数的性质先求出周期，再根据以及求出和，从而利用三角函数的奇偶性确定平移的最小距离. 【详解】由图可知，即 由，即，则， 又图象过点，所以，即，点在原图象的增区间上， 所以可取，，可得； 的图象向右平移（）个单位得到的图象， 可得， 又为奇函数，所以，， 即，， 又，所以. 故选：A. 49．【多选】（23-24高一上·安徽宣城·期末）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（    ） A．是的一条对称轴 B．在上单调递增 C．的一个对称中心为 D．是偶函数 【答案】AD 【分析】先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论． 【详解】由图知，则， ，所以，则， 即 因为，所以，，即， 因为，得，所以 所以 对于选项A：当时，，故A对 对于选项B： 的单调递增区间为， 解得， 当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错 对于选项C：，故C错 对于选项D：， 所以是偶函数，故D对， 故选：AD． 50．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】D 【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D. 【详解】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 51．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域. (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，可得，根据三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解； （3）根据三角函数的图象变换，求得，求得函数的单调递减区间，结合，即可求解. 【详解】（1）解：根据函数的部分图像， 可得，所以， 再根据五点法作图，可得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 故函数对称中心为. （2）解：因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值琙为. （3）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即. 令，解得， 可得的减区间为， 结合，可得在上的单调递减区间为. 52．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知函数，在同一个周期内，当时，取得最大值2，当时，取得最小值. (1)求的解析式，并求在上的单调递增区间. (2)将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在上有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得、，结合周期可得，代入定点可得，即可得解析式，结合正弦型函数性质的求法可得在上的单调递增区间； （2）得出变换后的解析式，结合函数单调性与对应定义域分析即可得. 【详解】（1）依题意，有，解得， 又，则，可得， 此时，，由， 得，其中，又，所以， 所以，， 由，解得， 又，所以在上的单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的函数的表达式为， 因为，所以， 可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，若函数在上有2个零点时，的取值范围. 53．（22-23高一下·江西赣州·期末）已知函数． (1)用“五点法”作出函数在区间上的图像； (2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围． 【答案】(1)图像见解析 (2) 【分析】（1）根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解； （2）利用三角函数平移伸缩变换的性质得到的解析式，从而利用三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，列表如下： 所以数在区间上的图象如下：    . （2）因为， 所以将函数的图像向右平移个单位长度，可得到的图像， 再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到的图像， 因为，所以，则 故的取值范围是. 54．（22-23高一上·河北唐山·期末）设函数的图像上一个最高点，离最近的一个对称中心． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求函数的单调减区间； (3)求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的的值． 【答案】(1) (2)单调递减区间为 (3)时，有最大值为2 【分析】（1）根据正弦型三角函数图象性质确定的值，即可得函数解析式； （2）利用函数图象变换得函数的解析式，根据正弦函数减区间列不等式求解即可； （3）利用整体法求解函数取值范围，再确定函数的最大值以及此时对应的的值． 【详解】（1）解：因为图象的一个最高点为，则， 又最高点，离最近的一个对称中心之间的横向距离是， 所以最小正周期为，则， 故，且图像过，代入得， 即，所以， 又，所以，故； （2）解：由题意可得 令，解得， 函数的单调递减区间为． （3）解：因为，所以，则． 当时，即时，有最大值为2． 【题型8 三角函数的实际应用】 高妙技法 应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 55．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 56．【多选】（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 57．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 58．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】(1)米 (2) (3)或 【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 59．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 【答案】(1) (2)小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 (3)4分钟 【分析】（1）法一：设，通过最大值，最小值，列出方程求得，再由周期及具体点求解；法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由周期得到，再结合求解即可； （2）由求解即可； （3）由求解即可； 【详解】（1）方法一：设 由题意知，最大值是41米，最小值是1米， 即，解得 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，代入表达式得到 ，得，不妨取 所以 方法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度 设经过分钟后，小王同学在点的位置，则 所以点的纵坐标 所以 （2）由题意知，得 因为，所以或10 所以两人之间相差8分钟，即小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 （3）由题意知，即， 根据图像解得 所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟 60．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 61．【多选】（23-24高三上·江苏常州·期末）对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（   ） A． B．当天下午3：00温度最高 C．温度为是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于 【答案】ABD 【分析】A选项，根据题意得到时，，时温度最低，为，然后带入解析式得到；BCD选项，根据三角函数的性质判断. 【详解】时，，， 第二天凌晨3：00最低为，此时， ∴，∴，A对． ，令即时取最大值，对应下午3：00，B对． ，或10，上午11：00或下午7：00，C错． 时，，D对. 故选：ABD． 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 【答案】B 【分析】根据频率公式进行计算. 【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为. 故选：B 2．（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得. 故选：B 3．（24-25高三上·江苏·期末）函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【分析】先求出平移后的解析式，在结合奇函数和偶函数的定义判断结论. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，，， 所以函数为非奇非偶函数， 故选：D. 4．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 5．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（   ） A．10min B．12min C．14min D．16min 【答案】B 【分析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解. 【详解】 如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴， 与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离底面的高度为， 由题意得，，周期， 所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，解得， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故选：. 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）． A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【详解】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BC 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A不正确； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得函数在单调递减，故B正确； 对于C，因为，故是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，显然不关于轴对称，故D不正确 故选：BC. 10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的表达式可以写成 C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 D．若方程在上有且只有6个根，则 【答案】BCD 【分析】A选项，将代入解析式得到，结合求出；B选项，结合为函数的零点，得到，得到函数解析式，并结合诱导公式得到B正确；C选项，先得到平移后的解析式，从而根据函数奇偶性定义进行判断；D选项，转化为在上有6个解，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】A选项，由图象可得，函数过点， 将代入得，故， 又，解得，A错误； B选项，， 又为函数的第一个正零点，故， 故，解得， 因为，故只有当时满足要求，此时， 故，B正确； C选项，的图象向右平移个单位长度后得到的新函数为， 即，其定义域为R，故为奇函数，C正确； D选项，令得， 当时，， 要想在上有6个解， 则，解得， 若方程在上有且只有6个根，则，D正确. 故选：BCD 11．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的图象关于点对称 B．在上单调递增 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，所以，则， 又由，即， 可得，所以， 因为，可得，所以， 对于A中，由， 所以点不是函数的对称中心，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 根据正弦函数的性质，可得在单调递增， 所以在上单调递增，所以B正确； 对于C中，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到，所以C正确； 对于D中，当时 ，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得； 当时，即时，可得， 要使得方程在上有两个不相等的实数根， 如图所示，可得，即实数的取值范围是，所以D正确. 故选：BCD.    12．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据函数的图象先确定，即可求解A，代入验证求解B，根据函数图象的平移伸缩变换可求解C，根据正弦函数的性质,解方程可求解D. 【详解】由图可知：,,故， 因此，代入可得故由于，故，A正确， 因此， 对于B, ，故不是的对称轴，B错误， 对于C，函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到， 故C正确， 对于D，若，则 或者， 即或者，故D错误， 故选：AC 13．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ACD 【分析】先由图象结合正弦函数的性质求出解析式可判断A，整体代入可判断B，由正弦函数的单调性可判断C，由图象平移的性质可得D. 【详解】对于A，由图可得，而， 所以， 当时，取最小值，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确. 故选：ACD. 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．为偶函数 D．在区间的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据函数图象求出参数，可得函数解析式，结合正弦函数的性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于， 由图可得，而，故，A正确； 又由图知， 则，则， 结合图象可知，故，则，B错误； 故 ，则为偶函数，C正确； 当时，，则， 即函数最小值为，D正确， 故选：ACD 15．（2022·河北邯郸·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（    ） A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面米时用时25秒 【答案】BCD 【分析】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解. 【详解】解：由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误； 当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度， 由，所以， 又角速度弧度/秒，时，，所以，， 所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确； 将代入中，得，或，即，或． 所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确． 故选：BCD． 16．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】BC 【分析】由题意依次求出A、，接着由求出即可判断A；依次求出即可判断B；由和即可求解判断C；举反例即可分析判断D. 【详解】对于A，由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故A错误； 对于B，因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 对于C，若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误. 故选：BC 三、填空题 17．（23-24高一上·江苏·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图象得到，从而求出，结合特殊点的函数值得到，得到的解析式，再根据平移变换和伸缩变换得到的解析式. 【详解】由函数的图象可得：， 可得，解得， 则 ∵函数的图象过点，则，即， 由，可得，故，解得， 故， 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 故答案为：（答案不唯一） 18．（22-23高一上·江苏泰州·期末）将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 . 【答案】 【分析】先求出变换之后的函数解析式，然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得，然后可解. 【详解】将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为， 所以与为同一函数， 故，即 所以 故答案为： 19．（22-23高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据周期范围得出范围，再结合对称性得出的值，即可得出的解析式，进而得出函数图象平移后的解析式，即可根据图象关于轴对称，得出，再根据得出实数的最小值. 【详解】，，且，，即， 的图象关于点中心对称， ，且，即，解得， ，取，， ， 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 此函数的图象关于轴对称，，解得， ，当时，得. 故答案为：. 20．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 21．（23-24高三上·江苏常州·期末）将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用三角函数的伸缩平移变换得到函数的解析式，再利用方程与函数的关系将方程的解的情况转化为两个函数的图象交点问题来解决. 【详解】依题意，，则关于x的方程可化为：， 则关于x的方程在内有两个不同的解可转化为：函数的图象与函数的图象在上有两个交点. 由可得：，取,作出函数在上的图象. 由图，要使函数的图象与其有两个交点，须使，即实数m的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角函数的平移伸缩变换和函数的零点与方程的解的转化. 对于方程在给定区间上的解的情况问题的解决，常用方法有两种： （1）变量分离法：将方程的解转化成两个函数图象的交点情况，通过讨论函数的图像趋势解决； （2）讨论分析法：直接讨论含参函数的零点分布情况即得. 四、解答题 22．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且是函数图象的最高点. (1)求； (2)将的图象上的每一个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）根据相邻对称轴的距离得到，再根据最高点得到， . （2）由（1）可知函数的解析式，利用图象平移和伸缩的规律求解的解析式，最后根据的单调区间求得的单调区间. 【详解】（1）因为是函数图象的最高点，所以. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以周期. 所以，解得. 此时函数为， 因为是最高点，所以， 即，又因为，所以，. （2）由知， 将的图象上的每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到. 再向左平移个单位长度，得到. 令， 解得 ， 所以的单调递增区间为. 令， 解得 所以的单调递减区间为. 23．（21-22高一上·江苏徐州·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足． (1)求函数的解析式； (2)当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间． 【答案】(1)； (2)20秒. 【分析】(1)根据OA求出R，根据周期T＝60求出ω，根据f(0)＝－2求出φ； (2)问题等价于求时t的间隔. 【详解】（1）由图可知：， 周期， ∵t＝0时，在，∴， ∴或，， ，且，则. ∴. （2）点到水面的距离等于时，y＝2， 故 或，即，， ∴当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间20秒. 24．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求得，得到，结合三角函数的图象变换得到，根据图象关于轴对称，得出，即可求解； （2）根据的表达式，结合给定的不等式的条件，求解实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，的最小值为， 所以， 可得， 将的图象向左平移个单位长度得到的图象， ，因为图象关于轴对称， ，， 由于，取，得． （2）由（1）得到， 由题意，当时，恒成立， 可以转化为，， 化简得到：， ，所以， ， ， 故且，又， 解得： 所以的取值范围为． 25．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，其中，．从下列三个条件中选择两个作为已知条件，使得函数存在且唯一确定． ①函数的图象关于点对称； ②函数的图象关于直线对称； ③函数在上的最小值为． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在上的单调性． 【答案】(1) (2)在内单调递增，在内单调递减 【分析】（1）若选①②：根据对称轴可得，但不能确定的值；若选①③：根据对称中心可得，再以为整体，结合正项函数值域求得；若选②③：根据对称轴可得，再以为整体，结合正项函数值域求得. （2）根据三角函数图象变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解. 【详解】（1）若选①②：因为函数的图象关于直线对称， 则，解得， 且，可知，则， 且，即函数的图象关于点对称， 但不能确定的值，不合题意； 若选①③：因为函数的图象关于点对称， 则，解得， 且，可知，则， 又因为，则，可得， 且，可得， 则，解得，所以； 若选②③：因为函数的图象关于直线对称， 则，解得， 且，可知，则， 又因为，则，可得， 且，可得， 则，解得，所以. （2）函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得； 再向右平移个单位长度，得到， 因为，则， 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减； 综上所述：在内单调递增，在内单调递减. 26．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调增区间和对称中心. 【答案】(1)； (2)增区间是，对称中心为. 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式. （2）利用图象变换求出，再利用正弦函数的图象性质求出单调递增区间及对称中心. 【详解】（1）观察函数图象，知，解得， 函数的最小正周期，解得， 由，得，又，则， 所以的解析式为. （2）将的图象上的点先向右平移个单位长度，得， 因此，由，得， 由，得， 所以的单调增区间是，对称中心为. 27．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可； 【详解】（1）由图象可得，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为. （2）， 因为对任意的，都有成立，即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得. 28．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）根据函数的部分图像， 可得，，所以， 再根据五点法作图，可得，， 又因为，可得，所以， 令，，解得，， 故函数对称中心为，． （2）因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为． （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即． 令，，解得，， 可得的减区间为，． 29．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）方法一：先将的图象向左平移个单位，再将每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），最后将每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）即可； 方法二：先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），再向左平移个单位，最后将每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）即可； （2）方法一：由求出的范围，结合正弦函数性质列不等式求函数的单调递减区间， 方法二：由不等式求出函数的单调递减区间，再求结论； （3）由条件可得，结合关系化简方程可得，，由此可求结论. 【详解】（1）方法一：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象向左平移个单位可得的图象， 再将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； 方法二：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 再将的图象向左平移个单位可得函数的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； （2）法一：因为，所以， 因为y＝sinx在上单调递减，在和上单调递增， 令，可得， 所以函数在上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） 法二： 由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，， 因为，所以，， 即函数f（x）在[0，π]上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） （3）因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以， 即，所以． 30．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1) (2),. 【分析】（1）分析题意，建立直角坐标系后，确定数学模型，分别求出即得； （2）根据题意，设出两人距离地面的高度得到关于的函数解析式，经过三角恒等变换，化成正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可求得. 【详解】（1） 如图，设摩天轮最低处为点,以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.依题意，点，以为终边的角为， 因摩天轮每转一圈需要，则摩天轮转动的角速度为，由题意可得：； （2）设朋友登上摩天轮的时间为，其与地面的距离为， 则我已在摩天轮上的时间为，我与地面的距离为， 故， 由可知：，故当或时，， 即在或时，两人距离地面的高度差最大，为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数学建模和三角恒等变换、正弦型函数的性质的应用,属于难题.解决实际应用的问题，关键在于建立坐标系后，对实际问题的分析理解，找到适合的数学模型，求出参数值，再运用该模型解决实际应用问题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $