【名师导航】2026年中考数学一轮复习 专题 2.4一元一次不等式（组）解法及应用 讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦一元一次不等式（组）解法及应用专题，覆盖不等式概念、性质、解法、整数解、参数问题及实际应用等中考核心考点，构建从概念到应用的递进式知识架构，通过考点梳理、典例剖析、真题演练构建完整复习链，助力学生突破解法步骤、解集表示等难点。 亮点在于“考点-题型-素养”三维设计，通过性质辨析对比表强化推理意识，解法步骤流程图培养有序思维，参数问题分类讨论提升逻辑推理能力。设置典例+变式+专项三级练习，配合真题限时训练，精准对接中考命题规律，帮助教师把控复习节奏，有效提升学生用数学语言表达和解决实际问题的能力。

2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块二 方程（组）与不等式（组） 专题4 一元一次不等式（组）解法及应用 知识梳理 【考点一】不等式的有关概念 1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 【考点二】不等式的解与解集 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 3.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 【考点三】不等式的性质 文字标识 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【考点四】一元一次不等式 1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 2.一元一次不等式的一般形式：或. 3.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 【考点五】一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 【考点六】一元一次不等式组 1.定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【考点七】一元一次不等式组的解法 1.第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 如果没有公共部分，则该不等式组无解． 2.几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 【考点八】一元一次不等式（组）的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 例题讲解 【题型一】不等式的定义 ◇典例1： 下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． ◆变式训练 1.下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.“大于的倍”用不等式表示为： ． 【题型二】不等式的解 ◇典例2： 下列说法正确的是（　　） A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解 B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解 C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3 D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1 ◆变式训练 1.某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 2.下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【题型三】不等式的性质 ◇典例3： 已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 1.下列四个选项中，经过变形，一定能得到的是（　　） A． B． C． D． 2.若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】一元一次不等式的定义 ◇典例4： 下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． ◆变式训练 1.下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2.若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【题型五】不等式的整数解 ◇典例5： 不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 ◆变式训练 1.不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 2.满足不等式的最小整数解为 ． 【题型六】解一元一次不等式 ◇典例6： 解下列不等式： (1)． (2)． ◆变式训练 1.解不等式： (1)； (2)． 2.小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 【题型七】解不等式组 ◇典例7： 解不等式（组）： (1)； (2) ◆变式训练 1.解一元一次不等式组：． 2.解下列不等式组： (1)； (2)． 【题型八】用数轴表示不等式的解集 ◇典例8： 不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 1.不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 2.解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【题型九】根据不等式的解集求参数 ◇典例9： 若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（    ） A．4 B．3 C．0 D．8 ◆变式训练 1.对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 2.关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【题型十】一元一次不等式的应用 ◇典例10： 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ ◆变式训练 1.舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 2.某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元． (1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元． (2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案． 真题在线 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·青海西宁·中考真题）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 4．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 7．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 二、填空题 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 11．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 12．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 三、解答题 13．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 15．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 专项练习 一、单选题 1．已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，且，则（） A． B． C． D． 5．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的顶点在第一象限，部分对应值如表所示．若，则a的取值范围为（   ） x 2 5 6 y m n m p A． B． C． D． 7．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 8．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 9．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 10．白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．不等式的解集是 ． 12．若不等式组的解集是，则的值是 ． 13．已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 14．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 15．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 16．十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 50 100 150 200 剩余电量 50 46 42 38 34 若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开 公里就必须去充电． 三、解答题 17．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 18．解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 19．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 20．宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵100元，2袋鸭翅和1袋烤鸭刚好160元（鸭翅和烤鸭都是整袋售卖）． (1)1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ (2)小云一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭不超过鸭翅的4倍，最少需要花费多少钱？ 21．某电器超市销售每台进价分别为元，元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块二 方程（组）与不等式（组） 专题4 一元一次不等式（组）解法及应用 知识梳理 【考点一】不等式的有关概念 1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 【考点二】不等式的解与解集 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 3.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 【考点三】不等式的性质 文字标识 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【考点四】一元一次不等式 1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 2.一元一次不等式的一般形式：或. 3.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 【考点五】一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 【考点六】一元一次不等式组 1.定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【考点七】一元一次不等式组的解法 1.第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 如果没有公共部分，则该不等式组无解． 2.几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 【考点八】一元一次不等式（组）的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 例题讲解 【题型一】不等式的定义 ◇典例1： 下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查不等式的定义，根据不等式的定义“用不等号连接的式子”进行判断即可． 【分析】解：不等式是用不等号（如“”、“”、“”、“”、“”等）连接的式子， 选项A： 是代数式，不含等号或不等号，不是不等式； 选项B： 用“”连接，符合不等式的定义； 选项C： 是等式，用“”连接； 选项D： 是等式，同样用“”连接； 故选：B． ◆变式训练 1.下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 2.“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 【题型二】不等式的解 ◇典例2： 下列说法正确的是（　　） A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解 B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解 C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3 D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1 【答案】B 【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得 【详解】解：A．x＝﹣3不是不等式x＞﹣2的一个解，此选项错误； B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解，此选项正确； C．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误； D．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内. ◆变式训练 1.某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 2.下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【题型三】不等式的性质 ◇典例3： 已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． ◆变式训练 1.下列四个选项中，经过变形，一定能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一分析即可解答． 【详解】解：∵，当， ∴，故A选项不符合题意； B、∵， ∴，故B选项符合题意； C、∵， ∴，故C选项不符合题意； D、∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 2.若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为，根据不等式的基本性质3，得，再根据不等式的基本性质1，得，所以A符合题意； 因为，根据不等式的基本性质1，得，所以B不符合题意； 因为，当时，得不成立，所以C不符合题意； 因为，根据不等式的基本性质3，得，所以D不符合题意． 故选：A． 【题型四】一元一次不等式的定义 ◇典例4： 下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进而判断得出即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、是一元一次不等式，符合题意； C、不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的要素是解决问题的关键．． ◆变式训练 1.下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A．不是一元一次不等式，该选项不符合题意； B．不是一元一次不等式，该选项不符合题意； C．不是一元一次不等式，该选项不符合题意；     D．是一元一次不等式，该选项符合题意； 故选：D． 2.若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 【题型五】不等式的整数解 ◇典例5： 不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 【答案】B 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 本题主要考查了一元一次不等式的整数解，掌握非负整数包括0和正整数是解题的关键． 【详解】解：不等式的解集为， 它的非负整数解为0，1，2，3，共有4个． 故选：B ◆变式训练 1.不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解相加，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∴原不等式组的所有整数解的和为， 故选：A． 2.满足不等式的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出最小整数解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 所以最小整数解是， 故答案为：． 【题型六】解一元一次不等式 ◇典例6： 解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． （1）按照移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． ◆变式训练 1.解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 2.小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 【答案】①，过程见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：去分母时，常数项2没有乘以最小公倍数出现错误；故首次出现错误的是步骤①；正确的解答过程如下： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得． 【题型七】解不等式组 ◇典例7： 解不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． ◆变式训练 1.解一元一次不等式组：． 【答案】； 【分析】本题考查解不等式组，分别解不等式①②，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解求解即可得到答案． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 2.解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大 ；同小取小；大小小大中间找；大大小小 找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为． （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为． 【题型八】用数轴表示不等式的解集 ◇典例8： 不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考示不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上空心和实心表示． 求出不等式的解集进行表示即可． 【详解】解：不等式的解集为． 解集在数轴上表示如图所示， 故选：A． ◆变式训练 1.不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 2.解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解为． ． 【题型九】根据不等式的解集求参数 ◇典例9： 若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（    ） A．4 B．3 C．0 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x一元一次方程有正整数解， ∴， 解得：，且是2的倍数； 又∵是正整数， ∴，且是2的倍数； ∵， 解得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； ∴满足题意的a的值有：、 所有满足条件的正整数a的值之和为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和一元一次方程组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． ◆变式训练 1.对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可． 【详解】解：∵    ， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 2.关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 【题型十】一元一次不等式的应用 ◇典例10： 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元 (2)， (3)购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出二元一次方程组，即可解答； （2）根据题意，列出代数式并化简，即可解答； （3）购买A款运动盲盒去甲商店更合算，即甲店的费用比乙店少，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：小明在甲商店成为会员购买，所需费用为 （元）； 若在乙商店购买，所需费用为（元）； 故答案为：；． （3）解：当， 解得， ， ∴； 答：购买A款运动盲盒的数量m在范围内时，去甲商店更合算． ◆变式训练 1.舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 【答案】(1)钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件 (2)件 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键， （1）设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设立牌买m件，钥匙扣买件，利用总价等于单价乘以数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之取最大值即可． 【详解】（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：          解得， 答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件． （2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得： ， 解得， 答：最多购买立牌件． 2.某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元． (1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元． (2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案． 【答案】(1)平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元． (2)购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式组． 设每本纪念册元，每件纪念品元，根据订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元，列方程组求解即可； 设订购了本纪念册，份校庆纪念品，根据订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据为整数求解即可． 【详解】（1）解：设每本纪念册元，每件纪念品元， 根据题意可得：。 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：， 方程组的解为， 答：平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元； （2）解：设订购了本纪念册，份校庆纪念品， 根据题意可得：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 又为整数， 或或， 当时，， 当时，， 当时，， 订购方案有： 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个． 真题在线 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 2．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 3．（2024·青海西宁·中考真题）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴． 故选B． 4．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，数轴上的点把数在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示，“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示： ， 故选：C． 5．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 6．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 7．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 8．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 二、填空题 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ． 故答案为：． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 11．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 12．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 15．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 专项练习 一、单选题 1．已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、，当时，，故原不等式不一定成立，不符合题意； B、，则，故，故原不等式不成立，不符合题意； C、，当时，则，故原不等式不一定成立，不符合题意； D、，则，故原不等式成立，符合题意． 故选：D． 2．已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算、求一个数的绝对值，熟练掌握和运用乘方运算的符号问题及求一个数的绝对值法则是解决本题的关键． 根据乘方运算、求一个数的绝对值，即可一一判定． 【详解】解：∵ ∴ 对于A：，故不成立； 对于B： ∵ ，∴ ，而 ，∴ 不成立； 对于C： ∵ ，∴ ，，∴ 成立； 对于D： ，而 ，∴ 不成立； 故选：C 3．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键． 先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案． 【详解】解：解不等式， 解得． 所以不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 4．若，且，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质3，是解题的关键．由已知条件和推导出，即．将不等式两边除以负数b，不等式方向反转，直接得到． 【详解】∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 5．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 6．二次函数的顶点在第一象限，部分对应值如表所示．若，则a的取值范围为（   ） x 2 5 6 y m n m p A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，由对称性可知对称轴为，结合顶点在第一象限得到；由推导出关于 的不等式，结合顶点条件求解的范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数中，当和时值相等， ∴对称轴为， ∴，即， ∴， 在中，当时，，即， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第一象限， ∴， ∴； 当时，，即， 当时，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故不等式等价于，即， ∴， 解得：，此范围满足， ∴的取值范围为， 故选：A． 7．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 8．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 9．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是通过任意人分数之和不超过分分析得到不含最高分的其余人满足任意三人分数之和不超过． 设得分最高的人分数为，则其他人总分为，结合任意人分数和，分析可得包括最高分者时，任意其他三人分数之和不超过，则其他 人需满足任意三人分数之和不超过，列出不等式 后即可得解． 【详解】解：总分，设最高分为，则其他人总分为， 又任意人分数和，包括最高分时，任意其他三人分数和， 其他人任意三人分数和，其总分， ， 即， ， ， 当时，其他人分数均为，任意三人之和为， 此时任意四人之和为，满足条件， 一个人最多得分． 故选：． 10．白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，解题的关键是理解题意；根据总销售额等于单价乘以数量，单价为进价提价后的价格，即元/罐，总销售额需多于12万元（120000元），由此列不等式即可． 【详解】解：由题意可列不等式为； 故选C． 二、填空题 11．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过移项解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 故答案为：． 12．若不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 13．已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 14．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 15．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 16．十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 50 100 150 200 剩余电量 50 46 42 38 34 若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开 公里就必须去充电． 【答案】525 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．先求出该汽车正常行驶时每千米耗电量，再根据电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：由表格可知，该汽车正常行驶时每千米耗电量为， 由题意得：， 解得， 所以小滨家的汽车至多开，即525公里就必须去充电． 故答案为：525． 三、解答题 17．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 移项可得：， 合并同类项可得：， ∴原一元一次不等式的解为； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为． 18．解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】；它的所有整数解的和为． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础．首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解然后求和． 【详解】解： 由①得：， ， 解得：． 由②得：， ， ， 解得：． 综上所述，． ∴的整数解为：， ∴所有整数解的和为：． 19．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】12 【分析】本题综合考查不等式组的整数解分析与分式方程解的存在性与限制条件，关键在于准确处理边界情况及排除使分母为零的情况，同时注意整数解的个数限制与代数解之间的关系，逻辑严密才能正确求解．先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴, ∴或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为非负整数， 即为非负偶数， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴． 20．宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵100元，2袋鸭翅和1袋烤鸭刚好160元（鸭翅和烤鸭都是整袋售卖）． (1)1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ (2)小云一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭不超过鸭翅的4倍，最少需要花费多少钱？ 【答案】(1)1袋鸭翅为60元、1袋烤鸭为40元 (2)小云最少需要花费440元 【分析】本题考查一次函数，二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键． （1）设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设烤鸭购买m袋，花费w元，然后表示出，根据题意得到，求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元， 依据题意得，， 解得， 答：1袋鸭翅为60元、1袋烤鸭为40元． （2）解：设烤鸭购买m袋，花费w元，根据题意得： ， 由题意可知，， 解得， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小，（元）， 答：小云最少需要花费440元． 21．某电器超市销售每台进价分别为元，元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ 【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元； (2)超市最多采购种型号电风扇台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多于元，列不等式求解． 【详解】（1）解：设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：． 答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元． 学科网（北京）股份有限公司 $