湖南省湘一名校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

保密★启用前 高三数学 考生注意： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用校皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 郑 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A=11,2,3,4,5},B={xlx=3k-2,k∈N·},则A∩B= 梨 A.11,4 B.{2,5} C.{1} D.☑ 归 2.在△ABC中，AB=3,BC=5,AC=7,则△ABC最大的内角为 AG B平 罗 D 3.设等差数列{an|的前n项和为Sn,若S4-a3=18,S2=7,则{an}的公差为 救 揪 A.2 B.3 C.4 D.5 4.在平面直角坐标系xOy中，A,B是不同于原点0的两个点，点S关于点A的对称点为，点 S关于点B的对称点为N,设0i=a,O店=b,则M爪= 留 A.a+b B.a-b C.2(a-b) D.2(b-a) 5.若f(x)=sin(x+2p)(0<p<m)为偶函数，则f八p)= A号 B._v 2 c0皮号 6.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=6,BC=4,E,F分别是棱AB,BC的中点，点P满足CP= ACC(0<A<1),若过点E,F,P的平面截长方体ABCD-A,B,C,D所得的截面为五边形. 则实数入的取值范国是 a(2引 u(0. c片 哈引 数学试题第1页（共4页） 扫描全能王创建 7.已知ae(o,4),Be0,},in(2a+p)= 1-tan a=t 5'tan a anB则sin(2a-g)= A-3 B.5 c号 D.-号 8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线1交抛物线于A,B两点(A在第一象限)，线 段AF,AB,BF的中点分别为M,P,N,若IMPI=21NPI,则l的斜率为 B.-1 C.-2 D.-22 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x0,则 A.a0=-1 B.a=-5120 310+1 C.a2+a4+…+a10= 2 D.a1+2a2+…+10a10=20 10.已知函数)=e+1,8()=总，则 A.两个函数的图象在x=0处的切线互相平行 B.存在实数a,b,使得f(a)=g(b) C.函数fx)-g(x)在(0，+∞)上单调递增 D.f(x)的图象可由g(x)的图象绕某个点旋转180得到 .已知双曲线C:x-=1(b>0)的左右焦点分别为F,R,且F,到C的渐近线的距离为2， 过点F,且不与x轴重合的直线与C的左、右两支分别交于点B和点A,AB的中点为D,坐 标原点为O,则下列说法正确的是 A.b=2 B.210DI <IBF I+IAFI C.若DF2∥OB,则1AF2I+IBF,I=21ABI D.若IAF2I=IBFI,则△ABF,的面积为43 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知复数：0，且=(1-i,则1 13.已知正数a满足1ogs(loga)=5,则log(log,a)= 14,已知集合U=1,2,3,4,5,甲、乙两人分别从U的所有子集中随机抽取一个集合，两人的 抽取结果相互独立，设X为两人取到的集合中相同元索的个数，则X的数学期望E(X)= 数学试题第2页（共4页） 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记数列{an}的前n项和为Sn,已知a,=1,Sn= 2n+1+ (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn 16.(15分) 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统 计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额y(单位：万亿 元)的散点图，如图所示： 160 1居民存款余额y 140 120 100 ◆ 60 8 0 12345678910111213141516年份序号： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2 年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，y和1的关系可用经验回归模型y=a·e"进行拟合，求y关于t的经验回 归方程， 参考数据：设=n,则=4，认，=578，片-16=340，e5=23.34, 参考公式：对于一组数据(1，，)(i=1,2,3,…,),其经验回归直线：=+的斜率和截 距的最小二乘估计分别为B= 认 一，&=8-B1 -n 数学试题 第3页（共4页） 繁扫描全能王创建 7.(15分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，点E在棱PB上，点F在棱PD上，且BF⊥AE. (1)证明：BF⊥平面AEC; (2)若E,F分别为所在棱的中点，求平面AEC与平面PAB的夹角的余弦值. p 8.(17分) 已知函数x)=(任-a小hx,a>0, (1)若a=1,求f(x)的最大值； (2)证明f(x)存在唯一的极大值点x,且fxo)≥0； (3)若对任意的x>0,不等式(x)<2恒成立，求a的取值范围. 9.(17分) 巴知椭圆E:多+1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F,上顶点和右顶点分别为 &.tunLMWF-F,NI-3. (1)求E的方程. (2)已知过点F2的直线1与E交于A,B两点，过点F,且与1垂直的直线与E交于C,D两 点，B,D在x轴的上方，P,Q分别为AB,CD的中点，直线BD与AC交于点H. (i)求证：直线PQ过定点； (iⅱ)求△PQW面积的最小值. 数学试题第4页（共4页） 器 扫描全能王创建