数学一模保分卷01（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知. 故选：A 2．已知集合，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，先求出集合U，根据并集运算的概念，可得，根据补集运算的概念，即可得答案. 【详解】由题意，集合，且， 所以. 故选：D 3．1943年19岁的曹火具在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“没有共产党”是“没有新中国”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】直接利用充分条件的定义进行判断即可. 【详解】解：记条件： “没有共产党”，条件：“没有新中国”，由歌词知，可推出，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件. 故选：A. 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．20h C．4h D．40h 【答案】C 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：C. 6．某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 【答案】C 【分析】结合排列数及组合数的运算，根据分组分配问题求解即可. 【详解】将7名大学生分为3人，2人、2人的3个小组，分别去参观这三个地点， 共有种不同参观方案. 故选：C 7．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中正确结论是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】对于结论①，作出经过点，，的截面即可判断；对于结论②，由分析可得，即可判断；对于结论③，作出经过点且与直线垂直的平面，判断平面与是否有交点即可判断；对于结论④，分析点与点重合时与点从上靠近点的三等分点向点运动时两种情况的截面面积的变化情况即可判断. 【详解】对于结论①，取中点为，连接， ，， 因为正方体，为的中点，所以， 所以四点共面，如图确定的平面与线段有且仅有一个交点， 故结论①正确； 对于结论②，因为关于对称，所以，求的最小值，即求的最小值， 因为正方体，所以四点共面， 所以与会相交于一点，设为， 此时， 因为 ， 所以的最小值为错误，故结论②错误； 对于结论③，取中点分别为，连接，设交 于点，若平面， 在平面中，易知， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，  所以. 所以存在点，使得，故结论③正确. 对于结论④，当点与点重合时，截面为矩形，截面面积为， 当点为上靠近点的三等分点时， 取中点为，连接，，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，所以四点共面， 此时四边形即为平面截正方体所得截面， 证明如下：已知平面，求证点为上靠近点的三等分点， 因为，所以，所以点为上靠近点的三等分点，得证. 又因为，且，， 所以四边形为等腰梯形，面积为， 所以当点为上靠近点的三等分点时，截面面积为， 当点趋近于点时，截面面积趋近于， 因为，，点为上靠近点的三等分点向点运动时，截面面积的变化是连续的， 所以点为上靠近点的三等分点向点运动时存在某点，使得截面面积为， 故线段上至少存在两个点使得截面面积为， 故结论④不正确 故选：B 8．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题设易得，则，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，可得，即， 同理由，可得， 设，易知， 代入上述式子可得，则， 令，则， 易知在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中100株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中a的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木约为30株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图的性质，以及平均数和百分位数，以及频数与频率的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B，由频率分布直方图，可得不小于110 cm的频数为， 所以不小于110 cm的树木有株，所以B正确； 对于C，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以分位数位于区间，则，所以C正确； 对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，所以D错误. 故选：ABC. 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 11．“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【分析】求出黄金分割比即可判断A，利用点差法判断B，由求出，即可判断C，由渐近线的斜率与直线的斜率的关系，即可判断D. 【详解】对于A，设线段长度为，较大部分为，则较小部分为， 由题知黄金分割比为，且，即，解得或（舍去）， 所以离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 由，，两式作差得， 则 ，故B正确； 对于C，，， 若成立，则有，则， 即，所以， 则，解得（负值舍去），不满足题意，故C错误； 对于D，易知，， 则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以 ， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，且，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 13．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 14．如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，= ．记四边形的面积为，则的取值范围为 ． 【答案】 . 【分析】作出辅助线，表示出，利用正弦定理表达出，从而得到，构造，，利用辅助角公式求出，从而求出的取值范围. 【详解】①连接，则，， 由勾股定理得：， 因为，所以， 在中，，故 在中，， 由正弦定理得：，即，故， ②故 ， 令，，则， 当时，，故， 所以. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 【解析】 （1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得：， 3分 所以. 5分 （2）由（1）得， 所以， 8分 ， 11分 因为，所以，所以， 所以. 13分 16．（15分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为． (1)若，求面积； (2)若，且，求面积的最大值． 【解析】（1）因为， 所以. 4分 （2）因为，所以，可化为， 由正弦定理边化角得，， 5分 所以，即， 7分 由，得，解得， 11分 所以， 因为， 14分 所以，当时，取得最大值． 15分 17．（15分） 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，E，F，G，O分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求证；平面； (3)求平面与平面夹角的大小. 【解析】 （1）因为是正三角形，O是的中点， 所以， 2分 因为平面，平面， 所以，又因为平面， 所以平面； 4分 （2）连接， 因为FO分别是，的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 6分 因为是正方形， G，O分别是，的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面； 9分 （3）由（1）可知平面，是正方形， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 11分 设平面的法向量为， 所以有， 显然平面的法向量为， 13分 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 因此. 15分 18．（17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. (1)设、分别为直线、的斜率，求的值； (2)若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 【解析】 （1）由题意可得，． 设，则，，所以． 2分 因为在椭圆上，所以，所以． 故； 4分 （2）设，，则 直线的方程为，直线的方程为， 由，消去，整理得：， 则，， ∴ 6分 由，消去，整理得：, 则，， ∴ 8分 所以 直线的方程为， 即 故直线PQ恒过定点. 11分    （ii）由（i）知， 13分 令，则， , 当时，取得最小值， 因为，所以. 15分 设和的外接圆半径分别为， 由正弦定理得，所以. . 所以的最大值为. 17分 19．（17分） 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域，不同周期的正弦型函数叠加是构造复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．已知函数（提示：）． (1)求函数的所有零点组成的集合； (2)求函数的最值； (3)对于给定的大于1的正整数，设集合，求集合中元素的个数 【解析】 （1）， ∵． 则由，得，解得． 故的所有零点组成的集合为． 4分 （2）∵ ， 6分 ∴． 令，则， 为偶函数． ∵为奇函数，故只需考虑上的情形． 当或时，单调递增； 当时，单调递减． 8分 ∴． ∴． 10分 （3）由， 可知当时， ． 令，可得 11分 为了求的最大值，由为奇函数， 且的最小正周期为及，故只需考虑的情形． 设，当时，单调递增， 当时，单调递减， 故的极大值点为． 13分 当和时， 令， ． 故在单调递减，故， 15分 即， ∴在上的最大值为或． 故，共100个元素． 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，那么（    ） A． B． C． D． 3．1943年19岁的曹火具在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“没有共产党”是“没有新中国”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 6．某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 7．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中正确结论是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 8．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中100株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中a的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木约为30株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 11．“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，且，的最小值为 ． 13．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 14．如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，= ．记四边形的面积为，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 16．（15分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为． (1)若，求面积； (2)若，且，求面积的最大值． 17．（15分） 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，E，F，G，O分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求证；平面； (3)求平面与平面夹角的大小. 18．（17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. (1)设、分别为直线、的斜率，求的值； (2)若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 19．（17分） 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域，不同周期的正弦型函数叠加是构造复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．已知函数（提示：）． (1)求函数的所有零点组成的集合； (2)求函数的最值； (3)对于给定的大于1的正整数，设集合，求集合中元素的个数 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 P D B C C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 0 10 11 ABC AC ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 10v2sinx 12.5 13.-3 14. sin (50,200-100V2 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)设等差数列{an}的首项为a,公差为d, a3+a7=2a,+8d=44 由题意得 S4=4a,+6d=48 ，解得：4，=6，d=4, .3分 所以an=6+n-1×4=4n+2. .5分 2)由D得S6m+”2-×4=2m+4n=2mn+2y 所adg非 8分 .Tn=b+b2+b3...+b1+bn 0-》g+日+】 1/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2n+3 11分 因为meN,所以4n+a+2之0，所以g4n++28 2n+3 2n+3 3 所以7居 .13分 16.(15分) 【解析】(1)因为a=√2，b=√7，c=5, 所以S.Ac 4分 (2)因为b=2,所以√5 c cos B+2V5cosC=c,可化为V3 c cos B+V3 bcosC=c, 由正弦定理边化角得，√3 sin C cos B+√3 sin BcosC=sinC, 5分 所以V3sin(B+C)=√3sinA=sinC,即c=5a,… 7分 a+c>b 3a+a>2 由c+b>a,得 V3a+2>a,解得√5-1<a<√5+1,11分 a+b>c a+2>3a 所以4-2V5<a2<4+2V5, a2+3a2 因为S。ABC x3a V4r-4-Vo-4+12. 14分 所以，当a2=4时，ABC取得最大值V5.15分 17.(15分) (1)因为△PAD是正三角形，O是AD的中点， 所以PO⊥AD, 2分 因为CD⊥平面PAD,POc平面PAD, 所以PO⊥CD,又因为CDOAD=D,CD,ADC平面ABCD, 所以P0⊥平面ABCD;… 4分 (2)连接FO,OG, 因为FO分别是PD,AD的中点， 所以FOI/PA,又因为PAC平面PAB,FOt平面PAB, 所以F0/平面PAB, .6分 2/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为ABCD是正方形，G,O分别是BC,AD的中点， 所以OG/IAB,又因为ABc平面PAB,OGC平面PAB, 所以0G∥平面PAB,因为OG∩OF=O,OG,OFc平面0GF, 所以平面PAB/1平面OGF，,又因为FGc平面OFG, 所以FG/平面PAB;9分 B (3)由(1)可知P0⊥平面ABCD,ABCD是正方形， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， p0,0,2V5),E(-1,2,5,F-1,0,,G(0,4,0), EF=(0,-2,0),EG=1,2,-5, 11分 设平面EFG的法向量为m=(x,y,z), [m.EF=-2y=0 所以有 →m=（5,0,1, mEG=x+2y-3z=0 显然平面ABCD的法向量为OP=0,0,2V3, .13分 设平面EFG与平面ABCD夹角的大小为O, m.OP 2w5 所以cos6=cos(m,= OP V+1×25 2, 因此0=刀 3 15分 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ZA G 18.(17分) (1)由题意可得A-2,0),B2,0). 设P川，则=与产2所以6=产2广 x+2x-2x-4 2分 因为P叫，在椭圆C上，所以至+号=1，所以= 34-x2) 43 4 故6，=片34.3 x2-44x2-44 .4分 (2)设0(，为小，M4,m,则=w-g0=w=受 直线4P的方程为=x+2,直线80的方程为y=x-2小， y="(x+2) 6 4m2 由 消去y,整理得： 3m2 2+4m2 9t* -12=0, 9 9 =1 43 4m2 -12 则-2x=9 34m 2m2-54 18m 27+m2，片= m2m2-54,2） +2 6 27+m2 27+m2, 9 .P 2m2-5418m 27+m2’27+m …6分 ="（x-2) 1，消去，整程：B+m)r-nx+4m-12-0 2 由 43 则2总⅓ m2m2-6-2 61m 23+m2 3+m2, 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2m2-6 6m 9 3+m23+m2 .8分 6m 18m 3+m227+m2 6m 所以KPQ= 2m2-6 2m2-54 m2-9 3+m2 27+m2 6m 直线PQ的方程为y+ 6m 2m2-6 x- 3+m2 m2-9 3+m2 即y=- 6m（x-l） m2-9 故直线PQ恒过定点(1,0..11分 M P A O 分 x X=4 (ii)由(i)知P 2m2-5418m 2m2-6 6m 27+m2’27+m2 3+m2,3+m2 po" 2m2-542m2-6 18m 12 6m 27+m2 3+m2 人27+m+3+m 2m2-54,2m2-62 18m .6m)2 (m2+9 =16 27+m23+m2 (27+m23+m2 (27+m2）(3+m2）】 :Pl= 4(m2+9 27+m2)(3+m2）】 13分 11 令m2+9=t,则t>9,0<二 PO= 4t2 1 1 当t=18时，PO取得最小值，Pln=3 AB 因为AB=4,所以 .15分 5/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设△ABM和△PQM的外接圆半径分别为R、R2, AB PO PO 由正弦定理得R=2 sinMB,=2sn∠PM02sin∠AMB 所以 RAB R PO AB S2πR 所以受的最大临为 9 …17分 19.(17分) （)《=mx+0=2nx音mx-号n5-2m动， 3 :3-2sin2x≥3-2=1>0. 则由，x=0,得sinx=0,解得x=k饥，k∈Z. 故∫(x的所有零点组成的集合为{xx=km,k∈Z.…4分 (2)sin 5x sin 2x cos3x+cos 2x sin 3x =2sinxcosx(4cos'x-3cosx)+(1-2sin2x)(3sin x-4sin'x) =2sin x(4cos x-3cos2x)+(1-2sin2x)(3sinx-4sin'x) =2sinx 4(1-sin2 x)-3(1-sin'x)-10sin'x+3sin x+8sin'x =16sinx-20sinx+5sinx,.......... 6分 f内=ax+,n-smx+3snx-4m刘+兮6snx-20m+5n 35 -3sinx-16sinx+1 sin x. 3 5 16， 令1=sinxe-1,l,则F()=3-16 3 F'(t)=3-1612+161=412-1(412-3,F'()为偶函数. :F(为奇函数，故只需考虑t∈[0，上的情形. 当0s1 2≤t≤1时，F'(t)之0，F(t单调递增； 2 当<1<5时，F<0,F单调递减. 2 .8分 6/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 15 .10分 (3)2sinxcos(2k-1)x=sin [(2k-1)x+x]-sin[(2k-1)x-x]=sin 2kx-sin(2k-2)x, 可知当x≠k元，k∈N*时， f (x)=cosx+cos3x+...+cos(2n-1)x sin 2x-0sin 4x-sinsin 2nx-sin()sin 2n 2sinx 2sinx 2sinx 2sinx 令=0，可得：=亮eN .11分 为了求fx的最大值，由fn（x)为奇函数， 且f,(x的最小正周期为2π及，（π-x=f(x),故只需考虑0<x≤的情形. 设ke心，当-<x<2k-五时，川x>0,x单调递塔， n 2n 当(2k-五<x<低时，<0，（单调递减， 2n 故(x的极大值点为x=2k-)π，keN. ..13分 2n 当1sk≤"，和红<x≤2k+压时， 2n -+2 sin 2nx- =+别引 sin 2nx 2n 2sinx 2sinx-π 2n sin 2nxsin π 2n +sin 2nx- -sinx 、Sinx sin2 nx sin x-2n/ n <0 2simx-2n月 π 2sin x-2n sinx 故gx在 kπ(2k+1)π n’2n」 单调递减，故g 2n 15分 24 7/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 π f到0,2上的最大值为2n或 (2n-1π 2n 故M={mm-2n 元+2k或m2"2元+2k,k=0.山49，共100个元索，7分 8/8 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，那么（    ） A． B． C． D． 3．1943年19岁的曹火具在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“没有共产党”是“没有新中国”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 6．某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 7．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中正确结论是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 8．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中100株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中a的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木约为30株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 11．“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，且，的最小值为 ． 13．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 14．如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，= ．记四边形的面积为，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 16．（15分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为． (1)若，求面积； (2)若，且，求面积的最大值． 17．（15分） 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，E，F，G，O分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求证；平面； (3)求平面与平面夹角的大小. 18．（17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. (1)设、分别为直线、的斜率，求的值； (2)若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 19．（17分） 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域，不同周期的正弦型函数叠加是构造复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．已知函数（提示：）． (1)求函数的所有零点组成的集合； (2)求函数的最值； (3)对于给定的大于1的正整数，设集合，求集合中元素的个数 / 学科网（北京）股份有限公司 $