专题01 方程与不等式（组）的解法（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 专题01 方程与不等式（组）的解法 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：一元一次方程的解法 易｜混｜易｜错 1）漏乘不含分母的项（如上例漏乘右边的 1） 2）分子是多项式时，去分母后未加括号； 3）括号前是负号时，漏改括号内项的符号；括号前有系数时，漏乘括号内部分项 4）移项时忘记变号（这是最高频错误），没移项的项随意变号；左右两边多项移项时，混淆符号； 5）系数化为1时，两边同除以未知数的系数，等号右边的分子分母写颠倒。 1．（2025·四川眉山·中考真题）解方程： 2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 4．（2025·浙江·模拟预测）若式子与式子的值相等，则的值为 ． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 解｜题｜技｜巧 1）去分母前，给方程每一项（包括等号右边的常数项）都乘最小公倍数 2）分子是多项式时，把分子整体用括号括起来； 3）去括号时，从左到右逐项处理，负号影响括号内所有项，尤其是括号前是减号时，要特别小心； 4）系数乘括号内项时，用 “标记法” 确保每一项都乘到，避免漏乘； 5）牢记 “移项必变号，不移不变号”； 6）复杂移项可分步进行，不要一次移多项； 7）合并前，先明确同类项（含的为一类，常数为一类）； 8）系数计算时，放慢速度，必要时笔算，避免心算失误； 9）系数为分数时，转化为 “乘倒数” 计算。 考点二：二元一次方程组的解法 易｜混｜易｜错 二元一次方程组的核心解法是 代入消元法 和 加减消元法，两种方法的本质都是消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解，相比较来讲，加减消元法用的较多，下面时加减消元法易错注意点： 1）计算最小公倍数时出错，导致系数化同错误，系数化同这一步时，乘系数时漏乘常数项；； 2）加减时符号处理错误，混淆 “加” 和 “减” 的条件（系数同号却相加） 3）解一元一次方程时，系数化为 1 时，乘除混淆，尤其是结果为分数时，分子分母写颠倒符号出错； 4）格式错误，漏写大括号。 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 3．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 4．（2025·山西·中考真题）解方程组： 5．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 解｜题｜技｜巧 1）加减前，给每个方程的左边和右边整体加括号，再去括号计算； 2）优先代入系数简单的方程，减少计算量； 3）牢记口诀：系数同号减，异号加，消元就靠这一下。 4）利用整体数学思想可以快捷求解由二元一次方程组求代数式的值相关问题。 考点三：分式方程的解法 易｜混｜易｜错 分式方程的核心解法是 “去分母转化为整式方程求解，再验根排除增根”，完整步骤分为 5 步，其中验根是分式方程特有的、必不可少的步骤。 1）分母因式分解不彻底；确定最简公分母时漏乘部分因式； 2）漏乘不含分母的常数项或整式项，分子是多项式时，去分母后未加括号； 3）忘记检验，直接将整式方程的解当作分式方程的解；检验时代入整式方程，而非原分式方程的公分母； 4）增根未舍去，误将增根当作解；无解时表述错误（如写成 “解为无”）。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 3．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 4．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 5．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 解｜题｜技｜巧 1）因式分解优先用提公因式、平方差公式，分解到不能再分为止；列分母的所有因式，标记每个因式的最高次幂，再相乘得到公分母； 2）去分母前，标记方程的每一项（含常数项），确保每一项都乘最简公分母；分子是多项式时，强制用括号括住分子，再按去括号法则计算； 3）牢记口诀：分式方程必检验，代入公分母看零否；检验步骤单独书写，标注 “代入最简公分母”的过程； 4）检验后明确区分 “有效解” 和 “增根”，增根必须标注 “舍去”；无解的标准表述为 “原分式方程无解”。 考点四：一元二次方程的解法 易｜混｜易｜错 一元二次方程核心解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种，不同方法适用场景不同，易错点如下： 1）用直接开平方法求解一元二次方程时，漏写负值解，有很多同学只写正值解，这是错误的； 2）配方时加错常数（如加一次项系数的平方，而非一半的平方），导致配方错误； 3）利用公式法求解一元二次方程时，忘记整理成一般式，导致a,b,c的值出错； 4）利用公式法求解一元二次方程时，忘记求判别式的值，判断根的情况； 5）利用因式分解法求解一元二次方程时，方程两边同时除以含有未知数的式子，导致方程丢根错误。 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 2．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 5．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     解｜题｜技｜巧 1）解完后可代入原方程验证，尤其公式法和配方法，避免计算错误； 2）无论解是否相等，都要写成 的形式； 3）要根据方程的不同情况选择合适的方法。 考点五：一元一次不等式（组）的解法 易｜混｜易｜错 一元一次不等式（组）解法与一元一次方程解法相似，但也有它自己的易错点，如下： 1）解一元一次不等式时，不等式两边同乘或除以一个负数时，忘记将不等号改变方向，这个出错误最多的一个地方； 2）解不等式组时，求各个不等式解集的公共部分出错； 1．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 2．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 3．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 4．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 5．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 解｜题｜技｜巧 1）解不等式，要熟练的掌握不等式的基本性质，尤其时不等式两边同时乘以或除以一个负数时，千万别忘记改变不等号的方向； 2）求两个或多个不等式解集的公共部分，可以借助口诀，也可以借助数轴解决，这个比较直观，可以快速求出不等式组的解集。 1．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 2．（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·山西·一模）解方程：． 5．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 1．（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为 ． 4．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 5．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的方程只有一个实数解，求实数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 专题01 方程与不等式（组）的解法 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：一元一次方程的解法 易｜混｜易｜错 1）漏乘不含分母的项（如上例漏乘右边的 1） 2）分子是多项式时，去分母后未加括号； 3）括号前是负号时，漏改括号内项的符号；括号前有系数时，漏乘括号内部分项 4）移项时忘记变号（这是最高频错误），没移项的项随意变号；左右两边多项移项时，混淆符号； 5）系数化为1时，两边同除以未知数的系数，等号右边的分子分母写颠倒。 1．（2025·四川眉山·中考真题）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程 【分析】本题考解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： 去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：． 2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 4．（2025·浙江·模拟预测）若式子与式子的值相等，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题可知，， ∴， 解得． 故答案为： 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 【答案】0 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 解｜题｜技｜巧 1）去分母前，给方程每一项（包括等号右边的常数项）都乘最小公倍数 2）分子是多项式时，把分子整体用括号括起来； 3）去括号时，从左到右逐项处理，负号影响括号内所有项，尤其是括号前是减号时，要特别小心； 4）系数乘括号内项时，用 “标记法” 确保每一项都乘到，避免漏乘； 5）牢记 “移项必变号，不移不变号”； 6）复杂移项可分步进行，不要一次移多项； 7）合并前，先明确同类项（含的为一类，常数为一类）； 8）系数计算时，放慢速度，必要时笔算，避免心算失误； 9）系数为分数时，转化为 “乘倒数” 计算。 考点二：二元一次方程组的解法 易｜混｜易｜错 二元一次方程组的核心解法是 代入消元法 和 加减消元法，两种方法的本质都是消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解，相比较来讲，加减消元法用的较多，下面时加减消元法易错注意点： 1）计算最小公倍数时出错，导致系数化同错误，系数化同这一步时，乘系数时漏乘常数项；； 2）加减时符号处理错误，混淆 “加” 和 “减” 的条件（系数同号却相加） 3）解一元一次方程时，系数化为 1 时，乘除混淆，尤其是结果为分数时，分子分母写颠倒符号出错； 4）格式错误，漏写大括号。 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、利用二次根式的性质化简、加减消元法 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 2．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 【答案】． 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． 利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 4．（2025·山西·中考真题）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【分析】本题考查了解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； 利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【详解】解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 解｜题｜技｜巧 1）加减前，给每个方程的左边和右边整体加括号，再去括号计算； 2）优先代入系数简单的方程，减少计算量； 3）牢记口诀：系数同号减，异号加，消元就靠这一下。 4）利用整体数学思想可以快捷求解由二元一次方程组求代数式的值相关问题。 考点三：分式方程的解法 易｜混｜易｜错 分式方程的核心解法是 “去分母转化为整式方程求解，再验根排除增根”，完整步骤分为 5 步，其中验根是分式方程特有的、必不可少的步骤。 1）分母因式分解不彻底；确定最简公分母时漏乘部分因式； 2）漏乘不含分母的常数项或整式项，分子是多项式时，去分母后未加括号； 3）忘记检验，直接将整式方程的解当作分式方程的解；检验时代入整式方程，而非原分式方程的公分母； 4）增根未舍去，误将增根当作解；无解时表述错误（如写成 “解为无”）。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 2．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 3．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 4．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 5．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 解｜题｜技｜巧 1）因式分解优先用提公因式、平方差公式，分解到不能再分为止；列分母的所有因式，标记每个因式的最高次幂，再相乘得到公分母； 2）去分母前，标记方程的每一项（含常数项），确保每一项都乘最简公分母；分子是多项式时，强制用括号括住分子，再按去括号法则计算； 3）牢记口诀：分式方程必检验，代入公分母看零否；检验步骤单独书写，标注 “代入最简公分母”的过程； 4）检验后明确区分 “有效解” 和 “增根”，增根必须标注 “舍去”；无解的标准表述为 “原分式方程无解”。 考点四：一元二次方程的解法 易｜混｜易｜错 一元二次方程核心解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种，不同方法适用场景不同，易错点如下： 1）用直接开平方法求解一元二次方程时，漏写负值解，有很多同学只写正值解，这是错误的； 2）配方时加错常数（如加一次项系数的平方，而非一半的平方），导致配方错误； 3）利用公式法求解一元二次方程时，忘记整理成一般式，导致a,b,c的值出错； 4）利用公式法求解一元二次方程时，忘记求判别式的值，判断根的情况； 5）利用因式分解法求解一元二次方程时，方程两边同时除以含有未知数的式子，导致方程丢根错误。 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 4．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】，； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法， 把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     【答案】，； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程．利用配方法求解； 【详解】解：， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， 解｜题｜技｜巧 1）解完后可代入原方程验证，尤其公式法和配方法，避免计算错误。 2）无论解是否相等，都要写成 的形式； 3）要根据方程的不同情况选择合适的方法。 考点五：一元一次不等式（组）的解法 易｜混｜易｜错 一元一次不等式（组）解法与一元一次方程解法相似，但也有它自己的易错点，如下： 1）解一元一次不等式时，不等式两边同乘或除以一个负数时，忘记将不等号改变方向，这个出错误最多的一个地方； 2）解不等式组时，求各个不等式解集的公共部分出错； 1．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如图： ∴不等式组的解集为． 2．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 3．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 【答案】，画图见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 则不等式组解集为． 4．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 5．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【详解】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1）解不等式，要熟练的掌握不等式的基本性质，尤其时不等式两边同时乘以或除以一个负数时，千万别忘记改变不等号的方向； 2）求两个或多个不等式解集的公共部分，可以借助口诀，也可以借助数轴解决，这个比较直观，可以快速求出不等式组的解集。 1．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 2．（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）解： 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相减直接求解代数式的值是解题的关键．通过观察方程组中两个方程的系数，用第一个方程减去第二个方程，可直接求出的值． 【详解】解：， 得， ， ∴ ， 故选：B． 4．（2025·山西·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程． 根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 5．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 【答案】(1)见解析； (2),． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题； （2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题知， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：当时，关于x的一元二次方程为， 整理得， 则或， 解得，． 1．（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 【答案】， 【知识点】加减消元法、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查解二元二次方程组，把二元二次方程组化为两个二元一次方程组是解题的关键，先将二元二次方程组化成二元一次方程组，然后再运用加减消元求解即可． 【详解】解： 整理得：， 即或， 解得： ，． 综上，原方程组的解为：，． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解 【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可． 本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、由题意，得， 解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况： ，则， ，少考虑一种情况，故选项B错误； C．， ， ， 当为整数时，，，， 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ， ， 即， 对任意有理数，都成立， ，故选项D正确． 故选：B． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 4．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 5．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的方程只有一个实数解，求实数的值． 【答案】或或． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 将分式方程转化为整式方程，然后结合题意分两种情况：当方程①有两个相等的实数根时，当方程①有两个不相等的实数根时，结合题意求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：　　① 当方程①有两个相等的实数根时，， 解得， ∴， 解得：， 检验：满足题意； 当方程①有两个不相等的实数根时，， 解得： 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴ 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴， 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 综上，或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $