第10讲 反比例函数的图象、性质及应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦反比例函数专题，覆盖中考四大核心考点，包括图象性质、k的几何意义、与一次函数及几何图形综合、实际应用。通过考情剖析、知识网络构建、考点解析和真题训练，形成“梳理-指导-训练”的系统复习流程，助力学生突破难点。 亮点在于以“数形结合”思想为主线，通过典例变式训练培养抽象能力与几何直观，如k的几何意义结合面积计算例题。设置基础巩固、能力提升、全国新趋势分层练习，保障复习效果，同时培养模型意识，帮助学生高效提升应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

第三章 函数 第10讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 反比例函数的图象和性质 题型01 反比例函数的图象与性质 题型02 反比例函数k的几何意义 命题点二 反比例函数与一次函数综合 题型03 反比例函数与一次函数的综合问题 命题点三 反比例函数与几何图形综合 题型04 反比例函数与几何图形问题 命题点四 反比例函数的实际应用 题型05 反比例函数的实际应用问题 05·重难突破·思维进阶难 19 突破一 反比例函数与一次函数综合 突破二 反比例函数与几何图形综合 06·优题精选·练能提分 22 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的图象和性质 镇江T8 无锡T10 淮安T8 徐州T13 南京T14 苏州T7 镇江T18 扬州T7 徐州T15 无锡T15 扬州T6 泰州T5 镇江T7 南京T14 泰州T21 《标准》对反比例函数的要求有以下三个方面：（ 1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；（ 2）能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解 k >0 和 k ＜ 0时，图象的变化情况；（ 3）能用反比例函数解决简单的实际问题。 反比例函数与一次函数 连云港T7 宿迁T8 常州T25 扬州T24 南通T26 常州T24 淮安T24 连云港T24 盐城T22 无锡T9 宿迁T8 徐州T17 淮安T8 苏州T24 常州T25 反比例函数与几何图形 苏州T23 盐城T26 无锡T9 镇江T23 扬州T17 无锡T17 苏州T24 镇江T25 盐城T16 连云港T15 无锡T17 镇江T24 连云港T27 泰州T25 反比例函数的实际应用 盐城T7 连云港T14 南通T16 无锡T15 连云港T13 南京T12 南京T4 扬州T15 南通T14 常州T12 命题预测 2023 - 2025 年反比例函数应用考查情况分析： 1. 题型变化 · 基础题：从单一考查解析式、图像性质，向 "性质 + 比较"" 性质 + 应用 " 转变； · 解答题：从 "求解析式 + 交点" 模式，向 "综合探究 + 几何应用 + 最值问题" 升级； · 创新题型：2025 年出现反比例函数与动态几何 (旋转、翻折) 结合的探究题； 2. 难度变化 · 整体平稳：基础题难度适中，保持对核心概念的考查 · 综合题提升：2024-2025 年几何综合题难度有所增加，更注重思维的灵活性和创新性 · 命题特点："数形结合" 思想贯穿始终，强调直观想象与数学抽象的融合； 2026年中考数学关于反比例函数命题预测： · 综合化：反比例函数与一次函数、几何深度融合；； · 探究性：开放题和新定义题增多，如 "函数图像对称性探究"" 函数与几何变换 " 等； · 实际应用：结合现实情境 (如资源分配、运动学问题)，增强应用意识； · 核心素养：突出 "数形结合"" 数学建模 ""逻辑推理" 等核心素养考查。 考点一 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 2. 反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 3．反比例函数的性质： 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y＝x和y＝－x），中心对称图形（对称中心为原点） 反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况． 当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 4．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 5． 反比例函数中k的几何意义 6．解决面积问题常用结论： 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积．如图①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝； 3．如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 考点二 反比例函数与一次函数综合 1．取值范围：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2.求交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 考点三 反比例函数与几何图形综合 反比例函数与几何图形综合，这类综合题常结合三角形、特殊四边形，需掌握以下内容： 1.三角形相关知识： 直角三角形：勾股定理、面积公式； 等腰/等边三角形：性质（等边对等角、三线合一）、判定； 三角形全等/相似：判定定理（SAS、SSS、ASA；AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相等）—— 用于转化线段长度、角度关系； 2.特殊四边形相关知识： 平行四边形、矩形、菱形、正方形：性质（对边平行且相等、对角线特征等）、判定； 3.坐标几何基础： 平面直角坐标系中点的坐标特征：象限符号、坐标轴上的点（ 轴上 ， 轴上 ） 两点间距离公式：若 、，则 点到坐标轴的距离：点 到 轴距离 ，到 轴距离 斜率与平行、垂直：两直线平行 斜率相等；两直线垂直 斜率乘积为 （初中阶段可通过坐标计算角度） 3.核心方法与数学思想 （1）数形结合思想 从函数图像上提取点的坐标信息，转化为代数计算； 用代数计算结果（如 的值、点的坐标）推导几何图形的形状、面积、边长。 （2）方程思想 利用 建立等量关系； 结合几何性质（如勾股定理、相似比）列方程，求解点的坐标或 的值。 （3）转化思想 不规则图形面积 → 转化为规则图形（矩形、三角形）的和/差； 线段长度 → 转化为点的坐标差的绝对值。 （4）分类讨论思想 当点的位置不确定时（如在不同象限、不同边上），需分类讨论，避免漏解。 1．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 考点四 反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题步骤： （1）设出解析式；（2）用待定系数法确定函数解析式；（3）再利用反比例函数的性质和图象解决问题（特别注意自变量的取值范围）（4）写出答案． 1．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 3．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 反比例函数的图象与性质 / 【典例】．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·二模）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． ►题型02 反比例函数k的几何意义： / 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，、是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点D在y轴上，点B，C在x轴上，与y轴交于点E，连接．若， ，则k的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 命题点二 反比例函数与一次函数综合 ►题型03反比例函数与一次函数的综合问题 / 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象上有A，B两点，连接，且，C是y轴上的点，连接BC，且，连接，交于点D，若，，则k的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】 1．（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 命题点三 反比例函数与几何图形综合 ►题型04 反比例函数与几何图形综合 / 【典例】．（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，．若反比例函数经过边的中点，则点的坐标为 ． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，． (1)若为边的中点，求的值及点的坐标； (2)若，求的面积． 命题点四 反比例函数的实际应用 ►题型05 反比例函数的实际应用 / 【典例】．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【变式】 1.（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 2．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 突破一 反比例函数与一次函数综合 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集． 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为 (1)求B点坐标和反比例函数的表达式； (2)当时，x的取值范围为______； (3)点D为双曲线上一点，连接交x轴于点E，当时，求点D的坐标． 突破二 反比例函数与几何图形综合 【典例】．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，点，分别在反比例函数和的图象上，经过点、的直线与轴相交于点． (1)求、满足的等量关系； (2)若，求直线的函数关系式； (3)试求的面积用的代数式表示． 1．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 2．（2025·江苏镇江·二模）已知点在反比例函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·三模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏盐城·二模）一辆速度可调节的电动玩具车，其行驶速度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该玩具车的电流I（）与电阻R（）成反比例函数，其图象如图，该图象经过点．根据图象可知，当时，I（）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏扬州·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么下列关于函数的性质表述中，正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．随的增大而减小 C．图像可由的图像平移得到 D．图像不经过第四象限 6．（2025·江苏盐城·一模）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 7．（2025·江苏淮安·一模）若点，在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 8．（2025·江苏宿迁·二模）如图，点、在反比例函数图像上，连接并延长与反比例函数相交于点，连接与反比例函数交于点，若，则面积为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏盐城·三模）如图，点在反比例函数图象上，连接 并延长与反比例函数图象相交于点，连接与反比例函数图象交于点，若，则面积为 ． 10．（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 1．（2025·江苏盐城·三模）小军借助几何画板软件研究函数的图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·江苏常州·二模）如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当时， 3．（2025·江苏无锡·二模）反比例函数（为常数）的图像上有两点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2025·江苏扬州·三模）已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为 ． 5．（2025·江苏苏州·二模）如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 1．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象关于轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 2．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列几个命题中，是假命题的有（  ） 若，则时， 随的增大而减小； 若反比例函数的图像不经过点(，是常数)，则； 若直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点，则以，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 7．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 8．（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，轴于点，连接，双曲线经过中点，交于点，连接，若的面积为，则等于（ ） A． B． C． D． 9．（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点、，则点的坐标是 ． 11．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数交于A、B两点，过A、B两点分别向x轴作垂线，垂足分别是C点和D点，连接，则四边形的面积为 ． 第11题 第12题 12．（2025·四川广元·一模）如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为 ． 13．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 第13题 第14题 14．（2025·陕西·模拟预测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 15．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第10讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 24 命题点一 反比例函数的图象和性质 题型01 反比例函数的图象与性质 题型02 反比例函数k的几何意义 命题点二 反比例函数与一次函数综合 题型03 反比例函数与一次函数的综合问题 命题点三 反比例函数与几何图形综合 题型04 反比例函数与几何图形问题 命题点四 反比例函数的实际应用 题型05 反比例函数的实际应用问题 05·重难突破·思维进阶难 44 突破一 反比例函数与一次函数综合 突破二 反比例函数与几何图形综合 06·优题精选·练能提分 54 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的图象和性质 镇江T8 无锡T10 淮安T8 徐州T13 南京T14 苏州T7 镇江T18 扬州T7 徐州T15 无锡T15 扬州T6 泰州T5 镇江T7 南京T14 泰州T21 《标准》对反比例函数的要求有以下三个方面：（ 1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；（ 2）能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解 k >0 和 k ＜ 0时，图象的变化情况；（ 3）能用反比例函数解决简单的实际问题。 反比例函数与一次函数 连云港T7 宿迁T8 常州T25 扬州T24 南通T26 常州T24 淮安T24 连云港T24 盐城T22 无锡T9 宿迁T8 徐州T17 淮安T8 苏州T24 常州T25 反比例函数与几何图形 苏州T23 盐城T26 无锡T9 镇江T23 扬州T17 无锡T17 苏州T24 镇江T25 盐城T16 连云港T15 无锡T17 镇江T24 连云港T27 泰州T25 反比例函数的实际应用 盐城T7 连云港T14 南通T16 无锡T15 连云港T13 南京T12 南京T4 扬州T15 南通T14 常州T12 命题预测 2023 - 2025 年反比例函数应用考查情况分析： 1. 题型变化 · 基础题：从单一考查解析式、图像性质，向 "性质 + 比较"" 性质 + 应用 " 转变； · 解答题：从 "求解析式 + 交点" 模式，向 "综合探究 + 几何应用 + 最值问题" 升级； · 创新题型：2025 年出现反比例函数与动态几何 (旋转、翻折) 结合的探究题； 2. 难度变化 · 整体平稳：基础题难度适中，保持对核心概念的考查 · 综合题提升：2024-2025 年几何综合题难度有所增加，更注重思维的灵活性和创新性 · 命题特点："数形结合" 思想贯穿始终，强调直观想象与数学抽象的融合； 2026年中考数学关于反比例函数命题预测： · 综合化：反比例函数与一次函数、几何深度融合；； · 探究性：开放题和新定义题增多，如 "函数图像对称性探究"" 函数与几何变换 " 等； · 实际应用：结合现实情境 (如资源分配、运动学问题)，增强应用意识； · 核心素养：突出 "数形结合"" 数学建模 ""逻辑推理" 等核心素养考查。 考点一 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 2. 反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 3．反比例函数的性质： 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y＝x和y＝－x），中心对称图形（对称中心为原点） 反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况． 当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 4．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 5． 反比例函数中k的几何意义 6．解决面积问题常用结论： 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积．如图①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝； 3．如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 考点二 反比例函数与一次函数综合 1．取值范围：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2.求交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【详解】（1）解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． （2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 考点三 反比例函数与几何图形综合 反比例函数与几何图形综合，这类综合题常结合三角形、特殊四边形，需掌握以下内容： 1.三角形相关知识： 直角三角形：勾股定理、面积公式； 等腰/等边三角形：性质（等边对等角、三线合一）、判定； 三角形全等/相似：判定定理（SAS、SSS、ASA；AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相等）—— 用于转化线段长度、角度关系； 2.特殊四边形相关知识： 平行四边形、矩形、菱形、正方形：性质（对边平行且相等、对角线特征等）、判定； 3.坐标几何基础： 平面直角坐标系中点的坐标特征：象限符号、坐标轴上的点（ 轴上 ， 轴上 ） 两点间距离公式：若 、，则 点到坐标轴的距离：点 到 轴距离 ，到 轴距离 斜率与平行、垂直：两直线平行 斜率相等；两直线垂直 斜率乘积为 （初中阶段可通过坐标计算角度） 3.核心方法与数学思想 （1）数形结合思想 从函数图像上提取点的坐标信息，转化为代数计算； 用代数计算结果（如 的值、点的坐标）推导几何图形的形状、面积、边长。 （2）方程思想 利用 建立等量关系； 结合几何性质（如勾股定理、相似比）列方程，求解点的坐标或 的值。 （3）转化思想 不规则图形面积 → 转化为规则图形（矩形、三角形）的和/差； 线段长度 → 转化为点的坐标差的绝对值。 （4）分类讨论思想 当点的位置不确定时（如在不同象限、不同边上），需分类讨论，避免漏解。 1．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 【答案】概念理解：；探究性质：①见解析；②线段可由线段通过旋转变换得到，画图见解析；运用性质： 【分析】概念理解：根据概念代入即可解答； 探究性质：①根据概念代入求得，画出图形即可； ②根据旋转的性质，画出旋转中心即可； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点，可得，再由在反比例函数图象上，求得，直线与曲线的交点为， ，则，求出的面积，设点到的距离为，利用等积法求出，再求的面积，求出的面积的面积，根据对称性可求． 【详解】解：概念理解： ， ； 探究性质：①根据概念理解可得， ， ， 故点、对应的“变换”点、如下图， ②线段经过一次平移或轴对称，不能得到， 线段可由线段通过旋转变换得到， 旋转中心如图所示， ，， 旋转中心为点， ， 为等腰三角形， ， 线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到， ； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点， ， ， 在反比例函数图象上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，解得或， ， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ，， 的面积， 的面积， 设点到的距离为， ， ， 解得， 的面积 的面积的面积， 的面积的面积，的面积的面积， ． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 考点四 反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题步骤： （1）设出解析式；（2）用待定系数法确定函数解析式；（3）再利用反比例函数的性质和图象解决问题（特别注意自变量的取值范围）（4）写出答案． 1．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 【答案】16000 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 3．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可． 【详解】解：由图象，设， 把代入，得：， ∴， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，； 故答案为：． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 反比例函数的图象与性质 / 【典例】．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质． 画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意； 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的增减性，对应反比例函数，时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第四象限， ∴． 故选：A． 2．（2025·江苏南京·二模）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于反比例函数的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出结论即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象位于一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小． ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第一象限， ∴， 故答案为：． ►题型02 反比例函数k的几何意义： / 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，、是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，中点的意义，熟练掌握和运用反比例函数系数的几何意义是解题关键． 过点作轴于点，根据反比例函数的系数的几何意义求得，通过相似三角形的判定与性质结合中点的意义可得，即可求解的面积． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是双曲线图象上的一点， ， 轴，轴， ， ， ， 为的中点， ， ， ． 故选：D． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点D在y轴上，点B，C在x轴上，与y轴交于点E，连接．若， ，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的几何意义，以及相似三角形性质和判定，解题的关键在于掌握的几何意义． 过点作于点，证明，利用相似三角形性质得到，再证明，利用相似三角形性质得到，进而得到四边形的面积，矩形面积，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，解得， ，， 四边形为矩形，， ， ， ，解得， 四边形的面积， 矩形面积为， 反比例函数的图象在第二象限， ， 故选：C． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 【答案】3 【分析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由，可得是等腰直角三角形，即可得出，再结合即可得出，利用矩形性质可得，，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，， ． 故答案为：3． 命题点二 反比例函数与一次函数综合 ►题型03反比例函数与一次函数的综合问题 / 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象上有A，B两点，连接，且，C是y轴上的点，连接BC，且，连接，交于点D，若，，则k的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】如图：过点B作轴于E，过点A作轴于F，延长与的延长线交于M，过点D作轴于H，先证明为等腰直角三角形得，则点，进而得点，再求出直线的表达式为，再证明得，则点，将点D的坐标代入求解即可． 【详解】解：如图：过点B作轴于E，过点A作轴于F，延长与的延长线交于M，过点D作轴于H， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数的图象上有A，B两点，且， ∴根据反比例函数的对称性可知点， 设直线的表达式为：， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴， 解得∶或(舍去) 故选：B． 【变式】 1．（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答； （2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入得， 双曲线的函数表达式为； （2）直线与双曲线交于点， ∴ 另一个交点为， ∵ 点分别在直线和双曲线上， 观察图象， 当时，或； （3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ∵ 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， ∴ 点， ∵ 点在反比例函数图象上， ， 解得（舍去）， ， ∴ 点． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为 (2)的值为定值，定值是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，设出直线的含参表达式，联立求出交点的坐标是解题的关键． （1）将点代入中可求出的值，则可知点的坐标，将点代入中，即可求出反比例函数的表达式； （2）由一次函数和反比例函数的表达式可得点的坐标，由点在反比例函数图象上，可得点的坐标，设点，直线的表达式为， 将点，代入，可得直线的表达式，分别令，，可得点，点的坐标，同理可得点，点的坐标，进而可得，，最后计算即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， ∴将点代入中，得， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：的值是定值，理由如下： 直线与反比例函数交于，两点， 令，解得，， 把代入得，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 设点，直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得， 直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， ∴，， ∴， ∴的值为定值，定值是8． 命题点三 反比例函数与几何图形综合 ►题型04 反比例函数与几何图形综合 / 【典例】．（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理．作轴，垂足为，设点坐标为，根据条件列出关于的方程，解出值，再利用勾股定理求出，根据菱形性质求出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 设点坐标为， ， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ， ， ∴四边形的周长为， 故选：C． 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，．若反比例函数经过边的中点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义可设，则，故可得出，再由菱形的性质用表示出各点坐标，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，进而可得出结论． 【详解】解：菱形的顶点均在坐标轴上，， 可设，则， ∴在中，， ∴， 四边形是菱形， ，， ∴， 点是边的中点， ∴， 点在反比例函数的图像上， ∴， 负值舍去， ， ∴． 故答案为：． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，． (1)若为边的中点，求的值及点的坐标； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解； （1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可； （2）设出点D的坐标，点E坐标，根据，得出 【详解】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点， ∴点的坐标为， 代入得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， 点E坐标为 （2）解：∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点， 设点D的坐标为，点E坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，（舍去）或， 则点D的坐标为，点E坐标为， ，， ． 命题点四 反比例函数的实际应用 ►题型05 反比例函数的实际应用 / 【典例】．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； （2）把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 【变式】 1. （2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为80 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 2．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 【答案】(1)②(2)小(3)曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小， （3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征， ∴降速部分是反比例函数图像的一部分， 故答案为：②． （2）曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小， 故答案为：小． （3）解：∵在上， 代入得，， ∴ ∵“曲度相等” ∴ ∵二次函数经过，， ∴ 解得： ∴ 当代入得，， ∴ 当代入得，， ∴ ∴ ∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分． 突破一 反比例函数与一次函数综合 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数的平移，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，然后求得，解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，求得直线的解析式为，解方程得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，解得， ∴，， ∵， ∴， 解得或． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数的表达式为； (2)不等式 的解集为或． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）画出图象，然后根据图象即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数表达式为，， ∵一次函数的图象过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 根据图象可知，不等式的解集为或． 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为 (1)求B点坐标和反比例函数的表达式； (2)当时，x的取值范围为______； (3)点D为双曲线上一点，连接交x轴于点E，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）求出，求得点，得到，于是得到反比例函数的表达式为：； （2）解方程组得到，由图象即可得到结论； （3）设，如图，当点D在第二象限时，过A作轴于N，过D作于M，根据平行线分线段成比例定理得到，解方程得到；如图，当点D在第四象限时，过A作轴于M，过D作轴于N，由， 得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 当时，， 即点， 则， 则反比例函数的表达式为：； （2）联立：，解得或， ， 由图象可知，当时，x的取值范围是或 故答案为：或； （3）设， 如图，当点D在第二象限时，过A作轴于N，过D作于M， 则， ， ， ； ； 如图，当点D在第四象限时， 过A作轴于M，过D作轴于N， ， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，当时，点D的坐标为或 突破二 反比例函数与几何图形综合 【典例】．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标； （2）先求出，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中，， ∴反比例函数解析式为， ∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， ， ， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，点，分别在反比例函数和的图象上，经过点、的直线与轴相交于点． (1)求、满足的等量关系； (2)若，求直线的函数关系式； (3)试求的面积用的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把点，分别代入和得关于的方程组，由方程组即可得到答案； （）分别过点，作轴于，轴于，根据已知条件求出，得到，，再根据待定系数法解答即可求解； （）根据待定系数法求出直线的解析式为，求得，即得，再根据解答即可求解． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的几何应用，锐角三角函数，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，分别代入和得， ， ∴， 整理得，； （2）解：分别过点，作轴于，轴于， ∵，， ，，，， ，， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ，； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 由（）知， ， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ． 1．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可． 【详解】解：， 该函数可以看作向上平移1个单位得到的， 函数图象如图， 由图象可知其关于对称，故C选项正确； 函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确； 该函数图象不经过第三象限，故B选项正确； 当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围； 故选D． 2．（2025·江苏镇江·二模）已知点在反比例函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的增减性即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限，如图所示， ∴在每个象限中随的增大而增大， ∵， ∴， 故选： D． 3．（2025·江苏扬州·三模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·江苏盐城·二模）一辆速度可调节的电动玩具车，其行驶速度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该玩具车的电流I（）与电阻R（）成反比例函数，其图象如图，该图象经过点．根据图象可知，当时，I（）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质，I随R的增大而减小，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据反比例函数的性质，I随R的增大而减小， 故． 故选：A． 5．（2025·江苏扬州·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么下列关于函数的性质表述中，正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．随的增大而减小 C．图像可由的图像平移得到 D．图像不经过第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 原解析式可化为，则，由函数在时，的值随x的增大而增大，随的增大而增大；同理：时，随的增大而增大，即可判断A、B；该函数图象是由函数平移得到的可得判定C；由函数在二、四象限，向左平移2单位、再向上平移一个单位得到的图象，即不经过第四象限，可判定D选项． 【详解】解：∵ ∴，即， ∵， ∴当时，的值随x的增大而增大，则随的增大而增大； 同理：当时，随的增大而增大，A、B选项错误； ∵， ∴该函数图象是由函数在二、四象限，向左平移2单位、再向上平移一个单位得到的，则C选项错误，D选项正确． 故选：D． 6．（2025·江苏盐城·一模）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，中，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，由此逐项判断即可． 【详解】解：当时，，故图象经过点，故选项A说法正确，不合题意； 由可得图象位于第二、四象限，故选项B说法正确，不合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项C说法错误，符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不合题意； 故选C． 7．（2025·江苏淮安·一模）若点，在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，利用函数的增减性求解．根据反比例函数的值，判断函数的增减性即可求解． 【详解】解：反比例函数，， ∴函数的图象在一 、三象限， 根据函数性质，函数在一 、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 8．（2025·江苏宿迁·二模）如图，点、在反比例函数图像上，连接并延长与反比例函数相交于点，连接与反比例函数交于点，若，则面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与与性质，解题的关键是掌握相关知识．设点的坐标是，点的坐标是，，作轴，且，作于点，则，则，得到，推出，代入反比例函数可得到，直线的解析式是，进而得到直线与轴点的交点，根据求出，作轴于点，轴于，得到，，，推出，得到，连接，即可求解． 【详解】解：设点的坐标是，点的坐标是，，作轴，且，作于点，则， ， ， 又，， ，， ，即， 又点在反比例函数图像上， ， 整理可得：， ， ， 又， ， 设直线的解析式是， ， ， 直线的解析式是， 令，则， 直线与轴点的交点， ， 作轴于点，轴于， ，，， ， ， ， 连接， ， ， 又， ， 故选： B． 9．（2025·江苏盐城·三模）如图，点在反比例函数图象上，连接 并延长与反比例函数图象相交于点，连接与反比例函数图象交于点，若，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的应用． 设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则，则，得到，推出，代入反比例函数可得到，直线的解析式是，进而得到直线与轴点的交点，根据，求出，作轴于点，轴于，得到，，，推出得到，连接，即可求解． 【详解】解：设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则， ∴ ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即， 又∵点在反比例函数 图象上， ∴， 整理可得：， ∴， ∴， 又∵ ∴， 设直线的解析式是， ∴，解得：， ∴直线的解析式是， 令，则， ∴直线与轴点的交点， ∴ ， 作轴于点，轴于， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 10．（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及反比例函数解析式的求解、一次函数解析式的确定、三角形面积的计算等知识点．熟练掌握反比例函数和一次函数的性质，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． （1）先利用反比例函数性质，将点坐标代入设好的反比例函数表达式，求出反比例函数的，得到反比例函数解析式．再把点坐标代入反比例函数解析式，求出的值．最后设一次函数表达式，将、两点坐标代入，通过解方程组求出一次函数的和，确定一次函数表达式． （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再通过算出的面积．由面积是面积的一半，结合长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，进而得到纵坐标的值．最后把点纵坐标代入反比例函数解析式，求出横坐标，确定点坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为，将代入，得， 将代入，得 ， ∴； 设一次函数表达式为，将代入得 ， ∴， 一次函数表达式为； （2）解：在中，令，则， ∴． ∵，，， ∴． ∵的面积是面积的一半， ∴． 在中，令，则，解得， ∴，． 由，即， 解得， ∴． 当时，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得． ∴点的坐标为或 ． 1．（2025·江苏盐城·三模）小军借助几何画板软件研究函数的图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数，所以． 【详解】解：由图象可知，当时，， ； ，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数， ． 故选：A 2．（2025·江苏常州·二模）如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当时， 【答案】D 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．分析函数的对称性、增减性、最值后即可得到答案． 【详解】解：A. 设点在函数的图象上，则， 当时，，即在函数的图象上， ∴该函数图象关于原点对称， 故此选项错误，不符合题意；     B. 当时，函数值y随自变量x的增大而减少，当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意；     C. 函数值y没有最小值为，故此选项错误，不符合题意；     D. 当时，， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当时，， 故选项正确， 故选：D 3．（2025·江苏无锡·二模）反比例函数（为常数）的图像上有两点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据，则，所以反比例函数的图象在第二、第四象限，在每个象限，y随x增大而增大，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出、与0的大小即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的图象在第二、第四象限内，在每个象限，y随x增大而增大， 当时，则， ∴都在第二象限， ∴，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴都在第四象限， ∴，故B选项正确，符合题意； 当时，，在第二象限，在第四象限， ∴，故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·江苏扬州·三模）已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由，可得函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，又由，，可得点A在第二象限，点B在第四象限，据此即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵图象过点，且，， ∴， ∴． 故答案为： 5．（2025·江苏苏州·二模）如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数表达式的求解、平行四边形的性质、动点问题中三角形面积最大值的计算，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质确定点的坐标，以及通过建立二次函数模型求面积的最大值。 （1）在中，令，则，得到点的坐标为，再根据平行四边形的性质得到,点的坐标为（6，4），代入反比例函数表达式求出，从而求解； （2）如图，过点作，垂足为点,设动点的运动时间为秒，则，用其表示出三角形的底和高，从而得到面积关于时间的函数关系式，通过求函数的最值来解决问题。 【详解】（1）解：在中，令，则． 点的坐标为， 四边形ABCD为平行四边形， ．则点的坐标为（6，4）， 将代入，得． 即反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，垂足为点, 在中，令，则．则点A的坐标为． ， 在Rt中，可得． 设动点的运动时间为秒，则， ， ， ， ．即． ． ． 面积的最大值为． 1．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象关于轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．∵函数的， ∴在每一个象限内，随的增大而增大，故该选项错误； B．函数的图象是关于原点对称的双曲线，故该选项错误； C．∵点在函数图象上， ∴， ∵， ∴点和点都在图象上，故该选项正确； D．∵函数在每一个象限内，随的增大而增大， ∴当时，，故该选项错误． 故选C． 2．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 3．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值，再计算和，，并比较大小． 【详解】解：∵ 点，， 在反比例函数图象上， ∴ ，，． ∴ ，． 当时， 若，则； 若，则． 当时， 若，则； 若，则． 无法比较和的大小 ，， ． ． 故选：D． 4．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列几个命题中，是假命题的有（  ） 若，则时， 随的增大而减小； 若反比例函数的图像不经过点(，是常数)，则； 若直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点，则以，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题，一次函数的性质，平行四边形的判定，根据，，则 随的增大而减小，从而判断；根据点(，是常数)，在第一象限，从而可判断；根据一次函数与反比例函数交点，平行四边形的判定即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小，原命题正确，不符合题意； ∵，， ∴点(，是常数)，在第一象限， ∵反比例函数的图像不经过点(，是常数)， ∴，原命题正确，不符合题意； 如图， ∵直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，原命题正确，不符合题意； 综上可知：假命题的个数为， 故选：． 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 7．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作轴于点F，过点B作轴于点E，设点，则，根据，结合相似三角形的性质写出点B和点D的坐标，再结合的面积列出方程求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，，， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：D． 8．（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，轴于点，连接，双曲线经过中点，交于点，连接，若的面积为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过作，交轴于，利用反比例函数的几何意义得到，根据为的中点，，从而得出，代入可得结论． 【详解】解：如图所示，过作，交轴于， ，、都在双曲线上， ， 为的中点， ， ， ， ． 故选：D． 9．（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数和矩形的性质，连接，根据题意得点在一条直线上，则，那么，，根据线段的比例可得，设点，则，结合三角形面积即可求得答案． 【详解】解：矩形的对称中心是， 连接，则点在一条直线上， 则， ∵的面积为4.5， ∴， ∴ ∵， ， ， 设点，则， ∴， ． 故选：B． 10．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点、，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题．由点A在反比例函数图象上可求出m的值，得到点A坐标，再代入正比例函数求出k，然后联立两个函数解析式解方程组，求出另一个交点B的坐标，即可作答． 【详解】解：∵在， ∴， ∴点A坐标为 ∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得， ∴正比例函数解析式为． 联立方程组， 代入得， 两边乘以得， 解得， ∴或， ∵ 当时，， ∴点B坐标为． 故答案为： 11．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数交于A、B两点，过A、B两点分别向x轴作垂线，垂足分别是C点和D点，连接，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．设的坐标是，则的坐标是，根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：设的坐标是，则的坐标是， 则，． 则四边形的面积． 故答案是：8． 12．（2025·四川广元·一模）如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】4 【分析】题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 13．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 14．（2025·陕西·模拟预测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知翻折特征和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先过E作，垂足为点F，根据翻折可知，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可． 【详解】过E作，垂足为点F， 由已知条件可知，， ， 易知， ， 又， ， 则E点坐标为， 设这个反比例函数为， ∴ 则． 故答案为：． 15．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $